3x çoklu. Üç veya daha fazla rakamı sallayın ve sallayın. Çarpanlara ayırma yoluyla bulma

En küçük ortak katı bulmanın üç yoluna bakalım.

Çarpanlara ayırma yoluyla bulma

İlk yöntem, verilen sayıları asal çarpanlarına ayırarak en küçük ortak katı bulmaktır.

Diyelim ki 99, 30 ve 28 sayılarının LCM'sini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için bu sayıların her birini asal çarpanlara ayıralım:

İstenilen sayının 99, 30 ve 28'e bölünebilmesi için bu bölenlerin tüm asal çarpanlarını içermesi gerekli ve yeterlidir. Bunu yapmak için bu sayıların tüm asal çarpanlarını mümkün olan en büyük kuvvete alıp bunları birbiriyle çarpmamız gerekir:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Böylece, LCM (99, 30, 28) = 13.860. 13.860'tan küçük hiçbir sayı 99, 30 veya 28'e bölünemez.

Verilen sayıların en küçük ortak katını bulmak için, bunları asal çarpanlarına ayırırsınız, ardından her asal çarpanı göründüğü en büyük üsle alırsınız ve bu çarpanları birbiriyle çarparsınız.

Nispeten asal sayıların ortak asal çarpanları bulunmadığından en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin üç sayı: 20, 49 ve 33 aralarında asaldır. Bu yüzden

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Çeşitli asal sayıların en küçük ortak katını bulurken de aynı şey yapılmalıdır. Örneğin, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Seçime göre bulma

İkinci yöntem ise seçim yaparak en küçük ortak katı bulmaktır.

Örnek 1. Verilen sayıların en büyüğü başka bir sayıya bölündüğünde, bu sayıların LCM'si en büyüğüne eşittir. Örneğin dört sayı verilmiştir: 60, 30, 10 ve 6. Her biri 60'a bölünebilir, dolayısıyla:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Diğer durumlarda en küçük ortak katı bulmak için aşağıdaki prosedür kullanılır:

1. Verilen sayılardan en büyüğünü belirleyiniz.
2. Daha sonra en büyük sayının katları olan sayıları artan sırada doğal sayılarla çarparak buluyoruz ve elde edilen çarpımın kalan sayılara bölünüp bölünemediğini kontrol ediyoruz.

Örnek 2. 24, 3 ve 18 olmak üzere üç sayı verilmiştir. Bunların en büyüğünü belirleriz - bu 24 sayısıdır. Daha sonra, her birinin 18 ve 3'e bölünebilir olup olmadığını kontrol ederek 24'ün katları olan sayıları buluruz:

24 · 1 = 24 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.

24 · 2 = 48 - 3'e bölünebilir ancak 18'e bölünemez.

24 · 3 = 72 - 3 ve 18'e bölünebilir.

Böylece LCM (24, 3, 18) = 72 olur.

LCM'yi sırayla bularak bulma

Üçüncü yöntem, LCM'yi sırayla bularak en küçük ortak katı bulmaktır.

Verilen iki sayının LCM'si, bu sayıların çarpımının en büyük ortak bölenlerine bölünmesine eşittir.

Örnek 1. Verilen iki sayının LCM'sini bulun: 12 ve 8. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBEB (12, 8) = 4. Bu sayıları çarpın:

Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:

Böylece LCM (12, 8) = 24 olur.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için aşağıdaki prosedürü kullanın:

1. Öncelikle bu sayılardan herhangi ikisinin LCM'sini bulun.
2. Daha sonra bulunan en küçük ortak katın ve verilen üçüncü sayının LCM'si.
3. Daha sonra, elde edilen en küçük ortak katın ve dördüncü sayının LCM'si vb.
4. Böylece LCM arayışı sayılar olduğu sürece devam eder.

Örnek 2. Verilen üç sayının LCM'sini bulalım: 12, 8 ve 9. Önceki örnekte 12 ve 8 sayılarının LCM'sini zaten bulduk (bu 24 sayısıdır). Geriye 24 sayısının ve verilen üçüncü sayının - 9'un en küçük ortak katını bulmak kalır. En büyük ortak bölenlerini belirleyin: OBE (24, 9) = 3. LCM'yi 9 sayısıyla çarpın:

Ürünü gcd'lerine bölüyoruz:

Böylece LCM (12, 8, 9) = 72 olur.

