Gdje je x i gdje y u koordinatama. Šta je koordinatni sistem? Primena koordinatnih sistema u geodeziji

Ako se nalazite u nekoj nulti tački i razmišljate o tome koliko vam je jedinica udaljenosti potrebno da idete pravo, a zatim pravo desno da biste došli do neke druge tačke, onda već koristite pravougaoni Dekartov koordinatni sistem na ravni. A ako je tačka iznad ravnine na kojoj stojite, a vašim izračunima se dodaje uspon do tačke uz stepenice striktno prema gore, također za određeni broj jedinica udaljenosti, tada već koristite pravokutni kartezijanski koordinatni sistem u svemiru.

Uređeni sistem od dve ili tri ose koje se seku okomite jedna na drugu sa zajedničkim ishodištem (poreklom) i zajedničkom jedinicom dužine naziva se pravougaoni Dekartov koordinatni sistem .

Ime francuskog matematičara Renea Descartesa (1596-1662) prvenstveno se vezuje za takav koordinatni sistem u kojem se na svim osama mjeri zajednička jedinica dužine, a ose su ravne. Osim pravougaonog, postoji zajednički Dekartov koordinatni sistem (afini koordinatni sistem). Također može uključivati ​​ne nužno okomite ose. Ako su osi okomite, onda je koordinatni sistem pravougaoni.

Pravougaoni Dekartov koordinatni sistem na ravni ima dvije ose pravougaoni Dekartov koordinatni sistem u prostoru - tri osovine. Svaka tačka na ravni ili u prostoru određena je uređenim skupom koordinata - brojeva u skladu sa jediničnom dužinom koordinatnog sistema.

Imajte na umu da, kao što slijedi iz definicije, postoji kartezijanski koordinatni sistem na pravoj liniji, odnosno u jednoj dimenziji. Uvođenje Dekartovih koordinata na pravu je jedan od načina na koji se bilo kojoj tački na pravoj liniji pripisuje dobro definiran realni broj, odnosno koordinata.

Metoda koordinata, koja je nastala u djelima Renéa Descartesa, označila je revolucionarno restrukturiranje cjelokupne matematike. Postalo je moguće tumačiti algebarske jednadžbe (ili nejednačine) u obliku geometrijskih slika (grafova) i, obrnuto, tražiti rješenje geometrijskih problema koristeći analitičke formule, sisteme jednadžbi. Da, nejednakost z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy i nalazi se iznad ove ravni za 3 jedinice.

Uz pomoć kartezijanskog koordinatnog sistema, pripadnost tačke datoj krivoj odgovara činjenici da su brojevi x i y zadovoljiti neku jednačinu. Dakle, koordinate tačke kružnice sa centrom u datoj tački ( a; b) zadovoljavaju jednačinu (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Pravougaoni Dekartov koordinatni sistem na ravni

Dvije okomite ose na ravni sa zajedničkim ishodištem i istom mjernom jedinicom Dekartov koordinatni sistem na ravni . Jedna od ovih osa se naziva osa Ox, ili x-osa , drugi - osovina Oy, ili y-osa . Ove ose se još nazivaju i koordinatne ose. Označiti sa Mx i My odnosno projekcija proizvoljne tačke M na osovini Ox i Oy. Kako doći do projekcija? Prođite kroz tačku M Ox. Ova linija siječe osu Ox u tački Mx. Prođite kroz tačku M prava linija okomita na osu Oy. Ova linija siječe osu Oy u tački My. Ovo je prikazano na donjoj slici.

x i y bodova M zvaćemo respektivno veličine usmerenih segmenata OMx i OMy. Vrijednosti ovih usmjerenih segmenata se računaju kao x = x0 - 0 i y = y0 - 0 . Kartezijanske koordinate x i y bodova M apscisa i ordinate . Činjenica da je tačka M ima koordinate x i y, označava se kako slijedi: M(x, y) .

Koordinatne ose dijele ravan na četiri kvadrant , čija je numeracija prikazana na donjoj slici. Također označava raspored znakova za koordinate tačaka, ovisno o njihovoj lokaciji u jednom ili drugom kvadrantu.

Pored kartezijanskih pravougaonih koordinata u ravni, često se razmatra i polarni koordinatni sistem. O načinu prelaska iz jednog koordinatnog sistema u drugi - u lekciji polarni koordinatni sistem .

Pravougaoni kartezijanski koordinatni sistem u prostoru

Kartezijanske koordinate u prostoru uvode se u potpunoj analogiji sa kartezijanskim koordinatama na ravni.

Tri međusobno okomite ose u prostoru (koordinatne ose) sa zajedničkim ishodištem O i isti oblik jedinice skale Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem u prostoru .

Jedna od ovih osa se naziva osa Ox, ili x-osa , drugi - osovina Oy, ili y-osa , treća - os Oz, ili aplicirana osovina . Neka Mx, My Mz- projekcije proizvoljne tačke M razmaci na osi Ox , Oy i Oz respektivno.

Prođite kroz tačku M OxOx u tački Mx. Prođite kroz tačku M ravan okomitu na osu Oy. Ova ravan seče osu Oy u tački My. Prođite kroz tačku M ravan okomitu na osu Oz. Ova ravan seče osu Oz u tački Mz.

