Métodos para especificar la ley de distribución de DSV. Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Ejemplos de resolución de problemas: Desviación cuadrática media y varianza de una variable aleatoria


Definición 4.1.Variable aleatoria es una cantidad que, como resultado de un experimento, toma uno de sus posibles valores, y no se sabe de antemano cuál.

Denotaremos variables aleatorias con letras mayúsculas del alfabeto latino ( X, Y, Z,…), y sus posibles significados se indican en las correspondientes letras minúsculas ( x i , y i ,…).

Definición 4.2. discreto, si toma valores posibles separados y aislados con ciertas probabilidades.

Definición 4.3. La variable aleatoria se llama continuo, si el conjunto de sus valores posibles llena completamente algún intervalo finito o infinito.

La definición y las propiedades de la función de distribución se conservan para el azar continuo. una cantidad para la cual la función de distribución puede considerarse uno de los tipos de especificación de la ley de distribución. Pero para una variable aleatoria continua, la probabilidad de cada valor individual es 0. Esto es se sigue de la propiedad 4 de la función de distribución: R(X = A) = F(a) – F(a) = 0. Por lo tanto, para una variable aleatoria de este tipo tiene sentido hablar solo de la probabilidad de que caiga en un determinado intervalo.

La segunda forma de especificar la ley de distribución de una variable aleatoria continua es la llamada densidad de distribución (densidad de probabilidad, función diferencial).

Definición 5.1. Función F(X), llamado densidad de distribución La variable aleatoria continua está determinada por la fórmula:

F (X) = F'(X), (5.1)

es decir, es la derivada de la función de distribución.

Propiedades de la densidad de distribución..

1) F(X) ≥ 0, ya que la función de distribución no es decreciente.

2), que se deriva de la definición de densidad de distribución.

3) La probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo ( a, b) está determinada por la fórmula De hecho,

4) (condición de normalización). Su validez se deriva del hecho de que

5) desde cuando

Por lo tanto, el gráfico de densidad de distribución es una curva ubicada sobre el eje O. X, y este eje es su asíntota horizontal en (esto último es cierto solo para variables aleatorias, cuyo conjunto de valores posibles es el conjunto completo de números reales). El área del trapecio curvilíneo delimitada por la gráfica de esta función es igual a uno.

Comentario. Si todos los valores posibles de una variable aleatoria continua se concentran en el intervalo [ a, b], entonces todas las integrales se calculan dentro de estos límites y fuera del intervalo [ a, b] F(X) ≡ 0.

10.Características numéricas de variables aleatorias discretas y continuas. Expectativa matemática de una variable aleatoria y sus propiedades. Dispersión de una variable aleatoria y sus propiedades.

La ley de distribución (función de distribución y serie de distribución o densidad de probabilidad) describe completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas, basta con conocer algunas características numéricas del valor en estudio (por ejemplo, su valor promedio y posible desviación del mismo) para responder a la pregunta planteada.

Los métodos para especificar una variable aleatoria discreta no son generales; no son aplicables, por ejemplo, a variables aleatorias continuas. De hecho, dejemos que los posibles valores de la variable aleatoria X llenen completamente el intervalo (a;b). ¿Es posible enumerar todos los valores posibles de X? No. Necesitamos una forma general de especificar cualquier tipo de variables aleatorias. Para ello, se introducen funciones de distribución de probabilidad de una variable aleatoria.


Función de distribución La función de distribución es la función F(x), que determina la probabilidad de que la variable aleatoria X como resultado de la prueba tome un valor menor que x, es decir F(x) = P(X


X 1. 3. 3. La probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor concluido" title="Propiedades de la función de distribución 1. 1. Los valores de la función de distribución pertenecen al segmento: 0 F (x) 1. 2. 2. F (x) es una función no decreciente, es decir, F(x 2) F(x 1), si x 2 > x 1. 3. 3. La probabilidad de que una variable aleatoria tomar un valor se concluye" class="link_thumb"> 4 !} Propiedades de la función de distribución Los valores de la función de distribución pertenecen al segmento: 0 F(x) F(x) es una función no decreciente, es decir, F(x 2) F(x 1), si x 2 > x La probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor contenido en el intervalo (a;b), igual al incremento de la función de distribución en este intervalo: P (a x 1. 3. 3. La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor contenido en "> x 1. 3. 3. La probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor contenido en el intervalo (a; b) es igual a el incremento de la función de distribución en este intervalo: P (a"> x 1. 3. 3. La probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor concluido" title="Propiedades de la función de distribución 1. 1. Los valores de la función de distribución pertenecen al intervalo: 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) – función no decreciente, es decir F(x 2) F(x 1), si x 2 > x 1. 3. 3. La probabilidad de que la variable aleatoria tenga efecto, concluyó"> title="Propiedades de la función de distribución 1. 1. Los valores de la función de distribución pertenecen al segmento: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) es una función no decreciente, es decir F(x 2) F(x 1), si x 2 > x 1. 3. 3. Se concluye la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor"> !}


