Средняя скорость перемещения. Средняя путевая скорость. Мгновенная скорость движения

Мы сделали попытку свести неравномерное движение к равномерному и для этого ввели среднюю скорость движения. Но это нам не помогло: зная среднюю скорость, нельзя решать самую главную задачу механики - определять положение тела в любой момент времени. Можно ли каким-нибудь другим способом свести неравномерное движение к равномерному?

Этого, оказывается, сделать нельзя, потому что механическое движение - это процесс непрерывный. Непрерывность движения состоит в том, что если, например, тело (или точка), двигаясь прямолинейно с возрастающей скоростью, перешло из точки А в точку В, то оно непременно должно побывать во всех промежуточных точках, лежащих между А и В, без всяких пропусков. Но это еще не все. Предположим, что, подходя к точке А, тело двигалось равномерно со скоростью 5 м/сек, а после прохождения точки В оно двигалось тоже равномерно, но со скоростью 30 м/сек. При этом на прохождение участка АВ тело потратило 15 сек. Следовательно, на отрезке АВ скорость тела за 15 сек изменилась на 25 м/сек. Но так же как тело при своем движении не могло миновать ни одну из точек на его пути, его скорость должна была принять все значения скорости между 5 и 30 м/сек. Тоже без всяких пропусков! В этом и состоит непрерывность механического движения: ни координаты тела, ни его скорость не могут изменяться скачками. Отсюда можно сделать очень важный вывод. Различных значений скорости в интервале от 5 до 30 м/сек имеется бесчисленное множество (в математике говорят, бесконечно много значений). Но между точками А и В имеется и бесчисленное множество (бесконечно много!) точек, а 15-секундный интервал времени, в течение которого тело переместилось из точки А в точку В, состоит из бесчисленного множества промежутков времени (время тоже течет без скачков!).

Следовательно, в каждой точке траектории движения и в каждый момент времени тело обладало определенной скоростью.

Скорость, которую имеет тело в данный момент времени и в данной точке траектории, называют мгновенной скоростью.

При равномерном прямолинейном движении скорость тела определяется отношением его перемещения к промежутку времени, за который совершено это перемещение. Что же означает скорость в данной точке или в данный момент времени?

Допустим, что некоторое тело (как всегда, мы в действительности имеем в виду какую-то определенную точку этого тела) движется прямолинейно, но не равномерно. Как вычислить его мгновенную скорость в некоторой точке А его траектории? Выделим небольшом участок на этой траектории, включающий точку А (рис. 38). Малое перемещение тела на этом участке обозначим через

а малый промежуток времени, в течение которого оно совершено, через Разделив на мы получим среднюю скорость на этом участке: ведь скорость изменяется непрерывно и в разных местах участка 1 она различна.

Уменьшим теперь длину участка 1. Выберем участок 2 (см. рис. 38), тоже включающий в себя точку А. На этом меньшем участке перемещение равно и проходит его тело за промежуток времени Ясно, что на участке 2 скорость тела успевает измениться на меньшую величину. Но отношение дает нам и для этого меньшего участка все же среднюю скорость. Еще меньше изменение скорости на протяжении участка 3 (также включающего в себя точку А), меньшего, чем участки 1 и 2, хотя, разделив перемещение на промежуток времени мы опять получим среднюю скорость на этом малом участке траектории. Будем постепенно уменьшать длину участка, а вместе с ним и промежуток времени, за который тело проходит этот участок. В конце концов мы стянем участок траектории, прилегающей к точке А, всамую точку А, а промежуток времени - в момент времени. Тогда-то средняя скорость и станет мгновенной скоростью, потому что на достаточно малом участке изменение скорости будет настолько мало, что его можно не учитывать, значит, можно считать, что скорость не изменяется.

Мгновенная скорость, или скорость в данной точке, равна отношению достаточно малого перемещения на малом участке траектории, прилегающей к этой точке, к малому промежутку времени, в течение которого совершается это перемещение.

Понятно, что скорость равномерного прямолинейного движения - это одновременно его мгновенная и средняя скорость.

