hogar » Niño de 1 año a 1,5 años » Función asíntota fraccionalmente lineal. Graficar funciones es uno de los temas más interesantes de las matemáticas escolares.

Función asíntota fraccionalmente lineal. Graficar funciones es uno de los temas más interesantes de las matemáticas escolares.

Función y = y su gráfica.

OBJETIVOS:

1) introducir la definición de la función y = ;

2) enseñar a graficar la función y = usando el programa Agrapher;

3) para formar la capacidad de construir bocetos de gráficos de la función y \u003d utilizando las propiedades de la transformación de gráficos de funciones;

I. Material nuevo - conversación extendida.

Y: Considere las funciones dadas por las fórmulas y = ; y = ; y = .

¿Cuáles son las expresiones escritas en el lado derecho de estas fórmulas?

D: Las partes derechas de estas fórmulas tienen la forma de una fracción racional, en la que el numerador es un binomio de primer grado o un número distinto de cero, y el denominador es un binomio de primer grado.

U: Es habitual especificar tales funciones mediante una fórmula de la forma

Considere los casos cuando a) c = 0 o c) = .

(Si en el segundo caso los estudiantes experimentarán dificultades, entonces debe pedirles que expresen Con de una proporción dada y luego sustituir la expresión resultante en la fórmula (1)).

D1: si c \u003d 0, entonces y \u003d x + b es una función lineal.

D2: Si = , entonces c = . Sustituyendo el valor Con en la fórmula (1) obtenemos:

Es decir, y = es una función lineal.

Y: una función que se puede especificar mediante una fórmula de la forma y \u003d, donde la letra x denota un independiente

esta variable, y las letras a, b, c y d son números arbitrarios, y c0 y ad son todos 0, se denomina función fraccionaria lineal.

Demostremos que la gráfica de una función fraccionaria lineal es una hipérbola.

Ejemplo 1 Tracemos la función y = . Extraigamos la parte entera de la fracción.

Tenemos: = = = 1 + .

El gráfico de la función y \u003d +1 se puede obtener del gráfico de la función y \u003d usando dos traslaciones paralelas: un desplazamiento de 2 unidades hacia la derecha a lo largo del eje X y un desplazamiento de 1 unidad hacia arriba en la dirección de el eje Y. Con estos cambios, las asíntotas de la hipérbola y \u003d se moverán: la línea recta x \u003d 0 (es decir, el eje y) está 2 unidades a la derecha, y la línea recta y = 0 (es decir, el eje x) está una unidad hacia arriba. Antes de trazar, dibujemos Plano coordinado asíntotas discontinuas: rectas x = 2 e y = 1 (Fig. 1a). Considerando que la hipérbola consta de dos ramas, para construir cada una de ellas compilaremos, mediante el programa Agrapher, dos tablas: una para x>2, y otra para x<2.

X	1	0	-1	-2	-4	-10
en	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
X	3	4	5	6	8	12
en	7	4	3	2,5	2	1,6

Marque (usando el programa Agrapher) en el plano de coordenadas los puntos cuyas coordenadas están registradas en la primera tabla, y conéctelos con una línea continua suave. Obtenemos una rama de la hipérbola. De manera similar, usando la segunda tabla, obtenemos la segunda rama de la hipérbola (Fig. 1b).

Ejemplo 2. Grafiquemos la función y \u003d - Seleccionamos la parte entera de la fracción dividiendo el binomio 2x + 10 por el binomio x + 3. Obtenemos = 2 +. Por lo tanto, y = -2.

La gráfica de la función y = -2 se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = - usando dos traslaciones paralelas: un desplazamiento de 3 unidades hacia la izquierda y un desplazamiento de 2 unidades hacia abajo. Las asíntotas de la hipérbola son las rectas x = -3 e y = -2. Compile (usando el programa Agrapher) tablas para x<-3 и для х>-3.

X	-2	-1	1	2	7
en	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
X	-4	-5	-7	-8	-11
en	2	0	-1	-1,2	-1,5

Habiendo construido (usando el programa Agrapher) puntos en el plano de coordenadas y dibujando ramas de la hipérbola a través de ellos, obtenemos un gráfico de la función y = - (Fig. 2).

W:¿Qué es la gráfica de una función fraccionaria lineal?

D: La gráfica de cualquier función fraccionaria lineal es una hipérbola.

P: ¿Cómo trazar una función fraccionaria lineal?

D: El gráfico de una función fraccionaria lineal se obtiene del gráfico de la función y \u003d usando traslaciones paralelas a lo largo de los ejes de coordenadas, las ramas de la hipérbola de la función fraccionaria lineal son simétricas con respecto al punto (-. La recta la línea x \u003d - se llama asíntota vertical de la hipérbola La línea recta y \u003d se llama asíntota horizontal.

P: ¿Cuál es el dominio de una función fraccionaria lineal?

P: ¿Cuál es el rango de una función fraccionaria lineal?

D: E(y) = .

M: ¿La función tiene ceros?

