Metode određivanja zakona raspodjele dsv. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Primjeri rješavanja zadataka: Srednje kvadratno odstupanje i varijanca slučajne varijable


Definicija 4.1.Nasumična varijabla je veličina koja kao rezultat pokusa poprima jednu od svojih mogućih vrijednosti, a nije unaprijed poznato koju.

Slučajne varijable označavat ćemo velikim slovima latinične abecede ( X, Y, Z,…), a njihova moguća značenja navedena su odgovarajućim malim slovima ( x i, y i,…).

Definicija 4.2. diskretna, ako poprima zasebne, izolirane moguće vrijednosti s određenim vjerojatnostima.

Definicija 4.3. Slučajna varijabla se zove stalan, ako skup njegovih mogućih vrijednosti u potpunosti ispunjava neki konačni ili beskonačni interval.

Definicija i svojstva funkcije distribucije sačuvani su za kontinuirani slučajni odabir veličina za koju se funkcija raspodjele može smatrati jednom od vrsta specificiranja zakona raspodjele. Ali za kontinuiranu slučajnu varijablu, vjerojatnost svake pojedinačne vrijednosti je 0. Ovo je slijedi iz svojstva 4 funkcije distribucije: R(x = A) = F(a) – F(a) = 0. Stoga za takvu slučajnu varijablu ima smisla govoriti samo o vjerojatnosti njenog pada u određeni interval.

Drugi način za određivanje zakona distribucije kontinuirane slučajne varijable je takozvana gustoća distribucije (gustoća vjerojatnosti, diferencijalna funkcija).

Definicija 5.1. Funkcija f(x), zove se gustoća distribucije kontinuirana slučajna varijabla određena je formulom:

f (x) = F′(x), (5.1)

odnosno ona je derivacija funkcije raspodjele.

Svojstva gustoće distribucije.

1) f(x) ≥ 0, budući da je funkcija distribucije neopadajuća.

2), što proizlazi iz definicije gustoće distribucije.

3) Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval ( a, b) određuje se formulom Doista,

4) (uvjet normalizacije). Njegova valjanost proizlazi iz činjenice da a

5) od kada

Dakle, graf gustoće distribucije je krivulja koja se nalazi iznad O osi x, a ova os je njegova horizontalna asimptota na (potonje vrijedi samo za slučajne varijable, čiji skup mogućih vrijednosti je cijeli skup realnih brojeva). Površina krivocrtnog trapeza omeđenog grafom ove funkcije jednaka je jedinici.

Komentar. Ako su sve moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable koncentrirane na interval [ a, b], tada se svi integrali računaju unutar ovih granica, a izvan intervala [ a, b] f(x) ≡ 0.

10.Numeričke karakteristike diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli. Matematičko očekivanje slučajne varijable i njezina svojstva. Disperzija slučajne varijable i njezina svojstva.

Zakon distribucije (funkcija distribucije i serija distribucije ili gustoća vjerojatnosti) u potpunosti opisuje ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je znati neke numeričke karakteristike proučavane vrijednosti (na primjer, njezinu prosječnu vrijednost i moguće odstupanje od nje) kako bi se odgovorilo na postavljeno pitanje.

Metode za određivanje diskretne slučajne varijable nisu općenite - nisu primjenjive, na primjer, za kontinuirane slučajne varijable. Doista, neka moguće vrijednosti slučajne varijable X potpuno popune interval (a;b). Je li moguće navesti sve moguće vrijednosti X? Ne. Trebamo opći način za specificiranje bilo koje vrste slučajnih varijabli. U tu svrhu uvode se funkcije distribucije vjerojatnosti slučajne varijable.


