El área de la superficie lateral y completa del prisma. Teorema sobre el área de la superficie lateral de un prisma recto
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En el plan de estudios escolar para el curso de geometría sólida, el estudio de figuras tridimensionales generalmente comienza con un cuerpo geométrico simple: un poliedro prismático. El papel de sus bases lo realizan 2 polígonos iguales que se encuentran en planos paralelos. Un caso especial es un prisma cuadrangular regular. Sus bases son 2 cuadriláteros regulares idénticos, a los cuales los lados son perpendiculares, teniendo forma de paralelogramos (o rectángulos si el prisma no está inclinado).
¿Cómo se ve un prisma?
Un prisma cuadrangular regular es un hexaedro cuyas bases son 2 cuadrados, y caras laterales representada por rectángulos. Otro nombre para esto figura geometrica- un paralelepípedo recto.
La figura, que representa un prisma cuadrangular, se muestra a continuación.
También se puede ver en la imagen elementos esenciales, que forman el cuerpo geométrico. Se les conoce comúnmente como:
A veces en problemas de geometría puedes encontrar el concepto de sección. La definición sonará así: una sección son todos los puntos de un cuerpo volumétrico que pertenecen al plano de corte. La sección es perpendicular (cruza los bordes de la figura en un ángulo de 90 grados). Para prisma rectangular también se considera una sección diagonal (el número máximo de secciones que se pueden construir es 2) que pasa por 2 aristas y las diagonales de la base.
Si la sección se dibuja de forma que el plano de corte no sea paralelo ni a las bases ni a las caras laterales, el resultado es un prisma truncado.
Se utilizan varias proporciones y fórmulas para encontrar los elementos prismáticos reducidos. Algunos de ellos se conocen del curso de planimetría (por ejemplo, para encontrar el área de la base de un prisma, basta con recordar la fórmula del área de un cuadrado).
superficie y volumen
Para determinar el volumen de un prisma usando la fórmula, necesita saber el área de su base y altura:
V = Esprim h
Como la base de un prisma tetraédrico regular es un cuadrado de lado a, Puedes escribir la fórmula en una forma más detallada:
V = a²h
Si estamos hablando de un cubo, un prisma regular con la misma longitud, anchura y altura, el volumen se calcula de la siguiente manera:
Para comprender cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma, debe imaginar su barrido.
Se puede ver en el dibujo que la superficie lateral se compone de 4 rectángulos iguales. Su área se calcula como el producto del perímetro de la base y la altura de la figura:
Lado S = Pos h
Como el perímetro de un cuadrado es P = 4a, la fórmula toma la forma:
Slado = 4a h
Para cubo:
Lado S = 4a²
Para calcular el área de la superficie total de un prisma, agregue 2 áreas base al área lateral:
Slleno = Slado + 2Sbase
Aplicada a un prisma regular cuadrangular, la fórmula tiene la forma:
Slleno = 4a h + 2a²
Para el área de superficie de un cubo:
Slleno = 6a²
Conociendo el volumen o el área superficial, se pueden calcular los elementos individuales de un cuerpo geométrico.
Encontrar elementos de prisma
A menudo hay problemas en los que se da el volumen o se conoce el valor de la superficie lateral, donde es necesario determinar la longitud del lado de la base o la altura. En tales casos, se pueden derivar fórmulas:
- longitud del lado base: a = Slado / 4h = √(V / h);
- altura o longitud de la costilla lateral: h = Slado / 4a = V / a²;
- área de la base: Sprim = V/h;
- área de la cara lateral: Lado gr = Slado / 4.
Para determinar cuánta área tiene una sección diagonal, necesitas saber la longitud de la diagonal y la altura de la figura. por un cuadrado d = a√2. Por lo tanto:
Sdiag = ah√2
Para calcular la diagonal del prisma, se utiliza la fórmula:
dpremio = √(2a² + h²)
Para comprender cómo aplicar las proporciones anteriores, puede practicar y resolver algunas tareas simples.
Ejemplos de problemas con soluciones.
Estas son algunas de las tareas que aparecen en los exámenes finales estatales de matemáticas.
Ejercicio 1.