D: Si x \u003d 0, entonces f (0) \u003d, d. Es decir, la función tiene ceros - punto A.

P: ¿La gráfica de una función fraccionaria lineal tiene puntos de intersección con el eje x?

D: Si y = 0, entonces x = -. Entonces, si a, entonces el punto de intersección con el eje X tiene coordenadas. Si a \u003d 0, in, entonces el gráfico de una función lineal fraccionaria no tiene puntos de intersección con el eje de abscisas.

Y: La función decrece en intervalos de todo el dominio de definición si bc-ad > 0 y aumenta en intervalos de todo el dominio de definición si bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

T: ¿Es posible especificar los valores mayor y menor de la función?

D: La función no tiene valores máximos y mínimos.

M: ¿Qué rectas son las asíntotas de la gráfica de una función lineal-fraccional?

D: La asíntota vertical es la recta x = -; y la asíntota horizontal es la recta y = .

(Los estudiantes escriben todas las conclusiones generales: definiciones y propiedades de una función lineal fraccionaria en un cuaderno)

II. Consolidación.

Al construir y "leer" gráficos de funciones fraccionarias lineales, se utilizan las propiedades del programa Agrapher

tercero Enseñanza del trabajo independiente.

Encuentra el centro de la hipérbola, asíntotas y grafica la función:

a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; f) y = ;

g) y = h) y = -

Cada estudiante trabaja a su propio ritmo. Si es necesario, el maestro brinda asistencia haciendo preguntas, cuyas respuestas ayudarán al estudiante a completar correctamente la tarea.

Trabajos de laboratorio y prácticos sobre el estudio de las propiedades de las funciones y = e y = y las características de las gráficas de estas funciones.

OBJETIVOS: 1) continuar la formación de habilidades para construir gráficas de funciones y = e y = utilizando el programa Agrapher;

2) para consolidar las habilidades de "lectura de gráficos" de funciones y la capacidad de "predecir" cambios en gráficos bajo varias transformaciones de funciones lineales fraccionarias.

I. Repetición diferenciada de las propiedades de una función lineal-fraccional.

Cada estudiante recibe una tarjeta, una copia impresa con tareas. Todas las construcciones se realizan con el programa Agrapher. Los resultados de cada tarea se discuten inmediatamente.

Cada alumno, con la ayuda del autocontrol, puede corregir los resultados obtenidos durante la tarea y pedir ayuda a un profesor o a un consultor de alumnos.

Encuentre el valor del argumento X para el cual f(x) =6; f(x)=-2.5.

3. Construya un gráfico de la función y \u003d Determine si el punto pertenece al gráfico de esta función: a) A (20; 0.5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0.4)?

4. Trace la función y \u003d Encuentre los intervalos en los que y\u003e 0 y en los que y<0.

5. Trace la función y = . Encuentre el dominio y el rango de la función.

6. Indique las asíntotas de la hipérbola - el gráfico de la función y \u003d -. Realizar trazado.

7. Trace la función y = . Encuentra los ceros de la función.

II. Trabajos prácticos y de laboratorio.

A cada estudiante se le entregan 2 tarjetas: tarjeta número 1 "Instrucción" con un plan que se está trabajando, y el texto con la tarea y la tarjeta número 2 “ Resultados del estudio de función ”.

Trazar la función especificada.
Encuentre el alcance de la función.
Encuentra el rango de la función.
Dar las asíntotas de la hipérbola.
Encuentra los ceros de la función (f(x) = 0).
Encuentra el punto de intersección de la hipérbola con el eje x (y = 0).

7. Encuentra los huecos en los que: a) y<0; б) y>0.

8. Especificar intervalos de aumento (decremento) de la función.

Yo opción.

Construya, usando el programa Agrapher, un gráfico de función y explore sus propiedades:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = e) y = . -5-

En esta lección, veremos más de cerca función lineal, resuelve problemas usando una función fraccionaria lineal, módulo, parámetro.

Tema: Repetición

Lección: Función lineal fraccionaria

Definición:

Una función fraccionaria lineal se llama función de la forma:

Por ejemplo:

Probemos que la gráfica de esta función fraccionaria lineal es una hipérbola.

Quitamos el dos en el numerador, obtenemos:

Tenemos x tanto en el numerador como en el denominador. Ahora transformamos para que en el numerador aparezca la expresión:

Ahora reduzcamos la fracción término a término:

Obviamente, la gráfica de esta función es una hipérbola.

Podemos ofrecer una segunda forma de prueba, a saber, dividir el numerador por el denominador en una columna:

Consiguió:

Es importante poder construir fácilmente un gráfico de una función fraccionaria lineal, en particular, para encontrar el centro de simetría de una hipérbola. Resolvamos el problema.

Ejemplo 1: dibuje un gráfico de función:

Ya hemos convertido esta función y obtuvimos:

Para construir este gráfico, no desplazaremos los ejes ni la hipérbola. Usamos el método estándar de construcción de gráficos de funciones, usando la presencia de intervalos de constancia.