Funkcija distribucije Funkcija distribucije je funkcija F(x), koja određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X kao rezultat testa poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X


X 1. 3. 3. Vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost zaključena" title="Svojstva funkcije distribucije 1. 1. Vrijednosti funkcije distribucije pripadaju segmentu: 0 F (x) 1. 2. 2. F (x) je neopadajuća funkcija, tj. F(x 2) F(x 1), ako je x 2 > x 1. 3. 3. Vjerojatnost da će slučajna varijabla take a value je zaključeno" class="link_thumb"> 4 !} Svojstva funkcije raspodjele Vrijednosti funkcije raspodjele pripadaju segmentu: 0 F(x) F(x) je neopadajuća funkcija, tj. F(x 2) F(x 1), ako je x 2 > x Vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (a;b), jednaka prirastu funkcije distribucije na ovom intervalu: P (a x 1. 3. 3. Vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost sadržanu u "> x 1. 3. 3. Vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (a; b) jednaka je prirast funkcije distribucije na ovom intervalu: P (a"> x 1. 3. 3. Vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost zaključena" title="Svojstva funkcije distribucije 1. 1. Vrijednosti funkcije raspodjele pripadaju intervalu: 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) – neopadajuća funkcija, tj. F(x 2) F(x 1), ako je x 2 > x 1. 3. 3. Vjerojatnost da će slučajna varijabla stupiti na snagu, zaključeno"> title="Svojstva funkcije razdiobe 1. 1. Vrijednosti funkcije razdiobe pripadaju segmentu: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) je neopadajuća funkcija, tj. F(x 2) F(x 1), ako je x 2 > x 1. 3. 3. Zaključena je vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost"> !}


Primjer 1. Slučajna varijabla X dana je funkcijom distribucije 0 pri x -1 F(x) = x/4+1/4 pri Odredite vjerojatnost da će X kao rezultat testa poprimiti vrijednost koja pripada intervalu (0;2): P(0







4. 4. Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X poprimiti jednu određenu vrijednost je 0. Stoga ima smisla razmotriti vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval, čak i koliko god mali. Na primjer, zanima ih vjerojatnost da dimenzije dijelova ne prelaze dopuštene granice, ali ne postavljaju pitanje vjerojatnosti njihove podudarnosti s projektiranom veličinom.


Ali pogrešno je misliti da jednakost vjerojatnosti P(X=x 1) na 0 znači da je događaj X=x 1 nemoguć (ako se ne ograničimo na klasičnu definiciju vjerojatnosti). Kao rezultat testa, slučajna varijabla će nužno poprimiti jednu od mogućih vrijednosti; konkretno, ova vrijednost može biti jednaka x 1.


5. 5. Ako moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu (a;b), tada je 1) F(x) = 0 za x a; 2) F(x) = 1 na x b. ] Ako se moguće vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nalaze na cijeloj x-osi, tada vrijede sljedeće granične relacije: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+






Distribucija gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable Metoda određivanja kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcije distribucije nije jedina. Kontinuirana slučajna varijabla također se može odrediti pomoću druge funkcije, koja se naziva gustoća distribucije ili gustoća vjerojatnosti (ponekad se naziva diferencijalna funkcija).


Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X naziva se funkcija f(x) - prva derivacija funkcije distribucije F(x): f(x) = F"(x). Dakle, funkcija distribucije je antiderivacija gustoće distribucije.


π/2. Nađite gustoću distribucije f(x). 0 pri x π/2." title="Primjer. Dana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X 0 pri x 0 F(x) = sinx pri 0 π/2. Pronađite gustoću distribucije f(x ).0 na x π/2." class="link_thumb"> 18 !} Primjer. Dana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X 0 pri x 0 F(x) = sinx pri 0 π/2. Nađite gustoću distribucije f(x). 0 pri x π/2. π/2. Nađite gustoću distribucije f(x). 0 pri x π/2."> π/2. Pronađite gustoću distribucije f(x). 0 pri x π/2."> π/2. Nađite gustoću distribucije f(x). 0 pri x π/2." title="Primjer. Dana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X 0 pri x 0 F(x) = sinx pri 0 π/2. Pronađite gustoću distribucije f(x ).0 na x π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Primjer. Dana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X 0 pri x 0 F(x) = sinx pri 0 π/2. Nađite gustoću distribucije f(x). 0 pri x π/2."> !}






Svojstva gustoće distribucije Gustoća distribucije je nenegativna funkcija: f(x) 0. Grafikon gustoće distribucije naziva se krivulja distribucije Nepravi integral gustoće distribucije u rasponu od - do jednak je 1. f(x )dx = 1. -


Probabilističko značenje gustoće distribucije Funkcija f(x) određuje gustoću distribucije vjerojatnosti za svaku točku x. Za dovoljno male x. F(x + x) - F(x) f(x)x. Jer razlika F(x + x) - F(x) određuje (vidi gore) vjerojatnost da će X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x; x + x), tada je ta vjerojatnost stoga približno jednaka umnošku gustoća vjerojatnosti u t. x duljinom intervala x.