Kartezijanske pravokutne koordinate x , y i z bodova M zvaćemo respektivno veličine usmerenih segmenata OMx, OMy i OMz. Vrijednosti ovih usmjerenih segmenata se računaju kao x = x0 - 0 , y = y0 - 0 i z = z0 - 0 .

Kartezijanske koordinate x , y i z bodova M su imenovani u skladu s tim apscisa , ordinate i applique .

Uzete u parovima, koordinatne ose se nalaze u koordinatnim ravnima xOy , yOz i zOx .

Problemi oko tačaka u Dekartovom koordinatnom sistemu

Primjer 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Pronađite koordinate projekcija ovih tačaka na x-osu.

Odluka. Kao što slijedi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na x-osu nalazi se na samoj x-osi, tj. Ox, i stoga ima apscisu jednaku apscisi same tačke i ordinatu (koordinatu na osi Oy, koju x-osa seče u tački 0), jednako nuli. Tako dobijamo sljedeće koordinate ovih tačaka na x-osi:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Primjer 2 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Pronađite koordinate projekcija ovih tačaka na y-osu.

Odluka. Kao što slijedi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na y-os nalazi se na samoj y-osi, tj. Oy, pa stoga ima ordinatu jednaku ordinati same tačke i apscisu (koordinatu na osi Ox, koju y-osa seče u tački 0), jednako nuli. Tako dobijamo sledeće koordinate ovih tačaka na y-osi:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Primjer 3 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox, imaće istu apscisu kao i data tačka, a ordinatu jednaku po apsolutnoj vrednosti ordinati date tačke, a suprotna joj predznaka. Tako dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko ose Ox :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Primjer 4 Odredite u kojim kvadrantima (četvrtine, figura sa kvadrantima - na kraju pasusa "Pravougaoni Kartezijanski koordinatni sistem na ravni") se tačka može locirati M(x; y) , ako

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Primjer 5 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Pronađite koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko ose Oy .

Nastavljamo da zajedno rješavamo probleme

Primjer 6 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Pronađite koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko ose Oy .

Odluka. Rotirajte za 180 stepeni oko ose Oy usmjeren segment od ose Oy do ove tačke. Na slici, na kojoj su označeni kvadranti ravni, vidimo da je tačka simetrična datoj u odnosu na osu Oy, imaće istu ordinatu kao i data tačka, a apscisu jednaku apsolutnoj vrednosti apscisi date tačke, a suprotnu joj predznaku. Tako dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih ovim tačkama oko ose Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Primjer 7 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu na ravni

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Pronađite koordinate tačaka koje su simetrične ovim tačkama u odnosu na ishodište.

Odluka. Rotiramo za 180 stepeni oko početka usmerenog segmenta koji ide od početka do date tačke. Na slici, na kojoj su označeni kvadranti ravnine, vidimo da će tačka simetrična datoj u odnosu na početak koordinata imati apscisu i ordinatu jednaku apsolutnoj vrijednosti apscisi i ordinati date tačke , ali suprotnog znaka od njih. Tako dobijamo sledeće koordinate tačaka simetrične ovim tačkama u odnosu na ishodište:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Primjer 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Pronađite koordinate projekcija ovih tačaka:

1) u avionu Oxy ;

2) do aviona Oxz ;

3) do aviona Oyz ;

4) na osi apscise;

5) na y-osi;

6) na osi aplikacije.

1) Projekcija tačke na ravan Oxy nalazi se na samoj ovoj ravni, pa stoga ima apscisu i ordinatu jednaku apscisi i ordinati date tačke, a aplikat jednak nuli. Tako dobijamo sledeće koordinate projekcija ovih tačaka na Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projekcija tačke na ravan Oxz koji se nalazi na samoj ovoj ravni, pa stoga ima apscisu i aplikaciju jednaku apscisi i aplikati date tačke, a ordinatu jednaku nuli. Tako dobijamo sledeće koordinate projekcija ovih tačaka na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Projekcija tačke na ravan Oyz nalazi na samoj ovoj ravni, pa stoga ima ordinatu i aplikat jednaku ordinati i aplikati date tačke, a apscisu jednaku nuli. Tako dobijamo sledeće koordinate projekcija ovih tačaka na Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Kao što slijedi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija tačke na x-osu nalazi se na samoj x-osi, odnosno osi Ox, i stoga ima apscisu jednaku apscisi same tačke, a ordinata i aplikacija projekcije jednake su nuli (pošto ordinatna i apliktivna osa sijeku apscisu u tački 0). Dobijamo sljedeće koordinate projekcija ovih tačaka na x-osu:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Projekcija tačke na y-osu nalazi se na samoj y-osi, tj. Oy, pa stoga ima ordinatu jednaku ordinati same tačke, a apscisa i aplikata projekcije jednake su nuli (pošto apscisa i aplikirana osa sijeku os ordinate u tački 0). Dobijamo sljedeće koordinate projekcija ovih tačaka na y-osu:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Projekcija tačke na aplikativnoj osi nalazi se na samoj aplikativnoj osi, odnosno osi Oz, i stoga ima aplikaciju jednaku aplikaciji same tačke, a apscisa i ordinata projekcije su jednake nuli (pošto apscisa i ordinatna osa sijeku aplikantnu osu u tački 0). Dobijamo sljedeće koordinate projekcija ovih tačaka na aplikativnoj osi:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Primjer 9 Tačke su date u Dekartovom koordinatnom sistemu u prostoru

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Pronađite koordinate tačaka koje su simetrične ovim tačkama u odnosu na:

1) avion Oxy ;

2) avion Oxz ;

3) avion Oyz ;

4) apscisa osa;

5) y-osa;

6) osovina aplikacije;

7) ishodište koordinata.

