3 × متعددة. إيماءة وإيماءة بثلاثة أرقام أو أكثر. البحث عن طريق التحليل
دعونا نلقي نظرة على ثلاث طرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر.
البحث عن طريق التحليل
الطريقة الأولى هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد المعطاة إلى عوامل أولية.
لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 99 و30 و28. للقيام بذلك، دعونا نحلل كل رقم من هذه الأرقام إلى عوامل أولية:
ولكي يكون العدد المطلوب قابلاً للقسمة على 99 و30 و28، فمن الضروري والكافي أن يشمل جميع العوامل الأولية لهذه المقسومات. للقيام بذلك، علينا أن نأخذ جميع العوامل الأولية لهذه الأعداد إلى أكبر قوة ممكنة ونضربها معًا:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
وبالتالي، م م (99، 30، 28) = 13,860 ولا يوجد رقم آخر أقل من 13,860 يقبل القسمة على 99، 30، أو 28.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأرقام معينة، عليك تحليلها إلى عواملها الأولية، ثم أخذ كل عامل أولي بأكبر أس يظهر فيه، وضرب هذه العوامل معًا.
نظرًا لأن الأعداد الأولية نسبيًا لا تحتوي على عوامل أولية مشتركة، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأعداد. على سبيل المثال، ثلاثة أرقام: 20 و49 و33 هي أعداد أولية نسبيًا. لهذا
م م م (20، 49، 33) = 20 49 33 = 32,340.
يجب أن يتم الأمر نفسه عند إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية المختلفة. على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر (3، 7، 11) = 3 7 11 = 231.
البحث عن طريق الاختيار
الطريقة الثانية هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق الاختيار.
مثال 1. عندما يتم قسمة أكبر عدد من الأرقام المعطاة على رقم آخر، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي أكبرها. على سبيل المثال، إذا أعطيت أربعة أرقام: 60، 30، 10 و 6. كل واحد منهم يقبل القسمة على 60، وبالتالي:
م م م (60، 30، 10، 6) = 60
وفي حالات أخرى، للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، يتم استخدام الإجراء التالي:
- تحديد أكبر عدد من الأرقام المعطاة.
- بعد ذلك، نجد الأعداد التي هي مضاعفات الرقم الأكبر عن طريق ضربها في الأعداد الطبيعية بترتيب تصاعدي والتحقق مما إذا كان المنتج الناتج قابلاً للقسمة على الأرقام المعطاة المتبقية.
مثال 2. بالنظر إلى ثلاثة أرقام 24 و 3 و 18. نحدد أكبرها - وهذا هو الرقم 24. بعد ذلك، نجد الأرقام التي هي مضاعفات 24، والتحقق مما إذا كان كل منها قابل للقسمة على 18 و 3:
24 · 1 = 24 - يقبل القسمة على 3، لكن غير قابل للقسمة على 18.
24 · 2 = 48 - يقبل القسمة على 3، لكن غير قابل للقسمة على 18.
24 · 3 = 72 - يقبل القسمة على 3 و18.
وبالتالي، المضاعف المشترك الأصغر (24، 3، 18) = 72.
البحث عن طريق إيجاد LCM بشكل تسلسلي
الطريقة الثالثة هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بشكل تسلسلي.
المضاعف المشترك الأصغر لعددين محددين يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر لهما.
مثال 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين معلومين: 12 و8. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (12، 8) = 4. اضرب هذه الأرقام:
نقسم المنتج على gcd الخاص بهم:
وبالتالي، م م م (12، 8) = 24.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، استخدم الإجراء التالي:
- أولًا، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأي اثنين من هذه الأرقام.
- بعد ذلك، تم العثور على المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر والرقم المعطى الثالث.
- ثم، المضاعف المشترك الأصغر الناتج عن المضاعف المشترك الأصغر والرقم الرابع، وما إلى ذلك.
- وبالتالي، يستمر البحث عن LCM طالما أن هناك أرقامًا.
مثال 2. دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الثلاثة المعطاة: 12، 8 و9. لقد وجدنا بالفعل المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 12 و8 في المثال السابق (هذا هو الرقم 24). يبقى العثور على المضاعف المشترك الأصغر للرقم 24 والرقم الثالث المحدد - 9. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (24, 9) = 3. اضرب المضاعف المشترك الأصغر في الرقم 9:
نقسم المنتج على gcd الخاص بهم:
وبالتالي، م م م (12، 8، 9) = 72.