Ejemplo 1. Una variable aleatoria X está dada por una función de distribución 0 en x -1 F(x) = x/4+1/4 en Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor perteneciente al intervalo (0;2): P(0







4. 4. La probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome un valor específico es 0. Por tanto, tiene sentido considerar la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en un intervalo, por pequeño que sea. Por ejemplo, les interesa la probabilidad de que las dimensiones de las piezas no superen los límites permitidos, pero no plantean la cuestión de la probabilidad de que coincidan con el tamaño de diseño.


Pero es erróneo pensar que la igualdad de probabilidad P(X=x 1) a 0 significa que el evento X=x 1 es imposible (si no nos limitamos a la definición clásica de probabilidad). Como resultado de la prueba, la variable aleatoria necesariamente tomará uno de los valores posibles; en particular, este valor puede ser igual a x 1.


5. 5. Si los valores posibles de una variable aleatoria pertenecen al intervalo (a;b), entonces 1) F(x) = 0 para x a; 2) F(x) = 1 en x b. ] Si los valores posibles de una variable aleatoria continua se encuentran en todo el eje x, entonces son válidas las siguientes relaciones límite: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+






Distribución de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua El método para especificar una variable aleatoria continua utilizando la función de distribución no es el único. Una variable aleatoria continua también se puede especificar usando otra función, que se llama densidad de distribución o densidad de probabilidad (a veces llamada función diferencial).


La densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X se llama función f(x), la primera derivada de la función de distribución F(x): f(x) = F"(x). Por tanto, la función de distribución es una antiderivada de la densidad de distribución.


π/2. Encuentre la densidad de distribución f(x). 0 en x π/2." title="Ejemplo. Dada la función de distribución de una variable aleatoria continua X 0 en x 0 F(x) = sinx en 0 π/2. Encuentre la densidad de distribución f(x ). 0 en x π/2." class="link_thumb"> 18 !} Ejemplo. Dada la función de distribución de una variable aleatoria continua X 0 en x 0 F(x) = senx en 0 π/2. Encuentre la densidad de distribución f(x). 0 en x π/2. π/2. Encuentre la densidad de distribución f(x). 0 en x π/2."> π/2. Encuentre la densidad de distribución f(x). 0 en x π/2."> π/2. Encuentre la densidad de distribución f(x). 0 en x π/2." title="Ejemplo. Dada la función de distribución de una variable aleatoria continua X 0 en x 0 F(x) = sinx en 0 π/2. Encuentre la densidad de distribución f(x ). 0 en x π/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Ejemplo. Dada la función de distribución de una variable aleatoria continua X 0 en x 0 F(x) = senx en 0 π/2. Encuentre la densidad de distribución f(x). 0 en x π/2."> !}






Propiedades de la densidad de distribución La densidad de distribución es una función no negativa: f(x) 0. El gráfico de densidad de distribución se llama curva de distribución. La integral impropia de la densidad de distribución en el rango de - a es igual a 1. f(x. )dx = 1. -


Significado probabilístico de la densidad de distribución La función f(x) determina la densidad de distribución de probabilidad para cada punto x. Para x suficientemente pequeño. F(x + x) - F(x) f(x)x. Porque la diferencia F(x + x) - F(x) determina (ver arriba) la probabilidad de que X tome un valor perteneciente al intervalo (x; x + x), entonces esta probabilidad es por lo tanto aproximadamente igual al producto de la densidad de probabilidad en t x por la longitud del intervalo x.

Como es sabido, variable aleatoria Se llama cantidad variable que puede tomar ciertos valores según el caso. Las variables aleatorias se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino (X, Y, Z) y sus valores se indican con las letras minúsculas correspondientes (x, y, z). Las variables aleatorias se dividen en discontinuas (discretas) y continuas.

Variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que toma solo un conjunto finito o infinito (contable) de valores con ciertas probabilidades distintas de cero.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. es una función que conecta los valores de una variable aleatoria con sus correspondientes probabilidades. La ley de distribución se puede especificar de una de las siguientes maneras.

1 . La ley de distribución puede venir dada por la tabla:

donde λ>0, k = 0, 1, 2,….

V) mediante el uso función de distribución F(x) , que determina para cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x, es decir F(x) = P(X< x).

Propiedades de la función F(x)

3 . La ley de distribución se puede especificar gráficamente. – polígono de distribución (polígono) (ver problema 3).

Tenga en cuenta que para resolver algunos problemas no es necesario conocer la ley de distribución. En algunos casos, basta con conocer uno o varios números que reflejen las características más importantes de la ley de distribución. Puede ser un número que tiene el significado de "valor promedio" de una variable aleatoria, o un número que muestra el tamaño promedio de la desviación de una variable aleatoria de su valor medio. Los números de este tipo se denominan características numéricas de una variable aleatoria.

Características numéricas básicas de una variable aleatoria discreta. :

  • Expectativa matemática (valor medio) de una variable aleatoria discreta M(X)=Σ x yo p yo.
    Para distribución binomial M(X)=np, para distribución de Poisson M(X)=λ
  • Dispersión variable aleatoria discreta D(X)=M2 o D(X) = METRO(X 2)− 2. La diferencia X – M (X) se denomina desviación de una variable aleatoria de su expectativa matemática.
    Para distribución binomial D(X)=npq, para distribución de Poisson D(X)=λ
  • Desviación Estándar (Desviación Estándar) σ(X)=√D(X).

Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "La ley de distribución de una variable aleatoria discreta"

Tarea 1.

Se emitieron 1000 billetes de lotería: 5 de ellos ganarán 500 rublos, 10 ganarán 100 rublos, 20 ganarán 50 rublos, 50 ganarán 10 rublos. Determine la ley de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X: ganancias por boleto.

Solución. Según las condiciones del problema, son posibles los siguientes valores de la variable aleatoria X: 0, 10, 50, 100 y 500.

El número de boletos sin ganar es 1000 – (5+10+20+50) = 915, entonces P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

De manera similar, encontramos todas las demás probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Presentemos la ley resultante en forma de tabla:

Encontremos la expectativa matemática del valor X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tarea 3.

El dispositivo consta de tres elementos que funcionan independientemente. La probabilidad de falla de cada elemento en un experimento es 0,1. Elaborar una ley de distribución para el número de elementos fallidos en un experimento, construir un polígono de distribución. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. Encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta.

Solución. 1. La variable aleatoria discreta X = (el número de elementos fallidos en un experimento) tiene los siguientes valores posibles: x 1 = 0 (ninguno de los elementos del dispositivo falló), x 2 = 1 (un elemento falló), x 3 = 2 ( dos elementos fallaron) y x 4 =3 (tres elementos fallaron).

Las fallas de los elementos son independientes entre sí, las probabilidades de falla de cada elemento son iguales, por lo tanto es aplicable La fórmula de Bernoulli. . Considerando que, según la condición, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, determinamos las probabilidades de los valores:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Verifique: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Por tanto, la ley de distribución binomial deseada de X tiene la forma:

Trazamos los posibles valores de x i a lo largo del eje de abscisas y las probabilidades correspondientes p i a lo largo del eje de ordenadas. Construyamos los puntos M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Al conectar estos puntos con segmentos de línea recta, obtenemos el polígono de distribución deseado.

3. Encontremos la función de distribución F(x) = Р(Х

Para x ≤ 0 tenemos F(x) = Р(Х<0) = 0;
por 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para x > 3 habrá F(x) = 1, porque El evento es confiable.

Gráfica de la función F(x)

4. Para distribución binomial X:
- expectativa matemática M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianza D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desviación estándar σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Fórmula de Bernoulli (teorema particular sobre la repetición de experimentos)

Ejemplo 23

Hay tres billetes de lotería. La probabilidad de ganar con cualquier boleto es la misma y es igual a r. Probabilidad de que el billete no gane q = 1 – pag– como la probabilidad del evento opuesto. Determine la probabilidad de que de tres boletos ganen exactamente dos.