1) "Pomaknite" tačku na drugoj strani ose Oxy Oxy, imaće apscisu i ordinatu jednaku apscisi i ordinati date tačke, i aplikaciju jednaku po veličini aplikati date tačke, ali suprotnu joj predznaku. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih podacima u odnosu na ravan Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Pomaknite" tačku na drugoj strani ose Oxz za istu udaljenost. Prema slici koja prikazuje koordinatni prostor, vidimo da je tačka simetrična datoj u odnosu na osu Oxz, imaće apscisu i aplikaciju jednaku apscisi i aplikati date tačke, i ordinatu jednaku po veličini ordinati date tačke, ali suprotnu po predznaku. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih podacima u odnosu na ravan Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Pomaknite" tačku na drugoj strani ose Oyz za istu udaljenost. Prema slici koja prikazuje koordinatni prostor, vidimo da je tačka simetrična datoj u odnosu na osu Oyz, imaće ordinatu i aplikat jednaku ordinati i aplikatu date tačke, i apscisu jednaku po veličini apscisi date tačke, ali suprotnu joj predznaku. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetričnih podacima u odnosu na ravan Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Po analogiji sa simetričnim tačkama na ravni i tačkama u prostoru simetričnim podacima u odnosu na ravni, napominjemo da u slučaju simetrije oko neke ose kartezijanskog koordinatnog sistema u prostoru, koordinata na osi oko koje je postavljena simetrija će zadržati svoj predznak, a koordinate na druge dvije ose po apsolutnoj vrijednosti će biti iste kao koordinate date tačke, ali suprotne po predznaku.

4) Apscisa će zadržati svoj predznak, dok će ordinata i aplikacija promijeniti predznak. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetrične sa podacima o x-osi:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinata će zadržati svoj predznak, dok će apscisa i aplikacija promijeniti predznake. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetrične sa podacima o y-osi:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplikacija zadržava svoj predznak, a apscisa i ordinata mijenjaju predznake. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka simetrične sa podacima o aplikativnoj osi:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Po analogiji sa simetrijom u slučaju tačaka na ravni, u slučaju simetrije oko ishodišta, sve koordinate tačke simetrične datoj bit će po apsolutnoj vrijednosti jednake koordinatama date tačke, ali suprotne u znak njima. Dakle, dobijamo sledeće koordinate tačaka koje su simetrične podacima u odnosu na ishodište.


Da biste postavili kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem, morate odabrati nekoliko međusobno okomitih linija, koje se nazivaju osi. Tačka presjeka O osi naziva se ishodište.

Na svakoj osi morate postaviti pozitivan smjer i odabrati jedinicu skale. Koordinate tačke P smatraju se pozitivnim ili negativnim, u zavisnosti od toga na koju poluos pada projekcija tačke P.

Rice. 2

Kartezijanske pravougaone koordinate tačke P na površini dva međusobno okomite prave - koordinatne ose ili, što je isto, projekcije radijus vektora r P bodova dalje dva

Kada govorimo o dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu, horizontalna osa se naziva osa apscisa(Ox os), vertikalna osa - os ordinate(os Oy). Pozitivni smjerovi se biraju na osi Ox - desno, na osi Oy - gore. Koordinate x i y nazivaju se apscisa, odnosno ordinata tačke.

Oznaka P(a,b) znači da tačka P na ravni ima apscisu a i ordinatu b.

Kartezijanske pravokutne koordinate bodovi P u 3D prostoru nazivaju uzeti sa određenim predznakom udaljenosti (izražene u jedinicama skale) ove tačke do tri međusobno okomite koordinatne ravni ili, što je isto, projekcije radijus vektora r P bodova dalje tri međusobno okomite koordinatne ose.

Ovisno o relativnom položaju pozitivnih smjerova koordinatnih osa, lijevo i u pravu koordinatni sistemi.

Rice. 3a
 Rice. 3b

Po pravilu koristite pravi koordinatni sistem. Biraju se pozitivni pravci: na osi Ox - prema posmatraču; na osi Oy - desno; na osi Oz - gore. Koordinate x, y, z nazivaju se apscisa, ordinata i primjena.

Koordinatne površine za koje jedna od koordinata ostaje konstantna su ravni paralelne sa koordinatnim ravnima, a koordinatne linije duž kojih se mijenja samo jedna koordinata su ravne linije paralelne s koordinatnim osama. Koordinatne površine se sijeku duž koordinatnih linija.

Pisanje P(a,b,c) znači da tačka Q ima apscisu a, ordinatu b i aplikaciju c.