LCM - المضاعف المشترك الأقل. الرقم الذي سيقسم جميع الأرقام المعطاة دون باقي.
على سبيل المثال، إذا كانت الأرقام المعطاة هي 2، 3، 5، فإن م م م = 2*3*5=30
وإذا كانت الأعداد المعطاة هي 2،4،8، فإن المضاعف المشترك الأصغر = 8
ما هو GCD؟
GCD هو القاسم المشترك الأكبر. رقم يمكن استخدامه لقسمة كل رقم من الأرقام المحددة دون ترك باقي.
ومن المنطقي أنه إذا كانت الأرقام المعطاة أولية، فإن gcd يساوي واحدًا.
وإذا كانت الأرقام المعطاة هي 2، 4، 8، فإن GCD يساوي 2.
لن نصفها بعبارات عامة، ولكن سنعرض الحل ببساطة بمثال.
بالنظر إلى الرقمين 126 و44. ابحث عن GCD.
ثم إذا حصلنا على رقمين من النموذج
ثم يتم حساب GCD كـ
حيث min هي القيمة الدنيا لجميع قوى الرقم pn
و NOC كما
حيث max هي القيمة القصوى لجميع قوى الرقم pn
بالنظر إلى الصيغ المذكورة أعلاه، يمكنك بسهولة إثبات أن GCD لعددين أو أكثر سيكون مساويًا لواحد، عندما يكون هناك أرقام أولية نسبيًا بين زوج واحد على الأقل من القيم المحددة.
لذلك، من السهل الإجابة على سؤال ما يساوي GCD لأرقام مثل 3، 25412، 3251، 7841، 25654، 7 دون حساب أي شيء.
الرقمان 3 و 7 هما كوبريم، وبالتالي فإن gcd = 1
لنلقي نظرة على مثال.
بالنظر إلى ثلاثة أرقام 24654 و 25473 و 954
وينقسم كل رقم إلى العوامل التالية
أو إذا كتبناها بصيغة بديلة
أي أن GCD لهذه الأرقام الثلاثة يساوي ثلاثة
حسنًا، يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر بطريقة مماثلة، وهو يساوي
سيساعدك الروبوت الخاص بنا في حساب GCD وLCM لأي أعداد صحيحة، اثنان أو ثلاثة أو عشرة.
دعونا نواصل الحديث عن المضاعف المشترك الأصغر، والذي بدأناه في قسم "المضاعف المشترك الأصغر - التعريف والأمثلة". في هذا الموضوع، سنتطرق إلى طرق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، كما سنتناول مسألة كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعدد سالب.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD
لقد أنشأنا بالفعل العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر والمقسوم المشترك الأكبر. الآن دعونا نتعلم كيفية تحديد LCM من خلال GCD. أولاً، دعونا نتعرف على كيفية القيام بذلك مع الأرقام الموجبة.
التعريف 1
يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر باستخدام الصيغة LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
مثال 1
أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 126 و70.
حل
لنأخذ أ = 126، ب = 70. دعونا نستبدل القيم في صيغة حساب المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
يجد GCD للأرقام 70 و 126. لهذا نحتاج إلى الخوارزمية الإقليدية: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4، وبالتالي GCD (126 , 70) = 14 .
دعونا نحسب LCM: LCD (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.
إجابة:م م(126، 70) = 630.
مثال 2
أوجد الرقم 68 و 34.
حل
ليس من الصعب العثور على GCD في هذه الحالة، حيث أن 68 يقبل القسمة على 34. دعونا نحسب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
إجابة:م م م (68، 34) = 68.
في هذا المثال، استخدمنا قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم الأول قابلاً للقسمة على الثاني، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للرقم الأول.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
الآن دعونا نلقي نظرة على طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر، والتي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية.
التعريف 2
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، نحتاج إلى تنفيذ عدد من الخطوات البسيطة:
- نحن نؤلف حاصل ضرب جميع العوامل الأولية للأعداد التي نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لها؛
- نحن نستبعد جميع العوامل الأولية من منتجاتها الناتجة؛
- سيكون المنتج الذي تم الحصول عليه بعد حذف العوامل الأولية المشتركة مساوياً لـ LCM للأرقام المحددة.