Kao što je poznato, nasumična varijabla naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti označene su odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinuirane (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti s određenim vjerojatnostima različitim od nule.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s njihovim odgovarajućim vjerojatnostima. Zakon raspodjele može se odrediti na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon raspodjele može se dati tablicom:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) pomoću funkcije distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon raspodjele može se prikazati grafički – poligon distribucije (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona raspodjele. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

  • Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
    Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
  • Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
    Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
  • Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja problema na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

Izdano je 1000 srećki: njih 5 osvojit će 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odredite zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Riješenje. Prema uvjetima zadatka moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj listića bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada je P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve druge vjerojatnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Prikazimo dobiveni zakon u obliku tablice:

Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri međusobno neovisna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napravite zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirajte poligon raspodjele. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu ​​devijaciju diskretne slučajne varijable.

Riješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspješnih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije pokvaren), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela).

Otkazi elemenata su neovisni jedni o drugima, vjerojatnosti kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernoullijeva formula . S obzirom da je prema uvjetu n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerojatnosti vrijednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni binomni zakon distribucije X ima oblik:

Nacrtamo moguće vrijednosti x i duž apscisne osi, a odgovarajuće vjerojatnosti p i duž ordinatne osi. Konstruirajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spajanjem ovih točaka ravnim segmentima dobivamo željeni razdiobeni poligon.

3. Nađimo funkciju distribucije F(x) = R(H

Za x ≤ 0 imamo F(x) = R(H<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bit će F(x) = 1, jer događaj je pouzdan.

Graf funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijanca D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Bernoullijeva formula (poseban teorem o ponavljanju pokusa)

Primjer 23

Tri su srećke. Vjerojatnost dobitka za bilo koji listić je ista i jednaka je R. Vjerojatnost da listić neće dobiti q = 1 – str– kao vjerojatnost suprotnog događaja. Odredite vjerojatnost da će od tri listića točno dva dobiti.

Željenu vjerojatnost označavamo s .

Događaj koji nas zanima dogodit će se ako prvi I drugi listić dobije A treći ne dobije ILI prvi listić ne dobije A drugi I treći dobije ILI drugi listić ne dobije A prvi I treći dobije . Vjerojatnost svake od ovih opcija može se pronaći pomoću formule množenja, a odgovor se izračunava pomoću formule zbrajanja za nekompatibilne događaje:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

Analizirajući rješenje zadatka, saznajemo da je riješen sljedećim redoslijedom:

Sastavljene su različite opcije za provedbu događaja od interesa;

Broj ovih opcija se broji;

Određuje se vjerojatnost događanja događaja implementacijom bilo koje opcije;

Tražena vjerojatnost dobiva se množenjem vjerojatnosti događanja događaja prema jednoj od opcija s ukupnim brojem opcija.

Zapravo, problem je riješen korištenjem tzv Bernoullijeva formula. Zapišimo to u općenitom obliku.

Neka niz n pokusi (ispitivanja). Eksperimenti se provode opetovano, neovisno jedan o drugom i pod istim uvjetima, tako da je vjerojatnost da se događaj dogodi A ne mijenja se od iskustva do iskustva i jednako je R. Označimo vjerojatnost da se događaj neće dogoditi A u jednom eksperimentu - q = 1-p. Potrebno je odrediti vjerojatnost da u nizu n doživljaji događaj A ponovit će se k puta – označimo ovaj događaj kao U.

Događaj U može se ostvariti na razne načine (opcije). Na primjer, ovako:

ili ovako:

Važno je da u bilo kojoj varijanti broj pojavljivanja događaja A jednaki n, i broj pojavljivanja događaja jednaki n–k, iako će se pojaviti i neće pojaviti u različitim verzijama u različitim sekvencama.