Krenimo direktnim logičnim putem, a da nas ne ometaju mnogi savremeni međunarodni i domaći naučni termini. Koordinatni sistem se može prikazati kao određeni referentni sistem orijentisan na ravni u dva smera, au prostoru u tri. Ako se prisjetimo matematičkog sistema, onda ga predstavljaju dva međusobno okomita smjera, koji imaju nazive osa apscise (X) i ordinate (Y). Orijentirani su u horizontalnom i okomitom smjeru. Presjek ovih linija je ishodište sa nultim vrijednostima u apsolutnoj vrijednosti. A lokacija tačaka na ravni se određuje pomoću dvije koordinate X i Y. U geodeziji, orijentacija osa na ravni je drugačija od matematike. Planarni pravougaoni sistem definiran je osom X u vertikalnom položaju (smjer sjevera) i osom Y u horizontalnom položaju (smjer istoka).

Klasifikacija koordinatnih sistema

U geodeziji se svi koordinatni sistemi mogu predstaviti kao dvije grupe:

  • pravolinijski pravougaoni
  • polar

U obje grupe razlikuju se i ravni (dvodimenzionalni) i prostorni (trodimenzionalni) sistemi.

Pravougaoni pravougaoni sistemi uključuju Gauss-Krugerovu cilindričnu projekciju, individualne referentne i lokalne koordinatne sisteme.

Polarni sistemi obuhvataju geografske, astronomske i geodetske, geocentrične i tocentrične sisteme.

Geografski koordinatni sistem

Zatvorena površina vanjske konture Zemlje predstavljena je sferoidnim geometrijskim oblikom. Lukovi na površini lopte mogu se uzeti kao glavni smjerovi orijentacije na njoj. Na pojednostavljenom prikazu redukovanog modela naše planete u obliku globusa (figura zemlje), možete vizualno vidjeti prihvaćene referentne linije u obliku griničkog meridijana i ekvatorijalne linije.

U ovom primjeru, to je prostorni sistem geografskih koordinata koji je općenito prihvaćen u cijelom svijetu. Uvodi koncepte geografske dužine i širine. Imajući mjerne jedinice stepena, predstavljaju ugaonu vrijednost. Mnogima su poznate njihove definicije. Treba podsjetiti da geografska dužina određene tačke predstavlja ugao između dvije ravni koje prolaze kroz nulti (Greenwich) meridijan i meridijana na lokaciji koja se utvrđuje. Pod geografskom širinom tačke uzima se ugao formiran između viska (ili normale) na nju i ravni ekvatora.

Pojmovi astronomskih i geodetskih koordinatnih sistema i njihove razlike

Geografski sistem konvencionalno kombinuje astronomski i geodetski sistem. Da biste razumjeli koje razlike još postoje, obratite pažnju na definicije geodetskih i astronomskih koordinata (dužina, širina, visina). U astronomskom sistemu, geografska širina se smatra uglom između ekvatorijalne ravni i viska u tački definicije. I sam oblik Zemlje u njemu smatra se uslovnim geoidom, matematički približno izjednačenim sa sferom. U geodetskom sistemu geodetsku širinu formiraju normala na površinu zemljinog elipsoida u određenoj tački i ravninom ekvatora. Treće koordinate u ovim sistemima daju konačnu ideju o njihovim razlikama. Astronomska (ortometrijska) visina je nadmorska visina duž linije viska između stvarne visine i tačke na površini geoida nivoa. Geodetska visina je normalna udaljenost od površine elipsoida do proračunske točke.

Gauss-Krüger-ov pravokutni koordinatni sistem

Svaki koordinatni sistem ima svoju teorijsku naučnu i praktičnu ekonomsku primenu, kako na globalnom, tako i na regionalnom nivou. U nekim specifičnim slučajevima moguće je koristiti referentne, lokalne i uslovne koordinatne sisteme, ali koji se, matematičkim proračunima i proračunima, ipak mogu međusobno kombinovati.

Geodetski pravougaoni planarni koordinatni sistem je projekcija pojedinačnih šestostepenih zona elipsoida. Upisivanjem ove figure unutar horizontalno postavljenog cilindra, svaka zona se posebno projektuje na unutrašnju cilindričnu površinu. Zone takvog sferoida ograničene su meridijanima sa korakom od šest stepeni. Kada se postavi u avion, dobija se projekcija, koja je nazvana po njemačkim naučnicima koji su je razvili Gauss-Kruger. Na ovaj način projekcije, uglovi između bilo kojih pravaca zadržavaju svoje veličine. Stoga se ponekad naziva i jednakokutnim. Osa apscise u zoni prolazi kroz centar, kroz uslovni aksijalni meridijan (X osa), a osa ordinata duž linije ekvatora (Y osa). Dužina linija duž aksijalnog meridijana prenosi se bez izobličenja, a duž ekvatorijalne linije sa izobličenjem na rubove zone.