تعتمد هذه الطريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر على المساواة LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). إذا نظرت إلى الصيغة، فسوف يصبح واضحا: منتج الأرقام أ و ب يساوي منتج جميع العوامل التي تشارك في تحلل هذين الرقمين. في هذه الحالة، يكون GCD لعددين مساويًا لمنتج جميع العوامل الأولية الموجودة في نفس الوقت في عوامل هذين الرقمين.
مثال 3
لدينا رقمان 75 و210. يمكننا تحليلها على النحو التالي: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إذا قمت بتكوين منتج جميع عوامل العددين الأصليين، فستحصل على: 2 3 3 5 5 5 7.
إذا استبعدنا العوامل المشتركة بين العددين 3 و5، نحصل على حاصل الضرب بالشكل التالي: 2 3 5 5 7 = 1050. سيكون هذا المنتج هو المضاعف المشترك الأصغر الخاص بنا للرقمين 75 و210.
مثال 4
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 441 و 700 ، تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية.
حل
لنجد جميع العوامل الأولية للأعداد الواردة في الشرط:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
نحصل على سلسلتين من الأرقام: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.
سيكون منتج جميع العوامل التي شاركت في تحليل هذه الأرقام على الشكل التالي: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعونا نجد العوامل المشتركة. هذا هو الرقم 7. لنستبعده من المنتج الإجمالي: 2 2 3 3 5 5 7 7. وتبين أن المؤسسة الوطنية للنفط (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
إجابة: LOC(441, 700) = 44,100.
دعونا نعطي صيغة أخرى لطريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.
التعريف 3
في السابق، استبعدنا من العدد الإجمالي العوامل المشتركة بين الرقمين. الآن سنفعل ذلك بشكل مختلف:
- دعونا نحول كلا الرقمين إلى عوامل أولية:
- أضف إلى حاصل ضرب العوامل الأولية للرقم الأول العوامل المفقودة للرقم الثاني؛
- نحصل على المنتج، والذي سيكون LCM المطلوب من رقمين.
مثال 5
لنعد إلى الرقمين 75 و210، اللذين بحثنا عنهما بالفعل في أحد الأمثلة السابقة. دعونا نقسمها إلى عوامل بسيطة: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إلى منتج العوامل 3 و 5 و 5 الأرقام 75 تضيف العوامل المفقودة 2 و 7 الأرقام 210. نحن نحصل: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و210.
مثال 6
من الضروري حساب LCM للأرقام 84 و 648.
حل
دعونا نحلل الأرقام من الشرط إلى عوامل بسيطة: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. دعونا نضيف إلى المنتج العوامل 2، 2، 3 و 7
الأرقام 84 العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و
3
الأرقام 648. نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.
إجابة:م م م(84, 648) = 4,536.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر
بغض النظر عن عدد الأرقام التي نتعامل معها، ستكون خوارزمية أفعالنا هي نفسها دائمًا: سنجد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين بالتتابع. هناك نظرية لهذه الحالة.
النظرية 1
لنفترض أن لدينا أعداد صحيحة أ1، أ2،…، أ. شهادة عدم الممانعة م كتم العثور على هذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM (أ 1، أ 2)، م 3 = م م 2، أ 3)، ...، م ك = م م م (م ك − 1، أ ك).
الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية تطبيق النظرية لحل مشاكل محددة.
مثال 7
تحتاج إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54 و 250 .
حل
دعونا نقدم الترميز: أ 1 = 140، أ 2 = 9، أ 3 = 54، أ 4 = 250.
لنبدأ بحساب m 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) = المضاعف المشترك الأصغر (140، 9). دعونا نطبق الخوارزمية الإقليدية لحساب GCD للأرقام 140 و9: 140 = 9 15 + 5، 9 = 5 1 + 4، 5 = 4 1 + 1، 4 = 1 4. نحصل على: GCD (140، 9) = 1، GCD (140، 9) = 140 9: GCD (140، 9) = 140 9: 1 = 1260. وبالتالي م2 = 1,260.
الآن دعونا نحسب باستخدام نفس الخوارزمية m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). خلال الحسابات نحصل على م 3 = 3 780.
كل ما علينا فعله هو حساب m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). نحن نتبع نفس الخوارزمية. نحصل على م 4 = 94500.
LCM للأرقام الأربعة من حالة المثال هو 94500.
إجابة:شهادة عدم الممانعة (140، 9، 54، 250) = 94,500.
كما ترون، الحسابات بسيطة، ولكنها كثيفة العمالة للغاية. لتوفير الوقت، يمكنك الذهاب بطريقة أخرى.
