3 x višestruko. Kimanje i kimanje tri ili više brojeva. Nalaženje faktoriziranjem
Pogledajmo tri načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika.
Nalaženje faktoriziranjem
Prva metoda je pronaći najmanji zajednički višekratnik rastavljanjem danih brojeva na proste faktore.
Recimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, rastavimo svaki od ovih brojeva na proste faktore:
Da bi željeni broj bio djeljiv s 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da sadrži sve proste faktore ovih djelitelja. Da bismo to učinili, trebamo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću moguću potenciju i pomnožiti ih zajedno:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Prema tome, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije djeljiv s 99, 30 ili 28.
Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva, rastavite ih na njihove proste faktore, zatim uzmete svaki prosti faktor s najvećim eksponentom u kojem se pojavljuje i pomnožite te faktore.
Budući da relativno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je umnošku tih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su relativno prosti brojevi. Zato
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Isto se mora učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik raznih prostih brojeva. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Pronalaženje odabirom
Druga metoda je pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika odabirom.
Primjer 1. Kada se najveći od zadanih brojeva podijeli s drugim zadanim brojem, tada je LCM tih brojeva jednak najvećem od njih. Na primjer, dana su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, koristi se sljedeći postupak:
- Od zadanih brojeva odredi najveći broj.
- Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici najvećeg broja tako da ga množimo prirodnim brojevima rastućim redoslijedom i provjeravamo je li dobiveni umnožak djeljiv s preostalim danim brojevima.
Primjer 2. Zadana su tri broja 24, 3 i 18. Određujemo najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici broja 24, provjeravajući je li svaki od njih djeljiv s 18 i 3:
24 · 1 = 24 - djeljivo s 3, ali ne djeljivo s 18.
24 · 2 = 48 - djeljivo s 3, ali ne djeljivo s 18.
24 · 3 = 72 - djeljivo s 3 i 18.
Prema tome, LCM (24, 3, 18) = 72.
Nalaženje sekvencijalnim nalaženjem LCM
Treća metoda je pronaći najmanji zajednički višekratnik uzastopnim pronalaženjem LCM-a.
LCM dva zadana broja jednak je umnošku tih brojeva podijeljenih njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.
Primjer 1. Odredite LCM dva zadana broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:
Proizvod dijelimo prema njihovom gcd-u:
Dakle, LCM (12, 8) = 24.
Da biste pronašli LCM tri ili više brojeva, koristite sljedeći postupak:
- Prvo pronađite LCM bilo koja dva od ovih brojeva.
- Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i treći zadani broj.
- Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, itd.
- Stoga se potraga za LCM nastavlja sve dok ima brojeva.
Primjer 2. Nađimo LCM tri zadana broja: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Preostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik broja 24 i trećeg zadanog broja - 9. Odrediti njihov najveći zajednički djelitelj: NOD (24, 9) = 3. Pomnožiti LCM s brojem 9:
Proizvod dijelimo prema njihovom gcd-u:
Dakle, LCM (12, 8, 9) = 72.
LCM - najmanji zajednički višekratnik. Broj koji će sve zadane brojeve dijeliti bez ostatka.
Na primjer, ako su zadani brojevi 2, 3, 5, tada je LCM=2*3*5=30
A ako su zadani brojevi 2,4,8, tada je LCM =8
što je GCD?
GCD je najveći zajednički djelitelj. Broj koji se može koristiti za dijeljenje svakog od zadanih brojeva bez ostavljanja ostatka.
Logično je da ako su dani brojevi prosti, onda je gcd jednak jedan.
A ako su zadani brojevi 2, 4, 8, tada je GCD jednak 2.
Nećemo ga opisivati općenito, već ćemo jednostavno prikazati rješenje na primjeru.
Zadana su dva broja 126 i 44. Nađi GCD.
Zatim ako su nam dana dva broja oblika
Tada se GCD izračunava kao
gdje je min minimalna vrijednost svih potencija broja pn
i NOC as
gdje je max najveća vrijednost svih potencija broja pn
Gledajući gornje formule, lako možete dokazati da će gcd dva ili više brojeva biti jednak jedan, kada među barem jednim parom zadanih vrijednosti postoje relativno prosti brojevi.
Stoga je lako odgovoriti na pitanje čemu je jednak GCD brojeva kao što su 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 bez ikakvog izračunavanja.
brojevi 3 i 7 su prosti, pa je stoga gcd = 1
Pogledajmo primjer.
