Relacije u jednakostraničnom trouglu. Jednakostranični trougao. Ilustrovani vodič (2019.)

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspeh polaganje ispita iz matematike za 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da 1. dio riješite za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

U školskom kursu geometrije, ogromna količina vremena posvećena je proučavanju trouglova. Učenici izračunavaju uglove, grade simetrale i visine, otkrivaju po čemu se oblici razlikuju jedni od drugih i najlakši način da pronađu njihovu površinu i perimetar. Čini se da to ni na koji način nije korisno u životu, ali ponekad je ipak korisno naučiti, na primjer, kako odrediti da je trokut jednakostraničan ili tupokut. Kako uraditi?

Tipovi trokuta

Tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji i segmenti koji ih spajaju. Čini se da je ova brojka najjednostavnija. Kako mogu izgledati trouglovi ako imaju samo tri stranice? Zapravo postoji dosta opcija. veliki broj, a neki od njih su dati Posebna pažnja kao deo školskog kursa geometrije. Jednakostranični trokut je jednakostraničan, odnosno svi uglovi i stranice su mu jednaki. Ima niz izvanrednih svojstava, o kojima će biti riječi kasnije.

Jednakokraka ima samo dvije jednake strane, a također je prilično zanimljiva. U pravougaonom, a kao što možete pretpostaviti, jedan od uglova je ravan ili tup. Međutim, mogu biti i jednakokračne.

Postoji i jedan poseban koji se zove Egipatski. Njegove strane su 3, 4 i 5 jedinica. Međutim, pravougaona je. Vjeruje se da su ga aktivno koristili egipatski geodeti i arhitekti za izgradnju pravih uglova. Vjeruje se da su uz njegovu pomoć izgrađene čuvene piramide.

Pa ipak, svi vrhovi trougla mogu ležati na jednoj pravoj liniji. U ovom slučaju će se zvati degenerisanim, dok se svi ostali nazivaju nedegenerisanim. One su jedan od predmeta izučavanja geometrije.

Trougao je jednakostraničan

Naravno, tačne brojke su uvijek od najvećeg interesa. Djeluju savršenije, gracioznije. Formule za izračunavanje njihovih karakteristika često su jednostavnije i kraće nego za obične figure. Ovo se odnosi i na trouglove. Nije iznenađujuće da im se pri učenju geometrije poklanja velika pažnja: školarci se uče da razlikuju pravilne figure od ostalih, a govore im i neke od njihovih zanimljivih karakteristika.

Karakteristike i svojstva

Kao što ime govori, svaka strana jednakostraničnog trougla jednaka je drugim dvjema. Osim toga, ima niz karakteristika, zahvaljujući kojima je moguće utvrditi je li cifra ispravna ili ne.

Ako se primijeti barem jedan od gore navedenih znakova, onda je trokut jednakostraničan. Za redovnu brojku, sve gore navedene tvrdnje su tačne.

Svi trouglovi imaju niz izvanrednih svojstava. Prvo, srednja linija, odnosno segment koji dijeli dvije strane na pola i paralelan s trećom, jednaka je polovini baze. Drugo, zbir svih uglova ove figure je uvek jednak 180 stepeni. Osim toga, postoji još jedan zanimljiv odnos u trouglovima. Da, protiv veća strana leži veći ugao i obrnuto. Ali to, naravno, nema nikakve veze sa jednakostraničnim trouglom, jer su svi njegovi uglovi jednaki.

Upisane i opisane kružnice

Često na kursu geometrije, studenti takođe uče kako oblici mogu međusobno da komuniciraju. Posebno se proučavaju krugovi upisani u poligone ili opisani oko njih. O čemu se radi?

Upisana kružnica je kružnica kojoj su sve strane poligona tangente. Opisana - ona koja ima dodirne tačke sa svim uglovima. Za svaki trokut uvijek je moguće konstruirati i prvi i drugi krug, ali samo po jedan od svake vrste. Dokazi za ovo dvoje

teoreme su date u školskom kursu geometrije.

Osim izračunavanja parametara samih trouglova, neki zadaci uključuju i izračunavanje polumjera ovih kružnica. I formule za
jednakostranični trokut izgleda ovako:

gdje je r poluprečnik upisane kružnice, R poluprečnik opisane kružnice, a dužina stranice trougla.

Izračun visine, perimetra i površine

Glavni parametri koje školarci računaju dok proučavaju geometriju ostaju nepromijenjeni za gotovo svaku figuru. To su obim, površina i visina. Radi lakšeg izračuna, postoje različite formule.

Dakle, perimetar, odnosno dužina svih strana, izračunava se na sljedeće načine:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, gdje je a stranica pravilnog trougla, R je polumjer opisane kružnice, r je upisana.

h = (√ ̅3/2)*a, gdje je a dužina stranice.

Konačno, formula je izvedena iz standarda, odnosno umnožaka polovine baze i njene visine.

S = (√ ̅3/4)*a 2 , gdje je a dužina stranice.

Također, ova vrijednost se može izračunati kroz parametre opisane ili upisane kružnice. Za to postoje i posebne formule:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2 , gdje su r i R polumjeri upisanog i opisanog kruga, respektivno.

Zgrada

Još jedna zanimljiva vrsta problema, uključujući trokute, povezana je s potrebom da se nacrta određeni oblik koristeći minimalni skup

alati: šestar i ravnalo bez podjela.

Da biste napravili pravilan trokut samo sa ovim alatima, trebate slijediti nekoliko koraka.

1. Potrebno je nacrtati kružnicu bilo kojeg polumjera i sa centrom u proizvoljnoj tački A. Mora se primijetiti.
2. Zatim morate povući pravu liniju kroz ovu tačku.
3. Presjeci kruga i prave linije moraju biti označeni kao B i C. Sve konstrukcije moraju biti izvedene sa najvećom mogućom preciznošću.
4. Zatim morate izgraditi još jedan krug s istim polumjerom i centrom u tački C ili luk s odgovarajućim parametrima. Raskrsnice će biti označene D i F.
5. Tačke B, F, D moraju biti povezane segmentima. Izgrađen je jednakostranični trougao.

Rješavanje ovakvih problema obično je problem za školarce, ali ova vještina može biti korisna u svakodnevnom životu.

Definicija 7. Jednakokraki trougao je svaki trougao čije su dvije stranice jednake.
Dvije jednake strane nazivaju se bočnim, a treća - bazom.
Definicija 8. Ako su sve tri strane trougla jednake, onda se trokut naziva jednakostranični trokut.
To je posebna vrsta jednakokračnog trougla.
Teorema 18. Visina jednakokračnog trokuta, spuštenog na osnovu, istovremeno je i simetrala ugla između jednakih stranica, medijane i ose simetrije osnove.
Dokaz. Spustimo visinu na osnovu jednakokračnog trougla. Ona će ga podijeliti na dva jednaka (duž kraka i hipotenuze) pravokutna trougla. Uglovi A i C su jednaki, a visina također dijeli bazu na pola i bit će osa simetrije cijele figure koja se razmatra.
Ova teorema se također može formulirati na sljedeći način:
Teorema 18.1. Medijan jednakokračnog trokuta, spušten na osnovu, istovremeno je i simetrala ugla između jednakih stranica, visine i ose simetrije osnove.
Teorema 18.2. Simetrala jednakokračnog trougla, spuštena na osnovu, istovremeno je visina, medijan i osa simetrije osnove.
Teorema 18.3. Osa simetrije jednakokračnog trougla je ujedno i simetrala ugla između jednakih stranica, medijane i visine.
Dokaz ovih posljedica također slijedi iz jednakosti trouglova na koje je podijeljen jednakokraki trokut.

Teorema 19. Uglovi u osnovi jednakokračnog trougla su jednaki.
Dokaz. Spustimo visinu na osnovu jednakokračnog trougla. Ona će ga podijeliti na dva jednaka (duž kraka i hipotenuze) pravokutna trougla, što znači da su odgovarajući uglovi jednaki, tj. ∠ A=∠ C
Znaci jednakokračnog trougla potiču iz teoreme 1 i njenih posljedica i teoreme 2.
Teorema 20. Ako se dvije od navedene četiri prave (visina, medijana, simetrala, osa simetrije) poklapaju, tada će trokut biti jednakokračan (što znači da će se sve četiri prave poklopiti).
Teorema 21. Ako su bilo koja dva ugla trokuta jednaka, onda je on jednakokraki.

dokaz: Slično dokazu direktne teoreme, ali koristeći drugi kriterij jednakosti trokuta. Težište, središta opisane i upisane kružnice i presečna tačka visina jednakokračnog trougla - svi leže na njegovoj osi simetrije, tj. na visokom.
Jednakostranični trougao je jednakokraki za svaki par njegovih stranica. S obzirom na jednakost svih njegovih stranica, sva tri ugla takvog trougla su jednaka. S obzirom da je zbir uglova bilo kojeg trougla jednak dvama pravim uglovima, vidimo da je svaki od uglova jednakostraničnog trougla jednak 60°. Suprotno tome, da bismo bili sigurni da su sve strane trougla jednake, dovoljno je provjeriti da li su dva od tri njegova ugla jednaka 60°.
Teorema 22 . U jednakostraničnom trouglu sve značajne tačke se poklapaju: centar gravitacije, centri upisanih i opisanih kružnica, tačka preseka visina (koja se naziva ortocentar trougla).
Teorema 23 . Ako se dvije od navedene četiri tačke poklapaju, tada će trokut biti jednakostraničan i, kao rezultat, sve četiri imenovane tačke će se poklopiti.
Zaista, takav trokut će, prema prethodnom, biti jednakokračan u odnosu na bilo koji par stranica, tj. equilateral. Jednakostranični trougao se još naziva i pravougli trougao. Površina jednakokračnog trokuta jednaka je polovini umnoška kvadrata stranice i sinusa ugla između stranica
Razmotrimo ovu formulu za jednakostranični trokut, tada će ugao alfa biti 60 stepeni. Formula će se tada promijeniti u sljedeće:

Teorema d1 . U jednakokračnom trouglu, medijane povučene na stranice su jednake.

dokaz: Neka je ABC jednakokraki trougao (AC = BC), AK i BL su njegove medijane. Tada su trouglovi AKB i ALB podudarni prema drugom kriteriju jednakosti trougla. Imaju zajedničku stranicu AB, stranice AL i BK jednake su polovini stranica jednakokračnog trougla, a uglovi LAB i KBA jednaki su uglovima pri osnovici jednakokračnog trougla. Kako su trokuti podudarni, njihove stranice AK i LB su jednake. Ali AK i LB su medijane jednakokračnog trougla povučenog na njegove strane.
Teorema d2 . U jednakokračnom trouglu simetrale povučene na stranice su jednake.

dokaz: Neka je ABC jednakokraki trougao (AC = BC), AK i BL su njegove simetrale. Trouglovi AKB i ALB su kongruentni prema drugom kriterijumu jednakosti trouglova. Imaju zajedničku stranicu AB, uglovi LAB i KBA su jednaki kao uglovi u osnovi jednakokračnog trougla, a uglovi LBA i KAB jednaki su polovini uglova u osnovi jednakokračnog trougla. Pošto su trouglovi podudarni, njihove stranice AK i LB - simetrale trougla ABC - su jednake. Teorema je dokazana.
Teorema d3 . U jednakokračnom trouglu visine spuštene na stranice su jednake.

dokaz: Neka je ABC jednakokraki trougao (AC = BC), AK i BL su njegove visine. Tada su uglovi ABL i KAB jednaki, jer su uglovi ALB i AKB pravi, a uglovi LAB i ABK jednaki uglovima pri osnovici jednakokrakog trougla. Dakle, trokuti ALB i AKB su podudarni prema drugom kriteriju jednakosti trokuta: imaju zajedničku stranicu AB, uglovi KAB i LBA su jednaki prema gore navedenom, a uglovi LAB i KBA jednaki su kao uglovi pri osnovici jednakokraki trougao. Ako su trouglovi jednaki, i njihove stranice AK i BL su jednake. Q.E.D.