التعريف 4
نحن نقدم لك خوارزمية الإجراءات التالية:
- نحن نحلل جميع الأرقام إلى عوامل أولية؛
- إلى حاصل ضرب عوامل الرقم الأول نضيف العوامل المفقودة من حاصل ضرب العدد الثاني؛
- نضيف إلى المنتج الذي تم الحصول عليه في المرحلة السابقة العوامل المفقودة للرقم الثالث، وما إلى ذلك؛
- سيكون المنتج الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام من الشرط.
مثال 8
أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أرقام 84، 6، 48، 7، 143.
حل
دعونا نحلل جميع الأعداد الخمسة إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7، 6 = 2 3، 48 = 2 2 2 2 3، 7، 143 = 11 13. الأعداد الأولية، وهي العدد 7، لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية. تتزامن هذه الأرقام مع تحللها إلى عوامل أولية.
الآن لنأخذ حاصل ضرب العوامل الأولية 2 و 2 و 3 و 7 للرقم 84 ونضيف إليها العوامل الناقصة للرقم الثاني. قمنا بتحليل الرقم 6 إلى 2 و 3. هذه العوامل موجودة بالفعل في حاصل ضرب الرقم الأول. ولذلك، فإننا نتجاهلهم.
نواصل إضافة المضاعفات المفقودة. لننتقل إلى الرقم 48، الذي نأخذ من حاصل ضرب عوامله الأولية 2 و2. ثم نضيف العامل الأولي 7 من الرقم الرابع والعاملين 11 و 13 من الرقم الخامس. نحصل على: 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الخمسة الأصلية.
إجابة:م م م(84، 6، 48، 7، 143) = 48,048.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة
من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة، يجب أولاً استبدال هذه الأرقام بأرقام ذات علامة معاكسة، ثم يجب إجراء الحسابات باستخدام الخوارزميات المذكورة أعلاه.
مثال 9
المضاعف المشترك الأصغر (54، − 34) = المضاعف المشترك الأصغر (54، 34) والمضاعف المشترك الأصغر (− 622، − 46، − 54، − 888) = المضاعف المشترك الأصغر (622، 46، 54، 888).
ومثل هذه التصرفات جائزة لأننا إذا قبلنا ذلك أو - أ- أرقام متضادة،
ثم مجموعة مضاعفات الرقم أيطابق مجموعة مضاعفات الرقم - أ.
مثال 10
من الضروري حساب LCM للأرقام السالبة − 145 و − 45 .
حل
دعونا نستبدل الأرقام − 145 و − 45 إلى أعدادهم المقابلة 145 و 45 . الآن، باستخدام الخوارزمية، نحسب LCM (145، 45) = 145 · 45: GCD (145، 45) = 145 · 45: 5 = 1،305، بعد أن تم تحديد GCD مسبقًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية.
لقد حصلنا على أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام هو -145 و − 45 يساوي 1 305 .
إجابة:م م م (− 145, − 45) = 1,305.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
لفهم كيفية حساب LCM، يجب عليك أولاً تحديد معنى مصطلح "متعدد".
مضاعف العدد A هو عدد طبيعي يقبل القسمة على A بدون باقي، وبالتالي فإن الأرقام التي تكون من مضاعفات الرقم 5 يمكن اعتبارها 15، 20، 25، وهكذا.
يمكن أن يكون هناك عدد محدود من المقسومات على رقم معين، ولكن هناك عدد لا حصر له من المضاعفات.
المضاعف المشترك للأعداد الطبيعية هو العدد الذي يقبل القسمة عليها دون ترك باقي.
كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام
المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأعداد (اثنان أو ثلاثة أو أكثر) هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على جميع هذه الأرقام.
للعثور على LOC، يمكنك استخدام عدة طرق.
بالنسبة للأعداد الصغيرة، من المناسب كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام على سطر واحد حتى تجد شيئًا مشتركًا بينها. يُشار إلى المضاعفات بالحرف الكبير K.
على سبيل المثال، يمكن كتابة مضاعفات العدد 4 على النحو التالي:
ك (4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)
ك (6) = (12، 18، 24، ...)