LCM - en küçük ortak kat. Verilen tüm sayıları kalansız olarak bölen sayı.

Örneğin verilen sayılar 2, 3, 5 ise LCM=2*3*5=30

Ve eğer verilen sayılar 2,4,8 ise LCM =8

GCD nedir?

GCD en büyük ortak bölendir. Verilen sayıların her birini kalan bırakmadan bölmek için kullanılabilecek sayı.

Verilen sayılar asalsa gcd'nin bire eşit olması mantıklıdır.

Ve eğer verilen sayılar 2, 4, 8 ise, o zaman GCD 2'ye eşittir.

Bunu genel hatlarıyla anlatmayacağız, sadece çözümü bir örnekle göstereceğiz.

126 ve 44 olmak üzere iki sayı verilmiştir. GCD'yi bulun.

O zaman bize formun iki sayısı verilirse

Daha sonra GCD şu şekilde hesaplanır:

burada min, pn sayısının tüm kuvvetlerinin minimum değeridir

ve NOC olarak

burada max, pn sayısının tüm kuvvetlerinin maksimum değeridir

Yukarıdaki formüllere bakarak, verilen değerlerin en az bir çifti arasında nispeten asal sayılar olduğunda, iki veya daha fazla sayının gcd'sinin bire eşit olacağını kolayca kanıtlayabilirsiniz.

Dolayısıyla 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 gibi sayıların gcd'sinin neye eşit olduğu sorusuna hiçbir şey hesaplamadan cevap vermek kolaydır.

3 ve 7 sayıları eş asaldır ve dolayısıyla gcd = 1

Bir örneğe bakalım.

24654, 25473 ve 954 olmak üzere üç sayı verilmiştir.

Her sayı aşağıdaki faktörlere ayrıştırılır

Veya alternatif bir biçimde yazarsak

Yani bu üç sayının gcd'si üçe eşittir

LCM'yi benzer şekilde hesaplayabiliriz ve şuna eşittir:

Botumuz, iki, üç veya on gibi herhangi bir tam sayının GCD'sini ve LCM'sini hesaplamanıza yardımcı olacaktır.

“LCM - en küçük ortak kat, tanım, örnekler” bölümünde başlattığımız en küçük ortak kat hakkındaki sohbete devam edelim. Bu konu başlığımızda üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın yollarına bakacağız ve negatif bir sayının LCM'si nasıl bulunur sorusuna bakacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki ilişkiyi zaten kurmuştuk. Şimdi GCD aracılığıyla LCM'nin nasıl belirleneceğini öğrenelim. Öncelikle pozitif sayılar için bunu nasıl yapacağımızı bulalım.

Tanım 1

LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) formülünü kullanarak en küçük ortak katı en büyük ortak bölenden bulabilirsiniz.

örnek 1

126 ve 70 sayılarının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

a = 126, b = 70'i alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için değerleri formüle koyalım.

70 ve 126 sayılarının gcd'sini bulur. Bunun için Öklid algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dolayısıyla GCD (126 , 70) = 14 .

LCM'yi hesaplayalım: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cevap: LCM(126, 70) = 630.

Örnek 2

68 ve 34 sayısını bulun.

Çözüm

Bu durumda GCD'yi bulmak zor değil çünkü 68 34'e bölünebilir. En küçük ortak katı şu formülü kullanarak hesaplayalım: LCM (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Cevap: LCM(68, 34) = 68.

Bu örnekte, a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katını bulma kuralını kullandık: eğer ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların LCM'si ilk sayıya eşit olacaktır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

Şimdi sayıları asal çarpanlarına ayırmaya dayanan LCM'yi bulma yöntemine bakalım.

Tanım 2

En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:

• LCM'yi bulmamız gereken sayıların tüm asal faktörlerinin çarpımını oluştururuz;
• tüm asal faktörleri bunların ortaya çıkan ürünlerinden hariç tutuyoruz;
• ortak asal faktörleri çıkardıktan sonra elde edilen ürün, verilen sayıların LCM'sine eşit olacaktır.

En küçük ortak katı bulmanın bu yöntemi, LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) eşitliğine dayanır. Formüle bakarsanız, netleşecektir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının ayrışmasına katılan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Bu durumda iki sayının gcd'si, bu iki sayının çarpanlara ayrılmasında aynı anda bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.

Örnek 3

75 ve 210 olmak üzere iki sayımız var. Bunları şu şekilde çarpanlara ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. İki orijinal sayının tüm faktörlerinin çarpımını oluşturursanız şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.

Hem 3 hem de 5 sayılarının ortak çarpanlarını hariç tutarsak, aşağıdaki biçimde bir çarpım elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ürünümüz 75 ve 210 numaralar için LCM olacaktır.

Örnek 4

Sayıların LCM'sini bulun 441 Ve 700 , her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıyoruz.

Çözüm

Koşulda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7.

Bu sayıların ayrıştırılmasına katılan tüm faktörlerin çarpımı şu şekilde olacaktır: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak faktörleri bulalım. Bu 7 numara. Bunu toplam üründen hariç tutalım: 2 2 3 3 5 5 7 7. Görünüşe göre NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cevap: LOC(441, 700) = 44,100.

Sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulma yönteminin başka bir formülasyonunu verelim.

Tanım 3

Daha önce, her iki sayı için ortak olan toplam faktör sayısını hariç tutuyorduk. Şimdi bunu farklı şekilde yapacağız:

• Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
• birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyin;
• iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü elde ederiz.

Örnek 5

Önceki örneklerden birinde LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına dönelim. Bunları basit faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ve faktörlerin çarpımına 5 75 sayısı eksik faktörleri topluyor 2 Ve 7 Sayılar 210. Şunu elde ederiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Bu, 75 ve 210 sayılarının LCM'sidir.

Örnek 6

84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplamak gerekir.

Çözüm

Koşuldaki sayıları basit çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 Ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Çarpıma 2, 2, 3 ve 3 çarpanlarını ekleyelim. 7 sayı 84'te 2, 3, 3 ve 3'ün çarpanları eksik
3 648 numara. Ürünü alıyoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 648) = 4,536.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Kaç sayıyla uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: iki sayının LCM'sini sırayla bulacağız. Bu durum için bir teorem var.

Teorem 1

Tamsayılarımız olduğunu varsayalım a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k bu sayılar sırasıyla m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesaplanarak bulunur.

Şimdi teoremin belirli problemleri çözmek için nasıl uygulanabileceğine bakalım.

Örnek 7

140, 9, 54 ve 4 sayının en küçük ortak katını hesaplamanız gerekir. 250 .

Çözüm

Şu gösterimi tanıtalım: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9)'u hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının OBEB'sini hesaplamak için Öklid algoritmasını uygulayalım: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Şunu elde ederiz: OBEB (140, 9) = 1, OBEB (140, 9) = 140 9: OBEB (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dolayısıyla m2 = 1.260.

Şimdi aynı algoritmayı kullanarak hesaplayalım m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.

Sadece m4 = LCM (m3, a4) = LCM (3 780, 250) hesaplamamız gerekiyor. Aynı algoritmayı takip ediyoruz. m4 = 94 500 elde ederiz.

Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.

Cevap: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Gördüğünüz gibi hesaplamalar basit ama oldukça emek yoğun. Zamandan tasarruf etmek için başka bir yola gidebilirsiniz.

Tanım 4

Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:

• tüm sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz;
• birinci sayının çarpanlarının çarpımına ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekliyoruz;
• önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının vb. eksik faktörlerini ekliyoruz;
• ortaya çıkan çarpım, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.

Örnek 8

84, 6, 48, 7, 143 numaralı beş sayının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

Beş sayının tümünü asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Asal sayılar yani 7 sayısı asal faktörlere dahil edilemez. Bu sayılar asal faktörlere ayrıştırılmalarıyla örtüşmektedir.

Şimdi 84 sayısının 2, 2, 3 ve 7 asal çarpanlarının çarpımını alıp bunlara ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyelim. 6 sayısını 2 ve 3'e ayırdık. Bu faktörler zaten ilk sayının çarpımındadır. Bu nedenle bunları atlıyoruz.

Eksik çarpanları eklemeye devam ediyoruz. Asal çarpanları 2 ile 2'nin çarpımından aldığımız 48 sayısına geçelim. Daha sonra dördüncü sayıdan 7'nin asal çarpanını ve beşincinin 11 ve 13'ünün çarpanlarını toplarız. Şunu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, orijinal beş sayının en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Negatif sayıların en küçük ortak katını bulma

Negatif sayıların en küçük ortak katını bulmak için öncelikle bu sayıların ters işaretli sayılar ile değiştirilmesi, ardından yukarıdaki algoritmalar kullanılarak hesaplamaların yapılması gerekir.

Örnek 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ve LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Bu tür eylemlere izin verilir çünkü eğer bunu kabul edersek A Ve - bir– zıt sayılar,
daha sonra bir sayının katları kümesi A bir sayının katları kümesiyle eşleşir - bir.

Örnek 10

Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gerekir − 145 Ve − 45 .

Çözüm

Sayıları değiştirelim − 145 Ve − 45 zıt sayılarına 145 Ve 45 . Şimdi, algoritmayı kullanarak, daha önce Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi belirleyerek LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305'i hesaplıyoruz.

Sayıların LCM'sinin -145 olduğunu anlıyoruz ve − 45 eşittir 1 305 .

Cevap: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için öncelikle "çoklu" teriminin anlamını belirlemelisiniz.

A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır. Dolayısıyla, 5'in katı olan sayılar 15, 20, 25 vb. olarak kabul edilebilir.

Belirli bir sayının sınırlı sayıda böleni olabilir, ancak sonsuz sayıda katı vardır.

Doğal sayıların ortak katı, kendilerine kalan bırakmadan bölünebilen sayıdır.

Sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur

Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların tümüne bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

LOC'yi bulmak için çeşitli yöntemler kullanabilirsiniz.

Küçük sayılar için, aralarında ortak bir şey bulana kadar bu sayıların tüm katlarını bir satıra yazmak uygundur. Katlar büyük harf K ile gösterilir.

Örneğin 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Böylece 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 24 sayısı olduğunu görebilirsiniz. Bu gösterim şu şekilde yapılır:

LCM(4, 6) = 24

Şimdi her iki sayının ortak çarpanlarını yazın. Bizim versiyonumuzda bu iki ve beştir. Ancak diğer durumlarda bu sayı bir, iki veya üç basamaklı veya daha fazla olabilir. Daha sonra derecelerle çalışmanız gerekir. Her faktör için en küçük gücü seçin. Örnekte ikinin ikinci kuvveti ve beşin birinci kuvvetidir.

Son olarak, ortaya çıkan sayıları çarpmanız yeterlidir. Bizim durumumuzda her şey son derece basittir: ikinin karesinin beşle çarpımı 20'ye eşittir. Dolayısıyla 20 sayısı, 60 ve 80'in en büyük ortak böleni olarak adlandırılabilir.

Konuyla ilgili video

Not

Asal faktörün yalnızca 2 böleni olan bir sayı olduğunu unutmayın: biri ve sayının kendisi.

Yararlı tavsiye

Bu yönteme ek olarak Öklid algoritmasını da kullanabilirsiniz. Geometrik formda sunulan tam açıklaması Öklid'in "Elementler" kitabında bulunabilir.

İlgili makale

Doğal kesirlerin toplanması ve çıkarılması ancak paydaları aynıysa mümkündür. Tek bir paydaya getirirken hesaplamaları karmaşıklaştırmamak için paydaların en küçük ortak bölenini bulun ve hesaplamayı yapın.

İhtiyacın olacak

• - sayıları asal çarpanlarına ayırma yeteneği;
• - Kesirlerle işlem yapabilme becerisi.

Talimatlar

Kesirlerin toplamını yazın. Daha sonra bunların en küçük ortak katlarını bulun. Bunu yapmak için aşağıdaki eylem dizisini gerçekleştirin: 1. Paydaların her birinin asal sayılarda olduğunu düşünün (bir asal sayı, yalnızca 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen bir sayı, örneğin 2, 3, 5, 7, vb.).2. Derecelerini belirterek yazılan tüm basit olanları gruplandırın. 3. Bu sayılarda görünen asal çarpanların her birinin en büyük kuvvetini seçin. 4. Yazılı yetkileri çarpın.

Örneğin paydası 15, 24 ve 36 olan kesirlerin ortak paydası şu şekilde hesaplanabilecek bir sayı olacaktır: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2.Bu sayıların tüm asal bölenlerinin en büyük kuvvetlerini yazın: 2^3 3^2 5=360.

Ortak paydayı her birine ve eklenen kesirlerin paydalarına bölün. Paylarını elde edilen sayıyla çarpın. Kesirin ortak çizgisinin altına, aynı zamanda en küçük ortak payda olan en küçük ortak temettüyü yazın. Payda, her payın en az ortak faktörün kesirin paydasına bölümü ile çarpılmasından elde edilen sayıları ekleyin. Tüm payların toplamı ve en küçük ortak paydaya bölünmesi istenilen sayı olacaktır.

Örneğin 4/15, 7/24 ve 11/36 için bunu yapın. En küçük ortak payda olan 360'ı bulun. Sonra 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10'u bölün. Birinci kesrin payı olan 4 sayısını 24 (4 24=96), 7 sayısını 15 (7 15=105), 11 sayısını 10 (11 10=110) ile çarpın. Daha sonra bu sayıları ekleyin (96+105+110=301). 4/15+7/24+11/36=301/360 sonucunu elde ederiz.

Kaynaklar:

• en küçük sayı nasıl bulunur

Tamsayılar, günlük yaşamda birçok uygulamaya sahip çeşitli matematiksel sayılardır. Negatif olmayan tam sayılar, herhangi bir nesnenin sayısını belirtirken, negatif sayılar - hava durumu tahminleri vb. İle ilgili mesajlarda kullanılır. GCD ve LCM, bölme işlemleriyle ilişkili tam sayıların doğal özellikleridir.

Talimatlar

GCD'nin Öklid algoritması veya ikili yöntem kullanılarak hesaplanması kolaydır. Biri sıfır olmayan a ve b sayılarının gcd'sini belirlemek için Öklid algoritmasına göre, r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n sayılarından oluşan bir dizi vardır; burada r_1, bölmenin geri kalanına eşittir ilk sayı ikinciye göre. Ve dizinin diğer üyeleri, bir önceki üyenin bir öncekine bölünmesinden elde edilen kalanlara eşittir ve sondan bir önceki eleman, kalan olmadan sonuncuya bölünür.

Matematiksel olarak dizi şu şekilde temsil edilebilir:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
burada k_i bir tam sayı faktörüdür.
GCD (a, b) = r_n.

Örnek.
GCD'yi bulun (36, 120). Öklid algoritmasına göre 120'den 36'nın katı olan bir sayıyı çıkarın, bu durumda 120 – 36*3 = 12 olur. Şimdi 120'den 12'nin katı olan bir sayıyı çıkarın, 120 – 12* elde edersiniz. 10 = 0. Dolayısıyla OBEB (36, 120) = 12.

GCD'yi bulmak için kullanılan ikili algoritma, vardiya teorisine dayanmaktadır. Bu yönteme göre iki sayının gcd'si aşağıdaki özelliklere sahiptir:
çift ​​a ve b için OBEB (a, b) = 2*OBEB (a/2, b/2)
Çift a ve tek b için OBEB (a, b) = OBB (a/2, b) (tam tersi OBEB (a, b) = OBEB (a, b/2) için de geçerlidir)
OBEB (a, b) = OBEB ((a - b)/2, b) tek a > b için
OBEB (a, b) = OBEB ((b - a)/2, a) tek b > a için
Böylece, gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.

İki tam sayının en küçük ortak katı (LCM), her iki orijinal sayıya da kalan bırakmadan bölünebilen en küçük tam sayıdır.
LCM, OBEB kullanılarak hesaplanabilir: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).

LCM'yi hesaplamanın ikinci yolu, sayıları asal faktörlere kanonik olarak çarpanlara ayırmaktır:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
burada r_i asal sayılardır ve k_i ve m_i ≥ 0 tam sayılardır.
LCM, maksimum iki sayının üs olarak alındığı aynı asal faktörler biçiminde temsil edilir.

Örnek.
LCM'yi bulun (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.

Aşağıda sunulan materyal, LCM - en az ortak kat, tanım, örnekler, LCM ile GCD arasındaki bağlantı başlıklı makaledeki teorinin mantıksal bir devamıdır. Burada konuşacağız En küçük ortak katı bulma (LCM) ve örneklerin çözümüne özellikle dikkat edeceğiz. Öncelikle iki sayının LCM'sinin bu sayıların OBE'sini kullanarak nasıl hesaplandığını göstereceğiz. Daha sonra sayıları asal çarpanlara ayırarak en küçük ortak katı bulmaya bakacağız. Bundan sonra üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmaya odaklanacağız ve ayrıca negatif sayıların LCM'sini hesaplamaya da dikkat edeceğiz.

Sayfada gezinme.

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak katı bulmanın bir yolu, LCM ile GCD arasındaki ilişkiye dayanmaktadır. LCM ile GCD arasındaki mevcut bağlantı, bilinen bir en büyük ortak bölen aracılığıyla iki pozitif tam sayının en küçük ortak katını hesaplamamıza olanak tanır. İlgili formül LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b) . Verilen formülü kullanarak LCM'yi bulma örneklerine bakalım.

Örnek.

126 ve 70 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a=126 , b=70 . Aşağıdaki formülle ifade edilen LCM ile GCD arasındaki bağlantıyı kullanalım. LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Yani önce 70 ve 126 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmamız gerekiyor, ardından yazılı formülü kullanarak bu sayıların LCM'sini hesaplayabiliriz.

Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(126, 70)'i bulalım: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dolayısıyla OBEB(126, 70)=14.

Şimdi gerekli en küçük ortak katı buluyoruz: OBEB(126, 70)=126·70:OBEB(126, 70)= 126.70:14=630.

Cevap:

LCM(126, 70)=630 .

Örnek.

LCM(68, 34) neye eşittir?

Çözüm.

Çünkü 68, 34'e bölünebilirse OBEB(68, 34)=34 olur. Şimdi en küçük ortak katı hesaplıyoruz: OBEB(68, 34)=68·34:OBEB(68, 34)= 68.34:34=68.

Cevap:

LCM(68, 34)=68 .

Önceki örneğin, pozitif a ve b tam sayıları için LCM'yi bulmak için aşağıdaki kurala uyduğunu unutmayın: a sayısı b'ye bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katı a'dır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

En küçük ortak katı bulmanın bir başka yolu, sayıları asal çarpanlara ayırmaktır. Verilen sayıların tüm asal çarpanlarından bir çarpım oluşturursanız ve ardından bu sayıların ayrıştırmalarında bulunan tüm ortak asal çarpanları bu çarpımdan çıkarırsanız, ortaya çıkan çarpım, verilen sayıların en küçük ortak katına eşit olacaktır. .

LCM'yi bulmak için belirtilen kural eşitlikten kaynaklanmaktadır LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b). Aslında a ve b sayılarının çarpımı, a ve b sayılarının açılımında yer alan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Buna karşılık, OBEB(a, b), a ve b sayılarının açılımlarında aynı anda mevcut olan tüm asal faktörlerin çarpımına eşittir (sayıların asal çarpanlara açılmasını kullanarak OBE'yi bulma bölümünde anlatıldığı gibi).

Bir örnek verelim. 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7 olduğunu bize bildirin. Bu açılımların tüm faktörlerinin çarpımını oluşturalım: 2·3·3·5·5·5·7 . Şimdi bu çarpımdan hem 75 sayısının açılımında hem de 210 sayısının açılımında mevcut olan tüm faktörleri hariç tutuyoruz (bu çarpanlar 3 ve 5'tir), o zaman çarpım 2·3·5·5·7 formunu alacaktır. . Bu çarpımın değeri 75 ve 210'un en küçük ortak katına eşittir, yani: NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Örnek.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlara ayırın ve bu sayıların en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

441 ve 700 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

441=3·3·7·7 ve 700=2·2·5·5·7 elde ederiz.

Şimdi bu sayıların açılımında yer alan tüm faktörlerden bir çarpım oluşturalım: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Her iki genişlemede aynı anda mevcut olan tüm faktörleri bu çarpımdan hariç tutalım (böyle bir faktör vardır - bu 7 sayısıdır): 2·2·3·3·5·5·7·7. Böylece, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Cevap:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Sayıları asal çarpanlara ayırmayı kullanarak LCM'yi bulma kuralı biraz farklı şekilde formüle edilebilir. B sayısının açılımındaki eksik faktörler, a sayısının açılımındaki faktörlere eklenirse, ortaya çıkan çarpımın değeri a ve b sayılarının en küçük ortak katına eşit olacaktır..

Örnek olarak aynı 75 ve 210 sayılarını ele alalım, asal çarpanlarına ayrıştırmaları şu şekildedir: 75=3·5·5 ve 210=2·3·5·7. 75 sayısının açılımından 3, 5 ve 5 çarpanlarına 210 sayısının açılımından eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını eklersek değeri 2·3·5·5·7 sonucunu elde ederiz: LCM(75, 210)'a eşittir.

Örnek.

84 ve 648'in en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Öncelikle 84 ve 648 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ediyoruz. 84=2·2·3·7 ve 648=2·2·2·3·3·3·3 gibi görünüyorlar. 84 sayısının açılımından 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına 648 sayısının açılımından eksik olan 2, 3, 3 ve 3 çarpanlarını eklersek 2 2 2 3 3 3 3 7 sonucunu elde ederiz, bu da 4 536'ya eşittir. Dolayısıyla 84 ile 648'in istenen en küçük ortak katı 4,536'dır.

Cevap:

LCM(84, 648)=4,536 .

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı, iki sayının LCM'sinin sırayla bulunmasıyla bulunabilir. Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın bir yolunu veren ilgili teoremi hatırlayalım.

Teorem.

Pozitif tam sayılar a 1 , a 2 , …, a k verilse, bu sayıların en küçük ortak katı m k sırasıyla m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) hesaplanarak bulunur. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Dört sayının en küçük ortak katını bulma örneğini kullanarak bu teoremin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

140, 9, 54 ve 250 olmak üzere dört sayının LCM'sini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

İlk önce buluyoruz m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(140, 9)'u belirliyoruz, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dolayısıyla GCD(140, 9)=1 , buradan OBEB(140, 9)=140 9:OBEB(140, 9)= 140.9:1=1.260. Yani m2 =1 260.

Şimdi bulduk m3 = LOC (m2, a3) = LOC (1 260, 54). Bunu da Öklid algoritmasını kullanarak belirlediğimiz OBEB(1 260, 54) aracılığıyla hesaplayalım: 1 260=54·23+18, 54=18·3. O zaman gcd(1,260, 54)=18, buradan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Yani m3 =3 780.

Geriye kalan tek şey bulmak m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Bunu yapmak için Öklid algoritmasını kullanarak OBEB(3,780, 250)'yi buluyoruz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dolayısıyla GCM(3,780, 250)=10, dolayısıyla GCM(3,780, 250)= 3 780 250: OBEB(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Yani m4 =94.500.

Yani orijinal dört sayının en küçük ortak katı 94.500'dür.

Cevap:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Çoğu durumda, verilen sayıların asal çarpanlara ayrılması kullanılarak üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak uygundur. Bu durumda aşağıdaki kurala uymalısınız. Birkaç sayının en küçük ortak katı, şu şekilde oluşan çarpıma eşittir: ikinci sayının açılımından elde edilen eksik faktörler, birinci sayının açılımından elde edilen tüm faktörlere eklenir; ortaya çıkan faktörlere üçüncü sayı eklenir ve bu şekilde devam eder.

Asal çarpanlara ayırmayı kullanarak en küçük ortak katı bulma örneğine bakalım.

Örnek.

84, 6, 48, 7, 143 sayılarının en küçük ortak katını bulun.

Çözüm.

Öncelikle bu sayıların asal çarpanlarına ayrıştırılmasını elde ederiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 bir asal sayıdır, çakışır) asal çarpanlara ayrıştırılmasıyla) ve 143=11·13.

Bu sayıların LCM'sini bulmak için, ilk 84 sayısının çarpanlarına (bunlar 2, 2, 3 ve 7'dir), ikinci sayı 6'nın açılımındaki eksik faktörleri eklemeniz gerekir. 6 sayısının ayrıştırılması eksik faktörleri içermiyor çünkü ilk 84 sayısının ayrıştırılmasında hem 2 hem de 3 zaten mevcut. Daha sonra, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarına, üçüncü sayı 48'in açılımından eksik olan 2 ve 2 çarpanlarını eklersek, 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 çarpanlarından oluşan bir set elde ederiz. Bir sonraki adımda bu sete çarpan eklemenize gerek kalmayacak çünkü 7 zaten içinde yer alıyor. Son olarak 2, 2, 2, 2, 3 ve 7 numaralı çarpanlara 143 sayısının açılımındaki eksik 11 ve 13 numaralı çarpanları ekliyoruz. 2·2·2·2·3·7·11·13 çarpımını elde ederiz, bu da 48,048'e eşittir.