Da biste odredili broj takvih opcija, možete koristiti formulu kombinatorika- broj kombinacija od n elementi po k.

Kombinacije - ovo su kombinacije k objekti (elementi) odabrani iz određenog skupa n objekti koji sadrže isti broj objekata, ali se međusobno razlikuju barem u jednom od njih.

Broj kombinacija od n elementi po k označen kao što se može pronaći formulom: = . (15)

Važno svojstvo određivanja broja kombinacija je sljedeće:

U razmatranom problemu elementi koji se međusobno razlikuju su brojevi pokusa. Ukupan broj opcija je .

Vjerojatnost nastanka događaja A n vremena za svaku opciju je isto i može se pronaći pomoću formule za množenje vjerojatnosti na temelju izraza "Događaj A se dogodio k nikada se nije dogodilo n–k jednom": p k q n - k


Zbrajanjem ovih identičnih puta vjerojatnosti dobivamo formulu tzv Bernoullijeva formula:

= p k q n - k . (16)

Mora se zapamtiti da p je vjerojatnost pojave događaj koji nas zanima u iskustvu, i q – vjerojatnost nepojavljivanja ovaj događaj u iskustvu.

Bernoullijeva formula (Jacob Bernoulli ju je istražio u svojoj knjizi The Art of Conjecture) također se naziva privatna teorem o ponavljanju pokusa. To znači da se svaki sljedeći eksperiment provodi pod istim uvjetima kao i svi prethodni, tj. vjerojatnost događanja događaja ne mijenja se od eksperimenta do eksperimenta i ostaje jednaka R.

Uz privatno postoji opći teorem o ponavljanju eksperimenata (vjerojatnosti da se događaj mijenja od eksperimenta do eksperimenta), čije razmatranje je izvan okvira ovog kolegija.

Primjer 24

U radionici se nalazi 10 elektromotora, vjerojatnost da će svaki od njih biti isključen je 0,1 Motori su spojeni na mrežu neovisno jedan o drugom. Odredite vjerojatnost da se tri elektromotora ugase odjednom.

Riješenje. Uvjet zadatka odgovara shemi ponovljenih testova J. Bernoullija. Zadatak rješavamo pomoću posebnog teorema o ponavljanju pokusa, uzimajući u obzir da postoje tri ugašena motora (vjerojatnost ugašenog stanja je 0,1), a 7 uključenih (vjerojatnost upaljenog stanja je 0,9):

=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.

Slučajne varijable i njihovi zakoni raspodjele

Uz slučajne događaje, još jedan važan koncept u teoriji vjerojatnosti je koncept "slučajne varijable" (RV).

Veličina je kvantitativna karakteristika rezultata pokusa.

Sve veličine su podijeljene u dvije velike skupine: neslučajne i slučajne.

Neslučajno (determinističko) - to su veličine koje kao rezultat iskustva poprimaju unaprijed određenu, poznatu vrijednost. Na primjer, vrijeme izlaska i zalaska sunca, datum nove godine, broj prstiju na rukama novorođenčeta, broj ispita i kolokvija u semestru.

Slučajno (stohastički)- to su veličine za koje se unaprijed ne zna koju će vrijednost poprimiti kao rezultat pokusa.

Slučajne varijable pak mogu biti diskretne ili kontinuirane.

Diskretna su one SV koje u iskustvu poprimaju jednu od mnogih mogućih vrijednosti, a te se vrijednosti po želji mogu navesti ili numerirati, tj. ovaj skup je konačan. Najčešće (iako ne nužno) to su cjelobrojne, nenegativne vrijednosti. Na primjer, O ocjena studenta na ispitu; broj vlasi na glavi, broj radnika u ED radionici.

Stalan nazivaju takve SV koje u iskustvu poprimaju jednu od mogućih vrijednosti, a broj tih vrijednosti, čak i u vrlo malom intervalu, beskonačno je velik. Drugim riječima, skup mogućih vrijednosti kontinuiranog SV je neprebrojiv. Na primjer, razina napona u mreži, trajanje rada dalekovoda prije kvara, visina i težina osobe, težina nalivpera.