Dana su tri broja 24654, 25473 i 954
Svaki broj se rastavlja na sljedeće faktore
Ili, ako ga napišemo u alternativnom obliku
To jest, gcd ova tri broja je jednak tri
Pa, možemo izračunati LCM na sličan način, i on je jednak
Naš bot pomoći će vam izračunati GCD i LCM bilo kojeg cijelog broja, dva, tri ili deset.
Nastavimo razgovor o najmanjem zajedničkom višekratniku koji smo započeli u odjeljku “LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri.” U ovoj temi, pogledat ćemo načine kako pronaći LCM za tri ili više brojeva, a pogledat ćemo i pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD-a
Već smo utvrdili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada naučimo kako odrediti LCM kroz GCD. Prvo, shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.
Definicija 1
Najmanji zajednički višekratnik možete pronaći kroz najveći zajednički djelitelj pomoću formule LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Primjer 1
Morate pronaći LCM brojeva 126 i 70.
Riješenje
Uzmimo a = 126, b = 70. Zamijenimo vrijednosti u formulu za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Nalazi NNO brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklidov algoritam: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dakle GCD (126 , 70) = 14 .
Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Odgovor: LCM(126, 70) = 630.
Primjer 2
Pronađite brojeve 68 i 34.
Riješenje
GCD u ovom slučaju nije teško pronaći, jer je 68 djeljivo s 34. Izračunajmo najmanji zajednički višekratnik pomoću formule: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Odgovor: LCM(68, 34) = 68.
U ovom smo primjeru koristili pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika prirodnih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv s drugim, LCM tih brojeva bit će jednak prvom broju.
Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore
Sada pogledajmo metodu pronalaženja LCM-a, koja se temelji na rastavljanju brojeva na proste faktore.
Definicija 2
Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:
- sastavljamo umnožak svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
- isključujemo sve proste faktore iz njihovih rezultirajućih proizvoda;
- umnožak dobiven nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora bit će jednak LCM zadanih brojeva.
Ova metoda pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na jednakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ako pogledate formulu, postat će vam jasno: umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora koji sudjeluju u rastavljanju ova dva broja. U ovom slučaju, gcd dvaju brojeva jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ta dva broja.
Primjer 3
Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih faktorizirati na sljedeći način: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Ako sastavite umnožak svih faktora dva izvorna broja, dobit ćete: 2 3 3 5 5 5 7.
Ako isključimo faktore koji su zajednički brojevima 3 i 5, dobit ćemo umnožak sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.
Primjer 4
Pronađite LCM brojeva 441 I 700 , rastavljajući oba broja na proste faktore.
Riješenje
Pronađimo sve proste faktore brojeva danih u uvjetu:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Dobivamo dva niza brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.
Umnožak svih faktora koji su sudjelovali u rastavljanju ovih brojeva imat će oblik: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Pronađimo zajedničke faktore. Ovo je broj 7. Isključimo ga iz ukupnog proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispada da je NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Odgovor: LOC(441, 700) = 44 100.
Dajmo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva na proste faktore.
Definicija 3
Prethodno smo iz ukupnog broja isključili faktore zajedničke za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:
- Rastavimo oba broja na proste faktore:
- umnošku prostih faktora prvog broja dodati faktore drugog broja koji nedostaju;
- dobijemo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.
Primjer 5
Vratimo se brojevima 75 i 210 za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Rastavimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Umnošku faktora 3, 5 i 5 brojevima 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 I 7 brojevi 210. Dobivamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.
Primjer 6
Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.
Riješenje
Rastavimo brojeve iz uvjeta na jednostavne faktore: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmo umnošku faktore 2, 2, 3 i 7
brojevi 84 nedostaju faktori 2, 3, 3 i
3
brojevi 648. Dobivamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ovo je najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.
Pronalaženje LCM tri ili više brojeva
Bez obzira s koliko brojeva imamo posla, algoritam naših radnji uvijek će biti isti: uzastopno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorem.
Teorem 1
Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovi se brojevi nalaze sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Sada pogledajmo kako se teorem može primijeniti za rješavanje specifičnih problema.
Primjer 7
Trebate izračunati najmanji zajednički višekratnik četiriju brojeva 140, 9, 54 i 250 .
Riješenje
Uvodimo oznake: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Primijenimo Euklidov algoritam za izračunavanje GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobivamo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Dakle, m 2 = 1,260.
Izračunajmo sada koristeći isti algoritam m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Tijekom izračuna dobivamo m 3 = 3 780.
Samo trebamo izračunati m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Slijedimo isti algoritam. Dobivamo m 4 = 94 500.
LCM četiri broja iz uvjeta primjera je 94500.
Odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Kao što vidite, izračuni su jednostavni, ali prilično radno intenzivni. Da biste uštedjeli vrijeme, možete ići na drugi način.
Definicija 4
Nudimo vam sljedeći algoritam radnji:
- sve brojeve rastavljamo na proste faktore;
- umnošku faktora prvog broja pribrajamo faktore koji nedostaju iz umnoška drugog broja;
- proizvodu dobivenom u prethodnoj fazi dodamo nedostajuće faktore trećeg broja itd.;
- dobiveni umnožak bit će najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.
Primjer 8
Morate pronaći LCM pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Riješenje
Rastavimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti na proste faktore. Takvi brojevi koincidiraju s njihovim rastavljanjem na proste faktore.
Sada uzmimo umnožak prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i pribrojimo im faktore koji nedostaju drugog broja. Rastavili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u umnošku prvog broja. Stoga ih izostavljamo.
Nastavljamo zbrajati množitelje koji nedostaju. Prijeđimo na broj 48, od čijeg umnoška prostih faktora uzimamo 2 i 2. Zatim zbrajamo prosti faktor 7 iz četvrtog broja i faktore 11 i 13 iz petog. Dobivamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik izvornih pet brojeva.
Odgovor: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva
Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva, te brojeve prvo moramo zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim izvršiti izračune pomoću gornjih algoritama.
Primjer 9
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) i LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Takvi postupci su dopušteni zbog činjenice da ako to prihvatimo a I − a– suprotni brojevi,
zatim skup višekratnika broja a odgovara skupu višekratnika broja − a.
Primjer 10
Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 I − 45 .
Riješenje
Zamijenimo brojeve − 145 I − 45 na njihove suprotne brojeve 145 I 45 . Sada, pomoću algoritma, izračunavamo LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, nakon što smo prethodno odredili GCD pomoću Euklidskog algoritma.
Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .
Odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1,305.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo morate odrediti značenje pojma "višestruko".
Višekratnik broja A prirodan je broj koji je bez ostatka djeljiv s A. Stoga se brojevi koji su višekratnici broja 5 mogu smatrati brojevima 15, 20, 25 i tako dalje.
Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.
Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je s njima djeljiv bez ostatka.
Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva
Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svim tim brojevima.
Da biste pronašli LOC, možete koristiti nekoliko metoda.
Za male brojeve zgodno je zapisati sve višekratnike tih brojeva na crtu dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. Višekratnici se označavaju velikim slovom K.
Na primjer, višekratnici broja 4 mogu se napisati ovako:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj zapis se radi na sljedeći način:
LCM(4, 6) = 24
Sada zapišite zajedničke faktore za oba broja. U našoj verziji to je dva i pet. Međutim, u drugim slučajevima taj broj može biti jedna, dvije ili tri znamenke ili čak i više. Zatim morate raditi sa stupnjevima. Odaberite najmanju snagu za svaki faktor. U primjeru je dva na drugu potenciju i pet na prvu.
Na kraju, trebate samo pomnožiti dobivene brojeve. U našem slučaju sve je krajnje jednostavno: dva na kvadrat pomnožena s pet jednako je 20. Dakle, broj 20 možemo nazvati najvećim zajedničkim djeliteljem za 60 i 80.
Video na temu
Bilješka
Zapamtite da je prosti faktor broj koji ima samo 2 djelitelja: jedan i sam broj.
Koristan savjet
Osim ove metode, možete koristiti i Euklidov algoritam. Njegov potpuni opis, prikazan u geometrijskom obliku, nalazi se u Euklidovoj knjizi "Elementi".
Povezani članak
Zbrajanje i oduzimanje prirodnih razlomaka moguće je samo ako imaju isti nazivnik. Kako ne biste zakomplicirali izračune pri dovođenju na jedan nazivnik, pronađite najmanji zajednički djelitelj nazivnika i izvršite izračun.
Trebat će vam
- - sposobnost rastavljanja brojeva na proste faktore;
- - sposobnost izvođenja operacija s razlomcima.
upute
Zapiši zbrajanje razlomaka. Zatim pronađite njihov najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, izvršite sljedeći niz radnji: 1. Zamislite svaki od nazivnika u prostim brojevima (prost broj, broj koji je djeljiv samo s 1 i sam sa sobom bez ostatka, na primjer 2, 3, 5, 7, itd).2. Grupirajte sve jednostavne koji su ispisani, navodeći njihove stupnjeve. 3. Odaberite najveće potencije svakog od ovih prostih faktora koji se pojavljuju u ovim brojevima. 4. Pomnoži napisane potencije.
