Способы задания закона распределения дсв. Закон распределения дискретной случайной величины. Примеры решения задач Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины

Определение 4.1. Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y,Z,… ), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x i , y i ,… ).

Определение 4.2. дискретной , если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Определение 4.3. Случайная величина называется непрерывной , если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения: р (Х = а ) = F (a ) – F (a ) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.

Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифферен-циальная функция).

Определение 5.1. Функция f (x ), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

f (x ) = F′ (x ), (5.1)

то есть является производной функции распределения.

Свойства плотности распределения .

1) f (x ) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.

2) , что следует из определения плотности распределения.

3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b ) определяется формулой Действительно,

4) (условие нормировки). Его справедливость следует из того, что а

5) так как при

Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, располо-женную выше оси Ох , причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточе-ны на интервале [a, b ], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b ] f (x ) ≡ 0.

10.Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Дисперсия случайной величины и её свойства.

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос.

Способы задания дискретной случайной величины не являются общими – они неприменимы, например, для непрерывных случайных величин. Действительно, пусть возможные значения случайной величины X полностью заполняют интервал (a;b). Можно ли составить перечень всех возможных значений X? Нет. Необходим общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Функцией распределения Функцией распределения называют ф-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X

Х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно" title="Свойства функции распределения 1. 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2) F(x 1), если х 2 > х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно" class="link_thumb"> 4 Свойства функции распределения Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 F(x) F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2) F(x 1), если х 2 > х Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению ф-ции распределения на этом интервале: P (a х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно"> х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению ф-ции распределения на этом интервале: P (a"> х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно" title="Свойства функции распределения 1. 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2) F(x 1), если х 2 > х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно"> title="Свойства функции распределения 1. 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку : 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) – неубывающая ф-ция, т. е. F(x 2) F(x 1), если х 2 > х 1. 3. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенно">

Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распределения 0 при х -1 F(x) = х/4+1/4 при Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0

4. 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна 0. Таким образом, имеет смысл рассматривать вероятность попадания случайной величины в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Напр., интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Но неправильно думать, что равенство 0 вероятности Р(X=х 1) означает, что событие X=х 1 невозможно (если не ограничиваться классическим определением вероятности). В результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х 1.

5. 5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то 1) F(х) = 0 при х а; 2) F(х) = 1 при х b. ] Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: Lim F(х) = 0; Lim F(х) = 1. х- х+

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Способ задания непрерывной случайной величины с помощью ф-ции распределения не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую ф-цию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют ф-цию f(х) – первую производную от ф-ции распределения F(х): f(х) = F"(х). Отсюда функция распределения является первообразной для плотности распределения.

π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." class="link_thumb"> 18 Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2. π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Пример. Дана ф-ция распределения непрерывной случайной величины Х 0 при х 0 F(x) = sinx при 0 π/2. Найти плотность распределения f(х). 0 при х π/2.">

Свойства плотности распределения Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x) 0. График плотности распределения называют кривой распределения Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен 1. f(x)dx = 1. -

Вероятностный смысл плотности распределения Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Для достаточно малых x. F(x + x) - F(x) f(x)x. Т.к. разность F(x + x) - F(x) определяет (см. выше) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (х; x + x), то эта вероятность, след-но, приближенно равна произведению плотности вероятности в т. х на длину интервала х.

Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.

1 . Закон распределения может быть задан таблицей:

где λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в) с помощью функции распределения F(x) , определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).

Свойства функции F(x)

3 . Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения (смотри задачу 3).

Отметим, что для решения некоторых задач не обязательно знать закон распределения. В некоторых случаях достаточно знать одно или несколько чисел, отражающих наиболее важные особенности закона распределения. Это может быть число, имеющее смысл «среднего значения» случайной величины, или же число, показывающее средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Числа такого рода называют числовыми характеристиками случайной величины.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины :

• Mатематическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины M(X)=Σ x i p i .
  Для биномиального распределения M(X)=np, для распределения Пуассона M(X)=λ
• Дисперсия дискретной случайной величины D(X)= M 2 или D(X) = M(X 2)− 2 . Разность X–M(X) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.
  Для биномиального распределения D(X)=npq, для распределения Пуассона D(X)=λ
• Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X)=√D(X) .

Примеры решения задач по теме «Закон распределения дискретной случайной величины»

Задача 1.

Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:

Найдем математическое ожидание величины Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Решение. 1. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х 1 =0 (ни один из элементов устройства не отказал), х 2 =1 (отказал один элемент), х 3 =2 (отказало два элемента) и х 4 =3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли . Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим вероятности значений:
P 3 (0) = С 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = С 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = С 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = С 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:

По оси абсцисс откладываем возможные значения х i , а по оси ординат – соответствующие им вероятности р i . Построим точки М 1 (0; 0,729), М 2 (1; 0,243), М 3 (2; 0,027), М 4 (3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.

3. Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х

Для x ≤ 0 имеем F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0 < x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2 < x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для х > 3 будет F(x) = 1, т.к. событие достоверно.

График функции F(x)

4. Для биномиального распределения Х:
- математическое ожидание М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Формула Бернулли (частная теорема о повторении опытов)

Пример 23

Имеется три лотерейных билета. Вероятность выигрыша для любого билета одинакова и равна р. Вероятность того, что билет не выиграет q = 1 – p – как вероятность противоположного события. Определить вероятность того, что из трех билетов выиграют ровно два.

Искомую вероятность обозначим .

Интересующее нас событие произойдет, если выиграет первый И второй билет И не выиграет третий ИЛИ не выиграет первый билет И выиграют второй И третий ИЛИ не выиграет второй билет И выиграют первый И третий. Вероятность каждого из этих вариантов может быть найдена по формуле умножения, а ответ подсчитан по формуле сложения для несовместных событий:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q .

Анализируя решение задачи, выясняем, что она была решена в следующем порядке:

Составлены различные варианты осуществления интересующего события;

Подсчитано количество этих вариантов;

Определена вероятность появления события, путём осуществления любого варианта;

Найдена искомая вероятность путём умножения вероятности появления события по одному из вариантов на общее количество вариантов.

Фактически, задача была решена по, так называемой, формуле Бернулли . Запишем ее в общем виде.

Пусть производится серия из n опытов (испытаний). Опыты проводятся неоднократно, независимо один от другого и в одинаковых условиях, так что вероятность появления события А от опыта к опыту не меняется и равняется р . Обозначим вероятность не появления события А в одном опыте- q = 1-p . Требуется определить вероятность того, что в серии из n опытов событие А повторится k раз – обозначим это событие как В.

Событие В может осуществиться различными способами (вариантами). Например, таким:

или таким:

Важно то, что в любом варианте количество появлений события А равно n , а количество появления события равно n – k , хотя появляться и не появляться они будут в разных вариантах в различной последовательности.

Для определения числа подобных вариантов можно воспользоваться формулой комбинаторики - числом сочетаний из n элементов по k .

Сочетания – это такие комбинации из k объектов (элементов), выбранных из некоторого множества в n объектов, которые содержат одинаковое число объектов, но отличаются друг от друга хотя бы одним из них.

Число сочетаний из n элементов по k обозначается, как и может быть найдено по формуле: = . (15)

Важным свойством определения числа сочетаний является следующее:

В рассматриваемой задаче элементами, отличающимися друг от друга, являются номера опытов. Общее число вариантов равно .

Вероятность появления события А n раз для каждого варианта одинакова и может быть найдена по формуле умножения вероятностей исходя из фразы «Событие А произошло k раз и не произошло n – k раз»: p k q n - k

Суммируя эти одинаковые вероятности раз получаем формулу, называемую формулой Бернулли :

=p k q n - k . (16)

Необходимо помнить, что р – это вероятность появления интересующего нас события в опыте, а q – вероятность непоявления этого события в опыте.

Формулу Бернулли.(Якоб Бернулли исследовал её в своей книге «Искусство предположений») также называют частной теоремой о повторении опытов . Это значит, что каждый последующий опыт проводится при тех же условиях, что и все предыдущие, т.е. вероятность появления события от опыта к опыту не меняется и остаётся равной р.

Наряду с частной существует общая теорема о повторении опытов (вероятность появления события от опыта к опыту меняется), рассмотрение которой выходит за рамки настоящего курса.

Пример 24

В цехе имеется 10 электродвигателей, вероятность отключенного состояния каждого из которых равна 0,1.Двишгатели включаются в сеть независимо один от другого. Определить вероятность того, что отключены сразу три электродвигателя.

Решение . Условие задачи соответствует схеме повторных испытаний Я. Бернулли. Решаем задачу с использованием частной теоремой о повторении опытов, учитывая, что отключенных двигателей три (вероятность отключенного состояния 0,1), а включенных – 7 (вероятность включенного состояния 0,9):

=p 3 q 10-3 =q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.

Случайные величины и их законы распределения

Наряду со случайными событиями другим важнейшим понятием теории вероятностей является понятие «случайная величина» (СВ).

Величина – это количественная характеристика результата опыта.

Все величины делятся на две большие группы: неслучайные и случайные.

Неслучайные (детерминированные) – это такие величины, которые в результате опыта принимают заранее определенное, известное значение. Например, время восхода и захода солнца, дата наступления нового года, количество пальцев на руках у новорожденного, число экзаменов и зачётов в семестре.

Случайные(стохастические) – это такие величины, о которых заранее неизвестно, какое значение они примут в результате опыта.

Случайные величины, в свою очередь, могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретными называют такие СВ, которые в опыте принимают какое-то одно из множества возможных значений, причем эти значения при желании можно перечислить или пронумеровать, т.е. это множество является конечным. Чаще всего (хотя не обязательно) - это целые, неотрицательные значения. Например,о ценка студента на экзамене; количество волос на голове, число работающих в цехе ЭД.

Непрерывными называют такие СВ, которые в опыте принимают какое-то одно из возможных значений, причем количество этих значений даже в очень малом интервале бесконечно велико. Иначе говоря, множество возможных значений непрерывной СВ является несчётным. Например, уровень напряжения в сети, длительность работы ЛЭП до отказа, рост и вес человека, масса авторучки.

Названия случайных величин принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита – X, Y ; а значения , которые случайные величины принимают в опыте, – строчными - x, y .

Различные значения одной и той же случайной величины наблюдаются не одинаково часто. Например, мужчины носят 42-й размер обуви гораздо чаще, чем 46-й; напряжение в сети гораздо чаще лежит в интервале 215- 225 В, чем в интервале 225 –235 В.

Взаимосвязь между значениями случайной величины и вероятностями их появления устанавливает закон распределения случайной величины. Говорят, что СВ распределена (подчиняется) по тому или иному закону распределения. Существует несколько форм задания закона распределения:

· в виде таблицы (таблично);

· виде рисунка (графически);

· формулой (аналитически).

Способы задания законов распределения случайных величин

Все способы задания законов распределения СВ условно можно разделить на теоретические и статистические. Теоретические законы распределения отражают истинные законы, существующие в природе. Для их установления, согласно закону больших чисел, необходимо переработать близкий к бесконечному объём информации. Практически такие законы устанавливаются на основании ограниченного объёма статистических данных и оформляются теми или иными статистическими способами. Статистические данные часто называют экспериментальными (эмпирическими ). Каждый теоретический способ задания закона распределения (ТЗР) имеет статистические аналогии (СтЗР). Рассмотрим эти способы.

ТЗР-1. Ряд распределения СВ

Ряд распределения – это таблица, в которой с одной стороны указаны значения случайной величины, а с другой – их вероятности (табл. 2). В ряду распределения значения СВ располагаются упорядочено – по мере их возрастания.

Между всеми возможными значениями СВ делится суммарная вероятность этих значений, равная единице. Поэтому сумма всех вероятностей ряда распределения равна единице:= 1

Таблица 2. Ряд распределения СВ

II. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1. Случайная величина, способы ее задания

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Если для какой- либо величины ее измерение повторять многократно в практически одинаковых условиях, то обнаружится, что всякий раз получаются несколько отличные друг от друга результаты. Это складывается влияние причин двух видов: 1) основных, определяющих главное значение результата; 2) второстепенных, обуславливающих их расхождение.

При совместном действии этих причин понятия необходимости и случайности оказываются тесно связанными между собой, но необходимое преобладает над случайным.

Таким образом, возможные значения случайных величин принадлежат некоторым числовым множествам.

Случайным является то, что на этих множествах величины могут принять любое значение, но какое именно, заранее сказать нельзя.

Случайная величина связана со случайным событием.

Если случайное событие - качественная характеристика испытаний, то случайная величина - его количественная характеристика .

Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами а их значение – прописными-
.

Вероятность того, что случайная величина
примет значение обозначают:

и т.д.

Случайные величины задают законами распределения.

Закон распределения случайной величины - это соответствие, установленное между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Законы распределения могут быть заданы тремя способами: табличным, графическим, аналитическим. Способ задания зависит от типа случайной величины.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывно распределенные случайные величины.

2.2. Дискретная и непрерывная случайные величины

Если значения, которые может принимать данная случайная величина , образует дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел
то и сама случайная величина называется дискретной.

Если же значения, которые может принимать данная случайная величина , заполняют конечный или бесконечный промежуток (а, в) числовой оси Ох, то случайная величина называется непрерывной.

Каждому значению случайной величины дискретного типа отвечает определенная вероятность ; каждому промежутку (а, в) из области значений случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная вероятность
того, что значение, принятое случайной величиной, попадает в этот промежуток.

2.3. Закон распределения случайной величины

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения:

При этом
, где суммирование распространяется на все (конечное или бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины .

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью функции плотности вероятности
.

Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной , попадет в промежуток (а, в), определяется равенством

График функции называется кривой распределения . Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток (а, в) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ох и прямыми х=а, х=в.

Задача 1. Даны вероятности значений случайной величины : значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

Возьмем на плоскости хОр точки (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) и (10; 0,3). Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим многоугольник (или полигон ) распределения случайной величины

Задача 2. Разыгрываются две вещи стоимостью по 5000 руб и одна вещь стоимостью 30000 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение. Искомая случайная величина представляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 5000 и 30000 руб. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату - два случая и третьему – один случай. Найдем их вероятности:

; ; .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

В качестве проверки найдем

Задача 3. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью , причем

Требуется: 1) Найти коэффициент а; 2) построить график распределения плотности
; 3) найти вероятность попадания в промежуток (1; 2).

Решение. 1) Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке , то

, откуда

, или

, т.е.
.

2) Графиком функции в интервале является парабола , а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс.

3) Вероятность попадания случайной величины в промежуток (1; 2) найдется из равенства

2.4. Биномиальное распределение

Пусть производится определенное число n независимых опытов, причем в каждом из них с одной и той же вероятностью может наступить некоторое событие Р . Рассмотрим случайную величину , представляющую собой число наступлений событий A в n опытах. Закон ее распределения имеет вид

Значения
Вероятности

Где
, вычисляется по формуле Бернулли.

Закон распределения, который характеризуется такой таблицей, называется биноминальным .

Задача. Монету подбрасывают 5 раз. Составить закон распределения случайной величины - числа выпадения герба.

Решение. Возможны следующие значения случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Зная, что вероятность выпадения герба в одном испытании равна , найдем вероятности значений случайной величины по формуле Бернулли:

Закон распределения имеет вид

Значения
Вероятности

Сделаем проверку:

III. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

3.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Наиболее исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения вероятностей. Однако не всегда обязательно знать весь закон распределения. Иногда можно обойтись одним или несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения, например, числом, имеющим смысл «среднего значения» случайной величины, или же числом, показывающим средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайной величины. Оперируя числовыми характеристиками, можно решать многие задачи, не пользуясь законом распределения.

Одна из самых важных числовых характеристик случайной величины есть математическое ожидание.

Если известна дискретная случайная величина , закон распределения которой имеет вид

Значения
Вероятности

то математическим ожиданием (или средним значением) дискретной величины называется число

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности.

Пример 1 . Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения

Решение.

Свойства математического ожидания.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине:

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

3.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины.

Пример 2. Найдем математическое ожидание случайных величин и , зная законы их распределения

П

Олучили любопытный результат: законы распределения величин и разные, а их математические ожидания одинаковы.

Из рисунка б видно, что значение величины более сосредоточены около математического ожидания
, чем значения величины , которые разбросаны (рассеяны) относительно ее математического ожидания
(рисунок а ).

Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания
является дисперсия, которая обозначается через
.

Определение. Отклонением называется разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием , т.е.
.

Отклонение и его квадрат
также являются случайными величинами.

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Свойства дисперсии.

Дисперсия постоянной величины С равна 0:

.

.

Для вычисления дисперсий более удобной является формула

Пример 3. Дискретная случайная величина распределена по закону:

Решение. Сначала находим .

а затем
.

По формуле имеем

Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

.

IV. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Комбинаторика

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

Решить уравнения

а)
. б)
.

Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей

В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

Найти математическое ожидание случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей:

На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:

Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В двух частях. Часть II / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с. Дополнительная: Григулецкий В.Г. Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2 / В.Г. Григулецкий, И.В. Лукьянова, И.А. Петунина. – Краснодар, 2002. – 348 с. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: Инфра-М, 1999. – 356 с. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т., Т.2. – учебное пособие для студентов вузов. – М.: ТетраСистемс, 1988. – 448 с. Григулецкий В.Г. Высшая математика / В.Г. Григулецкий, З.В. Ященко. – Краснодар, 1998.-186 с. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000. – 400 с.