Problemas simples en la teoría de la probabilidad. Fórmula básica. El significado de la palabra "probabilidad

Inicialmente, siendo solo una colección de información y observaciones empíricas del juego de dados, la teoría de la probabilidad se ha convertido en una ciencia sólida. Fermat y Pascal fueron los primeros en darle un marco matemático.

De las reflexiones sobre lo eterno a la teoría de la probabilidad

Dos personas a quienes la teoría de la probabilidad debe muchas fórmulas fundamentales, Blaise Pascal y Thomas Bayes, son conocidos como personas profundamente religiosas, el último era un ministro presbiteriano. Aparentemente, el deseo de estos dos científicos de probar la falacia de la opinión sobre cierta Fortuna, otorgando buena suerte a sus favoritos, impulsó la investigación en esta área. De hecho, cualquier juego con sus victorias y derrotas, es solo una sinfonía de principios matemáticos.

Gracias a la ilusión del Chevalier de Mere, que era a la vez un jugador y una persona no indiferente a la ciencia, Pascal se vio obligado a encontrar la manera de calcular la probabilidad. De Mere se interesó por esta pregunta: "¿Cuántas veces hay que lanzar dos dados de dos en dos para que la probabilidad de sacar 12 puntos supere el 50%?". La segunda pregunta que interesó sobremanera al señor: "¿Cómo dividir la apuesta entre los participantes en el juego inconcluso?" Por supuesto, Pascal respondió con éxito a ambas preguntas de de Mere, quien se convirtió en el iniciador involuntario del desarrollo de la teoría de la probabilidad. Es interesante que la persona de De Mere siguiera siendo conocida en esta zona, y no en la literatura.

Anteriormente, ningún matemático ha intentado calcular las probabilidades de los eventos, ya que se creía que esto era solo una solución de conjetura. Blaise Pascal dio la primera definición de la probabilidad de un evento y demostró que esta es una cifra específica que se puede justificar matemáticamente. La teoría de la probabilidad se ha convertido en la base de la estadística y es ampliamente utilizada en ciencia moderna.

que es la aleatoriedad

Si consideramos una prueba que puede repetirse un número infinito de veces, entonces podemos definir un evento aleatorio. Este es uno de los posibles resultados de la experiencia.

La experiencia es la implementación de acciones específicas en condiciones constantes.

Para poder trabajar con los resultados de la experiencia, los eventos se suelen denotar con las letras A, B, C, D, E...

Probabilidad de un evento aleatorio

Para poder pasar a la parte matemática de la probabilidad, es necesario definir todos sus componentes.

La probabilidad de un evento es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra algún evento (A o B) como resultado de una experiencia. La probabilidad se denota como P(A) o P(B).

La teoría de la probabilidad es:

• de confianza se garantiza que el evento ocurrirá como resultado del experimento Р(Ω) = 1;
• imposible el evento nunca puede ocurrir Р(Ø) = 0;
• aleatorio el evento se encuentra entre cierto e imposible, es decir, la probabilidad de su ocurrencia es posible, pero no garantizada (probabilidad evento al azar siempre dentro de 0≤P(A)≤1).

Relaciones entre eventos

Tanto uno como la suma de los eventos A + B se consideran cuando el evento se cuenta en la implementación de al menos uno de los componentes, A o B, o ambos, A y B.

En relación entre sí, los eventos pueden ser:

• Igual de posible.
• compatible.
• Incompatible.
• Opuestos (mutuamente excluyentes).
• Dependiente.

Si dos eventos pueden ocurrir con la misma probabilidad, entonces igualmente posible.

Si la ocurrencia del evento A no anula la probabilidad de ocurrencia del evento B, entonces compatible.

Si los eventos A y B nunca ocurren al mismo tiempo en el mismo experimento, entonces se llaman incompatible. lanzamiento de la moneda - buen ejemplo: la aparición de cruces es automáticamente la no aparición de caras.

La probabilidad de la suma de tales eventos incompatibles consiste en la suma de las probabilidades de cada uno de los eventos:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Si la ocurrencia de un evento hace imposible la ocurrencia de otro, entonces se les llama opuestos. Luego, uno de ellos se designa como A, y el otro - Ā (léase como "no A"). La ocurrencia del evento A significa que  no ocurrió. Estos dos eventos forman un grupo completo con una suma de probabilidades igual a 1.

Los eventos dependientes tienen una influencia mutua, disminuyendo o aumentando la probabilidad de cada uno.

Relaciones entre eventos. Ejemplos

Es mucho más fácil entender los principios de la teoría de la probabilidad y la combinación de eventos usando ejemplos.

El experimento que se llevará a cabo es sacar las bolas de la caja, y el resultado de cada experimento es un resultado elemental.

Un evento es uno de los posibles resultados de una experiencia: una bola roja, una bola azul, una bola con el número seis, etc.

Prueba número 1. Hay 6 bolas, tres de las cuales son azules con números impares y las otras tres son rojas con números pares.

Prueba número 2. Participan 6 balones de color azul con números del uno al seis.

Basándonos en este ejemplo, podemos nombrar combinaciones:

• Evento confiable. En español No. 2, el evento "obtener la bola azul" es confiable, ya que la probabilidad de que ocurra es 1, ya que todas las bolas son azules y no puede fallar. Mientras que el evento "obtener la pelota con el número 1" es aleatorio.
• Evento imposible. En español No. 1 con bolas azules y rojas, el evento "obtener la bola morada" es imposible, ya que la probabilidad de que ocurra es 0.
• Eventos equivalentes. En español No. 1, los eventos "obtener la pelota con el número 2" y "obtener la pelota con el número 3" son igualmente probables, y los eventos "obtener la pelota con un número par" y "obtener la pelota con el número 2". ” tienen diferentes probabilidades.
• Eventos compatibles. Obtener un seis en el proceso de lanzar un dado dos veces seguidas son eventos compatibles.
• Eventos incompatibles. en el mismo español Los eventos No. 1 "obtener la bola roja" y "obtener la bola con un número impar" no se pueden combinar en la misma experiencia.
• eventos opuestos. El más un buen ejemplo Esto es lanzar una moneda, cuando sacar cara es lo mismo que no sacar cruz, y la suma de sus probabilidades es siempre 1 (grupo completo).
• Eventos dependientes. Entonces, en español No. 1, puedes fijarte el objetivo de extraer una bola roja dos veces seguidas. Extraerlo o no extraerlo la primera vez afecta la probabilidad de extraerlo la segunda vez.

Se puede observar que el primer evento afecta significativamente la probabilidad del segundo (40% y 60%).

Fórmula de probabilidad de eventos

El paso de la adivinación a los datos exactos se produce trasladando el tema al plano matemático. Es decir, los juicios sobre un evento aleatorio como "probabilidad alta" o "probabilidad mínima" se pueden traducir a datos numéricos específicos. Ya está permitido evaluar, comparar e introducir dicho material en cálculos más complejos.

Desde el punto de vista del cálculo, la definición de probabilidad de un evento es la relación entre el número de resultados positivos elementales y el número de todos los resultados posibles de la experiencia con respecto a un evento particular. La probabilidad se denota por P (A), donde P significa la palabra "probabilidad", que se traduce del francés como "probabilidad".

Entonces, la fórmula para la probabilidad de un evento es:

Donde m es el número de resultados favorables para el evento A, n es la suma de todos los resultados posibles para esta experiencia. La probabilidad de un evento siempre está entre 0 y 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Cálculo de la probabilidad de un evento. Ejemplo

Tomemos español. No. 1 con bolas, que se describe anteriormente: 3 bolas azules con los números 1/3/5 y 3 bolas rojas con los números 2/4/6.

Con base en esta prueba, se pueden considerar varias tareas diferentes:

• A - caída de bola roja. Hay 3 bolas rojas, y hay 6 opciones en total. Esto es el ejemplo mas simple, en el que la probabilidad de un evento es P(A)=3/6=0.5.
• B - dejar caer un número par. Hay 3 (2,4,6) números pares en total, y el número total de opciones numéricas posibles es 6. La probabilidad de este evento es P(B)=3/6=0.5.
• C - pérdida de un número mayor que 2. Hay 4 de tales opciones (3,4,5,6) del número total de resultados posibles 6. La probabilidad del evento C es P(C)=4/6= 0,67.

Como puede verse en los cálculos, el evento C tiene una mayor probabilidad, ya que el número de posibles resultados positivos es mayor que en A y B.

Eventos incompatibles

Tales eventos no pueden aparecer simultáneamente en la misma experiencia. como en español No. 1, es imposible obtener una bola azul y una roja al mismo tiempo. Es decir, puedes obtener una bola azul o roja. De la misma manera, un número par y un número impar no pueden aparecer en un dado al mismo tiempo.

La probabilidad de dos eventos se considera como la probabilidad de su suma o producto. La suma de tales eventos A + B se considera un evento que consiste en la aparición de un evento A o B, y el producto de su AB, en la aparición de ambos. Por ejemplo, la aparición de dos seises a la vez en las caras de dos dados en un tiro.

La suma de varios eventos es un evento que implica la ocurrencia de al menos uno de ellos. El producto de varios eventos es la ocurrencia conjunta de todos ellos.

En la teoría de la probabilidad, como regla, el uso de la unión "y" denota la suma, la unión "o" - multiplicación. Las fórmulas con ejemplos te ayudarán a comprender la lógica de la suma y la multiplicación en la teoría de la probabilidad.

Probabilidad de la suma de eventos incompatibles

Si se considera la probabilidad de eventos incompatibles, entonces la probabilidad de la suma de eventos es igual a la suma de sus probabilidades:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Por ejemplo: calculamos la probabilidad de que en español. El número 1 con bolas azules y rojas arrojará un número entre 1 y 4. Calcularemos no en una acción, sino por la suma de las probabilidades de los componentes elementales. Entonces, en tal experimento solo hay 6 bolas o 6 de todos los resultados posibles. Los números que cumplen la condición son el 2 y el 3. La probabilidad de obtener el número 2 es 1/6, la probabilidad del número 3 también es 1/6. La probabilidad de obtener un número entre 1 y 4 es:

La probabilidad de la suma de eventos incompatibles de un grupo completo es 1.

Entonces, si en el experimento con un cubo sumamos las probabilidades de obtener todos los números, entonces como resultado obtenemos uno.

Esto también es cierto para eventos opuestos, por ejemplo, en el experimento con una moneda, donde una de sus caras es el evento A, y la otra es el evento opuesto Ā, como se sabe,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Probabilidad de producir eventos incompatibles

La multiplicación de probabilidades se utiliza cuando se considera la ocurrencia de dos o más eventos incompatibles en una observación. La probabilidad de que los eventos A y B aparezcan en él al mismo tiempo es igual al producto de sus probabilidades, o sea:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Por ejemplo, la probabilidad de que en Nº 1 como resultado de dos intentos, una bola azul aparecerá dos veces, igual a

Es decir, la probabilidad de que ocurra un evento cuando, como resultado de dos intentos con la extracción de bolas, solo se extraerán bolas azules, es del 25%. Es muy fácil hacer experimentos prácticos sobre este problema y ver si este es realmente el caso.

Eventos conjuntos

Se consideran hechos conjuntos cuando la aparición de uno de ellos puede coincidir con la aparición del otro. A pesar de que son conjuntos, se considera la probabilidad de eventos independientes. Por ejemplo, lanzar dos dados puede dar un resultado cuando en ambos cae el número 6. Aunque los eventos coincidieron y aparecieron al mismo tiempo, son independientes entre sí: solo podría caer un seis, el segundo dado no tiene influencia sobre el mismo.

La probabilidad de eventos conjuntos se considera como la probabilidad de su suma.

La probabilidad de la suma de eventos conjuntos. Ejemplo

La probabilidad de la suma de los eventos A y B, que son conjuntos entre sí, es igual a la suma de las probabilidades del evento menos la probabilidad de su producto (es decir, su implementación conjunta):

articulación R. (A + B) \u003d PAG (A) + PAG (B) - PAG (AB)

Suponga que la probabilidad de dar en el blanco con un disparo es de 0,4. Luego, evento A: dar en el blanco en el primer intento, B, en el segundo. Estos eventos son conjuntos, ya que es posible que se pueda dar en el blanco tanto desde el primer como desde el segundo disparo. Pero los eventos no son dependientes. ¿Cuál es la probabilidad del evento de dar en el blanco con dos disparos (al menos uno)? Según la fórmula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

La respuesta a la pregunta es: "La probabilidad de dar en el blanco con dos disparos es del 64%".

Esta fórmula para la probabilidad de un evento también se puede aplicar a eventos incompatibles, donde la probabilidad de ocurrencia conjunta de un evento P(AB) = 0. Esto significa que la probabilidad de la suma de eventos incompatibles puede considerarse un caso especial de la fórmula propuesta.

Geometría de probabilidad para mayor claridad.

Curiosamente, la probabilidad de la suma de eventos conjuntos se puede representar como dos áreas A y B que se cruzan entre sí. Como puede ver en la imagen, el área de su unión es igual al área total menos el área de su intersección. Esta explicación geométrica hace que la fórmula aparentemente ilógica sea más comprensible. Tenga en cuenta que las soluciones geométricas no son poco comunes en la teoría de la probabilidad.

La definición de la probabilidad de la suma de un conjunto (más de dos) de eventos conjuntos es bastante engorrosa. Para calcularlo, debe utilizar las fórmulas que se proporcionan para estos casos.

Eventos dependientes

Se llaman eventos dependientes si la ocurrencia de uno (A) de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (B). Además, se tiene en cuenta la influencia tanto de la ocurrencia del evento A como de su no ocurrencia. Aunque los eventos se llaman dependientes por definición, solo uno de ellos es dependiente (B). La probabilidad habitual se denotó como P(B) o la probabilidad de eventos independientes. En el caso de los dependientes, se introduce un nuevo concepto: la probabilidad condicional P A (B), que es la probabilidad del evento dependiente B bajo la condición de que haya ocurrido el evento A (hipótesis), del cual depende.

Pero el evento A también es aleatorio, por lo que también tiene una probabilidad que debe y puede tenerse en cuenta en los cálculos. El siguiente ejemplo mostrará cómo trabajar con eventos dependientes y una hipótesis.

Ejemplo de cálculo de la probabilidad de eventos dependientes

Un buen ejemplo para calcular eventos dependientes es una baraja de cartas estándar.

En el ejemplo de una baraja de 36 cartas, considere eventos dependientes. Es necesario determinar la probabilidad de que la segunda carta extraída del mazo sea del palo diamante, si la primera carta extraída es:

1. Pandereta.
2. Otro traje.

Obviamente, la probabilidad del segundo evento B depende del primero A. Entonces, si la primera opción es cierta, que es 1 carta (35) y 1 diamante (8) menos en la baraja, la probabilidad del evento B:

PA (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

Si la segunda opción es verdadera, entonces hay 35 cartas en el mazo y el numero total pandereta (9), entonces la probabilidad del siguiente evento B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Se puede ver que si el evento A está condicionado a que la primera carta sea un diamante, entonces la probabilidad del evento B disminuye y viceversa.

Multiplicación de eventos dependientes

Con base en el capítulo anterior, aceptamos el primer evento (A) como un hecho, pero en esencia tiene un carácter aleatorio. La probabilidad de este evento, a saber, la extracción de una pandereta de una baraja de cartas, es igual a:

P(A) = 9/36=1/4

Dado que la teoría no existe por sí misma, sino que se utiliza para fines prácticos, es justo señalar que, en la mayoría de los casos, se necesita la probabilidad de producir eventos dependientes.

De acuerdo con el teorema del producto de probabilidades de eventos dependientes, la probabilidad de ocurrencia de eventos A y B conjuntamente dependientes es igual a la probabilidad de un evento A, multiplicada por la probabilidad condicional de evento B (dependiendo de A):

PAG (AB) \u003d PAG (A) * PAG (B)

Entonces, en el ejemplo con una baraja, la probabilidad de sacar dos cartas con un palo de diamantes es:

9/36*8/35=0.0571 o 5.7%

Y la probabilidad de extraer primero no diamantes, y luego diamantes, es igual a:

27/36*9/35=0,19 o 19%

Se puede ver que la probabilidad de que ocurra el evento B es mayor, siempre que se extraiga primero una carta de un palo que no sea un diamante. Este resultado es bastante lógico y comprensible.

Probabilidad total de un evento

Cuando un problema con probabilidades condicionales se vuelve multifacético, no se puede calcular por métodos convencionales. Cuando hay más de dos hipótesis, a saber, A1, A2, ..., A n , .. forma un grupo completo de eventos bajo la condición:

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k UN k = Ω.

Entonces, la fórmula para la probabilidad total del evento B con un grupo completo de eventos aleatorios A1, A2, ..., A n es:

Una mirada al futuro

La probabilidad de un evento aleatorio es esencial en muchas áreas de la ciencia: econometría, estadística, física, etc. Dado que algunos procesos no pueden describirse de forma determinista, ya que ellos mismos son probabilísticos, se necesitan métodos de trabajo especiales. La probabilidad de una teoría de eventos se puede utilizar en cualquier campo tecnológico como una forma de determinar la posibilidad de un error o mal funcionamiento.

Se puede decir que, al reconocer la probabilidad, de alguna manera damos un paso teórico hacia el futuro, mirándolo a través del prisma de las fórmulas.

probabilidad es un número entre 0 y 1 que representa las posibilidades de que ocurra un evento aleatorio, donde 0 es ausencia completa la probabilidad de que ocurra el evento, y 1 significa que el evento en cuestión definitivamente ocurrirá.

La probabilidad de un evento E es un número entre y 1.
La suma de las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes es 1.

probabilidad empírica- probabilidad, que se calcula como la frecuencia relativa del evento en el pasado, extraída del análisis de datos históricos.

La probabilidad de eventos muy raros no se puede calcular empíricamente.

probabilidad subjetiva- la probabilidad basada en una evaluación subjetiva personal del evento, independientemente de los datos históricos. Los inversores que toman decisiones de compra y venta de acciones a menudo actúan sobre la base de la probabilidad subjetiva.

probabilidad previa -

Chance 1 out of… (odds) de que un evento ocurra a través del concepto de probabilidad. La posibilidad de que ocurra un evento se expresa en términos de probabilidad de la siguiente manera: P/(1-P).

Por ejemplo, si la probabilidad de un evento es 0.5, entonces la posibilidad de un evento es 1 de 2, ya que 0,5/(1-0,5).

La probabilidad de que el evento no ocurra se calcula mediante la fórmula (1-P)/P

Probabilidad inconsistente- por ejemplo, en el precio de las acciones de la empresa A se tiene en cuenta el 85% del posible evento E, y en el precio de las acciones de la empresa B, sólo el 50%. A esto se le llama probabilidad de desajuste. De acuerdo con el teorema de las apuestas holandesas, la probabilidad no coincidente crea oportunidades para obtener ganancias.

Probabilidad incondicional es la respuesta a la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento?"

La probabilidad condicional es la respuesta a la pregunta: "¿Cuál es la probabilidad del evento A si sucedió el evento B?" La probabilidad condicional se denota como P(A|B).

Probabilidad conjunta es la probabilidad de que los eventos A y B sucedan al mismo tiempo. Designado como P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Regla de la suma de probabilidades:

La probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B es

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces

P(A o B) = P(A) + P(B)

eventos independientes - los eventos A y B son independientes si

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Es decir, es una secuencia de resultados donde el valor de probabilidad es constante de un evento al siguiente.
El lanzamiento de una moneda es un ejemplo de tal evento: el resultado de cada siguiente lanzamiento no depende del resultado del anterior.

Eventos dependientes Son eventos en los que la probabilidad de que ocurra uno depende de la probabilidad de que ocurra el otro.

Regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes:
Si los eventos A y B son independientes, entonces

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Regla de probabilidad total:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S y S" son eventos mutuamente excluyentes

valor esperado variable aleatoria es el promedio de los posibles resultados variable aleatoria. Para el evento X, la expectativa se denota como E(X).

Supongamos que tenemos 5 valores de eventos mutuamente excluyentes con cierta probabilidad (por ejemplo, los ingresos de la empresa ascendieron a tal o cual cantidad con tal probabilidad). La expectativa es la suma de todos los resultados multiplicada por su probabilidad:

La varianza de una variable aleatoria es el valor esperado de las desviaciones cuadráticas de una variable aleatoria de su valor esperado:

s 2 = mi( 2 ) (6)

Valor esperado condicional: la expectativa de una variable aleatoria X, siempre que el evento S ya haya ocurrido.

Breve teoría

Para una comparación cuantitativa de eventos según el grado de posibilidad de su ocurrencia, se introduce una medida numérica, que se denomina probabilidad de un evento. La probabilidad de un evento aleatorio. se llama un número, que es una expresión de una medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento.

Los valores que determinan cuán significativos son los motivos objetivos para contar con la ocurrencia de un evento se caracterizan por la probabilidad del evento. Debe enfatizarse que la probabilidad es una cantidad objetiva que existe independientemente del conocedor y está condicionada por la totalidad de las condiciones que contribuyen a la ocurrencia de un evento.

Las explicaciones que hemos dado al concepto de probabilidad no son una definición matemática, ya que no definen cuantitativamente este concepto. Existen varias definiciones de probabilidad de un evento aleatorio que son muy utilizadas en la resolución de problemas específicos (clásica, definición geométrica de probabilidad, estadística, etc.).

La definición clásica de la probabilidad de un evento reduce este concepto a un concepto más elemental de eventos igualmente probables, que ya no está sujeto a definición y se supone que es intuitivamente claro. Por ejemplo, si un dado es un cubo homogéneo, las consecuencias de cualquiera de las caras de este cubo serán eventos igualmente probables.

Deje que un cierto evento se divida en casos igualmente probables, la suma de los cuales da el evento. Es decir, los casos de , en los que se rompe, se denominan favorables al evento, ya que la aparición de uno de ellos asegura la ofensiva.

La probabilidad de un evento se denotará con el símbolo .

La probabilidad de un evento es igual a la relación entre el número de casos que le son favorables, del número total de casos únicos, igualmente posibles e incompatibles, al número, es decir,

Esta es la definición clásica de probabilidad. Así, para encontrar la probabilidad de un evento, es necesario, después de considerar los diversos resultados de la prueba, encontrar un conjunto de los únicos casos posibles, igualmente posibles e incompatibles, calcular su número total n, el número de casos m que favorecer este evento, y luego realizar el cálculo de acuerdo con la fórmula anterior.

La probabilidad de un evento igual a la proporción el número de resultados de la experiencia favorables al evento al número total de resultados de la experiencia se llama probabilidad clásica evento al azar.

Se sigue de la definición siguientes propiedades probabilidades:

Propiedad 1. La probabilidad de un cierto evento es igual a uno.

Propiedad 2. La probabilidad de un evento imposible es cero.

Propiedad 3. La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.

Propiedad 4. La probabilidad de ocurrencia de eventos que forman un grupo completo es igual a uno.

Propiedad 5. La probabilidad de ocurrencia del evento opuesto se define de la misma manera que la probabilidad de ocurrencia del evento A.

El número de ocurrencias que favorecen la ocurrencia del evento contrario. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra el evento opuesto es igual a la diferencia entre la unidad y la probabilidad de que ocurra el evento A:

Una ventaja importante de la definición clásica de la probabilidad de un evento es que con su ayuda se puede determinar la probabilidad de un evento sin recurrir a la experiencia, sino sobre la base del razonamiento lógico.

Cuando se cumple un conjunto de condiciones, definitivamente sucederá cierto evento y lo imposible definitivamente no sucederá. Entre los eventos que, cuando se crea un conjunto de condiciones, pueden ocurrir o no, se puede contar con más razón la aparición de unas, con menos razón la aparición de otras. Si, por ejemplo, hay más bolas blancas en la urna que negras, entonces hay más razones para esperar la aparición de una bola blanca cuando se saca de la urna al azar que la aparición de una bola negra.

Visto en la página siguiente.

Ejemplo de solucion de problema

Ejemplo 1

Una caja contiene 8 bolas blancas, 4 negras y 7 rojas. Se extraen 3 bolas al azar. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos: - se extrae al menos 1 bola roja, - hay al menos 2 bolas del mismo color, - hay al menos 1 bola roja y 1 blanca.

La solución del problema

Encontramos el número total de resultados de la prueba como el número de combinaciones de 19 (8 + 4 + 7) elementos de 3 cada uno:

Encuentre la probabilidad de un evento– sacar al menos 1 bola roja (1,2 o 3 bolas rojas)

Probabilidad requerida:

Deja que el evento- hay al menos 2 bolas del mismo color (2 o 3 bolas blancas, 2 o 3 bolas negras y 2 o 3 bolas rojas)

Número de resultados a favor del evento:

Probabilidad requerida:

Deja que el evento– hay al menos una bola roja y una blanca

(1 rojo, 1 blanco, 1 negro o 1 rojo, 2 blancos o 2 rojos, 1 blanco)

Número de resultados a favor del evento:

Probabilidad requerida:

Responder: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Ejemplo 2

Se lanzan dos dados. Encuentre la probabilidad de que la suma de los puntos sea al menos 5.

Decisión

Sea el evento la suma de puntos no menor a 5

Usemos la definición clásica de probabilidad:

Número total de posibles resultados del ensayo

El número de ensayos que favorecen el evento que nos interesa.

En la cara caída del primer dado, pueden aparecer un punto, dos puntos..., seis puntos. De manera similar, son posibles seis resultados en la segunda tirada de dado. Cada uno de los resultados del primer dado se puede combinar con cada uno de los resultados del segundo. Así, el número total de posibles resultados elementales de la prueba es igual al número de ubicaciones con repeticiones (selección con ubicaciones de 2 elementos de un conjunto del volumen 6):

Encuentre la probabilidad del evento opuesto: la suma de puntos es menor que 5

Las siguientes combinaciones de puntos perdidos favorecerán el evento:

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Ejemplos de tareas relacionadas

Fórmula de probabilidad total. fórmula de Bayes
En el ejemplo de resolución del problema se considera la fórmula de la probabilidad total y la fórmula de Bayes, además se describe qué son las hipótesis y las probabilidades condicionales.

• Probabilidad - grado (medida relativa, cuantificación) la posibilidad de que ocurra algún evento. Cuando las razones para que ocurra un evento posible superan las razones opuestas, entonces este evento se llama probable, de lo contrario, poco probable o improbable. La preponderancia de las causales positivas sobre las negativas, y viceversa, puede ser en diversos grados, por lo que la probabilidad (e improbabilidad) es mayor o menor. Por lo tanto, la probabilidad a menudo se estima a nivel cualitativo, especialmente en los casos en que una evaluación cuantitativa más o menos precisa es imposible o extremadamente difícil. Son posibles varias gradaciones de "niveles" de probabilidad.

  El estudio de la probabilidad desde un punto de vista matemático es una disciplina especial: la teoría de la probabilidad. En la teoría de la probabilidad y la estadística matemática, el concepto de probabilidad se formaliza como una característica numérica de un evento, una medida de probabilidad (o su valor), una medida de un conjunto de eventos (subconjuntos de un conjunto de eventos elementales), tomando valores. de

  (\ estilo de visualización 0)

  (\ estilo de visualización 1)

  Sentido

  (\ estilo de visualización 1)

  Corresponde a un evento válido. Un evento imposible tiene una probabilidad de 0 (lo contrario generalmente no siempre es cierto). Si la probabilidad de que ocurra un evento es

  (\ estilo de visualización p)

  Entonces la probabilidad de que no ocurra es igual a

  (\ estilo de visualización 1-p)

  En particular, la probabilidad

  (\ estilo de visualización 1/2)

  Significa igual probabilidad de ocurrencia y no ocurrencia del evento.

  La definición clásica de probabilidad se basa en el concepto de equiprobabilidad de los resultados. La probabilidad es la relación entre el número de resultados que favorecen un evento dado y el número total de resultados igualmente probables. Por ejemplo, la probabilidad de obtener cara o cruz en un lanzamiento de moneda al azar es 1/2 si solo se supone que ocurren estas dos posibilidades y son igualmente probables. Esta "definición" clásica de probabilidad se puede generalizar al caso de un número infinito de valores posibles, por ejemplo, si un evento puede ocurrir con la misma probabilidad en cualquier punto (el número de puntos es infinito) de un área limitada de ​​espacio (plano), entonces la probabilidad de que ocurra en alguna parte de esta área admisible es igual a la relación del volumen (área) de esta parte al volumen (área) del área de todos los puntos posibles .

  La "definición" empírica de probabilidad está relacionada con la frecuencia de ocurrencia de un evento, basándose en que con un número suficientemente grande de ensayos, la frecuencia debe tender al grado objetivo de posibilidad de ese evento. En la presentación moderna de la teoría de la probabilidad, la probabilidad se define axiomáticamente, como un caso especial de la teoría abstracta de la medida de un conjunto. Sin embargo, el vínculo entre la medida abstracta y la probabilidad, que expresa el grado de posibilidad de un evento, es precisamente la frecuencia de su observación.

  La descripción probabilística de ciertos fenómenos se ha generalizado en la ciencia moderna, en particular en econometría, física estadística de sistemas macroscópicos (termodinámicos), donde incluso en el caso de una descripción determinista clásica del movimiento de partículas, una descripción determinista de todo el sistema de partículas no es prácticamente posible y apropiado. EN física cuántica los procesos descritos en sí son de naturaleza probabilística.