Imena slučajnih varijabli obično označeno velikim slovima latinica - X, Y; A vrijednosti , koje slučajne varijable uzimaju u eksperimentu, – mala slova - x, y.

Različite vrijednosti iste slučajne varijable ne promatraju se jednako često. Na primjer, muškarci mnogo češće nose broj 42 nego broj 46; Mrežni napon je mnogo češće u rasponu od 215-225 V nego u rasponu od 225-235 V.

Odnos između vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti njihovog pojavljivanja utvrđuje se pomoću zakon distribucije slučajne varijable. Kažu da se SV distribuira (podliježe) prema jednom ili drugom zakonu raspodjele. Postoji nekoliko oblika određivanja zakona raspodjele:

· u obliku tablice (tabularno);

· u obliku crteža (grafički);

formula (analitički).

Metode za određivanje zakona raspodjele slučajnih varijabli

Sve metode za određivanje zakona distribucije SW mogu se uvjetno podijeliti na teorijske i statističke. Teorijski zakoni distribucije odražavaju prave zakone koji postoje u prirodi. Za njihovo uspostavljanje, prema zakonu velikih brojeva, potrebno je obraditi gotovo beskonačnu količinu informacija. U praksi se takvi zakoni uspostavljaju na temelju ograničene količine statističkih podataka i formalizira ih jedan ili drugi statistički načine. Statistika se često naziva eksperimentalni (empirijski)). Svaka teorijska metoda određivanja zakona distribucije (DLR) ima statističke analogije (STL). Razmotrimo ove metode.

TZR-1. SV serija distribucije

Serija distribucije je tablica u kojoj su s jedne strane naznačene vrijednosti slučajne varijable, a s druge strane njihove vjerojatnosti (tablica 2). U nizu distribucije, vrijednosti SV raspoređene su na uredan način - kako rastu.

Ukupna vjerojatnost ovih vrijednosti, jednaka jedan, podijeljena je između svih mogućih vrijednosti SV. Stoga je zbroj svih vjerojatnosti niza distribucije jednak jedan: = 1

Tablica 2. Serije raspodjele SV

II. SLUČAJNA VARIJABLA, FUNKCIJA DISTRIBUCIJE

2.1. Slučajna varijabla, metode njezina određivanja

Slučajno je veličina koja kao rezultat ispitivanja može poprimiti jednu ili drugu brojčanu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju.

Ako se za bilo koju količinu njezino mjerenje ponavlja mnogo puta pod gotovo identičnim uvjetima, vidjet ćete da svaki put dobivate malo drugačije rezultate. To je utjecaj dviju vrsta uzroka: 1) osnovnih, koji određuju glavno značenje rezultata; 2) sekundarni, uzrokujući njihovu divergenciju.

Zajedničkim djelovanjem ovih uzroka pojmovi nužnosti i slučajnosti međusobno su usko povezani, ali nužnost prevladava nad slučajnošću.

Dakle, moguće vrijednosti slučajnih varijabli pripadaju nekim numeričkim skupovima.

Ono što je slučajno je da na tim skupovima količine mogu poprimiti bilo koju vrijednost, ali koja se ne može unaprijed reći.

Slučajna varijabla povezana je sa slučajnim događajem.

Ako je slučajni događaj - karakteristika kvalitete testova, tada je slučajna varijabla njegova kvantitativna karakteristika .

Slučajne varijable su označene velikim latiničnim slovima, a njihovo značenje - velikim slovima -
.

Vjerojatnost da slučajna varijabla
će uzeti vrijednost predstavlja:

itd.

Slučajne varijable određene su zakonima distribucije.

Zakon raspodjele slučajne varijable je korespondencija uspostavljena između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerojatnosti.

Zakoni raspodjele mogu se odrediti na tri načina: tablično, grafički, analitički. Način postavljanja ovisi o vrsti slučajne varijable.

Postoje dvije glavne vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirano distribuirane slučajne varijable.

2.2. Diskretne i kontinuirane slučajne varijable

Ako vrijednosti koje data slučajna varijabla može poprimiti čine diskretan (konačan ili beskonačan) niz brojeva
tada se poziva sama slučajna varijabla diskretna.

Ako vrijednosti koje određena slučajna varijabla može poprimiti ispunjavaju konačni ili beskonačni interval (a, b) numeričke osi Oh, tada se poziva slučajna varijabla stalan.

Svaka vrijednost slučajne varijable diskretnog tipa odgovara određenoj vjerojatnosti ; svaki interval (a, b) iz raspona vrijednosti slučajne varijable kontinuiranog tipa također odgovara određenoj vjerojatnosti
da vrijednost koju uzima slučajna varijabla spada unutar ovog intervala.

2.3. Zakon raspodjele slučajne varijable

Odnos koji na ovaj ili onaj način uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerojatnosti naziva se zakon raspodjele nasumična varijabla.

Obično se daje zakon distribucije diskretne slučajne varijable sljedeća distribucija:

pri čemu
, gdje se zbrajanje proteže na cijeli (konačan ili beskonačan) skup mogućih vrijednosti dane slučajne varijable.

Prikladno je specificirati zakon raspodjele kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcija gustoće vjerojatnosti
.

Vjerojatnost da će vrijednost koju uzima slučajna varijabla pasti u interval (a, b) određena je jednakošću

Graf funkcije naziva se distribucijska krivulja . Geometrijski, vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval (a, b) jednaka je površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza omeđenog distribucijskom krivuljom, osi Oh i ravno x=a, x=b.

Zadatak 1. Dane su vjerojatnosti vrijednosti slučajne varijable: vrijednost 10 ima vjerojatnost 0,3; vrijednost 2 – vjerojatnost 0,4; vrijednost 8 – vjerojatnost 0,1; vrijednost 4 – vjerojatnost 0,2. Konstruirajte niz distribucije slučajne varijable.

Riješenje. Raspoređivanjem vrijednosti slučajne varijable u rastućem redoslijedu dobivamo niz distribucije:

Uzmimo to u avion refren točke (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) i (10; 0,3). Spajanjem uzastopnih točaka ravnim segmentima dobivamo poligon (ili poligon ) distribucija slučajne varijable

Zadatak 2. Dva predmeta u vrijednosti od 5.000 rubalja svaki i jedan predmet u vrijednosti od 30.000 rubalja mogu se osvojiti. Napravite zakon raspodjele dobitaka za osobu koja je kupila jedan listić od 50.

Riješenje. Željena slučajna varijabla je dobitak i može imati tri vrijednosti: 0, 5000 i 30000 rubalja. Prvom rezultatu ide u prilog 47 slučajeva, drugom rezultatu dva slučaja, a trećem jedan slučaj. Nađimo njihove vjerojatnosti:

; ; .

Zakon distribucije slučajne varijable ima oblik:

Kao provjeru ćemo naći

Zadatak 3. Slučajna varijabla podliježe zakonu distribucije s gustoćom , i

Potrebno je: 1) Naći koeficijent a; 2) nacrtajte distribuciju gustoće
; 3) pronaći vjerojatnost pada u interval (1; 2).

Riješenje. 1) Budući da su sve vrijednosti zadane slučajne varijable sadržane na segmentu, tada

, gdje

, ili

, tj.
.

2) Graf funkcije u intervalu je parabola, a izvan tog intervala sama x-os služi kao graf.

3) Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval (1; 2) može se pronaći iz jednakosti

2.4. Binomna distribucija

Neka se proizvede određeni broj n neovisni eksperimenti, a u svakom od njih se neki događaj može dogoditi s istom vjerojatnošću R. Razmotrite slučajnu varijablu koja predstavlja broj pojavljivanja događaja A V n eksperimenti. Zakon njegove raspodjele ima oblik

Vrijednosti

Vjerojatnosti

Gdje
, izračunava se pomoću Bernoullijeve formule.

Zakon raspodjele, koji je karakteriziran takvom tablicom, naziva se binomni .

Zadatak. Novčić se baca 5 puta. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable - broja grba.