وهكذا، يمكنك أن ترى أن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 4 و 6 هو الرقم 24. ويتم هذا الترميز على النحو التالي:
المضاعف المشترك الأصغر(4، 6) = 24
الآن اكتب العوامل المشتركة لكلا الرقمين. في نسختنا هو اثنان وخمسة. ومع ذلك، في حالات أخرى يمكن أن يكون هذا الرقم رقمًا واحدًا أو رقمين أو ثلاثة أرقام أو أكثر. بعد ذلك تحتاج إلى العمل بالدرجات. اختر أصغر قوة لكل عامل. في المثال، اثنان أس الثاني وخمسة أس الأول.
وأخيرا، تحتاج فقط إلى مضاعفة الأرقام الناتجة. في حالتنا، كل شيء بسيط للغاية: اثنان تربيع مضروبًا في خمسة يساوي 20. وبالتالي، يمكن تسمية الرقم 20 بالمقسوم المشترك الأكبر للعددين 60 و80.
فيديو حول الموضوع
ملحوظة
تذكر أن العامل الأولي هو رقم له قسمتان فقط: واحد والرقم نفسه.
نصائح مفيدة
بالإضافة إلى هذه الطريقة، يمكنك أيضًا استخدام الخوارزمية الإقليدية. يمكن العثور على وصفها الكامل، المقدم في شكل هندسي، في كتاب "العناصر" لإقليدس.
مقالات لها صلة
لا يمكن جمع وطرح الكسور الطبيعية إلا إذا كان لها نفس المقام. من أجل عدم تعقيد الحسابات عند إحضارها إلى قاسم واحد، ابحث عن القاسم المشترك الأصغر للمقامات وقم بإجراء الحساب.
سوف تحتاج
- - القدرة على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية؛
- - القدرة على إجراء العمليات مع الكسور.
تعليمات
اكتب إضافة الكسور. ثم أوجد المضاعف المشترك الأصغر بينهما. للقيام بذلك، قم بتنفيذ التسلسل التالي من الإجراءات: 1. تخيل كل من المقامات في الأعداد الأولية (رقم أولي، وهو رقم يقبل القسمة على 1 فقط وعلى نفسه بدون باقي، على سبيل المثال 2، 3، 5، 7، الخ).2. قم بتجميع كل الأشياء البسيطة المكتوبة مع الإشارة إلى درجاتها. 3. اختر القوى الأكبر لكل من هذه العوامل الأولية التي تظهر في هذه الأعداد. 4. مضاعفة الصلاحيات المكتوبة.
على سبيل المثال، القاسم المشترك للكسور ذات المقامات 15 و24 و36 سيكون رقمًا يمكن حسابه على النحو التالي: 15 = 3 5؛ 24=2^3 3;36=2^3 3^2 اكتب القوى العظمى لجميع المقسومات الأولية لهذه الأعداد: 2^3 3^2 5=360.
اقسم القاسم المشترك على كل منهما ومقامات الكسور المضافة. اضرب بسطيها بالرقم الناتج. تحت الخط المشترك للكسر، اكتب المقسوم المشترك الأصغر، وهو أيضًا المقام المشترك الأصغر. في البسط، أضف الأرقام الناتجة عن ضرب كل بسط في حاصل العامل المشترك الأصغر مقسومًا على مقام الكسر. مجموع كل البسطين وقسمته على القاسم المشترك الأصغر سيكون الرقم المطلوب.
على سبيل المثال، بالنسبة للأيام 15/4 و24/7 و36/11، قم بذلك. أوجد المقام المشترك الأصغر وهو 360. ثم اقسم 360/15=24، 360/24=15، 360/36=10. اضرب الرقم 4، وهو بسط الكسر الأول، في 24 (4 24 = 96)، والرقم 7 في 15 (7 15 = 105)، والرقم 11 في 10 (11 10 = 110). ثم أضف هذه الأرقام (96+105+110=301). نحصل على النتيجة 4/15+7/24+11/36=301/360.
مصادر:
- كيفية العثور على أصغر رقم
الأعداد الصحيحة هي مجموعة متنوعة من الأرقام الرياضية التي لها العديد من التطبيقات في الحياة اليومية. يتم استخدام الأعداد الصحيحة غير السالبة عند الإشارة إلى عدد أي كائنات، والأرقام السالبة - في الرسائل المتعلقة بالتنبؤات الجوية، وما إلى ذلك. تعد GCD وLCM من الخصائص الطبيعية للأعداد الصحيحة المرتبطة بعمليات القسمة.