Se vierte arena en una caja con forma de prisma cuadrangular regular. La altura de su nivel es de 10 cm ¿Cuál será el nivel de arena si la mueves a un recipiente de la misma forma, pero con una longitud de base 2 veces mayor?
Debe argumentarse de la siguiente manera. La cantidad de arena en el primer y segundo contenedor no cambió, es decir, su volumen en ellos es el mismo. Puede definir la longitud de la base como a. En este caso, para la primera casilla, el volumen de la sustancia será:
V₁ = ha² = 10a²
Para la segunda caja, la longitud de la base es 2a, pero se desconoce la altura del nivel de arena:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Porque el V₁ = V₂, las expresiones se pueden equiparar:
10a² = 4ha²
Después de reducir ambos lados de la ecuación por a², obtenemos:
Como resultado, el nuevo nivel de arena será h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Tarea 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ es un prisma regular. Se sabe que BD = AB₁ = 6√2. Encuentra el área de superficie total del cuerpo.
Para que sea más fácil comprender qué elementos se conocen, puede dibujar una figura.
Como estamos hablando de un prisma regular, podemos concluir que la base es un cuadrado con una diagonal de 6√2. La diagonal de la cara lateral tiene el mismo valor, por lo tanto, la cara lateral también tiene la forma de un cuadrado igual a la base. Resulta que las tres dimensiones (largo, ancho y alto) son iguales. Podemos concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ es un cubo.
La longitud de cualquier borde se determina a través de la diagonal conocida:
un = re / √2 = 6√2 / √2 = 6
El área de superficie total se encuentra mediante la fórmula para el cubo:
Slleno = 6a² = 6 6² = 216
Tarea 3.
La habitación está siendo renovada. Se sabe que su piso tiene forma de cuadrado con un área de 9 m². La altura de la habitación es de 2,5 m ¿Cuál es el costo más bajo de empapelar una habitación si 1 m² cuesta 50 rublos?
Como el suelo y el techo son cuadrados, es decir, cuadriláteros regulares, y sus paredes son perpendiculares a las superficies horizontales, podemos concluir que es un prisma regular. Es necesario determinar el área de su superficie lateral.
La longitud de la habitación es un = √9 = 3 metro.
La plaza se cubrirá con papel pintado. Lado = 4 3 2,5 = 30 m².
El costo más bajo de papel tapiz para esta habitación será 50 30 = 1500 rublos
Así, para resolver problemas de un prisma rectangular basta con saber calcular el área y el perímetro de un cuadrado y un rectángulo, así como conocer las fórmulas para hallar el volumen y el área de la superficie.
Cómo encontrar el área de un cubo
Cómo se ve ella
Prismas rectangulares rodeados hombre moderno bastante. Este, por ejemplo, es el cartón habitual de debajo de los zapatos, componentes de la computadora, etc. Mira alrededor. Incluso en una habitación, seguramente verás muchos prismas rectangulares. Esta es una caja de computadora, una estantería, un refrigerador, un gabinete y muchos otros artículos. La forma es extremadamente popular principalmente porque le permite usar el espacio de la manera más eficiente posible, ya sea que esté decorando el interior o empaquetando cosas en cartón antes de mudarse.Propiedades de un prisma rectangular
Un prisma rectangular tiene una serie de propiedades específicas. Cualquier par de caras puede servir como suyo, ya que todas las caras adyacentes están ubicadas en el mismo ángulo entre sí, y este ángulo es de 90 °. El volumen y el área de superficie de un prisma rectangular es más fácil de calcular que cualquier otro. Toma cualquier objeto que tenga la forma de un prisma rectangular. Mide su largo, ancho y alto. Para encontrar el volumen, basta con multiplicar estas medidas. Es decir, la fórmula se ve así: V \u003d a * b * h, donde V es el volumen, a y b son los lados de la base, h es la altura que coincide con el borde lateral de este cuerpo geométrico. El área base se calcula mediante la fórmula S1=a*b. Para obtener la superficie lateral, primero debes calcular el perímetro de la base usando la fórmula P=2(a+b) y luego multiplicarlo por la altura. Resulta la fórmula S2=P*h=2(a+b)*h. Para calcular el área total de la superficie de un prisma rectangular, se suma el doble del área de la base y el área de la superficie lateral. La fórmula es S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2Los diferentes prismas son diferentes entre sí. Al mismo tiempo, tienen mucho en común. Para encontrar el área de la base de un prisma, debes averiguar a qué tipo se parece.
teoría general
Un prisma es cualquier poliedro cuyos lados tienen la forma de un paralelogramo. Además, cualquier poliedro puede estar en su base, desde un triángulo hasta un n-ágono. Además, las bases del prisma son siempre iguales entre sí. Lo que no se aplica a las caras laterales: pueden variar significativamente en tamaño.
Al resolver problemas, no solo se encuentra el área de la base del prisma. Puede ser necesario conocer la superficie lateral, es decir, todas las caras que no son bases. La superficie completa será ya la unión de todas las caras que forman el prisma.
A veces aparecen alturas en las tareas. Es perpendicular a las bases. La diagonal de un poliedro es un segmento que une por parejas dos vértices cualesquiera que no pertenecen a la misma cara.
Cabe señalar que el área de la base de un prisma recto o inclinado no depende del ángulo entre ellos y las caras laterales. Si tienen las mismas figuras en las caras superior e inferior, entonces sus áreas serán iguales.
prisma triangular
Tiene en la base una figura de tres vértices, es decir, un triángulo. Se sabe que es diferente. Si entonces basta recordar que su área está determinada por la mitad del producto de las piernas.
La notación matemática se ve así: S = ½ av.
Para hallar el área de la base en vista general, son útiles las fórmulas: Garza y aquella en la que se lleva la mitad del lado a la altura trazada hacia él.
La primera fórmula debe escribirse así: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Esta entrada contiene un semiperímetro (p), es decir, la suma de tres lados dividida por dos.
Segundo: S = ½ n a * a.
Si quieres saber el área de la base de un prisma triangular, que es regular, entonces el triángulo resulta equilátero. Tiene su propia fórmula: S = ¼ a 2 * √3.
prisma cuadrangular
Su base es cualquiera de los cuadriláteros conocidos. Puede ser un rectángulo o un cuadrado, un paralelepípedo o un rombo. En cada caso, para calcular el área de la base del prisma, necesitará su propia fórmula.
Si la base es un rectángulo, entonces su área se determina de la siguiente manera: S = av, donde a, b son los lados del rectángulo.
Cuando se trata de un prisma cuadrangular, el área de la base de un prisma regular se calcula usando la fórmula para un cuadrado. Porque es él quien yace en la base. S \u003d un 2.
En el caso de que la base sea un paralelepípedo, se necesitará la siguiente igualdad: S \u003d a * n a. Sucede que se dan un lado de un paralelepípedo y uno de los ángulos. Luego, para calcular la altura, deberá usar una fórmula adicional: na \u003d b * sin A. Además, el ángulo A es adyacente al lado "b", y la altura es na opuesta a este ángulo.
Si un rombo se encuentra en la base del prisma, entonces se necesitará la misma fórmula para determinar su área que para un paralelogramo (ya que es un caso especial de este). Pero también puedes usar este: S = ½ d 1 d 2. Aquí d 1 y d 2 son dos diagonales del rombo.
Prisma pentagonal regular
Este caso consiste en dividir el polígono en triángulos, cuyas áreas son más fáciles de averiguar. Aunque sucede que las figuras pueden tener diferente número de vértices.
Dado que la base del prisma es un pentágono regular, se puede dividir en cinco triángulos equiláteros. Entonces, el área de la base del prisma es igual al área de uno de esos triángulos (la fórmula se puede ver arriba), multiplicada por cinco.
Prisma hexagonal regular
Según el principio descrito para un prisma pentagonal, es posible dividir el hexágono base en 6 triángulos equiláteros. La fórmula para el área de la base de dicho prisma es similar a la anterior. Solo en él se debe multiplicar por seis.
La fórmula se verá así: S = 3/2 y 2 * √3.
Tareas
No. 1. Se da una línea recta regular. Su diagonal es de 22 cm, la altura del poliedro es de 14 cm. Calcule el área de la base del prisma y toda la superficie.
Solución. La base de un prisma es un cuadrado, pero no se conoce su lado. Puedes encontrar su valor a partir de la diagonal del cuadrado (x), que está relacionada con la diagonal del prisma (d) y su altura (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Por otro lado, este segmento "x" es la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos son iguales al lado del cuadrado. Es decir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Por lo tanto, resulta que a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Sustituya el número 22 en lugar de d, y reemplace "n" con su valor: 14, resulta que el lado del cuadrado es de 12 cm. Ahora es fácil encontrar el área de la base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Para averiguar el área de toda la superficie, debe agregar el doble del valor del área base y cuadriplicar el lado. Este último es fácil de encontrar por la fórmula de un rectángulo: multiplicar la altura del poliedro y el lado de la base. Es decir, 14 y 12, este número será igual a 168 cm 2. Se encuentra que el área de superficie total del prisma es de 960 cm 2 .
Respuesta. El área de la base del prisma es de 144 cm2. Toda la superficie - 960 cm 2 .
No. 2. Dana En la base se encuentra un triángulo de 6 cm de lado. En este caso, la diagonal de la cara lateral es de 10 cm. Calcula las áreas: la base y la superficie lateral.
Solución. Como el prisma es regular, su base es triángulo equilátero. Por lo tanto, su área resulta ser igual a 6 al cuadrado por ¼ y la raíz cuadrada de 3. Un cálculo simple lleva al resultado: 9√3 cm 2. Esta es el área de una base del prisma.
Todas las caras laterales son iguales y son rectángulos de 6 y 10 cm de lado, para calcular sus áreas basta con multiplicar estos números. Luego multiplícalos por tres, porque el prisma tiene exactamente tantas caras laterales. Luego, el área de la superficie lateral se enrolla 180 cm 2 .
Respuesta.Áreas: base - 9√3 cm 2, superficie lateral del prisma - 180 cm 2.
Conferencia: Prisma, sus bases, aristas laterales, altura, superficie lateral; prisma recto; prisma recto
Prisma
Si ha aprendido figuras planas de las preguntas anteriores con nosotros, entonces está completamente listo para estudiar figuras tridimensionales. El primer sólido que aprenderemos será un prisma.
Prisma es un cuerpo voluminoso que tiene un gran número de caras.
Esta figura tiene dos polígonos en las bases, que están ubicados en planos paralelos, y todas las caras laterales tienen forma de paralelogramo.
Figura 1. Figura. 2
Entonces, averigüemos en qué consiste un prisma. Para hacer esto, preste atención a la Fig.1
Como se mencionó anteriormente, el prisma tiene dos bases que son paralelas entre sí: estos son los pentágonos ABCEF y GMNJK. Además, estos polígonos son iguales entre sí.
Todas las demás caras del prisma se llaman caras laterales, consisten en paralelogramos. Por ejemplo, BMNC, AGKF, FKJE, etc.
La superficie común de todas las caras laterales se llama superficie lateral.
Cada par de caras adyacentes tiene un lado común. Tal lado común se llama borde. Por ejemplo, MB, CE, AB, etc.
Si las bases superior e inferior del prisma están conectadas por una perpendicular, entonces se llamará la altura del prisma. En la figura, la altura está marcada como una línea recta OO 1.
Hay dos tipos principales de prismas: oblicuos y rectos.
Si costillas laterales prismas no son perpendiculares a las bases, entonces tal prisma se llama oblicuo.
Si todas las aristas de un prisma son perpendiculares a las bases, dicho prisma se llama derecho.
Si las bases del prisma son polígonos regulares(aquellos cuyos lados son iguales), entonces tal prisma se llama correcto.
Si las bases del prisma no son paralelas entre sí, dicho prisma se llamará truncado.
Puedes verlo en la Fig.2
Fórmulas para encontrar el volumen, el área de un prisma.
Hay tres fórmulas básicas para encontrar el volumen. Se diferencian entre sí en su aplicación:
Fórmulas similares para encontrar el área de superficie de un prisma:
