• 09.10.2014

  Pretpojačalo prikazano na slici je dizajnirano da se koristi sa 4 vrste izvora zvuka, kao što su mikrofon, CD plejer, radio kasetofon, itd. Istovremeno, pretpojačalo ima jedan ulaz koji može promeniti osetljivost od 50mV do 500mV. izlazni napon pojačala je 1000mV. Povezivanjem različitih izvora signala prilikom prebacivanja prekidača SA1, uvijek ćemo dobiti ...

• 20.09.2014

  PSU je dizajniran za opterećenje snage 15 ... 20 vati. Izvor je napravljen prema shemi jednociklusnog impulsnog visokofrekventnog pretvarača. Na tranzistoru je montiran oscilator koji radi na frekvenciji od 20 ... 40 kHz. Frekvencija se podešava kapacitivnošću C5. Elementi VD5, VD6 i C6 formiraju kolo za pokretanje oscilatora. U sekundarnom krugu, nakon mostnog ispravljača, nalazi se konvencionalni linearni stabilizator na mikrokrugu, koji vam omogućava da imate ...

• 28.09.2014

  Na slici je prikazan generator na čipu K174XA11, čija je frekvencija kontrolirana naponom. Promjenom kapacitivnosti C1 sa 560 na 4700pF može se dobiti širok raspon frekvencija, dok se frekvencija podešava promjenom otpora R4. Na primjer, autor je otkrio da se pri C1 = 560pF frekvencija generatora može promijeniti pomoću R4 od 600Hz do 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Jedinica je dizajnirana za napajanje moćnog ULF-a, dizajnirana je za izlazni napon od ± 27V i tako opterećuje do 3A na svakoj ruci. Napajanje je bipolarno, napravljeno na kompletnim kompozitnim tranzistorima KT825-KT827. Oba kraka stabilizatora su napravljena prema istoj shemi, ali u drugoj ruci (nije prikazano), polaritet kondenzatora se mijenja i koriste se tranzistori drugog ...

Sposobnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je u rješavanju niza praktičnih problema u geometriji. Jedan od najčešćih oblika je piramida. U ovom članku ćemo razmotriti piramide, pune i skraćene.

Piramida kao trodimenzionalna figura

Svi znaju za Egipatske piramide, dakle, dobro je predstavljeno o kojoj će cifri biti riječi. Ipak, egipatske kamene građevine su samo poseban slučaj ogromne klase piramida.

Geometrijski objekat koji se razmatra u opštem slučaju je poligonalna baza, čiji je svaki vrh povezan sa nekom tačkom u prostoru koja ne pripada osnovnoj ravni. Ova definicija vodi do figure koja se sastoji od jednog n-ugla i n trokuta.

Bilo koja piramida se sastoji od n+1 lica, 2*n ivica i n+1 vrhova. Budući da je figura koja se razmatra savršeni poliedar, brojevi označenih elemenata odgovaraju Eulerovoj jednadžbi:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon koji se nalazi u bazi daje ime piramide, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida sa različitim bazama prikazan je na fotografiji ispod.

Tačka u kojoj su spojeni n trouglova figure naziva se vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i ona je siječe u geometrijskom centru, tada će se takva figura zvati prava linija. Ako ovaj uslov nije ispunjen, postoji nagnuta piramida.

Prava figura, čiju osnovu čini jednakostranični (jednakokutni) n-ugao, naziva se pravilna.

Formula zapremine piramide

Za izračunavanje zapremine piramide koristimo integralni račun. Da bismo to učinili, dijelimo figuru sekantnim ravnima paralelnim s bazom na beskonačan broj tankih slojeva. Na slici ispod prikazana je četverougaona piramida visine h i dužine stranice L, u kojoj je tanak presjek označen četverouglom.

Površina svakog takvog sloja može se izračunati po formuli:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Ovdje je A 0 površina baze, z je vrijednost vertikalne koordinate. Može se vidjeti da ako je z = 0, onda formula daje vrijednost A 0 .

Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, odnosno:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Zamjenom zavisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivata dolazimo do izraza:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Dobili smo formulu za zapreminu piramide. Da biste pronašli vrijednost V, dovoljno je pomnožiti visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijeliti s tri.

Imajte na umu da je rezultirajući izraz valjan za izračunavanje zapremine piramide proizvoljnog tipa. Odnosno, može biti nagnut, a njegova baza može biti proizvoljan n-ugao.

i njen volumen

Primljeno u gornjem paragrafu opšta formula za volumen se može specificirati u slučaju piramide sa prava osnova. Površina takve baze izračunava se sljedećom formulom:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Ovdje je L dužina stranice pravilnog poligona sa n vrhova. Simbol pi je broj pi.

Zamjenom izraza za A 0 u opštu formulu, dobijamo zapreminu ispravna piramida:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na primjer, za trokutastu piramidu, ova formula vodi do sljedećeg izraza:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Za pravilnu četvorougaonu piramidu, formula zapremine ima oblik:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.

Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje stranice njihove osnove i visine figure.

Piramida skraćena

Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odsjekli dio njene bočne površine koja sadrži vrh. Preostala figura naziva se skraćena piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih povezuju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira skraćena piramida s paralelnim sličnim osnovama. Odnosno, dužine strana jedne od njih mogu se dobiti množenjem dužine druge sa nekim koeficijentom k.

Na gornjoj slici prikazan je skraćeni pravilan, a vidi se da njegovu gornju osnovu, kao i donju, čini pravilan šestougao.

Formula koja se može izvesti korištenjem integralnog računa sličnog gore navedenom je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) i gornje (male) baze, respektivno. Varijabla h označava visinu skraćene piramide.

Volumen Keopsove piramide

Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena koji sadrži najveća egipatska piramida.

Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman utvrdili su tačne dimenzije Keopsove piramide. Njegova prvobitna visina bila je 146,50 metara (trenutno oko 137 metara). Prosječna dužina svake od četiri strane konstrukcije iznosila je 230.363 metara. Osnova piramide je kvadratna sa velikom preciznošću.

Koristimo date brojke da odredimo zapreminu ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilna četverokutna, za nju vrijedi formula:

Ubacivanjem brojeva dobijamo:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Zapremina Keopsove piramide je skoro 2,6 miliona m 3. Za poređenje, napominjemo da olimpijski bazen ima zapreminu od 2,5 hiljada m 3. Odnosno, da bi se popunila cijela Keopsova piramida, bit će potrebno više od 1000 takvih bazena!

Piramida. Krnja piramida

Piramida naziva se poliedar, čije je jedno lice mnogougao ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočne strane ) (Sl. 15). Piramida se zove ispravan ako je njegova osnova pravilan poligon a vrh piramide je projektovan u centar osnove (sl. 16). Zove se trouglasta piramida u kojoj su sve ivice jednake tetraedar .

Bočno rebro piramidom se naziva strana bočne strane koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravni baze. Sve bočne ivice pravilne piramide su jednake jedna drugoj, sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apothema . dijagonalni presjek Presjek piramide naziva se ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini.

Površina bočne površine piramida se naziva zbir površina svih bočnih strana. području puna površina je zbir površina svih bočnih strana i baze.

Teoreme

1. Ako su u piramidi sve bočne ivice jednako nagnute prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar opisane kružnice u blizini osnove.

2. Ako u piramidi sve bočne ivice imaju jednake dužine, tada se vrh piramide projektuje u centar opisane kružnice blizu osnove.

3. Ako su u piramidi sva lica podjednako nagnuta prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kruga upisanog u bazu.

Za izračunavanje zapremine proizvoljne piramide, formula je tačna:

Gdje V- zapremina;

S main- bazna površina;

H je visina piramide.

Za pravilnu piramidu su tačne sljedeće formule:

Gdje str- obim osnove;

h a- apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S main- bazna površina;

V je zapremina pravilne piramide.

krnje piramide nazivamo dio piramide zatvoren između osnove i rezne ravni paralelne sa osnovom piramide (slika 17). Ispravna skraćena piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između osnove i rezne ravni paralelne s osnovom piramide.

Temelji skraćena piramida - slični poligoni. Bočne strane - trapez. Visina skraćena piramida naziva se rastojanje između njenih osnova. Dijagonala Skraćena piramida je segment koji povezuje njene vrhove koji ne leže na istoj površini. dijagonalni presjek Presjek skraćene piramide naziva se ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini.

Za skraćenu piramidu važe formule:

(4)

Gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S puna je ukupna površina;

S strana je bočna površina;

H- visina;

V je zapremina krnje piramide.

Za pravilnu skraćenu piramidu vrijedi sljedeća formula:

Gdje str 1 , str 2 - perimetri baze;

h a- apotema pravilne krnje piramide.

Primjer 1 U pravilnoj trouglastoj piramidi, ugao diedara u osnovi je 60º. Pronađite tangentu nagiba bočno rebro na osnovnu ravan.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je ispravna, znači u osnovi jednakostranični trougao a sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Diedarski ugao na bazi - ovo je ugao nagiba bočne strane piramide prema ravni baze. Linearni ugao će biti ugao a između dvije okomice: tj. Vrh piramide se projektuje u centar trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice u trokut ABC). Ugao nagiba bočnog rebra (npr SB) je ugao između samog ruba i njegove projekcije na osnovnu ravninu. Za rebra SB ovaj ugao će biti ugao SBD. Da biste pronašli tangentu, morate znati noge SO I OB. Neka je dužina segmenta BD je 3 A. dot O linijski segment BD je podijeljen na dijelove: i Od nalazimo SO: Od nalazimo:

odgovor:

Primjer 2 Nađite zapreminu pravilne skraćene četvorougaone piramide ako su dijagonale njenih osnova cm i cm, a visina 4 cm.

Rješenje. Da bismo pronašli zapreminu krnje piramide, koristimo formulu (4). Da biste pronašli površine baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice osnovica su 2 cm, odnosno 8 cm.To znači površine osnova i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo zapreminu krnje piramide:

odgovor: 112 cm3.

Primjer 3 Nađite površinu bočne strane pravilne trouglaste krnje piramide čije su stranice osnova 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokraki trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati osnove i visinu. Osnove su date uslovom, samo visina ostaje nepoznata. Pronađite ga odakle A 1 E okomito iz tačke A 1 na ravni donje baze, A 1 D- okomito od A 1 on AC. A 1 E\u003d 2 cm, jer je ovo visina piramide. Za pronalaženje DE napravićemo dodatni crtež, na kojem ćemo prikazati pogled odozgo (slika 20). Dot O- projekcija centara gornje i donje baze. budući da (vidi sliku 20) i S druge strane uredu je polumjer upisane kružnice i OM je polumjer upisane kružnice:

MK=DE.

Prema Pitagorinoj teoremi iz

Bočna površina lica:

odgovor:

Primjer 4 U osnovi piramide leži jednakokraki trapez, čije su osnove A I b (a> b). Svaki bočno lice formira ugao sa ravninom osnove piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak je zbiru površina i površine trapeza A B C D.

Koristimo tvrdnju da ako su sva lica piramide podjednako nagnuta prema ravni baze, tada se vrh projektuje u središte kruga upisanog u bazu. Dot O- projekcija temena S u osnovi piramide. Trougao SOD je ortogonalna projekcija trougla CSD na osnovnu ravan. Prema teoremi o površini ortogonalne projekcije ravne figure, dobijamo:

Slično, to znači Dakle, problem se sveo na pronalaženje površine trapeza A B C D. Nacrtajte trapez A B C D odvojeno (sl. 22). Dot O je centar kružnice upisane u trapez.

Kako se kružnica može upisati u trapez, onda ili Po Pitagorinoj teoremi imamo