Riješenje. Moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Znajući da je vjerojatnost ispadanja grba u jednom pokušaju jednaka , pronaći ćemo vjerojatnosti vrijednosti ​​slučajne varijable pomoću Bernoullijeve formule:

Zakon raspodjele ima oblik

Vrijednosti

Vjerojatnosti

Provjerimo:

III. MATEMATIČKO OČEKIVANJE I VARIJANCA SLUČAJNE VARIJABLE

3.1. Očekivanje diskretne slučajne varijable

      Najopsežnija karakteristika slučajne varijable je njezin zakon distribucije vjerojatnosti. Međutim, nije uvijek potrebno poznavati cijeli zakon distribucije. Ponekad se možete snaći s jednim ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona distribucije, na primjer, broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanje slučajne varijable od njene srednje vrijednosti. Ovakvi se brojevi nazivaju numeričke karakteristike nasumična varijabla. Radeći s numeričkim karakteristikama, moguće je riješiti mnoge probleme bez korištenja zakona distribucije.

Jedna od najvažnijih numeričkih karakteristika slučajne varijable je njezino matematičko očekivanje.

Ako je poznata diskretna slučajna varijabla čiji zakon raspodjele ima oblik

Vrijednosti

Vjerojatnosti

Da matematičko očekivanje (ili prosječna vrijednost) diskretne količine je broj

Dakle, matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable jednako je zbroju proizvoda mogućih vrijednosti ove varijable i njihovih vjerojatnosti.

Primjer 1. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable, poznavajući zakon njezine distribucije

Riješenje.

Svojstva matematičkog očekivanja.

    Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka matematičkog očekivanja:

    Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti S jednaka samoj ovoj vrijednosti:

    Matematičko očekivanje zbroja dviju slučajnih varijabli jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja:

    Matematičko očekivanje umnoška nezavisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku matematičkih očekivanja ovih varijabli:

3.2. Standardna devijacija i varijanca slučajne varijable.

Primjer 2. Nađimo matematičko očekivanje slučajnih varijabli i , poznavajući zakone njihove distribucije

P

Dobili smo zanimljiv rezultat: zakoni raspodjele količina i su različiti, ali su im matematička očekivanja ista.

Iz crteža b jasno je da je vrijednost količine više koncentrirana oko matematičkog očekivanja
, nego vrijednosti veličine koje su raspršene (raspršene) u odnosu na njezino matematičko očekivanje
(crtanje A).

Glavna numerička karakteristika stupnja disperzije vrijednosti slučajne varijable u odnosu na njezino matematičko očekivanje
je disperzija, koja je označena sa
.

Definicija. Odstupanje je razlika između slučajne varijable i njenog matematičkog očekivanja, tj.
.

Devijacija i njezin kvadrat
također su slučajne varijable.

Definicija. Disperzija diskretna slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata njezinog odstupanja:

Svojstva disperzije.

    Varijanca konstantne vrijednosti S jednako 0:

.

.

Za izračun varijanci prikladnija je formula

Primjer 3. Diskretna slučajna varijabla raspoređena je prema zakonu:

Riješenje. Prvo nalazimo.

i onda
.

Prema formuli koju imamo

Standardna devijacija slučajne varijable naziva se kvadratni korijen njegove varijance:

.

IV. PRAKTIČNI ZADACI ZA SAMOKONTROLU

Kombinatorika

    Koliko se različitih peteroznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 3, 5, 7, 9 s tim da se u broju ne ponavlja niti jedna znamenka?

    Koliko ima opcija za raspodjelu triju nagrada ako u izvlačenju sudjeluje 7 ekipa?

    Na koliko se načina mogu odabrati dva studenta za konferenciju ako u grupi ima 33 osobe?

    Riješite jednadžbe

A)
. b)
.

    Koliko se četveroznamenkastih brojeva djeljivih s 5 može sastaviti od znamenki 0, 1, 2, 5, 7 ako svaki broj ne smije sadržavati iste znamenke?

    Iz grupe od 15 ljudi treba izabrati predradnika i 4 člana tima. Na koliko načina se to može učiniti?

    Morseova slova sastoje se od simbola (točaka i crtica). Koliko slova možete nacrtati ako zahtijevate da svako slovo ne sadrži više od pet znakova?