Polarni koordinatni sistem

Pored gore opisanog pravougaonog koordinatnog sistema, treba napomenuti prisustvo i upotrebu ravnog polarnog koordinatnog sistema u rješavanju geodetskih problema. Za početni referentni smjer koristi se os sjevernog (polarnog) smjera, otuda i naziv. Za određivanje položaja tačaka na ravni, koriste se polarni (direkcioni) ugao i radijus vektor (horizontalna udaljenost) do tačke. Podsjetimo da je usmjereni ugao ugao mjeren od prvobitnog (sjevernog) smjera do utvrđenog. Radijus vektor se izražava u definiciji horizontalne udaljenosti. Geodetska mjerenja vertikalnog ugla i udaljenosti nagiba dodaju se prostornom polarnom sistemu kako bi se odredila 3D pozicija tačaka. Ova metoda se skoro svakodnevno koristi u trigonometrijskom nivelmanu, topografskim premjerima i za izradu geodetskih mreža.

Geocentrični i tocentrični koordinatni sistemi

Satelitski geocentrični i tocentrični koordinatni sistemi su djelimično raspoređeni prema istoj polarnoj metodi, sa jedinom razlikom što glavne ose trodimenzionalnog prostora (X, Y, Z) imaju različito porijeklo i smjer. U geocentričnom sistemu, ishodište koordinata je centar mase Zemlje. X os je usmjerena duž griničkog meridijana prema ekvatoru. Y-osa je postavljena u pravougaoni položaj istočno od X. Osa Z u početku ima polarni smjer duž male ose elipsoida. Njegove koordinate su:

  • u ekvatorijalnoj ravni geocentrična desna ascenzija satelita
  • u meridijanskoj ravni geocentrična deklinacija satelita
  • geocentrični radijus vektor je udaljenost od Zemljinog centra gravitacije do satelita.

Pri posmatranju kretanja satelita sa tačke na površini zemlje koristi se tocentrični sistem čije su koordinatne ose paralelne sa osama geocentričnog sistema, a tačka posmatranja se smatra njegovim početkom. Koordinate u takvom sistemu:

  • tocentrični satelit pravoascenzije
  • tocentrična satelitska deklinacija
  • tocentrični radijus vektor satelita
  • geocentrični radijus vektor na tački posmatranja.

Savremeni satelitski globalni referentni sistemi WGS-84, PZ-90 uključuju ne samo koordinate, već i druge parametre i karakteristike važne za geodetska mjerenja, osmatranja i navigaciju. To uključuje geodetske i druge konstante:

  • originalni geodetski datumi
  • podaci zemaljskog elipsoida
  • model geoida
  • model gravitacionog polja
  • vrednosti gravitacione konstante
  • vrijednost brzine svjetlosti i dr.

Svaki savremeni čovjek mora znati šta je koordinatni sistem. Svaki dan se susrećemo sa takvim sistemima, a da ne razmišljamo o tome šta su. Jednom u školi, naučili smo osnovne pojmove, otprilike znamo da postoji x-osa, y-osa i referentna tačka jednaka nuli. U stvari, sve je mnogo složenije, postoji nekoliko varijanti koordinatnih sistema. U članku ćemo detaljno razmotriti svaki od njih, a također ćemo dati detaljan opis gdje i zašto se koriste.

Definicija i obim

Koordinatni sistem je skup definicija koji specificira položaj tijela ili tačke pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuju lokaciju određene tačke naziva se koordinate ove tačke. Koordinatni sistemi se koriste u mnogim oblastima nauke, na primer, u matematici, koordinate su skup brojeva koji su povezani sa tačkama u nekoj mapi unapred određenog atlasa. U geometriji, koordinate su veličine koje određuju lokaciju tačke u prostoru i na ravni. U geografiji, koordinate označavaju geografsku širinu, dužinu i nadmorsku visinu iznad opšteg nivoa mora, okeana ili druge poznate vrednosti. U astronomiji, koordinate su veličine koje omogućavaju određivanje položaja zvijezde, kao što su deklinacija i prava ascenzija. Ovo nije potpuna lista gdje se koriste koordinatni sistemi. Ako mislite da su ovi pojmovi daleko od ljudi koje nauka ne zanima, onda vjerujte da su u svakodnevnom životu mnogo češći nego što mislite. Uzmite barem kartu grada, zašto nemate koordinatni sistem?

Nakon što smo se pozabavili definicijom, pogledajmo koje vrste koordinatnih sistema postoje i šta su.

Zonski koordinatni sistem

Ovaj koordinatni sistem se uglavnom koristi za razna horizontalna snimanja i izradu pouzdanih planova terena. Zasnovan je na konformnoj poprečno-cilindričnoj Gaussovoj projekciji. U ovoj projekciji, cijela površina Zemljinog geoida podijeljena je meridijanima u zone od 6 stepeni i numerisana od 1. do 60. istočno od Griničkog meridijana. U ovom slučaju, prosječni meridijan ove zone sa 6 uglja naziva se aksijalni. Uobičajeno je kombinirati ga s unutarnjom površinom cilindra i smatrati ga osom apscise. Da bi se izbjegle negativne vrijednosti ordinata (y), ordinata na aksijalnom meridijanu (početna referentna tačka) uzima se ne kao nula, već kao 500 km, odnosno pomiče se 500 km na zapad. Prije ordinate mora se navesti broj zone.

Gauss-Krugerov koordinatni sistem

Ovaj koordinatni sistem je zasnovan na projekciji koju je predložio poznati njemački naučnik Gauss, a razvio Kruger za korištenje u geodeziji. Suština ove projekcije je da je Zemljina sfera uslovno podijeljena meridijanima na zone od šest stepeni. Zone su numerisane od Griničkog meridijana od zapada prema istoku. Poznavajući broj zone, možete lako odrediti srednji meridijan, koji se zove aksijalni meridijan, koristeći formulu Z = 60(n) - 3, gdje je (n) broj zone. Za svaku zonu pravi se ravna slika projektovanjem na bočnu površinu cilindra čija je osa okomita na Zemljinu osu. Ovaj cilindar se zatim postavlja korak po korak na ravninu. Ekvator i centralni meridijan su prikazani kao prave linije. Osa apscise u svakoj zoni je aksijalni meridijan, a ekvator djeluje kao ordinatna osa. Početna referentna tačka je tačka preseka ekvatora i aksijalnog meridijana. Apscise se računaju sjeverno od ekvatora samo sa znakom plus, a južno od ekvatora samo sa znakom minus.

Polarni koordinatni sistem na ravni

Ovo je dvodimenzionalni koordinatni sistem, svaka tačka u kojoj je na ravni definisana sa dva broja - polarnim radijusom i polarnim uglom. Polarni koordinatni sistem je koristan kada je odnose između tačaka lakše predstaviti kao uglove i poluprečnike. Polarni koordinatni sistem definiran je zrakom koji se naziva polarna ili nulta osa. Tačka iz koje ovaj zrak izlazi naziva se pol ili ishodište. Proizvoljnu tačku na ravni određuju samo dvije polarne koordinate: ugaona i radijalna. Radijalna koordinata jednaka je udaljenosti od tačke do početka koordinatnog sistema. Ugaona koordinata jednaka je kutu za koji je potrebno rotirati polarnu osu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu da bi se došlo do točke.

Pravougaoni koordinatni sistem

Šta je pravougaoni koordinatni sistem, verovatno znate iz školske klupe, ali ipak, da se podsetimo još jednom. Pravougaoni koordinatni sistem je takav pravolinijski sistem u kojem se ose nalaze u prostoru ili na ravni i međusobno su okomite jedna na drugu. Ovo je najjednostavniji i najčešće korišteni koordinatni sistem. Može se direktno i prilično lako generalizirati na prostore bilo koje dimenzije, što također doprinosi njegovoj najširoj primjeni. Položaj tačke na ravni određen je s dvije koordinate - x i y, respektivno, postoji apscisa i ordinatna os.

Dekartov koordinatni sistem

Objašnjavajući šta je kartezijanski koordinatni sistem, prije svega, mora se reći da se radi o posebnom slučaju pravokutnog koordinatnog sistema, u kojem su iste razmjere postavljene duž osa. U matematici se najčešće razmatra dvodimenzionalni ili trodimenzionalni Kartezijanski koordinatni sistem. Koordinate su označene latiničnim slovima x, y, z i nazivaju se apscisa, ordinata i aplikacija. Koordinatna osa (OX) se obično naziva osa apscise, osa (OY) je osa y, a osa (OZ) je osa primjene.

Sada znate šta je koordinatni sistem, šta su i gde se koriste.

Pravougaoni koordinatni sistem- pravolinijski koordinatni sistem sa međusobno okomitim osama na ravni ili u prostoru. Najjednostavniji i stoga najčešće korišteni koordinatni sistem. Vrlo se lako i direktno generalizira na prostore bilo koje dimenzije, što također doprinosi njegovoj širokoj primjeni.

Povezani pojmovi: Kartezijanski obično se naziva pravougaoni koordinatni sistem sa istom skalom duž osa (nazvan po René-Descartesu), i zajednički Dekartov koordinatni sistem se zove afini sistem koordinata (ne pravougaoni).

Enciklopedijski YouTube

  • 1 / 5

    Pravougaoni koordinatni sistem na ravni formiraju dve međusobno okomite koordinatne ose i O (\displaystyle O), koji se naziva ishodištem koordinata, svaka osa ima pozitivan smjer.

    Položaj tačke A (\displaystyle A) na ravni je određena sa dvije koordinate x (\displaystyle x) i y (\displaystyle y). Koordinate x (\displaystyle x) jednaka dužini segmenta O B (\displaystyle OB), koordinata y (\displaystyle y)- dužina segmenta O C (\displaystyle OC) O B (\displaystyle OB) i O C (\displaystyle OC) definisana linijama povučenim iz tačke A (\displaystyle A) paralelno sa osama Y ′ Y (\displaystyle Y"Y) i X ′ X (\displaystyle X"X) respektivno.

    Sa ovom koordinatom x (\displaystyle x) B (\displaystyle B) leži na gredi (a ne na gredi OX (\displaystyle OX), kao na slici). Koordinate y (\displaystyle y) znak minus se dodeljuje ako je tačka C (\displaystyle C) leži na gredi. Na ovaj način, O X′ (\displaystyle OX") i O Y′ (\displaystyle OY") su negativni smjerovi koordinatnih osa (svaka koordinatna osa se tretira kao numerička osa).

