3 х множествено. Кимване и кимване на три или повече числа. Намиране чрез разлагане на множители
Нека разгледаме три начина за намиране на най-малкото общо кратно.
Намиране чрез разлагане на множители
Първият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа на прости множители.
Да кажем, че трябва да намерим LCM на числата: 99, 30 и 28. За да направим това, нека разложим всяко от тези числа на прости множители:
За да може желаното число да се дели на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа до възможно най-голямата степен и да ги умножим заедно:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Така LCM (99, 30, 28) = 13 860. Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели на 99, 30 или 28.
За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, вие ги разлагате върху техните прости множители, след това взимате всеки прост множител с най-големия показател, в който се появява, и умножавате тези множители заедно.
Тъй като относително простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са относително прости. Ето защо
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Същото трябва да се направи, когато се намира най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Намиране чрез подбор
Вторият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез избор.
Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се раздели на друго дадено число, тогава LCM на тези числа е равен на най-голямото от тях. Например дадени са четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:
- Определете най-голямото число от дадените числа.
- След това намираме числата, които са кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали полученият продукт се дели на останалите дадени числа.
Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определяме най-голямото от тях - това е числото 24. След това намираме числата, кратни на 24, като проверяваме дали всяко от тях се дели на 18 и 3:
24 · 1 = 24 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 · 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 · 3 = 72 - дели се на 3 и 18.
Така LCM (24, 3, 18) = 72.
Намиране чрез последователно намиране на LCM
Третият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.
LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, делено на техния най-голям общ делител.
Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: НОД (12, 8) = 4. Умножете тези числа:
Разделяме продукта на техния gcd:
Така LCM (12, 8) = 24.
За да намерите LCM на три или повече числа, използвайте следната процедура:
- Първо, намерете LCM на произволни две от тези числа.
- След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
- След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
- Така търсенето на LCM продължава, докато има числа.
Пример 2. Нека намерим НОК на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НОК на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да намерим най-малкото общо кратно на числото 24 и третото дадено число - 9. Определяме техния най-голям общ делител: НОД (24, 9) = 3. Умножаваме НОК с числото 9:
Разделяме продукта на техния gcd:
Така LCM (12, 8, 9) = 72.
LCM - най-малко общо кратно. Число, което ще раздели всички дадени числа без остатък.
Например, ако дадените числа са 2, 3, 5, тогава LCM=2*3*5=30
И ако дадените числа са 2,4,8, тогава LCM =8
какво е GCD?
НОД е най-големият общ делител. Число, което може да се използва за разделяне на всяко от дадените числа, без да остава остатък.
Логично е, че ако дадените числа са прости, тогава НОД е равно на едно.
И ако дадените числа са 2, 4, 8, тогава НОД е равно на 2.
Няма да го описваме в общи линии, а просто ще покажем решението с пример.
Дадени са две числа 126 и 44. Намерете НОД.
Тогава, ако са ни дадени две числа от формата
Тогава GCD се изчислява като
където min е минималната стойност на всички степени на числото pn
и НОК като
където max е максималната стойност на всички степени на числото pn
Разглеждайки горните формули, можете лесно да докажете, че gcd на две или повече числа ще бъде равно на едно, когато сред поне една двойка дадени стойности има относително прости числа.
Следователно е лесно да се отговори на въпроса на какво е равна gcd на такива числа като 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7, без да се изчислява нищо.
числата 3 и 7 са взаимно прости и следователно gcd = 1
Нека разгледаме един пример.
Дадени са три числа 24654, 25473 и 954
Всяко число се разлага на следните фактори
Или, ако го напишем в алтернативна форма
Тоест gcd на тези три числа е равно на три
Е, можем да изчислим LCM по подобен начин и той е равен на
Нашият бот ще ви помогне да изчислите GCD и LCM на всякакви цели числа, две, три или десет.
Нека продължим разговора за най-малкото общо кратно, което започнахме в раздела „LCM - най-малко общо кратно, определение, примери.“ В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа и ще разгледаме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD
Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека научим как да определяме LCM чрез GCD. Първо, нека разберем как да направим това за положителни числа.
Определение 1
Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b).
Пример 1
Трябва да намерите LCM на числата 126 и 70.
Решение
Да вземем a = 126, b = 70. Нека заместим стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b) .
Намира НОД на числата 70 и 126. За това се нуждаем от евклидовия алгоритъм: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, следователно НОД (126 , 70) = 14 .
Нека изчислим LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Отговор: LCM(126, 70) = 630.
Пример 2
Намерете числото 68 и 34.
Решение
GCD в този случай не е трудно да се намери, тъй като 68 се дели на 34. Нека изчислим най-малкото общо кратно по формулата: LCM (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Отговор: LCM(68, 34) = 68.
В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Сега нека разгледаме метода за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числа на прости множители.
Определение 2
За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:
- съставяме произведението на всички прости множители на числата, за които трябва да намерим LCM;
- ние изключваме всички прости множители от техните резултатни продукти;
- произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.
Този метод за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b). Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разлагането на тези две числа. В този случай gcd на две числа е равна на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на тези две числа.
Пример 3
Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разложим, както следва: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Ако съставите произведението на всички множители на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.
Ако изключим множителите, общи за числата 3 и 5, получаваме продукт от следната форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.
Пример 4
Намерете LCM на числата 441 И 700 , разлагайки двете числа на прости множители.
Решение
Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7.
Продуктът на всички фактори, участвали в разлагането на тези числа, ще има формата: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общи множители. Това е числото 7. Нека го изключим от общия продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Отговор: LOC(441, 700) = 44 100.
Нека дадем друга формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители.
Определение 3
Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:
- Нека разделим двете числа на прости множители:
- добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
- получаваме продукта, който ще бъде търсеният LCM от две числа.
Пример 5
Да се върнем към числата 75 и 210, за които вече търсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Към произведението на множители 3, 5 и 5 числата 75 добавете липсващите множители 2 И 7 номера 210. Получаваме: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.
Пример 6
Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.
Решение
Нека разделим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7И 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Нека добавим към произведението множителите 2, 2, 3 и 7
числа 84 липсващи множители 2, 3, 3 и
3
номера 648. Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Отговор: LCM(84, 648) = 4536.
Намиране на LCM на три или повече числа
Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: ние последователно ще намерим LCM на две числа. Има теорема за този случай.
Теорема 1
Да приемем, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kтези числа се намират чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Сега нека да разгледаме как теоремата може да се приложи за решаване на конкретни проблеми.
Пример 7
Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четири числа 140, 9, 54 и 250 .
Решение
Нека въведем обозначението: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Нека приложим алгоритъма на Евклид, за да изчислим НОД на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Получаваме: НОД (140, 9) = 1, НОД (140, 9) = 140 9: НОД (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1,260.
Сега нека изчислим, използвайки същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). По време на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.
Просто трябва да изчислим m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Следваме същия алгоритъм. Получаваме m 4 = 94 500.
LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.
Отговор: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по друг начин.
Определение 4
Предлагаме ви следния алгоритъм на действие:
- разлагаме всички числа на прости множители;
- към произведението на множителите на първото число добавяме липсващите множители от произведението на второто число;
- към продукта, получен на предишния етап, добавяме липсващите фактори на третото число и т.н.;
- полученото произведение ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.
Пример 8
Трябва да намерите LCM на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.
Решение
Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Простите числа, което е числото 7, не могат да бъдат разложени на прости множители. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.
Сега нека вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези множители вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.
Продължаваме да добавяме липсващите множители. Нека преминем към числото 48, от произведението на чиито прости множители вземаме 2 и 2. След това добавяме простия множител 7 от четвъртото число и множителите 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на първоначалните пет числа.
Отговор: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа
За да се намери най-малкото общо кратно на отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знак и след това изчисленията трябва да се извършат с помощта на горните алгоритми.
Пример 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) и LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Такива действия са допустими поради факта, че ако приемем това аИ − а– противоположни числа,
тогава наборът от кратни на число асъответства на набора от кратни на число − а.
Пример 10
Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателни числа − 145 И − 45 .
Решение
Да заменим числата − 145 И − 45 към техните противоположни числа 145 И 45 . Сега, използвайки алгоритъма, ние изчисляваме LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, като преди това сме определили GCD с помощта на Евклидовия алгоритъм.
Получаваме, че LCM на числата е − 145 и − 45 равно на 1 305 .
Отговор: LCM (− 145, − 45) = 1305.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да определите значението на термина „множество“.
Кратно на A е естествено число, което се дели без остатък на A. По този начин числата, кратни на 5, могат да се считат за 15, 20, 25 и т.н.
Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкраен брой кратни.
Общо кратно на естествените числа е число, което се дели на тях без остатък.
Как да намерим най-малкото общо кратно на числа
Най-малкото общо кратно (НОК) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели на всички тези числа.
За да намерите LOC, можете да използвате няколко метода.
За малки числа е удобно да запишете всички кратни на тези числа на ред, докато намерите нещо общо сред тях. Множествата се означават с главна буква K.
Например, кратни на 4 могат да бъдат записани така:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Така можете да видите, че най-малкото общо кратно на числата 4 и 6 е числото 24. Тази нотация се прави по следния начин:
LCM(4, 6) = 24
Сега запишете общите множители за двете числа. В нашата версия е две и пет. В други случаи обаче това число може да бъде една, две или три цифри или дори повече. След това трябва да работите със степени. Изберете най-малката мощност за всеки фактор. В примера е две на втора степен и пет на първа.
Накрая просто трябва да умножите получените числа. В нашия случай всичко е изключително просто: две на квадрат, умножено по пет, е равно на 20. Така числото 20 може да се нарече най-големият общ делител за 60 и 80.
Видео по темата
Забележка
Не забравяйте, че простият множител е число, което има само 2 делителя: единица и самото число.
Полезен съвет
В допълнение към този метод можете да използвате и алгоритъма на Евклид. Пълното му описание, представено в геометрична форма, можете да намерите в книгата на Евклид "Елементи".
Свързана статия
Събирането и изваждането на естествени дроби е възможно само ако те имат еднакъв знаменател. За да не усложнявате изчисленията, когато ги привеждате към един знаменател, намерете най-малкия общ делител на знаменателите и извършете изчислението.
Ще имаш нужда
- - способност за разлагане на числата на прости множители;
- - умение за извършване на операции с дроби.
Инструкции
Запишете събирането на дроби. След това намерете тяхното най-малко общо кратно. За да направите това, изпълнете следната последователност от действия: 1. Представете си всеки от знаменателите в прости числа (просто число, число, което се дели само на 1 и самото себе си без остатък, например 2, 3, 5, 7, и т.н.).2. Групирайте всички прости, които са изписани, като посочите техните степени. 3. Изберете най-големите степени на всеки от тези прости множители, които се появяват в тези числа. 4. Умножете записаните степени.
Например, общият знаменател за дроби със знаменатели 15, 24 и 36 ще бъде число, което може да се изчисли по следния начин: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2 Напишете най-големите степени на всички прости делители на тези числа: 2^3 3^2 5=360.
Разделете общия знаменател на всеки и на знаменателите на дробите, които се добавят. Умножете техните числители по полученото число. Под общата линия на дробта напишете най-малкия общ дивидент, който е и най-малкият общ знаменател. В числителя добавете числата, получени от умножаването на всеки числител по частното на най-малкия общ множител, разделен на знаменателя на дробта. Сумата от всички числители и разделена на най-малкия общ знаменател ще бъде желаното число.
Например, за 4/15, 7/24 и 11/36 направете това. Намерете най-малкия общ знаменател, който е 360. След това разделете 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Умножете числото 4, което е числителят на първата дроб, по 24 (4 24=96), числото 7 по 15 (7 15=105), числото 11 по 10 (11 10=110). След това добавете тези числа (96+105+110=301). Получаваме резултата 4/15+7/24+11/36=301/360.
източници:
- как да намерите най-малкото число
Целите числа са разнообразие от математически числа, които имат много приложения в ежедневието. Неотрицателните цели числа се използват при посочване на броя на всякакви обекти, отрицателните числа - в съобщения за прогноза за времето и т.н. GCD и LCM са естествени характеристики на цели числа, свързани с операциите за разделяне.
Инструкции
НОД се изчислява лесно с помощта на Евклидовия алгоритъм или двоичния метод. Съгласно алгоритъма на Евклид за определяне на gcd на числата a и b, едно от които не е нула, съществува поредица от числа r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, в която r_1 е равно на остатъка от деленето първото число по второто. А останалите членове на редицата са равни на остатъците от деленето на предишния член на предходния, а предпоследният елемент се дели на последния без остатък.
Математически последователността може да бъде представена като:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
където k_i е цяло число.
НОД (a, b) = r_n.
Пример.
Намерете НОД (36, 120). Според алгоритъма на Евклид, извадете от 120 число, което е кратно на 36, в този случай това е 120 – 36*3 = 12. Сега извадете число, което е кратно на 12 от 120, получавате 120 – 12* 10 = 0. Следователно НОД (36, 120) = 12.