    Na koliko se načina od sedam vrpci različitih boja mogu napraviti četverobojne vrpce?

    Na koliko se načina mogu izabrati četiri osobe od devet kandidata za četiri različita mjesta?

    Na koliko načina možete odabrati 3 od 6 karata?

    Prije mature grupa od 30 studenata razmijenila je fotografije. Koliko je fotokartica podijeljeno?

    Na koliko se načina za svečanim stolom može smjestiti 10 gostiju na deset mjesta?

    Koliko bi utakmica trebalo odigrati 20 nogometnih momčadi u jednokružnom prvenstvu?

    Na koliko se načina može raspodijeliti 12 ljudi u timove ako svaki tim ima 6 ljudi?

Teorija vjerojatnosti

    Urna sadrži 7 crvenih i 6 plavih kuglica. Iz urne se istovremeno izvlače dvije kuglice. Kolika je vjerojatnost da su obje kuglice crvene (događaj A)?

    Devet različitih knjiga nasumično je poredano na jednoj polici. Odredite vjerojatnost da će četiri određene knjige biti postavljene jedna do druge (događaj C).

    Od 10 listića dobitna su 2. Odredite vjerojatnost da među 5 nasumce uzetih listića jedan bude dobitni.

    Iz špila karata (52 karte) nasumično se izvlače 3 karte. Odredite vjerojatnost da je to trojka, sedmica, as.

    Dijete se igra s pet slova razdvojene abecede A, K, R, Sh, Y. Kolika je vjerojatnost da će, ako su slova nasumično poredana u nizu, dobiti riječ "Krov".

    U kutiji se nalazi 6 bijelih i 4 crvene kuglice. Nasumično se uzimaju dvije lopte. Kolika je vjerojatnost da će biti iste boje?

    Prva urna sadrži 6 crnih i 4 bijele kugle, druga urna sadrži 5 crnih i 7 bijelih kugli. Iz svake urne izvlači se jedna kuglica. Kolika je vjerojatnost da su obje kuglice bijele?

Slučajna varijabla, matematičko očekivanje i varijanca slučajne varijable

    Napravite zakon raspodjele broja pogodaka mete sa šest hitaca, ako je vjerojatnost pogotka jednim hicem 0,4.

    Vjerojatnost da će učenik pronaći knjigu koja mu treba u knjižnici je 0,3. Napravite zakon o raspodjeli broja knjižnica koje će posjetiti ako u gradu postoje četiri knjižnice.

    Lovac na divljač puca do prvog pogotka, ali ne uspije ispaliti više od četiri hica. Odredite varijancu broja promašaja ako je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem 0,7.

    Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X ako je zakon njezine raspodjele dan tablicom:

    Tvornica ima četiri automatske linije. Vjerojatnost da tijekom radne smjene prva linija neće zahtijevati prilagodbu je 0,9, druga - 0,8, treća - 0,75, četvrta - 0,7. pronaći matematičko očekivanje broja linija koje neće zahtijevati prilagodbu tijekom radne smjene.

    Pronađite varijancu slučajne varijable X, poznavajući zakon njezine distribucije:

Danko P.E. Viša matematika u vježbama i zadacima. U dva dijela. II dio / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. – M.: Viša škola, 1986. – 415 str.

Vygodsky M.Ya. Priručnik za višu matematiku. – M.: Nauka, 1975. – 872 str.

Dodatno:

    Griguletsky V.G. Matematika za studente ekonomskih specijalnosti. 2. dio / V.G. Griguletsky, I.V. Lukyanova, I.A. Petunina. – Krasnodar, 2002. – 348 str.

    Malykhin V.I. Matematika u ekonomiji. – M.: Infra-M, 1999. – 356 str.

    Gusak A.A. Viša matematika. U 2 sveska, T.2. - Udžbenik za studente sveuč. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 str.

    Griguletsky V.G. Viša matematika / V.G. Griguletsky, Z.V. Jaščenko. – Krasnodar, 1998.-186 str.

    Gmurman V.E. Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. – M.: Viša škola, 2000. – 400 str.

Udio: