Определение. Призма - это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.

Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1) .

Все остальные грани призмы называются боковыми гранями (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы .

Все боковые грани призмы являются параллелограммами.

Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , EE 1 ).

Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD 1).

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы .

Обозначение: ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 . (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке - вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом - с индексом)

Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой . Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник (2 грани - основания призмы, 5 граней - параллелограммы, - ее боковые грани)

Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.

Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.

Параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Свойства и теоремы:

,

где d - диагональ квадрата;
a - сторона квадрата.

Представление о призме дают:

• различные архитектурные сооружения;
• детские игрушки;
• упаковочные коробки;
• дизайнерские предметы и т.д.

Площадь полной и боковой поверхности призмы

S полн = S бок + 2S осн ,

где S полн - площадь полной поверхности,S бок -площадь боковой поверхности, S осн - площадь основания

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы .

S бок = P осн * h,

где S бок -площадь боковой поверхности прямой призмы,

P осн - периметр основания прямой призмы,

h - высота прямой призмы, равная боковому ребру.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

Геометрия пространств размерности, большей трех; термин применяется к тем пространствам, геометрия к рых была первоначально развита для случая трех измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, прежде всего евклидово пространство,… … Математическая энциклопедия

N мерная евклидова геометрия обобщение евклидовой геометрии на пространство большего числа измерений. Хотя физическое пространство является трёхмерным, и человеческие органы чувств рассчитаны на восприятие трёх измерений, N мерная… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Пирамидацу (значения). Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе. На странице обcуждения могут быть пояснения … Википедия

- (Constructive Solid Geometry, CSG) технология, используемая в моделировании твёрдых тел. Конструктивная блочная геометрия зачастую, но не всегда, является способом моделирования в трёхмерной графике и САПР. Она позволяет создать сложную сцену или … Википедия

Конструктивная блочная геометрия (Constructive Solid Geometry, CSG) технология, используемая в моделировании твёрдых тел. Конструктивная блочная геометрия зачастую, но не всегда, является способом моделирования в трёхмерной графике и САПР. Она… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения). Объём это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого… … Википедия

Куб Тип Правильный многогранник Грань квадрат Вершин Рёбер Граней … Википедия

Объём это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении трёхмерных тел трёхмерного евклидова пространства.… … Википедия

Часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера

Книги

• Комплект таблиц. Геометрия. 10 класс. 14 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 14 листов.…

Призма. Параллелепипед

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы :

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P

Q

S бок

S полн

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

(3)

где p – периметр основания;

H – высота;

d – диагональ;

a,b,c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где a – длина ребра;

d – диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения параллелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k , получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 3).

Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА 1 АD : так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :

Теперь вычисляем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см 3 .

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 DD 1 , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку , то

Так как то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Т.о. Необходимо найти а и h .

Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 СС 1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда

Аналогично для сечения ВВ 1 DD 1 получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Получим следующее.

Многогранники

Основным объектом изучения стереометрии являются пространственные тела. Тело представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью.

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности многогранника называется гранью . Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называется ребрами многогранника , а вершины – вершинами многогранника .

Например, куб состоит из шести квадратов, являющихся его гранями. Он содержит 12 ребер (стороны квадратов) и 8 вершин (вершины квадратов).

Простейшими многогранниками являются призмы и пирамиды, изучением которых и займемся далее.

Призма

Определение и свойства призмы

Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины многоугольников, – боковыми ребрами призмы .

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований (). Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы (). Призма называется n-угольной , если в ее основании лежит n-угольник.

Любая призма обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания призмы совмещаются параллельным переносом:

1. Основания призмы равны.

2. Боковые ребра призмы параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности . Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов (это следует из свойств призмы). Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.

Прямая призма

Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной .

Гранями прямой призмы являются прямоугольники. Высота прямой призмы равна ее боковым граням.

Полной поверхностью призмы называется сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.

Правильной призмой называется прямая призма с правильным многоугольником в основании.

Теорема 13.1 . Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра на высоту призмы (или, что то же самое, на боковое ребро).

Доказательство. Боковые грани прямой призмы есть прямоугольники, основания которых являются сторонами многоугольников в основаниях призмы, а высоты являются боковыми ребрами призмы. Тогда по определению площадь боковой поверхности:

,

где – периметр основания прямой призмы.

Параллелепипед

Если в основаниях призмы лежат параллелограммы, то она называется параллелепипедом . У параллелепипеда все грани – параллелограммы. При этом противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Теорема 13.2 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Рассмотрим две произвольные диагонали, например, и . Т.к. гранями параллелепипеда являются параллелограммы, то и , а значит по Т о двух прямых параллельных третьей . Кроме того это означает, что прямые и лежат в одной плоскости (плоскости ). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым и . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм, а по свойству параллелограмма его диагонали и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, что и требовалось доказать.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). Таких размеров три (ширина, высота, длина).

Теорема 13.3 . В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (доказывается с помощью двукратного применения Т Пифагора).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .

Задачи

13.1Сколько диагоналей имеет n -угольная призма

13.2В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37, 13 и 40. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

13.3Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми . Найти угол наклона этой плоскости к основанию призмы.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.