Двоичният алгоритъм за намиране на GCD се основава на теорията на преместването. Съгласно този метод gcd на две числа има следните свойства:
НОД (a, b) = 2*НОД (a/2, b/2) за четни a и b
НОД (a, b) = НОД (a/2, b) за четно а и нечетно b (обратното е вярно за НОД (a, b) = НОД (a, b/2))
НОД (a, b) = НОД ((a - b)/2, b) за нечетно a > b
НОД (a, b) = НОД ((b - a)/2, a) за нечетно b > a
Така gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
Най-малкото общо кратно (LCM) на две цели числа е най-малкото цяло число, което се дели на двете оригинални числа, без да оставя остатък.
LCM може да се изчисли с помощта на GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Вторият начин за изчисляване на LCM е каноничното разлагане на числа на прости множители:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
където r_i са прости числа, а k_i и m_i са цели числа ≥ 0.
LCM се представя под формата на същите прости множители, където максимумът от две числа се приема за степени.
Пример.
Намерете LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), като ще обърнем специално внимание на решаването на примери. Първо, ще покажем как LCM на две числа се изчислява с помощта на GCD на тези числа. След това ще разгледаме намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.
Навигация в страницата.
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD
Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ни позволява да изчислим най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известен най-голям общ делител. Съответната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Нека да разгледаме примери за намиране на LCM с помощта на дадената формула.
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на две числа 126 и 70.
Решение.
В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа, използвайки написаната формула.
Нека намерим НОД(126, 70) с помощта на евклидовия алгоритъм: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следователно НОД(126, 70)=14.
Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: НОД(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630.
Отговор:
LCM(126, 70)=630.
Пример.
На какво е равно LCM(68, 34)?
Решение.
защото 68 се дели на 34, тогава НОД(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: НОД(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68.
Отговор:
LCM(68, 34)=68.
Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако съставите произведение от всички прости множители на дадени числа и след това изключите от това произведение всички общи прости множители, присъстващи в разлаганията на дадените числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на дадените числа .
Посоченото правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширяването на числата a и b. На свой ред НОД(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, присъстващи едновременно в разложенията на числата a и b (както е описано в раздела за намиране на НОД с помощта на разлагането на числата на прости множители).
Да дадем пример. Уведомете ни, че 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Нека съставим произведението от всички множители на тези разширения: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега от този продукт изключваме всички фактори, присъстващи както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (тези фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2·3·5·5·7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на 75 и 210, т.е. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Пример.
Разложете числата 441 и 700 на прости множители и намерете най-малкото общо кратно на тези числа.
Решение.
Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:
Получаваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Сега нека създадем продукт от всички фактори, включени в разширяването на тези числа: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. По този начин, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Отговор:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Правилото за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако липсващите множители от разгръщането на число b се добавят към множителите от разгръщането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.
Например, нека вземем същите числа 75 и 210, техните разложения на прости множители са както следва: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Към множителите 3, 5 и 5 от разгръщането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разгръщането на числото 210, получаваме произведението 2·3·5·5·7, чиято стойност е равно на LCM(75, 210).
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Решение.
Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разгръщането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разгръщането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на 84 и 648 е 4536.
Отговор:
LCM(84, 648)=4,536.
Намиране на LCM на три или повече числа
Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Нека си припомним съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.
Теорема.
Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Нека разгледаме приложението на тази теорема, използвайки примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.
Пример.
Намерете LCM на четири числа 140, 9, 54 и 250.
Решение.
В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Първо намираме m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). За да направим това, използвайки алгоритъма на Евклид, определяме НОД(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, следователно, НОД(140, 9)=1 , от където НОД(140, 9)=140 9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1,260. Тоест m 2 =1 260.
Сега намираме m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Нека го изчислим чрез НОД(1 260, 54), който също определяме с помощта на Евклидовия алгоритъм: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогава gcd(1,260, 54)=18, от което gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоест m 3 =3 780.
Остава само да се намери m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3,780, 250) с помощта на Евклидовия алгоритъм: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Следователно GCM(3780, 250)=10, откъдето GCM(3780, 250)= 3 780 250: НОД(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Тоест, m 4 =94 500.
Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.
Отговор:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
В много случаи е удобно да се намери най-малкото общо кратно на три или повече числа, като се използват прости фактори на дадените числа. В този случай трябва да се придържате към следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.
Нека разгледаме пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на прости множители.
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на петте числа 84, 6, 48, 7, 143.
Решение.
Първо, получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е просто число, то съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11·13.
За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2, 2, 3 и 7), трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6. Разлагането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разлагането на първото число 84. След това към факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите фактори 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма да е необходимо да добавяте множители към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разгръщането на числото 143. Получаваме произведението 2·2·2·2·3·7·11·13, което е равно на 48 048.