Na primjer, zajednički nazivnik za razlomke s nazivnicima 15, 24 i 36 bit će broj koji se može izračunati na sljedeći način: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2 Napiši najveće potencije svih prostih djelitelja ovih brojeva: 2^3 3^2 5=360.
Podijelite zajednički nazivnik sa svakim i nazivnicima razlomaka koji se zbrajaju. Pomnožite njihove brojnike s dobivenim brojem. Ispod zajedničke crte razlomka upišite najmanji zajednički nazivnik, koji je ujedno i najmanji zajednički nazivnik. U brojniku zbrojite brojeve koji su rezultat množenja svakog brojnika s kvocijentom najmanjeg zajedničkog faktora podijeljenog s nazivnikom razlomka. Zbroj svih brojnika i podijeljen s najmanjim zajedničkim nazivnikom bit će željeni broj.
Na primjer, za 4/15, 7/24 i 11/36 učinite ovo. Pronađite najmanji zajednički nazivnik, koji je 360. Zatim podijelite 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Broj 4, koji je brojnik prvog razlomka, pomnožite s 24 (4 24=96), broj 7 s 15 (7 15=105), broj 11 s 10 (11 10=110). Zatim zbrojite ove brojeve (96+105+110=301). Dobivamo rezultat 4/15+7/24+11/36=301/360.
Izvori:
- kako pronaći najmanji broj
Cijeli brojevi su različiti matematički brojevi koji imaju mnoge primjene u svakodnevnom životu. Nenegativni cijeli brojevi se koriste kada se označava broj bilo kojeg objekta, negativni brojevi - u porukama o vremenskoj prognozi, itd. GCD i LCM su prirodne karakteristike cijelih brojeva povezanih s operacijama dijeljenja.
upute
GCD je lako izračunati pomoću Euklidovog algoritma ili binarne metode. Prema Euklidovom algoritmu za određivanje gcd brojeva a i b, od kojih jedan nije nula, postoji niz brojeva r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, u kojem je r_1 jednako ostatku dijeljenja prvi broj po drugi. A ostali članovi niza jednaki su ostacima od dijeljenja prethodnog člana s prethodnim, a pretposljednji element se dijeli s posljednjim bez ostatka.
Matematički, niz se može predstaviti kao:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
gdje je k_i cjelobrojni faktor.
GCD (a, b) = r_n.
Primjer.
Pronađite GCD (36, 120). Prema Euklidovom algoritmu, oduzmite od 120 broj koji je višekratnik broja 36, u ovom slučaju to je 120 – 36*3 = 12. Sada oduzmite broj koji je višekratnik broja 12 od 120, dobit ćete 120 – 12* 10 = 0. Prema tome, GCD (36, 120) = 12.
Binarni algoritam za pronalaženje GCD-a temelji se na teoriji pomaka. Prema ovoj metodi, gcd dva broja ima sljedeća svojstva:
NOT (a, b) = 2*NOT (a/2, b/2) za parne a i b
NOT (a, b) = NOT (a/2, b) za parni a i neparni b (obrnuto vrijedi za NOT (a, b) = NOT (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) za neparno a > b
NOT (a, b) = NOT ((b - a)/2, a) za neparno b > a
Prema tome, gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
Najmanji zajednički višekratnik (LCM) dvaju cijelih brojeva je najmanji cijeli broj koji je djeljiv s oba izvorna broja bez ostavljanja ostatka.
LCM se može izračunati korištenjem GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Drugi način za izračunavanje LCM je kanonska faktorizacija brojeva na proste faktore:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
gdje su r_i prosti brojevi, a k_i i m_i cijeli brojevi ≥ 0.
LCM je predstavljen u obliku istih prostih faktora, gdje se maksimalna dva broja uzimaju kao potencije.
Primjer.
Pronađite LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
Materijal prikazan u nastavku logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, veza između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pozornost posvetit ćemo rješavanju primjera. Prvo ćemo pokazati kako se LCM dva broja izračunava pomoću GCD ovih brojeva. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva na proste faktore. Nakon ovoga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pozornost na izračunavanje LCM-a negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD-a
Jedan način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik temelji se na odnosu između LCM i GCD. Postojeća veza između LCM i GCD omogućuje nam izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju pozitivnih cijelih brojeva preko poznatog najvećeg zajedničkog djelitelja. Odgovarajuća formula je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b) . Pogledajmo primjere pronalaženja LCM-a pomoću dane formule.
