Apsolutni broj logaritma. Primjeri rješavanja logaritama. Argument i baza logaritma

Fokus ovog članka je logaritam. Ovdje ćemo dati definiciju logaritma, pokazati prihvaćenu notaciju, dati primjere logaritama i govoriti o prirodnim i decimalnim logaritmima. Nakon toga razmotrite osnovni logaritamski identitet.

Navigacija po stranici.

Definicija logaritma

Koncept logaritma nastaje kada se rješava problem u određenom smislu inverznom, kada treba pronaći eksponent u poznata vrijednost stepen i poznatu osnovu.

Ali dosta preambule, vrijeme je da odgovorimo na pitanje "šta je logaritam"? Hajde da damo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Logaritam od b prema bazi a, gdje je a>0, a≠1 i b>0 eksponent na koji trebate podići broj a da dobijete b kao rezultat.

U ovoj fazi, napominjemo da izgovorena riječ "logaritam" treba odmah pokrenuti dva pitanja koja slijede: "koji broj" i "na osnovu čega". Drugim riječima, jednostavno ne postoji logaritam, već postoji samo logaritam broja u nekoj bazi.

Odmah ćemo se predstaviti logaritamski zapis: logaritam broja b prema bazi a obično se označava kao log a b . Logaritam broja b na osnovu e i logaritam na osnovu 10 imaju svoje posebne oznake lnb i lgb, odnosno pišu ne log e b, već lnb, i ne log 10 b, već lgb.

Sada možete donijeti: .
I zapisi nemaju smisla, jer je u prvom od njih pod znakom logaritma negativan broj, u drugom - negativan broj u bazi, a u trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinica u bazi.

Hajde sada da pričamo o tome pravila za čitanje logaritama. Dnevnik unosa a b čita se kao "logaritam od b prema bazi a". Na primjer, log 2 3 je logaritam od tri do baze 2, a logaritam je dvije tačke dvije trećine na osnovu Kvadratni korijen od pet. Poziva se logaritam bazi e prirodni logaritam, a oznaka lnb se čita kao "prirodni logaritam od b". Na primjer, ln7 je prirodni logaritam od sedam, a mi ćemo ga čitati kao prirodni logaritam broja pi. Logaritam na osnovu 10 takođe ima poseban naziv - decimalni logaritam , a oznaka lgb se čita kao "decimalni logaritam b". Na primjer, lg1 je decimalni logaritam od jedan, a lg2.75 je decimalni logaritam od dvije tačke sedamdeset i pet stotinki.

Vrijedi se posebno zadržati na uslovima a>0, a≠1 i b>0, pod kojima je data definicija logaritma. Hajde da objasnimo odakle dolaze ova ograničenja. Da to učinimo, pomoći će nam jednakost oblika, nazvana , koja direktno slijedi iz definicije logaritma date gore.

Počnimo sa a≠1 . Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda jednakost može biti istinita samo za b=1, ali log 1 1 može biti bilo koji realan broj. Da bi se izbjegla ova dvosmislenost, a≠1 je prihvaćen.

Potvrdimo svrsishodnost uslova a>0. Sa a=0, po definiciji logaritma, imali bismo jednakost , što je moguće samo sa b=0 . Ali onda log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, budući da je nula prema bilo kojoj stepenu različitoj od nule nula. Ova dvosmislenost se može izbjeći uslovom a≠0 . I za a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Konačno, uslov b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, budući da je , a vrijednost stepena s pozitivnom bazom a uvijek pozitivna.

U zaključku ovog paragrafa kažemo da zvučna definicija logaritma omogućava da odmah naznačite vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određeni stupanj baze. Zaista, definicija logaritma nam omogućava da tvrdimo da ako je b=a p, onda je logaritam broja b bazi a jednak p. To jest, log jednakosti a a p =p je tačan. Na primjer, znamo da je 2 3 =8 , a zatim log 2 8=3 . O tome ćemo više govoriti u članku.

proizilazi iz njegove definicije. I tako logaritam broja b razumom a definiran kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x=log a b, je ekvivalentno rješavanju jednačine ax=b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepena broja.

Sa logaritmima, kao i sa svakim brojevima, možete izvesti operacije sabiranja, oduzimanja i transformisati na svaki mogući način. Ali s obzirom na činjenicu da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede njihova posebna pravila, koja se nazivaju osnovna svojstva.

Sabiranje i oduzimanje logaritama.

Uzmite dva logaritma sa istom bazom: log x i log a y. Zatim uklonite moguće je izvršiti operacije sabiranja i oduzimanja:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Od teoreme kvocijentnog logaritma može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Dobro je poznat taj dnevnik a 1= 0, dakle,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Dakle, postoji jednakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi dva međusobno recipročna broja po istoj osnovi će se razlikovati jedno od drugog samo u znaku. dakle:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Imajte na umu da logaritam nepozitivnog broja nije definiran. Također, osnova logaritma mora biti pozitivan broj, ne jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobićemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam baze -2 od 4 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Važno je da se domeni definicije desnog i lijevog dijela ove formule razlikuju. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" u rješavanju jednačina i nejednačina može dovesti do promjene DPV-a.

Dvije očigledne posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Zaista, kada broj a podignemo na prvi stepen, dobijamo isti broj, a kada ga podignemo na nulti stepen dobijamo jedan.

Logaritam proizvoda i logaritam kvocijenta

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Želio bih upozoriti školarce na nepromišljeno korištenje ovih formula prilikom rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. Kada se koriste "s lijeva na desno", ODZ se sužava, a kada se prelazi sa zbira ili razlike logaritama na logaritam proizvoda ili količnika, ODZ se širi.

Zaista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije striktno pozitivne ili kada su f(x) i g(x) oba manje od nule.

Transformacija dati izraz u zbir log a f (x) + log a g (x) , moramo se ograničiti samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Dolazi do sužavanja raspona dozvoljenih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stepen se može izvaditi iz predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I opet bih želeo da pozovem na tačnost. Razmotrite sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti je očito definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Uzimajući snagu iz logaritma, ponovo sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona dozvoljenih vrijednosti. Sve ove napomene ne odnose se samo na stepen 2, već i na bilo koji parni stepen.

Formula za prelazak u novu bazu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tokom konverzije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivna i nije jednaka 1), formula za prelazak na novu bazu je savršeno sigurna.

Ako odaberemo broj b kao novu bazu c, dobićemo važan poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1 Izračunajte: lg2 + lg50.
Rješenje. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Koristili smo formulu za zbir logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2 Izračunajte: lg125/lg5.
Rješenje. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Koristili smo novu formulu baznog prelaza (8).

Tabela formula vezanih za logaritme

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

\(a^(b)=c\) \(\Strelica ulevo\) \(\log_(a)(c)=b\)

Hajde da to lakše objasnimo. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) je jednako snazi ​​\(2\) na koju se mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

primjeri:		\(\log_(5)(25)=2\)		jer \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		jer \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma se obično piše na njegovom nivou, a baza se upisuje u indeksu bliže predznaku logaritma. I ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet do osnove od pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: do kojeg stepena treba podići bazu da biste dobili argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koji stepen treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očigledno drugi. Zbog toga:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? I koji stepen čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koji stepen treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobio \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stepenu jednak je samom sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koji stepen treba podići \(3\) da bi se dobio \(\sqrt(3)\)? Odatle znamo da je to razlomak, i stoga je kvadratni korijen potencija \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Rješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebamo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga sa x. Sada koristimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Strelica ulevo\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Koje veze \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer se oba broja mogu predstaviti dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Na lijevoj strani koristimo svojstva stepena: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Osnove su jednake, prelazimo na jednakost indikatora
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe sa \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednačinu: \(3^(x)=9\). Samo uparite \(x\) da bi jednakost funkcionirala. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednačinu: \(3^(x)=8\).Čemu je x jednako? To je poenta.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako tačno napisati ovaj broj? Da bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim da naglasim da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratak. Jer ako bismo to htjeli zapisati kao decimalu, to bi izgledalo ovako: \(1.892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednačinu \(4^(5x-4)=10\)

Rješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) se ne mogu svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Koristimo definiciju logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Strelica ulevo\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude lijevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Pred nama. Pomaknite \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao normalan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednačinu sa 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jednog \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama, postoje dvije koje se tako često javljaju da je izmišljen poseban kratki zapis za logaritme s njima:

Prirodni logaritam: logaritam čija je osnova Ojlerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam je zapisan kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše se \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Osnovni logaritamski identitet" i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo slijedi direktno iz definicije. Pogledajmo kako je nastala ova formula.

Prisjetite se kratke definicije logaritma:

ako je \(a^(b)=c\), onda \(\log_(a)(c)=b\)

To jest, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispostavilo se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Rješenje :

Odgovori : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. I obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) je također jednako \(2\), tako da možete napisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Slično sa \(\log_(5)(25)\), i sa \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispostavilo se

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Dakle, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam sa bilo kojom bazom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak iu izrazu, čak i u nejednakosti) - samo napišemo kvadratnu bazu kao argument.

Isto je i sa trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I sa jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam sa bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Rješenje :

Odgovori : \(1\)

Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i demonstrirati primjeri rješenja.

Sami po sebi, oni podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula na rješenje, podsjećamo za vas, prvo sva svojstva:

Sada, na osnovu ovih formula (osobina), prikazujemo primjeri rješavanja logaritma.

Primjeri rješavanja logaritama na osnovu formula.

Logaritam pozitivan broj b u bazi a (označen log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, sa b > 0, a > 0 i 1.

Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, pa log a a x = x.

Logaritmi, primjeri:

log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8

log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritam je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.

log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100

prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali već s bazom e (e = 2,71828 ... - iracionalan broj). Pominje se kao ln.

Poželjno je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednačina. Proradimo ponovo kroz svaku formulu s primjerima.

• Osnovni logaritamski identitet
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritam količnika jednak je razlici logaritama
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Svojstva stepena logaritamskog broja i osnovice logaritma

  Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b

  Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ako je m = n, dobijamo log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prelazak na novu osnovu
  log a b = log c b / log c a,

  ako je c = b, dobijamo log b b = 1

  tada je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplikovane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!

Ako i dalje imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.

Napomena: odlučio sam se kao opciju školovati na drugom razrednom studiju u inostranstvu.