Actuamos de acuerdo con el algoritmo. Primero, examinamos la función dada.

Así, tenemos tres intervalos de constancia: en el extremo derecho () la función tiene un signo más, luego los signos se alternan, ya que todas las raíces tienen el primer grado. Entonces, en el intervalo la función es negativa, en el intervalo la función es positiva.

Construimos un boceto del gráfico en la vecindad de las raíces y los puntos de ruptura de la ODZ. Tenemos: dado que en el punto el signo de la función cambia de más a menos, entonces la curva está primero sobre el eje, luego pasa por cero y luego se ubica debajo del eje x. Cuando el denominador de una fracción es prácticamente cero, entonces cuando el valor del argumento tiende a tres, el valor de la fracción tiende a infinito. En este caso, cuando el argumento se acerca al triple por la izquierda, la función es negativa y tiende a menos infinito, por la derecha, la función es positiva y sale de más infinito.

Ahora construimos un bosquejo del gráfico de la función en la vecindad de puntos infinitamente distantes, es decir cuando el argumento tiende a más o menos infinito. En este caso, los términos constantes pueden despreciarse. Tenemos:

Así, tenemos una asíntota horizontal y otra vertical, el centro de la hipérbola es el punto (3;2). Ilustremos:

Arroz. 1. Gráfico de una hipérbola para el ejemplo 1

Los problemas con una función fraccionaria lineal pueden complicarse por la presencia de un módulo o parámetro. Para construir, por ejemplo, un gráfico de función, debe seguir el siguiente algoritmo:

Arroz. 2. Ilustración para el algoritmo

El gráfico resultante tiene ramas que están por encima del eje x y por debajo del eje x.

1. Aplicar el módulo especificado. En este caso, las partes del gráfico que están por encima del eje x permanecen sin cambios, y las que están por debajo del eje se reflejan en relación con el eje x. Obtenemos:

Arroz. 3. Ilustración para el algoritmo

Ejemplo 2: trace un gráfico de función:

Arroz. 4. Gráfico de función para el ejemplo 2

Consideremos la siguiente tarea: trazar un gráfico de función. Para hacer esto, debe seguir el siguiente algoritmo:

1. Graficar la función submodular

Supongamos que tenemos el siguiente gráfico:

Arroz. 5. Ilustración para el algoritmo

1. Aplicar el módulo especificado. Para entender cómo hacer esto, ampliemos el módulo.

Así, para valores de función con valores no negativos del argumento, no habrá cambios. En cuanto a la segunda ecuación, sabemos que se obtiene mediante un mapeo simétrico sobre el eje y. tenemos una gráfica de la función:

Arroz. 6. Ilustración para el algoritmo

Ejemplo 3: trace un gráfico de función:

De acuerdo con el algoritmo, primero debe trazar un gráfico de función submodular, ya lo hemos construido (ver Figura 1)

Arroz. 7. Gráfico de función para el ejemplo 3

Ejemplo 4: encuentre el número de raíces de una ecuación con un parámetro:

Recuerda que resolver una ecuación con un parámetro significa iterar sobre todos los valores del parámetro y especificar la respuesta para cada uno de ellos. Actuamos según la metodología. Primero, construimos un gráfico de la función, ya lo hicimos en el ejemplo anterior (ver Figura 7). A continuación, debe cortar el gráfico con una familia de líneas para diferentes a, encontrar los puntos de intersección y escribir la respuesta.

Mirando el gráfico, escribimos la respuesta: para y la ecuación tiene dos soluciones; para , la ecuación tiene una solución; para , la ecuación no tiene soluciones.

Considere las preguntas de la metodología para estudiar un tema como "trazar un gráfico de una función lineal fraccionaria". Desafortunadamente, su estudio se ha eliminado del programa básico y el tutor de matemáticas en sus clases no lo toca con la frecuencia que le gustaría. Sin embargo, nadie ha cancelado todavía las clases de matemáticas, la segunda parte del GIA también. Sí, y en el Examen de Estado Unificado, existe la posibilidad de que penetre en el cuerpo de la tarea C5 (a través de los parámetros). Por lo tanto, tendrá que arremangarse y trabajar en el método de explicarlo en una lección con un estudiante promedio o moderadamente fuerte. Como regla general, un tutor de matemáticas desarrolla explicaciones para las secciones principales del plan de estudios escolar durante los primeros 5 a 7 años de trabajo. Durante este tiempo, decenas de alumnos de diversas categorías logran pasar por los ojos y manos del tutor. Desde niños descuidados y naturalmente débiles, holgazanes y vagabundos hasta talentos con propósito.

Con el tiempo, un tutor de matemáticas adquiere la habilidad de explicar conceptos complejos en un lenguaje simple sin comprometer la integridad y precisión matemática. Se desarrolla un estilo individual de presentación de material, discurso, acompañamiento visual y registro de registros. Cualquier tutor experimentado dirá la lección con los ojos cerrados, porque sabe de antemano qué problemas surgen para comprender el material y qué se necesita para resolverlos. Es importante elegir las palabras y registros correctos, ejemplos para el comienzo de la lección, para el medio y el final, así como también componer correctamente los ejercicios para la tarea.

En este artículo se discutirán algunos métodos particulares de trabajar con el tema.

¿Con qué gráficos comienza un tutor de matemáticas?

Es necesario comenzar con una definición del concepto en estudio. Les recuerdo que una función lineal fraccionaria es una función de la forma . Su construcción se reduce a la construcción la hipérbole más común mediante técnicas sencillas bien conocidas para convertir gráficos. En la práctica, son simples solo para el propio tutor. Incluso si un estudiante fuerte llega al maestro, con suficiente velocidad de cálculos y transformaciones, todavía tiene que contar estas técnicas por separado. ¿Por qué? En la escuela, en el grado 9, los gráficos se construyen solo por desplazamiento y no utilizan métodos para agregar factores numéricos (métodos de compresión y estiramiento). ¿Qué gráfico utiliza el tutor de matemáticas? ¿Cuál es el mejor lugar para empezar? Toda la preparación se lleva a cabo en el ejemplo de la función más conveniente, en mi opinión. . ¿Qué más usar? La trigonometría en el noveno grado se estudia sin gráficos (y no pasan en absoluto en los libros de texto convertidos en las condiciones del GIA en matemáticas). La función cuadrática no tiene el mismo “peso metodológico” en este tema que tiene la raíz. ¿Por qué? En el 9º grado se estudia a fondo el trinomio cuadrado y el alumno es bastante capaz de resolver problemas de construcción sin turnos. La forma provoca instantáneamente un reflejo para abrir los corchetes, después de lo cual puede aplicar la regla de trazado estándar a través de la parte superior de la parábola y la tabla de valores. Con tal maniobra no será posible realizarla y será más fácil para el tutor de matemáticas motivar al alumno a estudiar los métodos generales de transformación. Usando el y=|x| tampoco se justifica, porque no se estudia tan de cerca como la raíz y los escolares le tienen mucho miedo. Además, el propio módulo (más precisamente, su "colgante") se encuentra entre las transformaciones estudiadas.

Entonces, el tutor no tiene nada más conveniente y efectivo que prepararse para las transformaciones usando la raíz cuadrada. Se necesita práctica para construir gráficos como este. Supongamos que esta preparación fue un éxito. El niño sabe cómo desplazar e incluso comprimir/estirar gráficos. ¿Que sigue?

La siguiente etapa es aprender a seleccionar toda la pieza. Quizás esta sea la tarea principal de un tutor de matemáticas, porque después de resaltar toda la parte, asume la mayor parte de toda la carga computacional sobre el tema. Es extremadamente importante preparar una función para un formulario que se ajuste a uno de los esquemas de construcción estándar. También es importante describir la lógica de las transformaciones de una manera accesible, comprensible y, por otro lado, matemáticamente precisa y armoniosa.

Déjame recordarte que para trazar un gráfico, necesitas convertir una fracción a la forma . A esto, y no a
, manteniendo el denominador. ¿Por qué? Es difícil realizar transformaciones de la gráfica, que no solo consta de piezas, sino que también tiene asíntotas. La continuidad se usa para conectar dos o tres puntos más o menos claramente movidos con una línea. En el caso de una función discontinua, no está inmediatamente claro qué puntos conectar. Por lo tanto, comprimir o estirar una hipérbole es extremadamente inconveniente. Un tutor de matemáticas simplemente está obligado a enseñar a un estudiante a administrar solo los turnos.

Para ello, además de resaltar la parte entera, también es necesario eliminar el coeficiente en el denominador C.

Extrayendo la parte entera de una fracción

¿Cómo enseñar la selección de la parte entera? Los tutores de matemáticas no siempre valoran adecuadamente el nivel de conocimientos de un alumno y, a pesar de no haber un estudio detallado del teorema de la división de polinomios con resto en el programa, aplican la regla de la división por un vértice. Si el maestro toma la división de la esquina, tendrá que pasar casi la mitad de la lección explicándola (a menos, por supuesto, que todo esté cuidadosamente fundamentado). Desafortunadamente, el tutor no siempre tiene este tiempo disponible. Mejor no pensar en ningún rincón en absoluto.

Hay dos formas de trabajar con un estudiante:
1) El tutor le muestra el algoritmo terminado usando algún ejemplo de función fraccionaria.
2) El profesor crea condiciones para la búsqueda lógica de este algoritmo.

La implementación de la segunda vía me parece la más interesante para la práctica de tutoría y sumamente útil para desarrollar el pensamiento del estudiante. Con la ayuda de ciertos consejos e indicaciones, a menudo es posible conducir al descubrimiento de una determinada secuencia de pasos correctos. A diferencia de la ejecución automática de un plan elaborado por alguien, un alumno de 9º grado aprende a buscarlo por su cuenta. Naturalmente, todas las explicaciones deben llevarse a cabo con ejemplos. Tomemos una función para esto y consideremos los comentarios del tutor sobre la lógica de búsqueda del algoritmo. Un tutor de matemáticas pregunta: “¿Qué nos impide realizar una transformación gráfica estándar al desplazarnos a lo largo de los ejes? Por supuesto, la presencia simultánea de X tanto en el numerador como en el denominador. Por lo tanto, debe eliminarlo del numerador. ¿Cómo hacer esto con transformaciones idénticas? Solo hay una forma: reducir la fracción. Pero no tenemos factores iguales (paréntesis). Por lo tanto, debe intentar crearlos artificialmente. ¿Pero cómo? No puedes reemplazar el numerador con el denominador sin una transición idéntica. Intentemos convertir el numerador para que incluya un paréntesis igual al denominador. vamos a ponerlo ahí a la fuerza y “superponer” los coeficientes de manera que cuando “actuen” sobre el paréntesis, es decir, cuando se abre y se suman términos similares, se obtendría un polinomio lineal 2x + 3.

El tutor de matemáticas inserta espacios para los coeficientes en forma de rectángulos vacíos (como se usa a menudo en los libros de texto para los grados 5-6) y establece la tarea de llenarlos con números. La selección debe ser de izquierda a derecha a partir de la primera pasada. El alumno debe imaginar cómo abrirá el soporte. Dado que su divulgación dará como resultado un solo término con x, entonces es su coeficiente el que debe ser igual al coeficiente más alto en el antiguo numerador 2x + 3. Por lo tanto, es obvio que el primer cuadrado contiene el número 2. Está lleno. Un tutor de matemáticas debe tomar una función lineal fraccionaria bastante simple con c=1. Solo después de eso puede proceder al análisis de ejemplos con una forma desagradable del numerador y el denominador (incluidos aquellos con coeficientes fraccionarios).

Adelante. El profesor abre el paréntesis y firma el resultado justo encima.
Puedes sombrear el par de factores correspondiente. Al "término expandido", es necesario agregar dicho número del segundo espacio para obtener el coeficiente libre del numerador anterior. Obviamente son 7.

Luego, la fracción se descompone en la suma de las fracciones individuales (por lo general, encierro en un círculo las fracciones con una nube, comparando su ubicación con las alas de una mariposa). Y digo: "Vamos a romper la fracción con una mariposa". Los estudiantes recuerdan bien esta frase.

El tutor de matemáticas muestra todo el proceso de extracción de la parte entera a la forma a la que ya es posible aplicar el algoritmo de desplazamiento de hipérbola:

Si el denominador tiene un coeficiente mayor que no es igual a uno, en ningún caso debe dejarse allí. Esto traerá tanto al tutor como al alumno un dolor de cabeza extra asociado a la necesidad de una transformación adicional, y la más difícil: compresión - estiramiento. Para la construcción esquemática de un gráfico de proporcionalidad directa, el tipo de numerador no es importante. Lo principal es conocer su signo. Entonces es mejor transferirle el coeficiente más alto del denominador. Por ejemplo, si estamos trabajando con la función , luego simplemente sacamos 3 del paréntesis y lo "subimos" al numerador, construyendo una fracción en él. Obtenemos una expresión mucho más conveniente para la construcción: Queda por desplazar a la derecha y 2 hacia arriba.

Si aparece un “menos” entre la parte entera 2 y la fracción restante, también es mejor ponerlo en el numerador. De lo contrario, en una determinada etapa de construcción, deberá mostrar adicionalmente la hipérbola relativa al eje Oy. Esto solo complicará el proceso.

Regla de oro del tutor de matemáticas:
todos los coeficientes inconvenientes que dan lugar a simetrías, contracciones o expansiones del gráfico deben transferirse al numerador.

Es difícil describir las técnicas de trabajo con cualquier tema. Siempre hay una sensación de subestimación. Depende de usted juzgar cuánto logró hablar sobre una función lineal fraccionaria. Envía tus comentarios y feedback al artículo (puedes escribirlos en el recuadro que ves al final de la página). Definitivamente los publicaré.

Kolpakov A. N. Tutor de matemáticas Moscú. Strogino. Métodos para tutores.

1. Función fraccionaria lineal y su gráfica

Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se denomina función racional fraccionaria.

Probablemente ya esté familiarizado con el concepto de números racionales. Similarmente funciones racionales son funciones que se pueden representar como cociente de dos polinomios.

Si una función racional fraccionaria es un cociente de dos funciones lineales - polinomios de primer grado, es decir ver función

y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama fraccionario lineal.

Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario, la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario, el función es una constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales, excepto para x = -d/c. Las gráficas de funciones fraccionarias lineales no difieren en forma de la gráfica que conoces y = 1/x. La curva que es la gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado en x por valor absoluto la función y = 1/x decrece en valor absoluto indefinidamente y ambas ramas de la gráfica se acercan al eje de abscisas: la derecha se acerca por arriba y la izquierda por abajo. Las rectas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.

Ejemplo 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Solución.

Seleccionemos la parte entera: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazar 3 segmentos unitarios a la derecha, estirar a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazar 2 segmentos de unidad hacia arriba.

Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de la misma forma, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones fraccionarias lineales son hipérbolas, de varias maneras desplazada a lo largo de los ejes de coordenadas y estirada a lo largo del eje Oy.

Para trazar un gráfico de alguna función lineal-fraccional arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará encontrar las rectas a las que se aproximan sus ramas - las asíntotas de la hipérbola x = -d/c y y = a/c.

Ejemplo 2

Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).

Solución.

La función no está definida, para x = -1. Por lo tanto, la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüemos a qué se acercan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.

Para ello, dividimos el numerador y el denominador de la fracción por x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Como x → ∞ la fracción tiende a 3/2. Por tanto, la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.

Ejemplo 3

Traza la función y = (2x + 1)/(x + 1).

Solución.

Seleccionamos la “parte entera” de la fracción:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una representación simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de intervalos de 2 unidades hacia arriba a lo largo del eje Oy.

Dominio de definición D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función crece en cada uno de los intervalos del dominio de definición.

Respuesta: figura 1.

2. Función fraccional-racional

Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado mayor que el primero.

Ejemplos de tales funciones racionales:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Si la función y = P(x) / Q(x) es un cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfico será, por regla general, más complicado y, a veces, puede ser difícil construirlo exactamente. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces es suficiente aplicar técnicas similares a las que ya hemos conocido anteriormente.

Sea la fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.

Trazar funciones racionales fraccionarias

Considere varias formas de representar gráficamente una función fraccionaria-racional.

Ejemplo 4

Trace la función y = 1/x 2 .

Solución.

Usamos el gráfico de la función y \u003d x 2 para trazar el gráfico y \u003d 1 / x 2 y usamos el método de "dividir" los gráficos.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rango de valores E(y) = (0; +∞).

No hay puntos de intersección con los ejes. La función es pareja. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x desde 0 hasta +∞.

Respuesta: figura 2.

Ejemplo 5

Trace la función y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Solución.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x/3 + 1/3.

Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.

Respuesta: figura 3.

Ejemplo 6

Trace la función y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Solución.

El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica respecto al eje y. Antes de graficar, nuevamente transformamos la expresión resaltando la parte entera:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Tenga en cuenta que la selección de la parte entera en la fórmula de una función fraccionaria-racional es una de las principales al trazar gráficos.

Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir, la recta y = 1 es una asíntota horizontal.

Respuesta: figura 4.

Ejemplo 7

Considere la función y = x/(x 2 + 1) e intente encontrar exactamente su valor más grande, es decir, el punto más alto en la mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Es obvio que nuestra curva no puede "trepar" muy alto, ya que el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, debes resolver la ecuación x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Entonces nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, debe averiguar para qué A más grande la ecuación A \u003d x / (x 2 + 1) tendrá una solución. Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Ax 2 - x + A \u003d 0. Esta ecuación tiene una solución cuando 1 - 4A 2 ≥ 0. A partir de aquí encontramos el valor más grande A \u003d 1/2.

Respuesta: Figura 5, max y(x) = ½.

¿Tiene usted alguna pregunta? ¿No sabes cómo construir gráficas de funciones?
Para obtener la ayuda de un tutor, regístrese.
¡La primera lección es gratis!

sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.

Inicio > Literatura

institución educativa municipal

"Promedio escuela comprensiva№24"

Trabajo abstracto problemático

en álgebra y los comienzos del análisis

Gráficas de una función racional fraccionaria

Alumnos del grado 11 A Tovchegrechko Natalia Sergeevna supervisora de trabajo Parsheva Valentina Vasilievna profesora de matemáticas, profesora de educación superior categoría de calificación

Severodvinsk

Contenidos 3Introducción 4Parte principal. Gráficas de funciones racionales fraccionarias 6Conclusión 17Referencias 18

Introducción

Graficar funciones es uno de los temas más interesantes de las matemáticas escolares. Uno de los más grandes matemáticos de nuestro tiempo, Israel Moiseevich Gelfand, escribió: “El proceso de construcción de gráficos es una forma de convertir fórmulas y descripciones en imágenes geométricas. Esto, graficar, es un medio para ver fórmulas y funciones y ver cómo cambian estas funciones. Por ejemplo, si se escribe y=x 2, inmediatamente verá una parábola; si y=x 2 -4 ves una parábola rebajada cuatro unidades; si y=4-x 2 , entonces ves la parábola anterior al revés. Esta capacidad de ver tanto la fórmula como su interpretación geométrica a la vez es importante no solo para estudiar matemáticas, sino también para otras materias. Es una habilidad que se queda contigo toda la vida, como aprender a andar en bicicleta, escribir a máquina o conducir un automóvil". En las lecciones de matemáticas, construimos principalmente los gráficos más simples: gráficos de funciones elementales. Solo en el grado 11, con la ayuda de la derivada, aprendieron a construir funciones más complejas. Al leer libros:

El propósito del trabajo: estudiar los materiales teóricos relevantes, identificar un algoritmo para construir gráficos de funciones lineales fraccionarias y fraccionarias racionales. Tareas: 1. formar los conceptos de funciones fraccionarias lineales y racionales fraccionarias basadas en material teorico sobre este tema; 2. encontrar métodos para construir gráficos de funciones lineales fraccionarias y fraccionarias racionales.

Parte principal. Gráficas de funciones racionales fraccionarias

1. Función fraccionaria - lineal y su gráfica

Ya nos hemos familiarizado con una función de la forma y=k/x, donde k≠0, sus propiedades y gráfica. Prestemos atención a una característica de esta función. La función y=k/x sobre el conjunto de los números positivos tiene la propiedad de que con un aumento ilimitado de los valores del argumento (cuando x tiende a más infinito), los valores de las funciones, permaneciendo positivos, tienden a cero. A medida que los valores positivos del argumento disminuyen (cuando x tiende a cero), los valores de la función aumentan indefinidamente (y tiende a más infinito). Se observa un cuadro similar para el conjunto números negativos. En el gráfico (Fig. 1), esta propiedad se expresa en el hecho de que los puntos de la hipérbola, a medida que se alejan al infinito (a la derecha o a la izquierda, hacia arriba o hacia abajo) del origen, se aproximan indefinidamente a la recta: al eje x, cuando │x│ tiende a más infinito, o hacia el eje y cuando │x│ tiende a cero. Esta línea se llama asíntotas de la curva.

Arroz. 1

La hipérbola y=k/x tiene dos asíntotas: el eje x y el eje y. El concepto de asíntota juega un papel importante en la construcción de gráficos de muchas funciones. Usando las transformaciones de los gráficos de funciones que conocemos, podemos mover la hipérbola y=k/x en el plano de coordenadas hacia la derecha o hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo. Como resultado, obtendremos nuevas gráficas de funciones. Ejemplo 1 Sea y=6/x. Desplacemos esta hipérbola hacia la derecha 1,5 unidades y luego desplazaremos el gráfico resultante 3,5 unidades hacia arriba. Con esta transformación, las asíntotas de la hipérbola y=6/x también se desplazarán: el eje x irá a la línea recta y=3.5, el eje y a la línea recta y=1.5 (Fig. 2). La función cuya gráfica hemos construido puede venir dada por la fórmula

Representemos la expresión del lado derecho de esta fórmula como una fracción:

Entonces, la Figura 2 muestra el gráfico de la función dada por la fórmula

El numerador y el denominador de esta fracción son binomios lineales con respecto a x. Estas funciones se denominan funciones lineales fraccionarias.

En general, una función dada por una fórmula de la forma
, Dónde
x es una variable, a,b, C, dson números dados, con c≠0 y
antes de Cristo- anuncio≠0 se llama función fraccionaria lineal. Tenga en cuenta que el requisito en la definición es que c≠0 y
bc-ad≠0, esencial. Con c=0 y d≠0 o bc-ad=0 obtenemos una función lineal. De hecho, si с=0 y d≠0, entonces

Si bc-ad=0, c≠0, expresando b de esta igualdad en términos de a, c y d y sustituyéndolo en la fórmula, obtenemos:

Entonces, en el primer caso, tenemos una función lineal vista general
, en el segundo caso - una constante
. Ahora mostremos cómo trazar una función fraccionaria lineal si está dada por una fórmula de la forma
Ejemplo 2 Grafiquemos la función
, es decir. representémoslo en la forma
: seleccionamos la parte entera de la fracción dividiendo el numerador por el denominador, obtenemos:

Entonces,
. Vemos que la gráfica de esta función se puede obtener a partir de la gráfica de la función y=5/x usando dos desplazamientos sucesivos: desplazando la hipérbola y=5/x hacia la derecha en 3 unidades, y luego desplazando la hipérbola resultante
hacia arriba en unidades 2. Con estos cambios, las asíntotas de la hipérbola y \u003d 5 / x también se moverán: el eje x está 2 unidades hacia arriba y el eje y está 3 unidades a la derecha. Para construir un gráfico, dibujamos una asíntota punteada en el plano de coordenadas: la línea recta y=2 y la línea recta x=3. Como la hipérbola consta de dos ramas, para construir cada una de ellas haremos dos tablas: una para x<3, а другую для x>3 (es decir, el primero a la izquierda del punto de intersección de la asíntota y el segundo a la derecha):

Marcando en el plano de coordenadas los puntos cuyas coordenadas se indican en la primera tabla y conectándolos con una línea suave, obtenemos una rama de la hipérbola. De manera similar (usando la segunda tabla) obtenemos la segunda rama de la hipérbola. La gráfica de la función se muestra en la Figura 3.

Cualquier fracción
se puede escribir de manera similar, resaltando su parte entera. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones fraccionarias lineales son hipérbolas, desplazadas de varias maneras paralelas a los ejes de coordenadas y alargadas a lo largo del eje Oy.

Ejemplo 3

Grafiquemos la función
.Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, basta encontrar las rectas a las que se acercan sus ramas (asíntotas), y algunos puntos más. Primero encontremos la asíntota vertical. La función no está definida donde 2x+2=0, es decir en x=-1. Por tanto, la asíntota vertical es la recta x=-1. Para encontrar la asíntota horizontal, necesitamos ver a qué se acercan los valores de las funciones cuando el argumento aumenta (en valor absoluto), los segundos términos en el numerador y denominador de la fracción
relativamente pequeño. Es por eso

Por tanto, la asíntota horizontal es una recta y=3/2. Definamos los puntos de intersección de nuestra hipérbola con los ejes de coordenadas. Para x=0 tenemos y=5/2. La función es igual a cero cuando 3x+5=0, es decir en x \u003d -5 / 3. Marcando los puntos (-5 / 3; 0) y (0; 5/2) en el dibujo y dibujando las asíntotas horizontales y verticales encontradas, construiremos un gráfico (Fig. 4) .

En general, para encontrar la asíntota horizontal, es necesario dividir el numerador por el denominador, entonces y=3/2+1/(x+1), y=3/2 es la asíntota horizontal.

2. Función fraccional-racional

Considere una función racional fraccionaria

en el que el numerador y el denominador son polinomios, respectivamente, n-ésimo y m-ésimo grado. Sea la fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Donde k 1 ... k s son las raíces del polinomio Q (x), que tienen respectivamente multiplicidades m 1 ... m s , y los trinomios corresponden a pares conjugados de raíces complejas Q (x) de multiplicidad m 1 ... m t fracciones de la forma

son llamados elemental fracciones racionales respectivamente los tipos primero, segundo, tercero y cuarto. Aquí A, B, C, a - numeros reales; mym son números naturales, m, m>1; el trinomio con coeficientes reales x 2 +px+q tiene raíces imaginarias Obviamente, la gráfica de una función fraccionario-racional se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales. Gráfico de función

Obtenemos de la gráfica de la función 1/x m (m~1, 2, …) mediante una traslación paralela a lo largo del eje x en │k│ unidades de escala hacia la derecha. Ver gráfico de función

Es fácil de construir si se selecciona un cuadrado completo en el denominador, y luego se realiza la formación apropiada de la gráfica de la función 1/x 2. Trazar una función

se reduce a construir el producto de gráficas de dos funciones:

y= bx+ C Y

Comentario. Trazar una función

Dónde a d-b c 0 ,
,

donde n- número natural, se puede realizar de acuerdo con esquema general investigación de funciones y trazado en algunos ejemplos concretos puede construir con éxito un gráfico realizando las transformaciones apropiadas del gráfico; la mejor manera dar métodos de matemáticas superiores. Ejemplo 1 Trazar una función

Seleccionando la parte entera, tenemos

Fracción
representar como una suma de fracciones elementales:

Construyamos gráficas de funciones:

Después de agregar estos gráficos, obtenemos un gráfico de una función dada:

Las figuras 6, 7, 8 son ejemplos de funciones gráficas
Y
. Ejemplo 2 Trazar una función
:

(1);
(2);
(3); (4)

Ejemplo 3 Trazar un gráfico de una función

(1);
(2);
(3); (4)

Conclusión

Al realizar trabajos abstractos: - aclaró sus conceptos de funciones lineales fraccionarias y fraccionarias racionales: Definición 1. Una función fraccionaria lineal es una función de la forma , donde x es una variable, a, b, c y d son números dados, con c≠0 y bc-ad≠0. Definición 2. Una función racional fraccionaria es una función de la forma

donde n

Formó un algoritmo para trazar gráficos de estas funciones;

Adquirí experiencia en graficar funciones tales como:

;

Aprendí a trabajar con literatura y materiales adicionales, a seleccionar información científica; - Adquirí experiencia en la realización de trabajos gráficos en una computadora; - Aprendí a componer un trabajo de resumen de problemas.

Anotación. En vísperas del siglo XXI, fuimos bombardeados con un flujo interminable de conversaciones y razonamientos sobre la autopista de la información (autopista de la información) y la próxima era de la tecnología.

En vísperas del siglo XXI, fuimos bombardeados con un flujo interminable de conversaciones y razonamientos sobre la autopista de la información (autopista de la información) y la próxima era de la tecnología.

Los cursos electivos son una de las formas de organización de las actividades educativas y cognitivas y educativas y de investigación de los estudiantes de gimnasia.

Documento

Esta colección es el quinto número preparado por el equipo del Gimnasio-Laboratorio Pedagógico de la Ciudad de Moscú No. 1505 con el apoyo de…….

Matemáticas y experiencia.

Libro

El artículo intenta una comparación a gran escala de varios enfoques de la relación entre las matemáticas y la experiencia, que se han desarrollado principalmente en el marco del apriorismo y el empirismo.