Teoría de los límites- una de las secciones de análisis matemático, que uno puede dominar, otras apenas calculan los límites. La cuestión de encontrar límites es bastante general, ya que existen decenas de trucos soluciones límite varios tipos. Se pueden encontrar los mismos límites tanto con la regla de L'Hopital como sin ella. Sucede que el programa en una serie de funciones infinitesimales le permite obtener rápidamente el resultado deseado. Hay un conjunto de trucos y trucos que le permiten encontrar el límite de una función de cualquier complejidad. En este artículo, intentaremos comprender los principales tipos de límites que se encuentran con mayor frecuencia en la práctica. No daremos aquí la teoría y definición del límite, hay muchos recursos en Internet donde se masca esto. Por lo tanto, hagamos cálculos prácticos, es aquí donde comienza "¡No sé! ¡No sé cómo! ¡No nos enseñaron!"

Cálculo de límites por el método de sustitución

Ejemplo 1 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Solución: En teoría, los ejemplos de este tipo se calculan mediante la sustitución habitual

El límite es 18/11.
No hay nada complicado y sabio dentro de tales límites: sustituyeron el valor, calcularon, escribieron el límite en respuesta. Sin embargo, sobre la base de dichos límites, a todos se les enseña que, en primer lugar, es necesario sustituir un valor en la función. Además, los límites complican, introducen el concepto de infinito, incertidumbre y similares.

Límite con incertidumbre de tipo infinito dividido por infinito. Métodos de revelación de incertidumbre

Ejemplo 2 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinito).
Solución: Se da un límite de la forma polinomio dividido por un polinomio, y la variable tiende a infinito

Una simple sustitución del valor al que la variable debe encontrar los límites no ayudará, obtenemos una incertidumbre de la forma infinito dividido por infinito.
Teoría del bote de los límites El algoritmo para calcular el límite consiste en encontrar el mayor grado de "x" en el numerador o denominador. A continuación, se simplifica el numerador y el denominador y se encuentra el límite de la función.

Como el valor tiende a cero cuando la variable tiende a infinito, se desprecian o se escriben en la expresión final como ceros.

Inmediatamente de la práctica, puede obtener dos conclusiones que son una pista en los cálculos. Si la variable tiende a infinito y el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces el límite es igual a infinito. De lo contrario, si el polinomio en el denominador es de mayor orden que en el numerador, el límite es cero.
La fórmula del límite se puede escribir como

Si tenemos una función de la forma de un logaritmo ordinario sin fracciones, entonces su límite es igual a infinito

El siguiente tipo de límites se refiere al comportamiento de funciones cercanas a cero.

Ejemplo 3 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solución: Aquí no se requiere sacar el principal multiplicador del polinomio. Exactamente lo contrario, es necesario encontrar la potencia más pequeña del numerador y el denominador y calcular el límite

valor x^2; x tiende a cero cuando la variable tiende a cero Por lo tanto, se desprecian, así obtenemos

que el límite es 2.5.

ahora ya sabes como hallar el limite de una funcion una especie de polinomio dividido por un polinomio si la variable tiende a infinito o 0. Pero esto es solo una pequeña y fácil parte de los ejemplos. De siguiente material Aprenderás cómo descubrir las incertidumbres de los límites de una función.

Límite con incertidumbre de tipo 0/0 y métodos para su cálculo

Inmediatamente todos recuerdan la regla según la cual no se puede dividir por cero. Sin embargo, la teoría de los límites en este contexto significa funciones infinitesimales.
Veamos algunos ejemplos para ilustrar.

Ejemplo 4 Encontrar el límite de una función
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Solución: Al sustituir el valor de la variable x = -1 en el denominador, obtenemos cero, obtenemos lo mismo en el numerador. Entonces tenemos incertidumbre de la forma 0/0.
Es fácil lidiar con tal incertidumbre: necesita factorizar el polinomio, o más bien, seleccionar un factor que convierta la función en cero.