تعليمات
من السهل حساب GCD باستخدام الخوارزمية الإقليدية أو الطريقة الثنائية. وفقًا لخوارزمية إقليدس لتحديد gcd للأرقام a و b، أحدهما ليس صفرًا، هناك تسلسل من الأرقام r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n، حيث r_1 يساوي باقي القسمة الرقم الأول بالثاني. وباقي أعضاء المتوالية تساوي الباقي من قسمة العنصر السابق على العنصر السابق له، ويقسم العنصر قبل الأخير على العنصر الأخير بدون باقي.
رياضياً، يمكن تمثيل التسلسل على النحو التالي:
أ = ب*ك_0 + ص_1
ب = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
ص_(ن - 1) = ص_ن*ك_ن,
حيث k_i هو عامل عدد صحيح.
GCD (أ، ب) = r_n.
مثال.
ابحث عن GCD (36، 120). وفقًا للخوارزمية الإقليدية، اطرح من 120 رقمًا من مضاعفات 36، وهو في هذه الحالة 120 – 36*3 = 12. الآن اطرح رقمًا من مضاعفات 12 من 120، تحصل على 120 – 12* 10 = 0. وبالتالي، GCD (36، 120) = 12.
تعتمد الخوارزمية الثنائية لإيجاد GCD على نظرية التحول. وفقًا لهذه الطريقة، فإن gcd لعددين له الخصائص التالية:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) للزوجي a وb
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) لـ a الزوجية والفردية b (العكس صحيح لـ GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) للفرد a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) للفرد b > a
وبالتالي، gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين صحيحين هو أصغر عدد صحيح يقبل القسمة على كلا الرقمين الأصليين دون ترك باقي.
يمكن حساب LCM باستخدام GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
الطريقة الثانية لحساب LCM هي التحليل القانوني للأرقام إلى عوامل أولية:
أ = r_1^k_1*…*r_n^k_n
ب = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
حيث r_i أعداد أولية، وk_i وm_i أعداد صحيحة ≥ 0.
يتم تمثيل LCM في شكل نفس العوامل الأولية، حيث يتم أخذ الحد الأقصى لعددين كقوى.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر (16، 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
م م م (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
المادة المقدمة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة التي تحمل عنوان LCM - المضاعف الأقل شيوعًا، التعريف، الأمثلة، العلاقة بين LCM وGCD. هنا سوف نتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وسنولي اهتمامًا خاصًا لحل الأمثلة. أولاً، سنوضح كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين باستخدام GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك، سنبحث في كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك، سوف نركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة.
التنقل في الصفحة.
حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD
إحدى الطرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على العلاقة بين LCM وGCD. يتيح لنا الاتصال الحالي بين LCM وGCD حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة هي LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب) . دعونا نلقي نظرة على أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة المعطاة.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين 126 و70.
حل.
في هذا المثال أ=126 , ب=70 . دعونا نستخدم العلاقة بين LCM وGCD، المعبر عنها بالصيغة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). أي أنه علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 70 و126، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام باستخدام الصيغة المكتوبة.
دعونا نوجد GCD(126, 70) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 126=70·1+56، 70=56·1+14، 56=14·4، وبالتالي GCD(126, 70)=14.
الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: جي سي دي(126, 70)=126·70:جي سي دي(126, 70)= 126·70:14=630.
إجابة:
م م(126, 70)=630 .
مثال.
ما هو LCM (68، 34) يساوي؟
حل.
لأن 68 يقبل القسمة على 34، ثم GCD(68, 34)=34. الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: جي سي دي(68, 34)=68·34:جي سي دي(68, 34)= 68·34:34=68.
إجابة:
م م(68, 34)=68 .
لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم a يقبل القسمة على b، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
هناك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وهي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا قمت بتكوين منتج من جميع العوامل الأولية لأرقام معينة، ثم استبعدت من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في تحليلات الأرقام المحددة، فسيكون المنتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة .
القاعدة المعلنة لإيجاد LCM تنبع من المساواة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). في الواقع، فإن حاصل ضرب العددين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوك العددين a وb. بدوره، GCD(a, b) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في توسعات الأعداد a وb (كما هو موضح في القسم الخاص بإيجاد GCD باستخدام توسيع الأرقام إلى عوامل أولية).
دعونا نعطي مثالا. دعنا نعرف أن 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. لنؤلف الناتج من جميع عوامل هذه التوسعات: 2·3·3·5·5·5·7 . الآن نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في كل من مفكوك العدد 75 ومفكوك العدد 210 (هذه العوامل هي 3 و 5)، فيأخذ الناتج الشكل 2·3·5·5·7 . قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للعددين 75 و210، أي NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
مثال.