    Osa x (\displaystyle x) nazvana x-osa, i osa y (\displaystyle y)- y-osa. Koordinate x (\displaystyle x) pozvao apscisa bodova A (\displaystyle A), koordinata y (\displaystyle y) - ordinate bodova A (\displaystyle A).

    A (x, y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x, y) (\displaystyle A=(x,\;y))

    ili označite pripadnost koordinata određenoj tački koristeći indeks:

    x A , x B (\displaystyle x_(A),x_(B))

    Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru(u ovom pasusu mislimo na trodimenzionalni prostor, više multidimenzionalnih prostora - vidi dolje) formiraju tri međusobno okomite koordinatne ose OX (\displaystyle OX), O Y (\displaystyle OY) i OZ (\displaystyle OZ). Koordinatne ose se sijeku u tački O (\displaystyle O), koji se zove ishodište, na svakoj osi se bira pozitivan smjer označen strelicama i jedinica mjerenja segmenata na osi. Jedinice su obično (ne nužno) iste za sve ose. OX (\displaystyle OX)- os apscisa, O Y (\displaystyle OY)- ordinata osi, OZ (\displaystyle OZ)- os primjena.

    Položaj tačke A (\displaystyle A) u prostoru je određena sa tri koordinate x (\displaystyle x), y (\displaystyle y) i z (\displaystyle z). Koordinate x (\displaystyle x) jednaka dužini segmenta O B (\displaystyle OB), koordinata y (\displaystyle y)- dužina segmenta O C (\displaystyle OC), koordinata z (\displaystyle z)- dužina segmenta OD (\displaystyle OD) u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti O B (\displaystyle OB), O C (\displaystyle OC) i OD (\displaystyle OD) definisani su ravnima povučenim iz tačke A (\displaystyle A) paralelno sa ravnima Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ) i X O Y (\displaystyle XOY) respektivno.

    Koordinate x (\displaystyle x) nazvana apscisa tačke A (\displaystyle A), koordinata y (\displaystyle y)- ordinatna tačka A (\displaystyle A), koordinata z (\displaystyle z)- tačka primene A (\displaystyle A).

    Simbolično je napisano ovako:

    A (x, y, z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x, y, z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))

    ili povežite zapis koordinata za određenu točku koristeći indeks:

    x A , y A , z A (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))

    Svaka os se smatra numeričkom linijom, tj. ima pozitivan smjer, a negativne koordinate su dodijeljene točkama koje leže na negativnoj zraki (razdaljina se uzima sa predznakom minus). To je, na primjer, poenta B (\displaystyle B) ne leži kao na slici - na gredi OX (\displaystyle OX), a na njegovom nastavku u suprotnom smjeru od tačke O (\displaystyle O)(na negativnom dijelu ose OX (\displaystyle OX)), zatim apscisa x (\displaystyle x) bodova A (\displaystyle A) bio bi negativan (minus udaljenost O B (\displaystyle OB)). Slično za druge dvije ose.

    Svi pravougaoni koordinatni sistemi u trodimenzionalnom prostoru podeljeni su u dve klase - prava(takođe korišteni termini pozitivno, standard) i lijevo. Obično, podrazumevano, pokušavaju da koriste desnoruke koordinatne sisteme, a kada su grafički prikazani, takođe ih postavljaju, ako je moguće, u jednu od nekoliko uobičajenih (tradicionalnih) pozicija. (Slika 2 prikazuje desni koordinatni sistem). Desni i lijevi koordinatni sistem ne mogu se kombinirati rotacijama tako da se odgovarajuće ose (i njihovi smjerovi) poklapaju. Moguće je odrediti kojoj klasi pripada određeni koordinatni sistem pomoću pravila desne ruke, zavojnog pravila itd. (pozitivni smjer osi se bira tako da se pri rotaciji ose OX (\displaystyle OX) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90° njegov pozitivni smjer se poklopio s pozitivnim smjerom ose O Y (\displaystyle OY), ako se ova rotacija promatra sa strane pozitivnog smjera ose OZ (\displaystyle OZ)).

    Pravougaoni koordinatni sistem u višedimenzionalnom prostoru

    Pravougaoni koordinatni sistem se takođe može koristiti u prostoru bilo koje konačne dimenzije na isti način kao što se radi za trodimenzionalni prostor. Broj koordinatnih osa u ovom slučaju jednak je dimenziji prostora (u ovom dijelu ćemo ga označiti n).

    Koordinate se obično ne označavaju različitim slovima, već istim slovom sa numeričkim indeksom. Najčešće je to:

    x 1 , x 2 , x 3 , … x n . (\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\dots x_(n).)

    Odrediti proizvoljno i th koordinata iz ovog skupa koristi indeks slova:

    a često i oznaka x i , (\displaystyle x_(i),) koristite i za označavanje cijelog skupa, što implicira da se indeks provlači kroz cijeli skup vrijednosti: i = 1 , 2 , 3 , … n (\displaystyle i=1,2,3,\dots n).