Después de la descomposición, el límite de la función se puede escribir como

Esa es toda la técnica para calcular el límite de una función. Hacemos lo mismo si hay un límite de la forma de un polinomio dividido por un polinomio.

Ejemplo 5 Encontrar el límite de una función
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solución: espectáculos de sustitución directa
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
que tenemos incertidumbre de tipo 0/0.
Divide los polinomios por el factor que introduce la singularidad


Hay profesores que enseñan que los polinomios de segundo orden, es decir, el tipo de "ecuaciones cuadráticas" deben resolverse mediante el discriminante. Pero práctica real muestra que es más largo y más complicado, así que deshágase de las funciones dentro del algoritmo especificado. Así, escribimos la función en forma de factores simples y calculamos en el límite

Como puede ver, no hay nada complicado en el cálculo de tales límites. Sabes dividir polinomios a la hora de estudiar los límites, al menos según el programa, ya deberías aprobar.
Entre las tareas de incertidumbre de tipo 0/0 las hay en las que es necesario aplicar las fórmulas de la multiplicación abreviada. Pero si no los conoce, al dividir el polinomio por el monomio, puede obtener la fórmula deseada.

Ejemplo 6 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solución: Tenemos una incertidumbre de tipo 0/0. En el numerador, usamos la fórmula para la multiplicación abreviada

y calcule el límite deseado

Método de revelación de incertidumbre por multiplicación por el conjugado

El método se aplica a los límites en los que las funciones irracionales generan incertidumbre. El numerador o denominador se vuelve cero en el punto de cálculo y no se sabe cómo encontrar el límite.

Ejemplo 7 Encontrar el límite de una función
Lim((raíz cuadrada(x+2)-raíz cuadrada(7x-10))/(3x-6), x=2).
Solución: Representemos la variable en la fórmula del límite

Al sustituir, obtenemos una incertidumbre de tipo 0/0.
Según la teoría de los límites, el esquema para eludir esta singularidad consiste en multiplicar una expresión irracional por su conjugado. Para mantener la expresión sin cambios, el denominador debe dividirse por el mismo valor

Por la regla de la diferencia de cuadrados, simplificamos el numerador y calculamos el límite de la función

Simplificamos los términos que crean una singularidad en el límite y realizamos la sustitución

Ejemplo 8 Encontrar el límite de una función
Lim((raíz cuadrada(x-2)-raíz cuadrada(2x-5))/(3-x), x=3).
Solución: La sustitución directa muestra que el límite tiene una singularidad de la forma 0/0.

Para expandir, multiplicar y dividir por el conjugado al numerador

Escribe la diferencia de cuadrados.

Simplificamos los términos que introducen una singularidad y encontramos el límite de la función

Ejemplo 9 Encontrar el límite de una función
Lim((x^2+x-6)/(raíz cuadrada(3x-2)-2), x=2).
Solución: Sustituir el dos en la fórmula

Obtener incertidumbre 0/0.
Se debe multiplicar el denominador por la expresión conjugada, y en el numerador resolver ecuación cuadrática o factorizar, teniendo en cuenta la singularidad. Como se sabe que 2 es una raíz, entonces la segunda raíz se encuentra por el teorema de Vieta

Por lo tanto, escribimos el numerador en la forma

y poner en el límite

Habiendo reducido la diferencia de cuadrados, nos deshacemos de las características en el numerador y denominador

De la manera anterior, puede deshacerse de la singularidad en muchos ejemplos, y la aplicación debe notarse en todas partes donde la diferencia dada de las raíces se convierte en cero al sustituir. Otros tipos de límites se refieren a funciones exponenciales, funciones infinitesimales, logaritmos, límites singulares y otras técnicas. Pero puede leer sobre esto en los siguientes artículos sobre límites.

Conceptos de límites de sucesiones y funciones. Cuando se requiere encontrar el límite de una sucesión, se escribe así: lim xn=a. En tal secuencia de secuencias, xn tiende a ayn tiende a infinito. Una secuencia generalmente se representa como una serie, por ejemplo:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Las secuencias se dividen en ascendente y descendente. Por ejemplo:
xn=n^2 - secuencia creciente
yn=1/n - secuencia
Entonces, por ejemplo, el límite de la secuencia xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x→∞
Este límite es cero porque n→∞ y la sucesión 1/n^2 tiende a cero.

Normalmente variable x tiende a un límite finito a, además, x se acerca constantemente a a, y el valor de a es constante. Esto se escribe de la siguiente manera: limx = a, mientras que n también puede tender tanto a cero como a infinito. Hay infinitas funciones, para ellas el límite tiende a infinito. En otros casos, cuando, por ejemplo, la función de desaceleración del tren, es posible que tenga un límite que tiende a cero.
Los límites tienen varias propiedades. Como regla general, cualquier función tiene un solo límite. Esta es la principal propiedad del límite. Otros se enumeran a continuación:
* La suma límite es igual a la suma de los límites:
lim(x+y)=limx+limy
* El límite del producto es igual al producto de los límites:
lim(xy)=limx*limy
* El límite del cociente es igual al cociente de los límites:
lím(x/y)=lím x/lím y
* El factor constante se saca del signo límite:
lím(Cx)=C lím x
Dada una función 1 /x donde x →∞, su límite es cero. Si x→0, entonces el límite de tal función es igual a ∞.
Para funciones trigonométricas hay de estas reglas. Dado que la función sen x siempre tiende a uno a medida que se acerca a cero, la identidad se cumple para ella:
lím sen x/x=1

En una serie de funciones, al calcular los límites de los cuales surge la incertidumbre, una situación en la que no se puede calcular el límite. La única salida a esta situación es L'Hopital. Hay dos tipos de incertidumbres:
* incertidumbre de la forma 0/0
* incertidumbre de la forma ∞/∞
Por ejemplo, dado un límite de la siguiente forma: lim f(x)/l(x), además, f(x0)=l(x0)=0. En este caso, existe una incertidumbre de la forma 0/0. Para resolver tal problema, se diferencian ambas funciones, después de lo cual se encuentra el límite del resultado. Para incertidumbres de la forma 0/0, el límite es:
lím f(x)/l(x)=lím f"(x)/l"(x) (para x→0)
La misma regla se aplica a las incertidumbres del tipo ∞/∞. Pero en este caso, la siguiente igualdad es cierta: f(x)=l(x)=∞
Usando la regla de L'Hospital, puede encontrar los valores de cualquier límite en el que aparezcan incertidumbres. Condición obligatoria para

volumen - la ausencia de errores en la búsqueda de derivados. Entonces, por ejemplo, la derivada de la función (x^2)" es igual a 2x. De esto podemos concluir que:
f"(x)=nx^(n-1)

miembro de la secuencia.

El número a se llama límite de la sucesión (xn) si para cualquier ε>0 existe un número n=n(ε) a partir del cual |xn-a |

Ejemplo 2. Demostrar que en el ejemplo 1 el número a=1 no es el límite de la sucesión del ejemplo anterior. Solución. Simplifica de nuevo el término común de la sucesión. Tome ε=1 (este es cualquier número >

Los problemas de calcular directamente el límite de una sucesión son bastante monótonos. Todos ellos contienen razones de polinomios con respecto a n o expresiones con respecto a estos polinomios. Al comenzar a resolver, saque entre paréntesis (signo radical) el componente ubicado en el senior. Supongamos que para el numerador de la expresión original esto dará lugar a la aparición del factor a^p, y para el denominador b^q. Obviamente, todos los términos restantes tienen la forma C/(n-k) y tienden a cero cuando n>

La primera forma de calcular el límite de una sucesión se basa en su definición. Es cierto que debe recordarse que no da formas de buscar directamente el límite, sino que solo le permite probar que algún número a es (o no es) un límite Ejemplo 1. Demostrar que la sucesión (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) tiene un límite a = 3. Solución. Proceda aplicando la definición en orden inverso. Es decir, de derecha a izquierda. Primero verifique si es posible simplificar la fórmula para xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Considere la desigualdad |(3n+1)/(n+2)-3|0 puede encontrar cualquier número natural nε mayor que -2+5/ε.

Ejemplo 2. Demostrar que en el ejemplo 1 el número a=1 no es el límite de la sucesión del ejemplo anterior. Solución. Simplifica de nuevo el término común de la sucesión. Toma ε=1 (esto es cualquier número > 0) Escribe la desigualdad final de la definición general |(3n+1)/(n+2)-1|

Los problemas de calcular directamente el límite de una sucesión son bastante monótonos. Todos ellos contienen razones de polinomios con respecto a n o expresiones con respecto a estos polinomios. Al comenzar a resolver, saque entre paréntesis (signo radical) el componente ubicado en el senior. Supongamos que para el numerador de la expresión original esto dará lugar a la aparición del factor a^p, y para el denominador b^q. Obviamente, todos los términos restantes tienen la forma С/(n-k) y tienden a cero para n>k (n tiende a infinito). Luego anote la respuesta: 0 si pq.

Indiquemos una forma no tradicional de encontrar el límite de una sucesión y sumas infinitas. Usaremos sucesiones funcionales (sus funciones miembros definidas en algún intervalo (a,b)) Ejemplo 3. ¡Encuentra la suma de la forma 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Solución. Cualquier número a^0=1. Pon 1=exp(0) y considera la secuencia de funciones (1+x+x^2/2! +x^3/3! +++x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Consejo 2: ¿En qué orden deberías ver las películas de Marvel Avengers?

El universo Marvel se basa en los cómics de Marvel, pero no todas las adaptaciones de cómics son parte de la MCU. Incluye solo imágenes producidas por o en asociación con Marvel Studios. El Universo Cinematográfico de Marvel se divide en fases, cada película tiene su propio lugar. Sin embargo, las series de televisión y los cortometrajes, al ser parte del universo, en la cronología pueden estar entre fases. Aquellos. puede no pertenecer a partes específicas de la MCU.

Las series de Netflix y abc son diferentes del universo Marvel. La MCU tiene dos características:

• cada película tiene su propia historia;
• la trama global se mueve de una película a otra, como resultado, cada una de ellas hace avanzar esta trama.

Las series del canal abc se conectan con la trama global del universo cinematográfico, pero no la adelantan, sino que la complementan. Las series de Netflix son historias completamente independientes, con su propia trama y su propio mundo global.

A lo largo de los años, el Universo Marvel ha crecido y continúa expandiéndose. Por lo tanto, es difícil para una persona no preparada lidiar con la cronología de sus películas, porque no todos entienden que no se puede ver Iron Man 3 inmediatamente después de Iron Man 2. Y para entender, es necesario estudiar la cronología, que incluye tres fases.

Primera fase:

1. La película "Iron Man", 2008. Esta imagen sienta las bases y el tono general para las siguientes adaptaciones cinematográficas, su acción transcurre en el año 2010.
2. El increible hulk pelicula 2008. En esta adaptación cinematográfica, los espectadores entienden que las historias de dos héroes diferentes suceden en el mismo universo, ya que tanto Iron Man como The Incredible Hulk mencionan a S.H.I.E.L.D., el programa de súper soldados, el logo de StarkIndusries, etc. La película está ambientada en 2011. La imagen no continúa la historia de la película "Hulk" en 2003.
3. La película "Iron Man 2", 2010. Esta historia es una especie de semilla para los Vengadores, introduce a la Viuda Negra en la trama, da muchos requisitos previos para proyectos futuros y habla sobre los nuevos problemas que enfrentó Tony Stark un año después de la primera parte de Iron Man.
4. Thor pelicula 2011. Esta es también una preparación para los Vengadores, y el objetivo principal de la imagen es presentar al espectador a Thor y Loki. La historia se desarrolla en paralelo con la historia de The Incredible Hulk y Iron Man 2.
5. La película "El primer vengador", 2011. Habla sobre el Capitán América, el primer superhéroe de la Tierra, quien, como Hulk, apareció debido al suero del "súper soldado". La primera y última escena de la película tienen lugar en 2011, y la acción principal se desarrolla entre 1943 y 1945. El Teseracto, una de las seis Gemas del Infinito, aparece en la película, y se revela que el "padre" de S.H.I.E.L.D. era la SNR (Reserva de Ciencia Estratégica).
6. Cortometraje "Consultor", 2011. Esto explica la escena final de The Incredible Hulk.
7. Cortometraje "Un divertido incidente de camino al martillo de Thor", 2011.
8. La película Los Vengadores, 2012. La historia tiene lugar en 2012, cuando S.H.I.E.L.D. por el bien de salvar el mundo anuncia una "colecta general".

Segunda fase:

1. La película "Iron Man 3", 2013. La acción se desarrolla en el invierno de 2012, cuando Tony Stark regresa a casa después de la Batalla de Nueva York, pero lo atormentan pesadillas. No puede dormir y dedica su tiempo a crear nuevos disfraces.
2. La serie "Agentes de SHIELD", 2013.
3. Thor 2: El mundo oscuro, 2013. La película cuenta cómo Thor regresó a casa y descubrió que los nueve mundos estaban sumidos en el caos. Y sobre cómo Thor puso las cosas en orden.
4. Cortometraje "Viva el Rey", 2014. Esta es una historia sobre Trevor Slettery que tiene lugar después de los eventos de Iron Man 3.
5. Capitán América: Otra guerra, película de 2014. Esta es una historia sobre el Capitán América, que no puede regresar a casa, por lo que busca un nuevo trabajo y se convierte en agente de S.H.I.E.L.D., trabajando en equipo con Black Widow. La película se ve mejor entre 16 y 17 episodios de Agents of SHIELD.
6. Guardianes de la Galaxia pelicula 2014. Tienes que ver después de la primera temporada de la serie "Agents of S.H.I.E.L.D." Esta es la historia de criminales extraterrestres que formaron un equipo para evitar que Ronan, el criminal más peligroso, obtuviera la Gema del Infinito.
7. La serie "Agentes de SHIELD", segunda temporada, 2014.
8. La serie "Agente Carter", 2016. Esta es la historia de cómo Peggy Carter y el mayordomo Edwin Jarvis ayudan a Howard Stark a recuperar su buen nombre.
9. Vengadores: La era de Ultron pelicula 2015. En esta película, los Vengadores vuelven a estar juntos para salvar el mundo, pero esta vez se han convertido en un equipo de pleno derecho. Es mejor ver entre 19 y 20 episodios de la segunda temporada de "Agents of SHIELD".
10. La película "Ant-Man", 2015. Mira después de la temporada 2 de la serie "Agents of S.H.I.E.L.D."

Tercera fase:

1. La película "El primer vengador: confrontación", 2016. Después del Tratado de Sokovia, los Vengadores deben obedecer al gobierno, pero esto los divide en dos bandos: los que están a favor del registro y los que están en contra.

Estas son todas las películas que ya se han estrenado. Pero no toda la historia. En la tercera fase, se planean 14 películas más, y luego, la cuarta fase.

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Los límites dan muchos problemas a todos los estudiantes de matemáticas. Para resolver el límite, a veces tienes que usar muchos trucos y elegir entre una variedad de soluciones exactamente la que sea adecuada para un ejemplo en particular.

En este artículo, no lo ayudaremos a comprender los límites de sus habilidades o comprender los límites del control, pero intentaremos responder a la pregunta: ¿cómo comprender los límites en las matemáticas superiores? La comprensión viene con la experiencia, así que al mismo tiempo daremos algunos ejemplos detallados de resolución de límites con explicaciones.

El concepto de límite en matemáticas.

La primera pregunta es: ¿cuál es el límite y el límite de qué? Podemos hablar de los límites de las sucesiones y funciones numéricas. Nos interesa el concepto de límite de una función, ya que es con ellos que los estudiantes se encuentran con mayor frecuencia. Pero primero, lo más definicion general límite:

Digamos que hay alguna variable. Si este valor en el proceso de cambio se aproxima indefinidamente Cierto número a , después a es el límite de este valor.

Para una función definida en algún intervalo f(x)=y el limite es el numero A , al que tiende la función cuando X tendiendo a un cierto punto a . Punto a pertenece al intervalo en el que se define la función.

Suena engorroso, pero está escrito de manera muy simple:

Lim- De inglés límite- límite.

También hay una explicación geométrica para la definición del límite, pero aquí no entraremos en la teoría, ya que estamos más interesados ​​en el lado práctico que en el teórico del problema. cuando decimos eso X tiende a algún valor, esto significa que la variable no toma el valor de un número, sino que se aproxima infinitamente a él.

vamos a traer ejemplo específico. El desafío es encontrar el límite.

Para resolver este ejemplo, sustituimos el valor x=3 en una función. Obtenemos:

Por cierto, si está interesado, lea un artículo separado sobre este tema.

en los ejemplos X puede tender a cualquier valor. Puede ser cualquier número o infinito. Aquí hay un ejemplo cuando X tiende a infinito:

Es intuitivamente claro que cuanto mayor sea el número en el denominador, menor será el valor que tomará la función. Entonces, con un crecimiento ilimitado X sentido 1/x disminuirá y se aproximará a cero.

Como puede ver, para resolver el límite, solo necesita sustituir el valor por el que luchar en la función X . Sin embargo, este es el caso más simple. A menudo, encontrar el límite no es tan obvio. Dentro de los límites hay incertidumbres de tipo 0/0 o infinito/infinito . ¿Qué hacer en tales casos? ¡Usa trucos!

Incertidumbres dentro

Incertidumbre de la forma infinito/infinito

Sea un límite:

Si intentamos sustituir infinito en la función, obtendremos infinito tanto en el numerador como en el denominador. En general, vale la pena decir que hay cierto elemento de arte en resolver tales incertidumbres: uno debe notar cómo una función puede transformarse de tal manera que la incertidumbre desaparezca. En nuestro caso, dividimos el numerador y el denominador por X en grado superior. ¿Lo que sucederá?

Del ejemplo ya considerado anteriormente, sabemos que los términos que contienen x en el denominador tenderán a cero. Entonces la solución al límite es:

Para descubrir ambigüedades de tipo infinito/infinito dividir el numerador y el denominador por X al más alto grado.

¡De paso! Para nuestros lectores ahora hay un 10% de descuento en

Otro tipo de incertidumbre: 0/0

Como siempre, la sustitución en la función de valor x=-1 da 0 en el numerador y el denominador. Mire un poco más de cerca y notará que tenemos una ecuación cuadrática en el numerador. Busquemos las raíces y escribamos:

Reducimos y obtenemos:

Entonces, si encuentra ambigüedad de tipo 0/0 - factorizar el numerador y el denominador.

Para facilitarte la resolución de ejemplos, aquí tienes una tabla con los límites de algunas funciones:

La regla de L'Hopital dentro

Otra forma poderosa de eliminar ambos tipos de incertidumbres. ¿Cuál es la esencia del método?

Si hay incertidumbre en el límite, tomamos la derivada del numerador y el denominador hasta que desaparezca la incertidumbre.

Visualmente, la regla de L'Hopital se ve así:

Punto importante : debe existir el límite, en el que las derivadas del numerador y el denominador están en lugar del numerador y el denominador.

Y ahora un ejemplo real:

Hay una incertidumbre típica 0/0 . Toma las derivadas del numerador y el denominador:

Voila, la incertidumbre se elimina rápida y elegantemente.

Esperamos que pueda poner en práctica esta información y encontrar la respuesta a la pregunta "cómo resolver límites en matemáticas superiores". Si necesita calcular el límite de una secuencia o el límite de una función en un punto, y no hay tiempo para este trabajo a partir de la palabra "absolutamente", consulte para obtener una solución rápida y detallada.