قم بتحليل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية وأوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.
حل.
دعونا نحلل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية:
نحصل على 441=3·3·7·7 و700=2·2·5·5·7.
لنقم الآن بإنشاء منتج من جميع العوامل المشاركة في توسيع هذه الأرقام: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. دعونا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في نفس الوقت في كلا التوسعتين (يوجد عامل واحد فقط - وهذا هو الرقم 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. هكذا، م م(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
إجابة:
NOC(441, 700)= 44100 .
يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا تمت إضافة العوامل المفقودة من مفك الرقم ب إلى العوامل من مفك الرقم أ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للرقمين أ و ب.
على سبيل المثال، لنأخذ نفس الرقمين 75 و210، وتحللهما إلى عوامل أولية كما يلي: 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من مفكوك الرقم 75 نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من مفكوك الرقم 210، نحصل على المنتج 2·3·5·5·7، وقيمته هي يساوي LCM(75، 210).
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.
حل.
نحصل أولاً على تحليل الأرقام 84 و648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84=2·2·3·7 و648=2·2·2·3·3·3·3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من مفكوك الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من مفكوك الرقم 648، نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7، وهو ما يساوي 4536 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعددين 84 و648 هو 4536.
إجابة:
LCM(84, 648)=4,536 .
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر
يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. دعونا نتذكر النظرية المقابلة، والتي توفر طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.
نظرية.
دع الأعداد الصحيحة الموجبة a 1 , a 2 , …, a k يتم العثور على المضاعف المشترك الأصغر m k لهذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , م ك = LCM(م ك−1 , أ ك) .
لنفكر في تطبيق هذه النظرية باستخدام مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54، 250.
حل.
في هذا المثال، 1 = 140، 2 = 9، 3 = 54، 4 = 250.
أولا نجد م 2 = LOC(أ 1، أ 2) = LOC(140، 9). للقيام بذلك، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد GCD(140, 9)، لدينا 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، وبالتالي، GCD(140, 9)=1 ، من أين جي سي دي(140, 9)=140 9:جي سي دي(140, 9)= 140·9:1=1,260. أي أن م2=1260.
الآن نجد م 3 = LOC (م 2 , أ 3) = LOC (1 260, 54). لنحسبها من خلال GCD(1 260, 54)، والتي نحددها أيضًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 1 260=54·23+18, 54=18·3. ثم gcd(1,260, 54)=18، ومنها gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. أي أن م 3 = 3 780.
كل ما تبقى هو العثور عليه م 4 = LOC(م 3، أ 4) = LOC(3780، 250). للقيام بذلك، نجد GCD(3,780, 250) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 3,780=250·15+30، 250=30·8+10، 30=10·3. ولذلك، GCM(3,780, 250)=10، حيث GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. أي أن م 4 = 94,500.
إذن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.
إجابة:
م م(140، 9، 54، 250)=94,500.
في كثير من الحالات، يكون من المناسب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليلات الأولية للأرقام المعطاة. وفي هذه الحالة عليك الالتزام بالقاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي المنتج الذي يتكون على النحو التالي: العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني تضاف إلى جميع العوامل من مفكوك الرقم الأول، العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول ويضاف الرقم الثالث إلى العوامل الناتجة، وهكذا.
دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الخمسة 84، 6، 48، 7، 143.
حل.
أولاً، نحصل على تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية: 84=2·2·3·7، 6=2·3، 48=2·2·2·2·3، 7 (7 هو عدد أولي، وهو يتطابق مع تحللها إلى عوامل أولية) و143=11·13.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام، إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و2 و3 و7)، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني 6. لا يحتوي تحليل الرقم 6 على عوامل مفقودة، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في تحليل الرقم الأول 84. بعد ذلك، إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من مفكوك الرقم الثالث 48، نحصل على مجموعة العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. لن تكون هناك حاجة لإضافة مضاعفات إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية، نظرًا لأن الرقم 7 موجود فيها بالفعل. أخيرًا، إلى العوامل 2 و2 و2 و2 و3 و7 نضيف العوامل المفقودة 11 و13 من مفكوك العدد 143. نحصل على المنتج 2·2·2·2·3·7·11·13، وهو ما يساوي 48,048.