Denotamos la probabilidad deseada por .

El evento que nos interesa ocurrirá si el primero Y el segundo boleto gana Y el tercero no gana O el primer boleto no gana Y el segundo Y el tercero ganan O el segundo boleto no gana Y el primero Y el tercero ganan . La probabilidad de cada una de estas opciones se puede encontrar usando la fórmula de multiplicación y la respuesta se calcula usando la fórmula de suma para eventos incompatibles:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

Analizando la solución al problema, descubrimos que se resolvió en el siguiente orden:

Se han recopilado varias opciones para implementar el evento de interés;

Se cuenta el número de estas opciones;

Se determina la probabilidad de que ocurra un evento al implementar cualquier opción;

La probabilidad requerida se encuentra multiplicando la probabilidad de que ocurra un evento según una de las opciones por el número total de opciones.

De hecho, el problema se resolvió mediante el llamado La fórmula de Bernoulli.. Escribámoslo en forma general.

Deja que una serie de norte experimentos (pruebas). Los experimentos se llevan a cabo repetidamente, independientemente unos de otros y bajo las mismas condiciones, de modo que la probabilidad de que ocurra un evento A no cambia de una experiencia a otra y es igual a R. Denotemos la probabilidad de que el evento no ocurra. A en un experimento - q = 1-p. Se requiere determinar la probabilidad de que en una serie de norte evento de experiencias A sucederá de nuevo k veces – denotemos este evento como EN.

Evento EN se puede lograr de varias maneras (opciones). Por ejemplo, así:

o así:

Lo importante es que en cualquier variante el número de ocurrencias del evento A es igual norte y el número de ocurrencias del evento es igual n-k, aunque aparecerán y no aparecerán en diferentes versiones en diferentes secuencias.

Para determinar el número de tales opciones, puede utilizar la fórmula combinatoria- número de combinaciones de norte elementos por k.

Combinaciones - estas son combinaciones de k objetos (elementos) seleccionados de un determinado conjunto en norte Objetos que contienen el mismo número de objetos, pero se diferencian entre sí en al menos uno de ellos.

Número de combinaciones de norte elementos por k denotado como se puede encontrar mediante la fórmula: = . (15)

Una propiedad importante para determinar el número de combinaciones es la siguiente:

En el problema que nos ocupa, los elementos que se diferencian entre sí son el número de experimentos. El número total de opciones es igual a .

Probabilidad de ocurrencia del evento Un Los tiempos para cada opción son los mismos y se pueden encontrar usando la fórmula para multiplicar probabilidades basada en la frase “El evento A ocurrió k nunca ocurrió n-k una vez": p k q n - k


Sumando estas probabilidades idénticas multiplicadas obtenemos una fórmula llamada La fórmula de Bernoulli.:

=p k q norte - k . (16)

Hay que recordar que p es probabilidad de ocurrencia evento de interés para nosotros en la experiencia, y q – probabilidad de no comparecencia este evento en la experiencia.

La fórmula de Bernoulli (Jacob Bernoulli la exploró en su libro El arte de la conjetura) también se llama privado teorema sobre la repetición de experimentos. Esto significa que cada experimento posterior se lleva a cabo en las mismas condiciones que todos los anteriores, es decir. La probabilidad de que ocurra un evento no cambia de un experimento a otro y permanece igual. r.

Junto con privado hay teorema general sobre la repetición de experimentos (la probabilidad de que un evento cambie de un experimento a otro), cuya consideración está más allá del alcance de este curso.

Ejemplo 24

Hay 10 motores eléctricos en el taller, la probabilidad de que cada uno de ellos se apague es 0,1. Los motores están conectados a la red de forma independiente uno del otro. Determine la probabilidad de que tres motores eléctricos se apaguen a la vez.

Solución. El estado del problema corresponde al esquema de pruebas repetidas de J. Bernoulli. Resolvemos el problema utilizando un teorema especial sobre experimentos repetidos, teniendo en cuenta que hay tres motores apagados (la probabilidad de que esté apagado es 0,1) y 7 encendidos (la probabilidad de que esté encendido es 0,9):

=p 3 q 10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0.1) 3 ∙(0.9) 7 =0.0574.