    U bilo kojoj dimenziji prostora, pravougaoni koordinatni sistemi se dijele u dvije klase, desnu i lijevu (ili pozitivne i negativne). Za višedimenzionalne prostore, jedan od koordinatnih sistema se proizvoljno (uslovno) naziva desnim, a ostali ispadaju desni ili levi, zavisno od toga da li imaju istu orijentaciju ili ne.

    Pravokutne vektorske koordinate

    Za definiranje pravougaonika vektorske koordinate(primjenjivo za predstavljanje vektora bilo koje dimenzije), možemo poći od činjenice da se koordinate vektora (usmjerenog segmenta), čiji je početak u početku, poklapaju sa koordinatama njegovog kraja.

    Za vektore (usmjerene segmente) čije se ishodište ne poklapa sa ishodištem, pravokutne koordinate se mogu odrediti na jedan od dva načina:

    1. Vektor se može pomicati tako da mu se ishodište poklapa sa ishodištem). Zatim se njegove koordinate određuju na način opisan na početku pasusa: koordinate vektora pomaknutog tako da mu se početak poklapa sa ishodištem su koordinate njegovog kraja.
    2. Umjesto toga, možete jednostavno oduzeti od koordinata kraja vektora (usmjerenog segmenta) koordinate njegovog početka.
    • Za pravougaone koordinate, koncept vektorske koordinate poklapa se s konceptom ortogonalne projekcije vektora na smjer odgovarajuće koordinatne ose.

    U pravokutnim koordinatama, sve operacije na vektorima su vrlo jednostavno napisane:

    • Zbrajanje i množenje skalarom:
    a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , … , a n + b n) (\displaystyle \mathbf (a) +\mathbf (b) =(a_(1)+ b_(1),a_(2)+b_(2),a_(3)+b_(3),\dots ,a_(n)+b_(n))) (a + b) i = a i + b i , (\displaystyle (\mathbf (a) +\mathbf (b))_(i)=a_(i)+b_(i),) c a = (c a 1 , c a 2 , c a 3 , … , c a n) (\displaystyle c\ \mathbf (a) =(c\ a_(1),c\ a_(2),c\ a_(3),\ tačke ,c\ a_(n))) (c a) i = c a i . (\displaystyle (c\ \mathbf (a))_(i)=c\ a_(i).) i stoga oduzimanje i dijeljenje: a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 , … , a n − b n) (\displaystyle \mathbf (a) -\mathbf (b) =(a_(1)- b_(1),a_(2)-b_(2),a_(3)-b_(3),\dots ,a_(n)-b_(n))) (a − b) i = a i − b i , (\displaystyle (\mathbf (a) -\mathbf (b))_(i)=a_(i)-b_(i),) a λ = (a 1 λ , a 2 λ , a 3 λ , … , a n λ) (\displaystyle (\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))=(\Big ()(\frac (a_ (1))(\lambda )),(\frac (a_(2))(\lambda )),(\frac (a_(3))(\lambda )),\dots ,(\frac (a_(n ))(\lambda ))(\Big))) (a λ) i = a i λ . (\displaystyle (\Big ()(\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda )).)

    (Ovo važi za bilo koju dimenziju n i čak, zajedno sa pravougaonim koordinatama, za kose koordinate).

    a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\dots +a_(n)b_(n)) a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i , (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i),)

    (Samo u pravokutnim koordinatama s jediničnom skalom na svim osama).

    • Preko skalarnog proizvoda možete izračunati dužinu vektora
    | a | = a ⋅ a (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a) ))) i ugao između vektora ∠ (a, b) = a r c c o s a ⋅ b | a | ⋅ | b | (\displaystyle \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b) )(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |)))
    • i k (\displaystyle \mathbf (k) ) e x (\displaystyle \mathbf (e) _(x)), e y (\displaystyle \mathbf (e) _(y)) i e z (\displaystyle \mathbf (e) _(z)).

      Simboli strelice ( i → (\displaystyle (\vec (i))), j → (\displaystyle (\vec (j))) i k → (\displaystyle (\vec (k))) ili e → x (\displaystyle (\vec(e))_(x)), e → y (\displaystyle (\vec(e))_(y)) i e → z (\displaystyle (\vec(e))_(z))) ili druge u skladu sa uobičajenim načinom označavanja vektora u jednoj ili drugoj literaturi.

      U ovom slučaju, u slučaju desnog koordinatnog sistema, važe sljedeće formule sa vektor proizvodima vektora:

      Za dimenzije veće od 3 (ili za opći slučaj kada dimenzija može biti bilo koja) uobičajeno je da jedinični vektori umjesto toga koriste notaciju s numeričkim indeksima, prilično često ovo

      e 1 , e 2 , e 3 , … e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( e) _(n),)

      gdje n- dimenzija prostora.

      Vektor bilo koje dimenzije se dekomponuje prema bazi (koordinate služe kao koeficijenti proširenja):

      a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( e) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\dots +a_(n)\mathbf (e) _(n)) a = ∑ i = 1 n a i e i , (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i),) Pierre Fermat, međutim, njegova djela su prvi put objavljena nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo na ravni.

      Koordinatnu metodu za trodimenzionalni prostor prvi je primijenio Leonhard Euler već u 18. stoljeću. Upotreba orts očigledno seže do

Podijeli: