Površina bočne i pune površine prizme. Teorema o površini bočne površine ravne prizme
Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspeh polaganje ispita iz matematike za 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da 1. dio riješite za 30 minuta i bez greške!
Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.
Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.
Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.
Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.
U školskom programu za predmet geometrije čvrstog tijela, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravnima. Poseban slučaj je pravilna četvorougaona prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverougla, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).
Kako izgleda prizma
Pravilna četvorougaona prizma je heksaedar čije su osnove 2 kvadrata, i bočne strane predstavljena pravougaonicima. Drugi naziv za ovo geometrijska figura- ravan paralelepiped.
Slika, koja prikazuje četverokutnu prizmu, prikazana je ispod.
Možete vidjeti i na slici bitnih elemenata, koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:
Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept preseka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve tačke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravni. Presjek je okomit (prelazi rubove figure pod uglom od 90 stepeni). Za pravougaona prizma dijagonalni presjek se također uzima u obzir (maksimalni broj sekcija koji se mogu izgraditi je 2) koji prolazi kroz 2 ivice i dijagonale baze.
Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s osnovama ni sa bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.
Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih su poznati iz kursa planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu osnove prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).
Površina i zapremina
Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njene baze i visinu:
V = Sprim h
Pošto je osnova pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:
V = a² h
Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:
Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njen zamah.
Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravougaonika. Njegova površina se izračunava kao proizvod opsega baze i visine figure:
Bočna strana = Poz h
Budući da je obim kvadrata P = 4a, formula ima oblik:
Sside = 4a h
za kocku:
Sside = 4a²
Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:
Puno = Sside + 2Sbase
Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:
Puno = 4a h + 2a²
Za površinu kocke:
Puno = 6a²
Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.
Pronalaženje elemenata prizme
Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti dužinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima, formule se mogu izvesti:
- dužina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
- visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
- osnovna površina: Sprim = V / h;
- bočna površina lica: Side gr = bočna strana / 4.
Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati dužinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. dakle:
Sdiag = ah√2
Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:
dprize = √(2a² + h²)
Da biste razumjeli kako primijeniti gore navedene omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.
Primjeri problema sa rješenjima
Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnim završnim ispitima iz matematike.
Vježba 1.
Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegovog nivoa je 10 cm. Koliki će biti nivo peska ako ga premestite u posudu istog oblika, ali sa 2 puta dužom bazom?
Trebalo bi to argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom kontejneru se nije promijenila, odnosno njegov volumen u njima je isti. Možete definirati dužinu baze kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, zapremina supstance će biti:
V₁ = ha² = 10a²
Za drugu kutiju, dužina baze je 2a, ali visina nivoa pijeska nije poznata:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Zbog V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:
10a² = 4ha²
Nakon što smanjimo obje strane jednačine za a², dobijamo:
Kao rezultat toga, novi nivo pijeska će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Zadatak 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.
Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati figuru.
S obzirom da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je osnova kvadrat sa dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu vrijednost, stoga i bočna strana ima oblik kvadrata jednakog osnovi. Ispada da su sve tri dimenzije - dužina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.
Dužina bilo koje ivice određuje se kroz poznatu dijagonalu:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Ukupna površina se nalazi po formuli za kocku:
Puno = 6a² = 6 6² = 216
Zadatak 3.
Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina prostorije je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?
Pošto su pod i plafon kvadrati, odnosno pravilni četvorouglovi, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je u pitanju pravilna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.
Dužina sobe je a = √9 = 3 m.
Trg će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².
Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rublja.
Dakle, za rješavanje zadataka za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i obim kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.