Variables aleatorias y sus leyes de distribución.

Junto con los eventos aleatorios, otro concepto importante en la teoría de la probabilidad es el concepto de “variable aleatoria” (RV).

Magnitud es una característica cuantitativa del resultado de un experimento.

Todas las cantidades se dividen en dos grandes grupos: no aleatorias y aleatorias.

No aleatorio (determinista) - Se trata de cantidades que, como resultado de la experiencia, adquieren un valor predeterminado y conocido. Por ejemplo, la hora de salida y puesta del sol, la fecha del nuevo año, la cantidad de dedos de las manos de un recién nacido, la cantidad de exámenes y pruebas en un semestre.

Aleatorio (estocástico)- son cantidades sobre las cuales no se sabe de antemano qué valor tomarán como resultado del experimento.

Las variables aleatorias, a su vez, pueden ser discretas o continuas.

Discreto son aquellos SV que en la experiencia toman uno de muchos valores posibles, y estos valores, si se desea, pueden enumerarse o numerarse, es decir este conjunto es finito. La mayoría de las veces (aunque no necesariamente) son valores enteros no negativos. Por ejemplo, oh puntuación del estudiante en el examen; la cantidad de pelos en la cabeza, la cantidad de trabajadores en el taller de urgencias.

Continuo Llaman SV a aquellos que en la experiencia toman uno de los valores posibles, y el número de estos valores, incluso en un intervalo muy pequeño, es infinitamente grande. En otras palabras, el conjunto de valores posibles de un SV continuo es incontable. Por ejemplo, el nivel de voltaje en la red, la duración del funcionamiento de una línea eléctrica antes de fallar, la altura y el peso de una persona, el peso de una pluma estilográfica.

Nombres de variables aleatorias. generalmente denotado en letras mayúsculas Alfabeto latino - X,Y; A valores , qué variables aleatorias toman en el experimento, – minúscula - x,y.

No se observan con la misma frecuencia diferentes valores de la misma variable aleatoria. Por ejemplo, los hombres usan la talla 42 con mucha más frecuencia que la 46; El voltaje de la red se encuentra mucho más frecuentemente en el rango de 215-225 V que en el rango de 225-235 V.

La relación entre los valores de una variable aleatoria y las probabilidades de que ocurra se establece por Ley de distribución de una variable aleatoria. Dicen que SV se distribuye (sujeto a) de acuerdo con una u otra ley de distribución. Existen varias formas de especificar la ley de distribución:

· en forma de tabla (tabular);

· en forma de dibujo (gráficamente);

fórmula (analíticamente).

Métodos para especificar las leyes de distribución de variables aleatorias.

Todos los métodos para especificar las leyes de la distribución SW se pueden dividir condicionalmente en teóricos y estadísticos. Leyes teóricas Las distribuciones reflejan verdaderas leyes existentes en la naturaleza. Para establecerlos, según la ley de los grandes números, es necesario procesar una cantidad de información cercana a la infinita. En la práctica, dichas leyes se establecen sobre la base de una cantidad limitada de datos estadísticos y son formalizadas por uno u otro. estadístico maneras. Las estadísticas a menudo se denominan experimental (empírico)). Cada método teórico para especificar la ley de distribución (DLR) tiene analogías estadísticas (STL). Consideremos estos métodos.

TZR-1. Serie de distribución SV

Una serie de distribución es una tabla en la que, por un lado, se indican los valores de una variable aleatoria y, por otro, sus probabilidades (Tabla 2). En la serie de distribución, los valores de SV están dispuestos de forma ordenada, a medida que aumentan.

La probabilidad total de estos valores, igual a uno, se divide entre todos los valores posibles de SV. Por tanto, la suma de todas las probabilidades de la serie de distribución es igual a uno: = 1

Tabla 2. Serie de distribución de SV

II. VARIABLE ALEATORIA, SU FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

2.1. Variable aleatoria, métodos para especificarla.

Aleatorio es una cantidad que, como resultado de una prueba, puede tomar uno u otro valor numérico, y no se sabe de antemano cuál.

Si para cualquier cantidad se repite la medición muchas veces en condiciones casi idénticas, encontrará que cada vez obtiene resultados ligeramente diferentes. Se trata de la influencia de dos tipos de causas: 1) las básicas, que determinan el significado principal del resultado; 2) los secundarios, provocando su divergencia.

Con la acción conjunta de estas causas, los conceptos de necesidad y azar están estrechamente relacionados entre sí, pero lo necesario prevalece sobre el azar.

Por tanto, los posibles valores de variables aleatorias pertenecen a unos conjuntos numéricos.

Lo que es aleatorio es que en estos conjuntos las cantidades pueden tomar cualquier valor, pero no se puede decir de antemano cuál.

Una variable aleatoria está asociada con un evento aleatorio.

Si un evento aleatorio - característica de calidad pruebas, entonces la variable aleatoria es su característica cuantitativa .

Las variables aleatorias se indican con letras latinas mayúsculas y su significado, con letras mayúsculas.
.

La probabilidad de que una variable aleatoria
tomará el valor representar:

etc.

Las variables aleatorias están especificadas por leyes de distribución.

Ley de distribución de una variable aleatoria. es la correspondencia que se establece entre los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades.

Las leyes de distribución se pueden especificar de tres formas: tabular, gráfica y analítica. El método de configuración depende del tipo de variable aleatoria.

Hay dos tipos principales de variables aleatorias: variables aleatorias discretas y distribuidas continuamente.

2.2. Variables aleatorias discretas y continuas

Si los valores que puede tomar una determinada variable aleatoria forman una serie discreta (finita o infinita) de números
entonces la variable aleatoria en sí se llama discreto.

Si los valores que puede tomar una determinada variable aleatoria llenan un intervalo finito o infinito (a, b) del eje numérico Oh, entonces la variable aleatoria se llama continuo.

Cada valor de una variable aleatoria de tipo discreto. corresponde a una cierta probabilidad ; cada intervalo (a, b) del rango de valores de una variable aleatoria de tipo continuo también corresponde a una cierta probabilidad
que el valor tomado por la variable aleatoria cae dentro de este intervalo.

2.3. Ley de distribución de una variable aleatoria.

Una relación que establece de una forma u otra una conexión entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades se llama ley de distribución variable aleatoria.

La ley de distribución de una variable aleatoria discreta suele estar dada siguiente distribución:

Donde
, donde la suma se extiende al conjunto completo (finito o infinito) de valores posibles de una variable aleatoria determinada.

Es conveniente especificar la ley de distribución de una variable aleatoria continua usando función de densidad de probabilidad
.

La probabilidad de que el valor tomado por la variable aleatoria caiga en el intervalo (a, b) está determinada por la igualdad

La gráfica de la función se llama curva de distribución . Geométricamente, la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo (a, b) es igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente delimitado por la curva de distribución, el eje Oh y recto x=a, x=b.

Tarea 1. Se dan las probabilidades de los valores de las variables aleatorias: el valor 10 tiene una probabilidad de 0,3; valor 2 – probabilidad 0,4; valor 8 – probabilidad 0,1; valor 4 – probabilidad 0,2. Construya una serie de distribución de una variable aleatoria.

Solución. Al ordenar los valores de la variable aleatoria en orden ascendente, obtenemos la serie de distribución:

Llevémoslo en un avión. coro puntos (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) y (10; 0,3). Al conectar puntos sucesivos con segmentos de recta, obtenemos polígono (o polígono ) distribución de una variable aleatoria

Tarea 2. Están en juego dos artículos por valor de 5.000 rublos cada uno y un artículo por valor de 30.000 rublos. Elaborar una ley de distribución de ganancias para una persona que compró un boleto entre 50.

Solución. La variable aleatoria deseada es una ganancia y puede tomar tres valores: 0, 5000 y 30000 rublos. El primer resultado es favorecido por 47 casos, el segundo resultado por dos casos y el tercero por un caso. Encontremos sus probabilidades:

; ; .

La ley de distribución de una variable aleatoria tiene la forma:

Como comprobación encontraremos

Tarea 3. La variable aleatoria está sujeta a una ley de distribución con densidad, y

Requerido: 1) Encuentre el coeficiente a; 2) trazar la distribución de densidad
; 3) encuentre la probabilidad de caer en el intervalo (1; 2).

Solución. 1) Dado que todos los valores de una variable aleatoria determinada están contenidos en el segmento, entonces

, dónde

, o

, es decir.
.

2) La gráfica de una función en el intervalo es una parábola, y fuera de este intervalo la gráfica misma es el eje de abscisas.

3) La probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo (1; 2) se puede encontrar a partir de la igualdad

2.4. Distribución binomial

Que se produzca un cierto número. norte experimentos independientes, y en cada uno de ellos algún evento puede ocurrir con la misma probabilidad R. Considere una variable aleatoria que represente el número de ocurrencias de eventos. A V norte experimentos. La ley de su distribución tiene la forma.

Valores

Probabilidades

Dónde
, se calcula utilizando la fórmula de Bernoulli.

La ley de distribución, que se caracteriza por dicha tabla, se llama binomio .

Tarea. La moneda se lanza 5 veces. Elabora una ley de distribución de una variable aleatoria: el número del escudo de armas.

Solución. Son posibles los siguientes valores de la variable aleatoria: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sabiendo que la probabilidad de que se caiga un escudo en un ensayo es igual a , encontraremos las probabilidades de los valores ​​de la variable aleatoria usando la fórmula de Bernoulli:

La ley de distribución tiene la forma.

Valores

Probabilidades

Vamos a revisar:

III. EXPECTATIVA MATEMÁTICA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

3.1. Expectativa de una variable aleatoria discreta

      La característica más completa de una variable aleatoria es su ley de distribución de probabilidad. Sin embargo, no siempre es necesario conocer toda la ley de distribución. A veces puede arreglárselas con uno o más números que reflejen las características más importantes de la ley de distribución, por ejemplo, un número que tenga el significado de "valor promedio" de una variable aleatoria, o un número que muestre el tamaño promedio de la variable aleatoria. desviación de una variable aleatoria de su valor medio. Este tipo de números se llaman características numéricas variable aleatoria. Operando con características numéricas, es posible resolver muchos problemas sin utilizar la ley de distribución.

Una de las características numéricas más importantes de una variable aleatoria es su expectativa matemática.

Si se conoce una variable aleatoria discreta, cuya ley de distribución tiene la forma

Valores

Probabilidades

Eso expectativa matemática (o valor promedio) de una cantidad discreta es el número

Por tanto, la esperanza matemática de una variable aleatoria discreta es igual a la suma de los productos de los posibles valores de esta variable y sus probabilidades.

Ejemplo 1. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria, conociendo la ley de su distribución.

Solución.

Propiedades de la expectativa matemática.

    El factor constante se puede sacar del signo de expectativa matemática:

    Expectativa matemática de un valor constante. CON igual a este valor en sí:

    La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas:

    La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de las expectativas matemáticas de estas variables:

3.2. Desviación estándar y varianza de una variable aleatoria.

Ejemplo 2. Encontremos la expectativa matemática de variables aleatorias y , conociendo las leyes de su distribución.

PAG

Obtuvimos un resultado interesante: las leyes de distribución de cantidades y son diferentes, pero sus expectativas matemáticas son las mismas.

Del dibujo b Está claro que el valor de la cantidad está más concentrado en torno a la expectativa matemática.
, que los valores de la cantidad que están dispersos (dispersos) en relación con su expectativa matemática
(dibujo A).

La principal característica numérica del grado de dispersión de los valores de una variable aleatoria en relación con su expectativa matemática.
es la dispersión, que se denota por
.

Definición. Desviación es la diferencia entre una variable aleatoria y su expectativa matemática, es decir
.

Desviación y su cuadrado.
también son variables aleatorias.

Definición. dispersión discreta de una variable aleatoria es la esperanza matemática del cuadrado de su desviación:

Propiedades de dispersión.

    Varianza de valor constante CON es igual a 0:

.

.

Para calcular las varianzas, una fórmula más conveniente es

Ejemplo 3. Una variable aleatoria discreta se distribuye según la ley:

Solución. Primero encontramos.

y luego
.

Según la fórmula tenemos

Desviación estándar de una variable aleatoria se llama raíz cuadrada de su varianza:

.

IV. TAREAS PRÁCTICAS PARA EL AUTOCONTROL

combinatoria

    ¿Cuántos números diferentes de cinco dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 1, 3, 5, 7, 9, siempre que no se repita ni un solo dígito en el número?

    ¿Cuántas opciones hay para repartir tres premios si en el sorteo participan 7 equipos?

    ¿De cuántas maneras puedes seleccionar dos estudiantes para una conferencia si hay 33 personas en el grupo?

    Resolver ecuaciones

A)
. b)
.

    ¿Cuántos números de cuatro cifras divisibles por 5 se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 5, 7, si cada número no debe contener los mismos dígitos?

    De un grupo de 15 personas se debe seleccionar un capataz y 4 miembros del equipo. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

    Las letras del código Morse se componen de símbolos (puntos y rayas). ¿Cuántas letras puedes dibujar si requieres que cada letra no contenga más de cinco caracteres?

    ¿De cuántas maneras se pueden hacer cintas de cuatro colores a partir de siete cintas de diferentes colores?

    ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar cuatro personas entre nueve candidatos para cuatro puestos diferentes?

    ¿De cuántas maneras puedes elegir 3 de 6 postales?

    Antes de la graduación, un grupo de 30 estudiantes intercambió fotografías. ¿Cuántas tarjetas con fotografías se distribuyeron?

    ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 invitados en diez lugares en una mesa festiva?

    ¿Cuántos partidos deben jugar 20 equipos de fútbol en un campeonato de una vuelta?

    ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 12 personas en equipos si cada equipo tiene 6 personas?

Teoría de probabilidad

    La urna contiene 7 bolas rojas y 6 azules. Se extraen dos bolas de la urna al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas (evento A)?

    Nueve libros diferentes están dispuestos al azar en un estante. Encuentre la probabilidad de que cuatro libros específicos se coloquen uno al lado del otro (evento C).

    De 10 boletos, 2 ganan Determina la probabilidad de que entre 5 boletos tomados al azar, uno gane.

    Se extraen 3 cartas al azar de una baraja de cartas (52 cartas). Calcula la probabilidad de que sea un tres, un siete, un as.

    Un niño juega con las cinco letras del alfabeto dividido A, K, R, Sh, Y. ¿Cuál es la probabilidad de que si las letras se colocan al azar en una fila, obtenga la palabra “techo”?

    Hay 6 bolas blancas y 4 rojas en la caja. Se toman dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?

    La primera urna contiene 6 bolas negras y 4 blancas, la segunda urna contiene 5 bolas negras y 7 blancas. De cada urna se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean blancas?

Variable aleatoria, expectativa matemática y varianza de una variable aleatoria.

    Elabore una ley de distribución del número de aciertos en un objetivo con seis disparos, si la probabilidad de acertar con un disparo es 0,4.

    La probabilidad de que un estudiante encuentre el libro que necesita en la biblioteca es 0,3. Elaborar una ley de distribución del número de bibliotecas que visitará si hay cuatro bibliotecas en la ciudad.

    El cazador dispara al juego hasta el primer golpe, pero no logra disparar más de cuatro tiros. Encuentre la varianza del número de fallos si la probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es 0,7.

    Encuentre la esperanza matemática de una variable aleatoria X si la ley de su distribución viene dada por la tabla:

    La planta opera cuatro líneas automáticas. La probabilidad de que durante un turno de trabajo la primera línea no requiera ajuste es de 0,9, la segunda – 0,8, la tercera – 0,75, la cuarta – 0,7. Encuentre la expectativa matemática del número de líneas que no requerirán ajuste durante un turno de trabajo.

    Encuentra la varianza de la variable aleatoria X, conociendo la ley de su distribución:

Danko P.E. Matemáticas superiores en ejercicios y problemas. En dos partes. Parte II / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. – M.: Escuela Superior, 1986. – 415 p.

Vygodsky M.Ya. Manual de matemáticas superiores. – M.: Nauka, 1975. – 872 p.

Adicional:

    Griguletsky V.G. Matemáticas para estudiantes de especialidades económicas. Parte 2 / V.G. Griguletsky, I.V. Lukyanova, I.A. Petunina. – Krasnodar, 2002. – 348 p.

    Malykhin V.I. Matemáticas en Economía. – M.: Infra-M, 1999. – 356 p.

    Gusak A.A. Matemáticas avanzadas. En 2 volúmenes, T.2. - Libro de texto para estudiantes universitarios. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 p.

    Griguletsky V.G. Matemáticas superiores / V.G. Griguletsky, Z.V. Yáshchenko. – Krasnodar, 1998.-186 p.

    Gmurman V.E. Una guía para resolver problemas en teoría de probabilidad y estadística matemática. – M.: Escuela Superior, 2000. – 400 p.

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