• 09.10.2014

  El preamplificador que se muestra en la figura está diseñado para usarse con 4 tipos de fuentes de sonido, como un micrófono, un reproductor de CD, una grabadora de radio, etc. Al mismo tiempo, el preamplificador tiene una entrada que puede cambiar la sensibilidad de 50 mV a 500 mV. el voltaje de salida del amplificador es de 1000mV. Al conectar diferentes fuentes de señal al cambiar el interruptor SA1, siempre obtendremos ...

• 20.09.2014

  La fuente de alimentación está diseñada para una carga con una potencia de 15 ... 20 vatios. La fuente está hecha de acuerdo con el esquema de un convertidor de alta frecuencia pulsado de un solo ciclo. Se ensambla un oscilador que opera a una frecuencia de 20 ... 40 kHz en el transistor. La frecuencia es ajustada por la capacitancia C5. Los elementos VD5, VD6 y C6 forman un circuito para iniciar un oscilador. En el circuito secundario, después del puente rectificador, hay un estabilizador lineal convencional en un microcircuito, que le permite tener ...

• 28.09.2014

  La figura muestra un generador en un chip K174XA11, cuya frecuencia está controlada por voltaje. Al cambiar la capacitancia C1 de 560 a 4700pF, se puede obtener un amplio rango de frecuencia, mientras que la frecuencia se ajusta cambiando la resistencia R4. Por ejemplo, el autor descubrió que, en C1 \u003d 560pF, la frecuencia del generador se puede cambiar usando R4 de 600Hz a 200kHz, ...

• 03.10.2014

  La unidad está diseñada para alimentar un ULF potente, está diseñada para un voltaje de salida de ± 27 V y, por lo tanto, carga hasta 3 A en cada brazo. La fuente de alimentación es bipolar, hecha en transistores compuestos completos KT825-KT827. Ambos brazos del estabilizador están hechos según el mismo esquema, pero en el otro brazo (no se muestra), se cambia la polaridad de los capacitores y se usan transistores del otro...

La capacidad de calcular el volumen de figuras espaciales es importante para resolver una serie de problemas prácticos de geometría. Una de las formas más comunes es la pirámide. En este artículo, consideraremos las pirámides, tanto completas como truncadas.

Pirámide como figura tridimensional

todo el mundo sabe acerca de Pirámides egipcias, por lo tanto, está bien representado de qué figura se hablará. Sin embargo, las estructuras de piedra egipcias son solo un caso especial de una gran clase de pirámides.

El objeto geométrico bajo consideración en el caso general es una base poligonal, cada vértice del cual está conectado a algún punto en el espacio que no pertenece al plano base. Esta definición conduce a una figura que consta de un n-ágono y n triángulos.

Cualquier pirámide consta de n+1 caras, 2*n aristas y n+1 vértices. Dado que la figura en consideración es un poliedro perfecto, los números de elementos marcados obedecen a la ecuación de Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

El polígono ubicado en la base da el nombre de la pirámide, por ejemplo, triangular, pentagonal, etc. En la foto de abajo se muestra un conjunto de pirámides con diferentes bases.

El punto en el que se conectan n triángulos de la figura se llama vértice de la pirámide. Si se baja una perpendicular desde ella hasta la base y la corta en el centro geométrico, entonces tal figura se llamará línea recta. Si no se cumple esta condición, entonces hay una pirámide inclinada.

Una figura recta, cuya base está formada por un n-ágono equilátero (equiangular), se llama regular.

Fórmula de volumen piramidal

Para calcular el volumen de la pirámide, usamos el cálculo integral. Para ello, dividimos la figura por planos secantes paralelos a la base en un número infinito de capas delgadas. La siguiente figura muestra una pirámide cuadrangular con altura h y longitud de lado L, en la que una delgada capa de sección está marcada con un cuadrilátero.

El área de cada una de esas capas se puede calcular mediante la fórmula:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Aquí A 0 es el área de la base, z es el valor de la coordenada vertical. Se puede ver que si z = 0, entonces la fórmula da el valor A 0 .

Para obtener la fórmula del volumen de la pirámide, debes calcular la integral sobre toda la altura de la figura, es decir:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Sustituyendo la dependencia A(z) y calculando la antiderivada, llegamos a la expresión:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Hemos obtenido la fórmula del volumen de una pirámide. Para encontrar el valor de V, basta con multiplicar la altura de la figura por el área de la base y luego dividir el resultado por tres.

Tenga en cuenta que la expresión resultante es válida para calcular el volumen de una pirámide de un tipo arbitrario. Es decir, puede estar inclinado y su base puede ser un n-ágono arbitrario.

y su volumen

Recibido en el párrafo anterior formula general para el volumen se puede especificar en el caso de una pirámide con fundación correcta. El área de dicha base se calcula mediante la siguiente fórmula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Aquí L es la longitud del lado de un polígono regular con n vértices. El símbolo pi es el número pi.

Sustituyendo la expresión de A 0 en la fórmula general, obtenemos el volumen pirámide correcta:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Por ejemplo, para una pirámide triangular, esta fórmula conduce a la siguiente expresión:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Para una pirámide cuadrangular regular, la fórmula del volumen toma la forma:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Determinar los volúmenes de pirámides regulares requiere conocer el lado de su base y la altura de la figura.

Pirámide truncada

Supongamos que hemos tomado una pirámide arbitraria y cortado una parte de su superficie lateral que contiene el vértice. La figura restante se llama pirámide truncada. Ya consta de dos bases n-gonales y n trapecios que las conectan. Si el plano de corte era paralelo a la base de la figura, entonces se forma una pirámide truncada con bases paralelas similares. Es decir, las longitudes de los lados de uno de ellos se pueden obtener multiplicando las longitudes del otro por algún coeficiente k.

La figura anterior muestra uno regular truncado, se puede observar que su base superior, al igual que la inferior, está formada por un hexágono regular.

La fórmula que se puede derivar usando un cálculo integral similar al anterior es:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Donde A 0 y A 1 son las áreas de las bases inferior (grande) y superior (pequeña), respectivamente. La variable h denota la altura de la pirámide truncada.

El volumen de la pirámide de Keops.

Es curioso resolver el problema de determinar el volumen que contiene la pirámide egipcia más grande.

En 1984, los egiptólogos británicos Mark Lehner y Jon Goodman establecieron las dimensiones exactas de la pirámide de Keops. Su altura original era de 146,50 metros (actualmente unos 137 metros). La longitud promedio de cada uno de los cuatro lados de la estructura fue de 230.363 metros. La base de la pirámide es cuadrada con alta precisión.

Usemos las cifras dadas para determinar el volumen de este gigante de piedra. Dado que la pirámide es un cuadrangular regular, entonces la fórmula es válida para ella:

Introduciendo los números, obtenemos:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

El volumen de la pirámide de Keops es de casi 2,6 millones de m 3. A modo de comparación, observamos que la piscina olímpica tiene un volumen de 2,5 mil m 3. Es decir, para llenar toda la pirámide de Keops, ¡se necesitarán más de 1000 piscinas de este tipo!

Pirámide. Pirámide truncada

Pirámide se llama poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La piramide se llama correcto si su base es polígono regular y la parte superior de la pirámide se proyecta en el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular en la que todas las aristas son iguales se llama tetraedro .

costilla lateral se llama piramide al lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su parte superior hasta el plano de la base. Todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Superficie lateral Se llama pirámide a la suma de las áreas de todas las caras laterales. área superficie completa es la suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

2. Si en una pirámide todos los bordes laterales tienen la misma longitud, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

3. Si en la pirámide todas las caras están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula es correcta:

Dónde V- volumen;

S principal- área de la base;

H es la altura de la pirámide.

Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son verdaderas:

Dónde pag- el perímetro de la base;

ha- apotema;

H- altura;

S lleno

lado S

S principal- área de la base;

V es el volumen de una pirámide regular.

pirámide truncada llamado la parte de la pirámide encerrada entre la base y el plano de corte paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada correcta Llamada parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.

Cimientos pirámide truncada - polígonos similares. Caras laterales - trapezoide. Altura Se llama pirámide truncada a la distancia entre sus bases. Diagonal Una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Se llama plano a la sección de una pirámide truncada que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Para una pirámide truncada, las fórmulas son válidas:

(4)

Dónde S 1 , S 2 - áreas de las bases superior e inferior;

S lleno es la superficie total;

lado S es el área de la superficie lateral;

H- altura;

V es el volumen de la pirámide truncada.

Para una pirámide truncada regular, la siguiente fórmula es verdadera:

Dónde pag 1 , pag 2 - perímetros de base;

ha- la apotema de una pirámide truncada regular.

Ejemplo 1 En una pirámide triangular regular, el ángulo diedro en la base es de 60º. Encuentra la tangente de la pendiente costilla lateral al plano base.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 18).

La piramide es correcta, quiere decir en la base triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. Ángulo diedro en la base: este es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal será el ángulo a entre dos perpendiculares: i.e. La parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro del círculo circunscrito y el círculo inscrito en el triángulo A B C). El ángulo de inclinación de la nervadura lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano base. para costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas saber los catetos ENTONCES Y transmisión exterior. Sea la longitud del segmento BD es 3 A. punto ACERCA DE segmento de línea BD se divide en partes: y De encontramos ENTONCES: De encontramos:

Respuesta:

Ejemplo 2 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son cm y cm y la altura es de 4 cm.

Solución. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada, usamos la fórmula (4). Para encontrar las áreas de las bases, necesitas encontrar los lados de los cuadrados de la base, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases miden 2 cm y 8 cm respectivamente, esto significa las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Respuesta: 112 cm3.

Ejemplo 3 Halla el área de la cara lateral de una pirámide troncocónica triangular regular cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapecio isósceles. Para calcular el área de un trapezoide, necesitas saber las bases y la altura. Las bases están dadas por condición, solo se desconoce la altura. Encuéntralo de donde A 1 mi perpendicular desde un punto A 1 en el plano de la base inferior, A 1 D- perpendicular desde A 1 en C.A.. A 1 mi\u003d 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Para encontrar Delaware haremos un dibujo adicional, en el que representaremos una vista superior (Fig. 20). Punto ACERCA DE- proyección de los centros de las bases superior e inferior. ya que (ver Fig. 20) y Por otro lado DE ACUERDO es el radio de la circunferencia inscrita y OM es el radio de la circunferencia inscrita:

MK=ES.

De acuerdo con el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Respuesta:

Ejemplo 4 En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases A Y b (a> b). Cada cara lateral forma un ángulo con el plano de la base de la pirámide j. Encuentra el área total de la superficie de la pirámide.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD es igual a la suma de las areas y el area del trapezoide A B C D.

Usamos el enunciado de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE- proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano base. Según el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:

Del mismo modo, significa Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide A B C D. dibujar un trapezoide A B C D por separado (Fig. 22). Punto ACERCA DE es el centro de una circunferencia inscrita en un trapezoide.

Dado que un círculo se puede inscribir en un trapezoide, entonces o Por el teorema de Pitágoras tenemos