Kako pronaći površinu kocke
Kako ona izgleda
Okružene pravougaone prizme savremeni čovek prilično malo. Ovo je, na primjer, uobičajeni karton ispod cipela, kompjuterskih komponenti itd. Pogledaj okolo. Čak iu sobi sigurno ćete vidjeti mnogo pravokutnih prizmi. Ovo je kućište za kompjuter, i polica za knjige, i frižider, i ormar i mnoge druge stvari. Forma je izuzetno popularna pre svega zato što vam omogućava da što efikasnije koristite prostor, bilo da uređujete enterijer ili pakujete stvari u karton pre selidbe.Svojstva pravougaone prizme
Pravokutna prizma ima niz specifičnih svojstava. Bilo koji par lica može poslužiti kao njegov, jer se sva susjedna lica nalaze pod istim kutom jedna prema drugoj, a ovaj kut je 90 °. Volumen i površinu pravokutne prizme lakše je izračunati od bilo koje druge. Uzmite bilo koji predmet koji ima oblik pravokutne prizme. Izmjerite njegovu dužinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, dovoljno je pomnožiti ova mjerenja. Odnosno, formula izgleda ovako: V \u003d a * b * h, gdje je V volumen, a i b su stranice baze, h je visina koja se poklapa sa bočnom ivicom ovog geometrijskog tijela. Osnovna površina se izračunava po formuli S1=a*b. Da biste dobili bočnu površinu, prvo morate izračunati obim baze koristeći formulu P=2(a+b), a zatim je pomnožiti sa visinom. Ispada da je formula S2=P*h=2(a+b)*h. Da biste izračunali ukupnu površinu pravokutne prizme, dodajte dvostruku površinu baze i površinu bočne površine. Formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli površinu osnove prizme, morate shvatiti kako ona izgleda.
Opća teorija
Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štaviše, bilo koji poliedar može biti u svojoj osnovi - od trougla do n-ugla. Štaviše, baze prizme su uvijek jednake jedna drugoj. Ono što se ne odnosi na bočne strane - mogu se značajno razlikovati u veličini.
Prilikom rješavanja problema ne nailazi se samo na područje osnove prizme. Možda će biti potrebno poznavati bočnu površinu, odnosno sva lica koja nisu baze. Puna površina će već biti spoj svih lica koja čine prizmu.
Ponekad se visine pojavljuju u zadacima. Ona je okomita na baze. Dijagonala poliedra je segment koji spaja u paru bilo koja dva vrha koji ne pripadaju istoj površini.
Treba napomenuti da površina osnove ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjem i donjem licu, tada će njihove površine biti jednake.
trouglasta prizma
U osnovi ima lik sa tri vrha, odnosno trokut. Poznato je da je drugačije. Ako je tada dovoljno prisjetiti se da je njegova površina određena polovicom proizvoda nogu.
Matematički zapis izgleda ovako: S = ½ av.
Da biste pronašli površinu baze u opšti pogled, korisne su formule: Čaplja i ona u kojoj je polovina stranice odvedena na visinu koja joj je povučena.
Prvu formulu treba napisati ovako: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ovaj unos sadrži poluperimetar (p), odnosno zbir tri strane podijeljen sa dva.
Drugo: S = ½ n a * a.
Ako želite znati površinu osnove trokutaste prizme, koja je pravilna, tada se ispostavlja da je trokut jednakostraničan. Ima svoju formulu: S = ¼ a 2 * √3.
četvorougaona prizma
Njegova osnova je bilo koji od poznatih četverouglova. Može biti pravougaonik ili kvadrat, paralelepiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu osnove prizme, trebat će vam vlastita formula.
Ako je osnova pravougaonik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = av, gdje su a, b stranice pravougaonika.
Kada je u pitanju četverokutna prizma, površina osnove pravilne prizme izračunava se pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u bazi. S \u003d a 2.
U slučaju kada je baza paralelepiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S \u003d a * n a. Dešava se da su date stranica paralelepipeda i jedan od uglova. Zatim, da biste izračunali visinu, morat ćete koristiti dodatnu formulu: na \u003d b * sin A. Štoviše, kut A je susjedni strani "b", a visina je na suprotnoj strani od ovog kuta.
Ako romb leži u osnovi prizme, tada će biti potrebna ista formula za određivanje njegove površine kao i za paralelogram (pošto je to poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovaj: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.
