Kako riješiti frakcijske trigonometrijske jednadžbe. Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina
Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi zadaci uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednačine, linearne i kvadratne nejednakosti, frakcione jednačine i jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je ustanoviti kojoj vrsti pripada problem koji se rješava, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.
Očigledno, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema zavisi uglavnom od toga koliko je ispravno određen tip jednačine koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.
Drugačija situacija se dešava sa trigonometrijske jednačine. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.
Ponekad je teško odrediti njen tip po izgledu jednačine. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.
Da bismo riješili trigonometrijsku jednačinu, moramo pokušati:
1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u "iste uglove";
2. dovesti jednačinu na "iste funkcije";
3. faktorizovati lijevu stranu jednačine, itd.
Razmislite osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
Shema rješenja
Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.
Korak 2 Pronađite argument funkcije koristeći formule:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.
Korak 3 Pronađite nepoznatu varijablu.
Primjer.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Odluka.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
II. Zamjena varijable
Shema rješenja
Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.
Korak 2 Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).
Korak 3 Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.
Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.
Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.
Primjer.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Odluka.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;
x = π + 4πn, n Ê Z.
Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.
III. Metoda redukcije reda jednačina
Shema rješenja
Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom koristeći formule smanjenja snage:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Korak 2 Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.
Primjer.
cos2x + cos2x = 5/4.
Odluka.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;
x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
IV. Homogene jednadžbe
Shema rješenja
Korak 1. Dovedite ovu jednačinu u formu
a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)
ili na pogled
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).
Korak 2 Podijelite obje strane jednačine sa
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i dobijemo jednačinu za tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Korak 3 Riješite jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Odluka.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Neka je onda tg x = t
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 ili t = -4, dakle
tg x = 1 ili tg x = -4.
Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.
V. Metoda za transformaciju jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula
Shema rješenja
Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijskih formula, dovedite ovu jednačinu u jednačinu koja se može riješiti metodama I, II, III, IV.
Korak 2 Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.
Primjer.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Odluka.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;
Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.
Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.
Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednačina su vrlo 
Važno je da njihov razvoj zahteva znatan trud, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.
Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.
Trigonometrijske jednadžbe okupirati važno mjesto u procesu nastave matematike i razvoja ličnosti uopšte.
Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Lekcija kompleksne primene znanja.
Ciljevi lekcije.
- Razmislite razne metode rješenja trigonometrijskih jednačina.
- Razvoj kreativnost učenika rješavanjem jednačina.
- Podsticanje učenika na samokontrolu, međusobnu kontrolu, samoanalizu svojih obrazovnih aktivnosti.
Oprema: platno, projektor, referentni materijal.
Tokom nastave
Uvodni razgovor.
Glavna metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina je njihova najjednostavnija redukcija. Pritom se prijavite konvencionalnim načinima, na primjer, faktorizacije, kao i tehnike koje se koriste samo za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Ima dosta ovih trikova, na primjer, razne trigonometrijske zamjene, transformacije kutova, transformacije trigonometrijskih funkcija. Nediskriminatorna primjena bilo koje trigonometrijske transformacije obično ne pojednostavljuje jednačinu, već je katastrofalno komplikuje. Za vježbanje uopšteno govoreći planirati rješavanje jednadžbe, nacrtati način da se jednačina svede na najjednostavniji, prvo morate analizirati uglove - argumente trigonometrijskih funkcija uključenih u jednadžbu.
Danas ćemo govoriti o metodama rješavanja trigonometrijskih jednačina. Pravilno odabrana metoda često omogućava značajno pojednostavljenje rješenja, pa sve metode koje smo proučavali uvijek treba držati u našem području naše pažnje kako bi se trigonometrijske jednadžbe rješavale na najprikladniji način.
II. (Pomoću projektora ponavljamo metode rješavanja jednačina.)
1. Metoda svođenja trigonometrijske jednadžbe na algebarsku.
Potrebno je sve trigonometrijske funkcije izraziti kroz jednu, sa istim argumentom. To se može učiniti korištenjem osnovnog trigonometrijskog identiteta i njegovih posljedica. Dobijamo jednačinu sa jednom trigonometrijskom funkcijom. Uzimajući to kao novu nepoznanicu, dobijamo algebarsku jednačinu. Pronalazimo njegove korijene i vraćamo se na staru nepoznanicu, rješavajući najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.
2. Metoda faktorizacije.
Za promjenu uglova često su korisne formule za redukciju, zbir i razliku argumenata, kao i formule za pretvaranje zbira (razlike) trigonometrijskih funkcija u proizvod i obrnuto.
sinx + sin3x = sin2x + sin4x
3. Metoda za uvođenje dodatnog ugla.
4. Metoda korištenja univerzalne zamjene.
Jednadžbe oblika F(sinx, cosx, tgx) = 0 svode se na algebarske jednadžbe korištenjem univerzalne trigonometrijske zamjene
Izražavanje sinusa, kosinusa i tangente u terminima tangenta poluugla. Ovaj pristup može dovesti do jednačine high order. Odluka o tome je teška.
Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspeh polaganje ispita iz matematike za 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da 1. dio riješite za 30 minuta i bez greške!
Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.
Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.
Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.
Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.
Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednačine, frakcijske jednačine i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih zadataka je sljedeći: potrebno je ustanoviti kojoj vrsti pripada problem koji se rješava, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.
Očigledno, uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema zavisi uglavnom od toga koliko je ispravno određen tip jednačine koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.
Drugačija situacija se dešava sa trigonometrijske jednačine. Nije teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.
Ponekad je teško odrediti njen tip po izgledu jednačine. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.
Da bismo riješili trigonometrijsku jednačinu, moramo pokušati:
1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u "iste uglove";
2. dovesti jednačinu na "iste funkcije";
3. faktorizovati lijevu stranu jednačine, itd.
Razmislite osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
Shema rješenja
Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.
Korak 2 Pronađite argument funkcije koristeći formule:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Ê Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Ê Z.
Korak 3 Pronađite nepoznatu varijablu.
Primjer.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Odluka.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
II. Zamjena varijable
Shema rješenja
Korak 1. Dovedite jednadžbu u algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.
Korak 2 Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).
Korak 3 Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.
Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.
Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.
Primjer.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Odluka.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ili e = -3/2 ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;
x = π + 4πn, n Ê Z.
Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.
III. Metoda redukcije reda jednačina
Shema rješenja
Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom koristeći formule smanjenja snage:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Korak 2 Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.
Primjer.
cos2x + cos2x = 5/4.
Odluka.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;
x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
IV. Homogene jednadžbe
Shema rješenja
Korak 1. Dovedite ovu jednačinu u formu
a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)
ili na pogled
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).
Korak 2 Podijelite obje strane jednačine sa
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i dobijemo jednačinu za tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Korak 3 Riješite jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Odluka.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Neka je onda tg x = t
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 ili t = -4, dakle
tg x = 1 ili tg x = -4.
Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Ê Z.
V. Metoda za transformaciju jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula
Shema rješenja
Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijskih formula, dovedite ovu jednačinu u jednačinu koja se može riješiti metodama I, II, III, IV.
Korak 2 Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.
Primjer.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Odluka.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;
Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.
Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.
Kao rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Odgovor: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih jednačina su vrlo Važno je da njihov razvoj zahteva znatan trud, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.
Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.. Proces rješavanja takvih zadataka, takoreći, sadrži mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.
Trigonometrijske jednačine zauzimaju značajno mesto u procesu nastave matematike i razvoja ličnosti uopšte.
Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!
blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.