Primjer.
Odredi najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70.
Riješenje.
U ovom primjeru a=126 , b=70 . Poslužimo se vezom između LCM i GCD izraženom formulom LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega pomoću zapisane formule možemo izračunati LCM tih brojeva.
Nađimo GCD(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dakle, GCD(126, 70)=14.
Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: NOD(126, 70)=126·70:NOD(126, 70)= 126·70:14=630.
Odgovor:
LCM(126, 70)=630.
Primjer.
Čemu je jednako LCM(68, 34)?
Riješenje.
Jer 68 je djeljiv sa 34, tada je GCD(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: NOD(68, 34)=68·34:NOD(68, 34)= 68·34:34=68.
Odgovor:
LCM(68, 34)=68.
Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.
Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore
Drugi način pronalaska najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na rastavljanju brojeva na proste faktore. Ako sastavite umnožak od svih prostih faktora zadanih brojeva, a zatim iz tog umnoška isključite sve zajedničke proste faktore prisutne u dekompoziciji danih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku danih brojeva .
Navedeno pravilo za određivanje LCM slijedi iz jednakosti LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora uključenih u proširenje brojeva a i b. Zauzvrat, GCD(a, b) jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (kao što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD-a korištenjem ekspanzije brojeva u proste faktore).
Navedimo primjer. Recimo da je 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Sastavimo umnožak svih faktora ovih proširenja: 2·3·3·5·5·5·7 . Sada iz ovog umnoška isključujemo sve faktore prisutne i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (ovi faktori su 3 i 5), tada će umnožak imati oblik 2·3·5·5·7 . Vrijednost ovog umnoška jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Primjer.
Rastavite brojeve 441 i 700 na proste faktore i pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Riješenje.
Rastavimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:
Dobivamo 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.
Kreirajmo sada umnožak svih faktora uključenih u proširenje ovih brojeva: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Isključimo iz ovog umnoška sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tako, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Odgovor:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za pronalaženje LCM-a korištenjem faktorizacije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako se faktorima iz proširenja broja a dodaju faktori koji nedostaju iz proširenja broja b, tada će vrijednost dobivenog umnoška biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.
Na primjer, uzmimo iste brojeve 75 i 210, njihova dekompozicija na proste faktore je sljedeća: 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 pribrojimo nedostajuće faktore 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo umnožak 2·3·5·5·7 čija je vrijednost jednako LCM(75, 210).
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Riješenje.
Prvo dobivamo rastave brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz proširenja broja 84 pribrojimo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz proširenja broja 648, dobijemo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7, što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.
Odgovor:
LCM(84, 648)=4,536.
Pronalaženje LCM tri ili više brojeva
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dvaju brojeva. Prisjetimo se odgovarajućeg teorema, koji daje način da se pronađe LCM tri ili više brojeva.
Teorema.
Neka su zadani pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k tih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiriju brojeva.
Primjer.
Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.
Riješenje.
U ovom primjeru, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Prvo nalazimo m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dakle, GCD(140, 9)=1 , odakle NOD(140, 9)=140 9:NOT(140, 9)= 140·9:1=1,260. Odnosno, m 2 =1 260.
Sada nalazimo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga preko GCD(1 260, 54), koji također određujemo pomoću Euklidovog algoritma: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada je gcd(1,260, 54)=18, iz čega je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Odnosno, m 3 =3 780.
Ostaje samo pronaći m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3,780, 250) koristeći Euklidov algoritam: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prema tome, GCM(3,780, 250)=10, odakle je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. To jest, m 4 =94,500.
Dakle, najmanji zajednički višekratnik originalna četiri broja je 94 500.
Odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
U mnogim je slučajevima prikladno pronaći najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva korištenjem prostih faktora danih brojeva. U tom slučaju morate se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik više brojeva jednak je umnošku koji se sastavlja na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja pribrajaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja treći broj se dodaje rezultirajućim faktorima, i tako dalje.
Pogledajmo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika korištenjem proste faktorizacije.
Primjer.
Odredi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Riješenje.
Prvo, dobivamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prost broj, poklapa se s njegovim rastavljanjem na proste faktore) i 143=11·13.
Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7), trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Rastavljanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u rastavljanju prvog broja 84. Dalje, faktorima 2, 2, 3 i 7 dodamo faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Neće biti potrebno dodavati množitelje ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržano u njemu. Na kraju faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 pribrajamo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobivamo umnožak 2·2·2·2·3·7·11·13, što je jednako 48,048.