Мгновенная скорость - величина векторная. Ее направленна совпадает с направлением перемещения (движения) в данной точка Прием, к которому мы прибегли, чтобы пояснить смысл

мгновенной скорости, состоит, таким образом, в следующем. Участок траектории и время, в течение которого он проходится, мы мысленно постепенно уменьшаем до тех пор, пока участок уже нельзя отличить от точки, промежуток времени - от момента времени, а неравномерное движение - от равномерного. Таким приемом всегда пользуются, когда изучают явления, в которых играют роль какие-нибудь непрерывно изменяющиеся величины.

Нам остается теперь выяснить, что необходимо знать для нахождения мгновенной скорости тела в любой точке траектории и в любой момент времени.

Мгновенная скорость движения.

Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть координата х точки в момент времени t равна x(t). Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осуществляется непрерывно и плавно. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямолинейному участку шоссе.

Поставим задачу: по известной зависимости x(t) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью ). Если зависимость х(t) линейна, ответ прост: в любой момент времени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее.

Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден Эту скорость легко найти, сделав в момент времени t 0 фотоснимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t). Чтобы найти скорость v мгн (t 0), зная х(t), на уроках физики вы поступали следующим образом

Средняя скорость за промежуток времени длительностью |Δt| от t 0 до t 0 + Δt следующая:

Как мы предположили, тело движется плавно. Поэтому естественно полагать: если?t очень мало, то за этот промежуток времени скорость практически не меняется. Но тогда средняя скорость (на этом промежутке) практически не отличается от значения v мгн (t 0), которое мы ищем. Это подсказывает следующий способ определения мгновенной скорости: найти v ср (Δt) и посмотреть, к какому значению оно близко, если считать, что Δt практически не отличается от нуля.

Рассмотрим конкретный пример. Найдем мгновенную скорость тела, брошенного вверх со скоростью V 0 . Высота его в момент t находится по известной формуле

1) Найдем сначала Δh:

3) Будем теперь уменьшать Δt, приближая его к нулю. Для краткости говорят, что Δt стремится к нулю. Это записывается так: Δt → 0 Как легко понять, в этом случае значение -gΔt/2 тоже стремится к нулю, т. е.

А поскольку величины V 0 и –gt 0 , а значит, и V 0 -gt 0 постоянны, из формулы (1) получаем:

Итак, мгновенная скорость точки в момент времени t 0 находится по формуле

Скорость в физике означает быстроту перемещения какого-либо объекта в пространстве. Эта величина бывает разной: линейной, угловой, средней, космической и даже сверхсветовой. В число всех существующих разновидностей входит также и мгновенная скорость. Что это за величина, какова ее формула и какие действия необходимы для ее расчета - об этом как раз и пойдет речь в нашей статье.

Мгновенная скорость: сущность и понятие

О том, как определить быстроту перемещения объекта по прямой, известно даже ученику начальных классов: достаточно пройденное расстояние разделить на время, которое было затрачено на такое перемещение. Однако стоит помнить, что результат, полученный таким способом, позволяет судить о Если объект движется неравномерно, то на определенных участках его пути быстрота перемещения может заметно варьироваться. Поэтому порой требуется такая величина как мгновенная скорость. Она позволяет судить о быстроте перемещения материальной точки в любой момент движения.

Мгновенная скорость: формула расчета

Данный параметр равен пределу (обозначается limit, сокращенно lim) отношения перемещения (разнице координат) к промежутку времени, за которое это изменение произошло, при условии, что этот промежуток времени стремится достичь нуля. Это определение можно записать в виде следующей формулы:

v = Δs/Δt при Δt → 0 либо так v = lim Δt→0 (Δs/Δt)

Отметим, что мгновенная скорость есть Если движение происходит по прямой линии, то она меняется лишь по величине, а направление остается постоянным. В противном случае вектор скорости мгновенной направлен по касательной по отношению к траектории перемещения в каждой рассматриваемой точке. Какой смысл несет данный показатель? Мгновенная скорость позволяет выяснить, какое перемещение осуществит объект за единицу времени, если с рассматриваемого момента он движется равномерно и прямолинейно.

В случае никаких сложностей нет: нужно просто найти отношение расстояния к времени, за которое оно было объектом преодолено. В этом случае средняя и мгновенная скорость тела равны. Если же движение происходит непостоянно, то в этом случае следует узнать величину ускорения и определять мгновенную скорость в каждый определенный момент времени. При вертикальном перемещении следует учитывать влияние Мгновенную скорость автомобиля можно определить с помощью радара или спидометра. Следует иметь в виду, что перемещение в некоторых участках пути может принимать отрицательное значение.

Для того чтобы найти ускорение, можно воспользоваться акселерометром либо составить функцию движения и воспользоваться формулой v=v0+a.t. Если перемещение начинается из состояния покоя, то v0 = 0. При расчетах нужно учитывать тот факт, что при торможении тела (уменьшении скорости) величина ускорения будет со знаком "минус". Если объект совершает мгновенная быстрота его перемещения рассчитывается по формуле v= g.t. В этом случае начальная скорость также равна 0.

В общих целях нахождение скорости объекта (v) – простая задача: нужно разделить перемещение (s) в течение определенного времени (s) на это время (t), то есть воспользоваться формулой v = s/t. Однако таким способом получают среднюю скорость тела. Используя некоторые вычисления, можно найти скорость тела в любой точке пути. Такая скорость называется мгновенной скоростью и вычисляется по формуле v = (ds)/(dt) , то есть представляет собой производную от формулы для вычисления средней скорости тела. .

Шаги

Часть 1

1. Для вычисления мгновенной скорости необходимо знать уравнение, описывающее перемещение тела (его позицию в определенный момент времени), то есть такое уравнение, на одной стороне которого находится s (перемещение тела), а на другой стороне – члены с переменной t (время). Например:
   

   s = -1.5t 2 + 10t + 4

   • В этом уравнении: Перемещение = s . Перемещение – пройденный объектом путь. Например, если тело переместилось на 10 м вперед и на 7 м назад, то общее перемещение тела равно 10 - 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м). Время = t . Обычно измеряется в секундах.

2. Чтобы найти мгновенную скорость тела, чьи перемещения описываются приведенным выше уравнением, вы должны вычислить производную этого уравнения. Производная – это уравнение, позволяющее вычислить наклон графика в любой точке (в любой момент времени). Чтобы найти производную, продифференцируйте функцию следующим образом: если y = a*x n , то производная = a*n*x n-1 . Это правило применяется к каждому члену многочлена.

   • Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
     

     s = -1.5t 2 + 10t + 4
     (2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
     -3t 1 + 10t 0
     -3t + 10

3. Замените "s" на "ds/dt", чтобы показать, что новое уравнение – это производная от исходного уравнения (то есть производная s от t). Производная – это наклон графика в определенной точке (в определенный момент времени). Например, чтобы найти наклон линии, описываемой функцией s = -1.5t 2 + 10t + 4 при t = 5, просто подставьте 5 в уравнение производной.

   • В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
     

     ds/dt = -3t + 10

4. В уравнение производной подставьте соответствующее значение t, чтобы найти мгновенную скорость в определенный момент времени. Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, просто подставьте 5 (вместо t) в уравнение производной ds/dt = -3 + 10. Затем решите уравнение:
   

   ds/dt = -3t + 10
   ds/dt = -3(5) + 10
   ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с

   • Обратите внимание на единицу измерения мгновенной скорости: м/с. Так как нам дано значение перемещения в метрах, а время – в секундах, и скорость равна отношению перемещения ко времени, то единица измерения м/с – правильная.

   Часть 2

   Графическая оценка мгновенной скорости

   1. Постройте график перемещения тела. В предыдущей главе вы вычисляли мгновенную скорость по формуле (уравнению производной, позволяющему найти наклон графика в определенной точке). Построив график перемещения тела, вы можете найти его наклон в любой точке, а следовательно определить мгновенную скорость в определенный момент времени.

      • По оси Y откладывайте перемещение, а по оси Х - время. Координаты точек (х,у) получите через подстановку различных значений t в исходное уравнение перемещение и вычисления соответствующих значений s.
      • График может опускаться ниже оси Х. Если график перемещения тела опускается ниже оси Х, то это значит, что тело движется в обратном направлении от точки начала движения. Как правило, график не будет распространяться за ось Y (отрицательные значения х) – мы не измеряем скорости объектов, движущихся назад во времени!

   2. Выберите на графике (кривой) точку Р и близкую к ней точку Q. Чтобы найти наклон графика в точке Р, используем понятие предела. Предел – состояние, при котором величина секущей, проведенной через 2 точки P и Q, лежащих на кривой, стремится к нулю.

      • Например, рассмотрим точки Р(1,3) и Q(4,7) и вычислим мгновенную скорость в точке Р.

   3. Найдите наклон отрезка РQ. Наклон отрезка РQ равен отношению разницы значений координат «у» точек P и Q к разнице значений координат «х» точек P и Q. Другими словами H = (y Q - y P)/(x Q - x P), где H – наклон отрезка PQ. В нашем примере наклон отрезка PQ равен:
      

      H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
      H = (7 - 3)/(4 - 1)
      H = (4)/(3) = 1.33

   4. Повторите процесс несколько раз, приближая точку Q к точке Р. Чем меньше расстояние между двумя точками, тем ближе значение наклона полученных отрезков к наклону графика в точке Р. В нашем примере проделаем вычисления для точки Q с координатами (2,4.8), (1.5,3.95) и (1.25,3.49) (координаты точки Р остаются прежними):
      

      Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
      H = (1.8)/(1) = 1.8

      Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
      H = (.95)/(.5) = 1.9

      Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
      H = (.49)/(.25) = 1.96

   5. Чем меньше расстояние между точками Р и Q, тем ближе значение Н к наклону графика в точке Р. При предельно малом расстоянии между точками Р и Q, значение Н будет равно наклону графика в точке Р. Так как мы не можем измерить или вычислить предельно малое расстояние между двумя точками, графический способ дает оценочное значение наклона графика в точке Р.

      • В нашем примере при приближении Q к P мы получили следующие значения Н: 1.8; 1.9 и 1.96. Так как эти числа стремятся к 2, то можно сказать, что наклон графика в точке Р равен 2.
      • Помните, что наклон графика в данной точке равен производной функции (по которой построен этот график) в этой точке. График отображает перемещение тела с течением времени и, как отмечалось в предыдущем разделе, мгновенная скорость тела равна производной от уравнения перемещения этого тела. Таким образом, можно заявить, что при t = 2 мгновенная скорость равна 2 м/с (это оценочное значение).

   Часть 3

   Примеры

   1. Вычислите мгновенную скорость при t = 4, если перемещение тела описывается уравнением s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Этот пример похож на задачу из первого раздела с той лишь разницей, что здесь дано уравнение третьего порядка (а не второго).

      • Сначала вычислим производную этого уравнения:
        

        s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
        s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
        15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
        15t (2) - 6t + 2

        t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
        4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704)

      • Теперь вычислим H:
        

        Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
        H = (11)/(1) = 11

        Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
        H = (4.5)/(.5) = 9

        Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
        H = (.74)/(.1) = 7.3

        Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
        H = (.0704)/(.01) = 7.04

      • Так как полученные значения H стремятся к 7, то можно сказать, что мгновенная скорость тела в точке (1,3) равна 7 м/с (оценочное значение).
   • Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод в части первой, чтобы получить производную функции перемещения. Затем возьмите еще раз производную от полученной производной. Это даст вам уравнение для нахождения ускорения в данный момент времени - все, что вам нужно сделать, это подставить значение для времени.
   • Уравнение, описывающее зависимость у (перемещение) от х (время), может быть очень простым, например: у = 6x + 3. В этом случае наклон является постоянным и не надо брать производную, чтобы его найти. Согласно теории линейных графиков, их наклон равен коэффициенту при переменной х, то есть в нашем примере =6.
   • Перемещение подобно расстоянию, но оно имеет определенное направление, что делает его векторной величиной. Перемещение может быть отрицательным, в то время как расстояние будет только положительным.

Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

Другими словами, мгновенная скорость – это радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.

Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.

Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.

Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

ПРИМЕР 3