Pravilna petougaona prizma
Ovaj slučaj uključuje dijeljenje poligona na trouglove čije je površine lakše otkriti. Iako se dešava da figure mogu biti sa različitim brojem vrhova.
Pošto je osnova prizme pravilan petougao, može se podijeliti na pet jednakostraničnih trouglova. Tada je površina osnove prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti iznad), pomnoženo sa pet.
Pravilna heksagonalna prizma
Prema principu opisanom za pentagonalnu prizmu, moguće je podijeliti osnovni šesterokut na 6 jednakostraničnih trouglova. Formula za površinu osnove takve prizme slična je prethodnoj. Samo u njemu treba pomnožiti sa šest.
Formula će izgledati ovako: S = 3/2 i 2 * √3.
Zadaci
br. 1. Data je pravilna ravna linija. Njena dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu osnove prizme i cijele površine.
Rješenje. Osnova prizme je kvadrat, ali njena stranica nije poznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njenom visinom (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipotenuza u trouglu čiji su kraci jednaki stranici kvadrata. To jest, x 2 \u003d a 2 + a 2. Dakle, ispada da je a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Zamijenite broj 22 umjesto d i zamijenite "n" njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm. Sada je lako saznati osnovnu površinu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dvostruku vrijednost osnovne površine i učetvorostručiti stranu. Potonje je lako pronaći po formuli za pravougaonik: pomnožite visinu poliedra i stranu baze. To jest, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. Ukupna površina prizme je 960 cm 2 .
Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm2. Ukupna površina - 960 cm 2 .
2. Dana U osnovi leži trokut sa stranicom od 6 cm.U ovom slučaju dijagonala bočne strane je 10 cm.Izračunajte površine: osnova i bočna površina.
Rješenje. Pošto je prizma pravilna, njena osnova je jednakostranični trougao. Stoga se ispostavlja da je njegova površina jednaka 6 na kvadrat puta ¼ i kvadratnom korijenu od 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.
Sve bočne strane su iste i predstavljaju pravougaonike sa stranicama od 6 i 10 cm. Da bi se izračunale njihove površine, dovoljno je ove brojeve pomnožiti. Zatim ih pomnožite sa tri, jer prizma ima tačno toliko bočnih strana. Tada je površina bočne površine namotana 180 cm 2 .
Odgovori. Površine: osnova - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.
Predavanje: Prizma, njene osnove, bočni rubovi, visina, bočna površina; ravna prizma; desna prizma
Prizma
Ako ste kod nas naučili ravne figure iz prethodnih pitanja, onda ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.
Prizma je voluminozno tijelo koje ima veliki broj lica.
Ova figura ima dva poligona u osnovama, koji se nalaze u paralelnim ravnima, a sve bočne strane su u obliku paralelograma.
Slika 1. Sl. 2
Dakle, hajde da shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pažnju na sl.1
Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su paralelne jedna s drugom - to su pentagoni ABCEF i GMNJK. Štaviše, ovi poligoni su međusobno jednaki.
Sve druge strane prizme nazivaju se bočnim stranama - sastoje se od paralelograma. Na primjer, BMNC, AGKF, FKJE, itd.
Zajednička površina svih bočnih strana naziva se bočna površina.
Svaki par susednih lica ima zajedničku stranu. Takva zajednička strana naziva se ivica. Na primjer, MB, CE, AB, itd.
Ako su gornja i donja osnova prizme spojene okomicom, tada će se to zvati visinom prizme. Na slici je visina označena kao prava linija OO 1.
Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.
Ako bočna rebra prizme nisu okomite na baze, onda se takva prizma naziva koso.
Ako su svi rubovi prizme okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva ravno.
Ako su osnove prizme pravilni poligoni(oni čije su stranice jednake), onda se takva prizma naziva ispravan.
Ako osnove prizme nisu paralelne jedna s drugom, tada će se takva prizma zvati skraćeno.
To možete vidjeti na sl.2
Formule za pronalaženje zapremine, površine prizme
Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po svojoj primjeni:
Slične formule za pronalaženje površine prizme:
