Solución de ecuaciones trigonométricas complejas. Solución de ecuaciones trigonométricas. Cómo resolver una ecuación trigonométrica

Lección de aplicación compleja del conocimiento.

Objetivos de la lección.

  1. Considerar varios métodos Soluciones de ecuaciones trigonométricas.
  2. Desarrollo creatividad estudiantes resolviendo ecuaciones.
  3. Incentivar a los estudiantes al autocontrol, control mutuo, autoanálisis de sus actividades educativas.

Equipamiento: pantalla, proyector, material de referencia.

durante las clases

Conversación introductoria.

El método principal para resolver ecuaciones trigonométricas es su reducción más simple. Al hacerlo, aplica caminos convencionales, por ejemplo, factorizaciones, así como técnicas utilizadas solo para resolver ecuaciones trigonométricas. Hay muchos de estos trucos, por ejemplo, varias sustituciones trigonométricas, transformaciones de ángulos, transformaciones de funciones trigonométricas. La aplicación indiscriminada de cualquier transformación trigonométrica por lo general no simplifica la ecuación, pero la complica desastrosamente. para hacer ejercicio en en términos generales plan para resolver la ecuación, esbozar una forma de reducir la ecuación a la más simple, primero debe analizar los ángulos - los argumentos de las funciones trigonométricas incluidas en la ecuación.

Hoy hablaremos sobre métodos para resolver ecuaciones trigonométricas. Un método elegido correctamente a menudo permite simplificar significativamente la solución, por lo que todos los métodos que hemos estudiado deben mantenerse siempre en la zona de nuestra atención para resolver problemas. ecuaciones trigonométricas el método más adecuado.

II. (Usando un proyector, repetimos los métodos para resolver ecuaciones).

1. Un método para reducir una ecuación trigonométrica a una algebraica.

Es necesario expresar todas las funciones trigonométricas a través de una, con el mismo argumento. Esto se puede hacer usando la identidad trigonométrica básica y sus corolarios. Obtenemos una ecuación con una función trigonométrica. Tomándolo como una nueva incógnita, obtenemos una ecuación algebraica. Encontramos sus raíces y volvemos a la vieja incógnita, resolviendo las ecuaciones trigonométricas más simples.

2. Método de factorización.

Para cambiar ángulos, las fórmulas de reducción, suma y diferencia de argumentos, así como las fórmulas para convertir la suma (diferencia) de funciones trigonométricas en un producto y viceversa, suelen ser útiles.

senx + sen3x = sen2x + sen4x

3. Método para introducir un ángulo adicional.

4. Método de uso de la sustitución universal.

Las ecuaciones de la forma F(senx, cosx, tgx) = 0 se reducen a ecuaciones algebraicas usando la sustitución trigonométrica universal

Expresar el seno, el coseno y la tangente en función de la tangente de un medio ángulo. Este enfoque puede conducir a la ecuación alto orden. La decisión de que es difícil.

Lección y presentación sobre el tema: "Solución de las ecuaciones trigonométricas más simples"

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Que estudiaremos:
1. ¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

3. Dos métodos principales para resolver ecuaciones trigonométricas.
4. Ecuaciones trigonométricas homogéneas.
5. Ejemplos.

¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?

Chicos, ya hemos estudiado el arcoseno, el arcocoseno, el arcotangente y el arcocotangente. Ahora veamos las ecuaciones trigonométricas en general.

Ecuaciones trigonométricas: ecuaciones en las que la variable está contenida bajo el signo de la función trigonométrica.

Repetimos la forma de resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:

1) Si |а|≤ 1, entonces la ecuación cos(x) = a tiene solución:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Si |а|≤ 1, entonces la ecuación sin(x) = a tiene solución:

3) Si |a| > 1, entonces la ecuación sen(x) = a y cos(x) = a no tienen solución 4) La ecuación tg(x)=a tiene solución: x=arctg(a)+ πk

5) La ecuación ctg(x)=a tiene solución: x=arcctg(a)+ πk

Para todas las fórmulas, k es un número entero

Las ecuaciones trigonométricas más simples tienen la forma: Т(kx+m)=a, T- cualquier función trigonométrica.

Ejemplo.

Resuelve ecuaciones: a) sin(3x)= √3/2

Decisión:

A) Denotemos 3x=t, luego reescribiremos nuestra ecuación en la forma:

La solución a esta ecuación será: t=((-1)^n)arcsen(√3/2)+ πn.

De la tabla de valores obtenemos: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Volvamos a nuestra variable: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Entonces x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Respuesta: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, donde n es un número entero. (-1)^n - menos uno elevado a n.

Más ejemplos de ecuaciones trigonométricas.

Resuelve las ecuaciones: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Decisión:

A) En esta ocasión iremos directamente al cálculo de las raíces de la ecuación enseguida:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Entonces x/5= πk => x=5πk

Respuesta: x=5πk, donde k es un número entero.

B) Escribimos de la forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Sabemos que: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Respuesta: x=2π/9 + πk/3, donde k es un número entero.

Resolver ecuaciones: cos(4x)= √2/2. Y encuentre todas las raíces en el segmento.

Decisión:

decidiremos en vista general nuestra ecuación: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Ahora veamos qué raíces caen en nuestro segmento. Para k Para k=0, x= π/16, estamos en el segmento dado.
Con k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, golpean de nuevo.
Para k=2, x= π/16+ π=17π/16, pero aquí no acertamos, lo que significa que tampoco acertaremos para k grande.

Respuesta: x= π/16, x= 9π/16

Dos métodos principales de solución.

Hemos considerado las ecuaciones trigonométricas más simples, pero hay otras más complejas. Para resolverlos se utiliza el método de introducción de una nueva variable y el método de factorización. Veamos ejemplos.

Resolvamos la ecuación:

Decisión:
Para resolver nuestra ecuación, usamos el método de introducir una nueva variable, denotada: t=tg(x).

Como resultado del reemplazo, obtenemos: t 2 + 2t -1 = 0

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática: t=-1 y t=1/3

Entonces tg(x)=-1 y tg(x)=1/3, obtuvimos la ecuación trigonométrica más simple, encontremos sus raíces.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Respuesta: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un ejemplo de resolución de una ecuación.

Resolver ecuaciones: 2sen 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Decisión:

Usemos la identidad: sen 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nuestra ecuación se convierte en: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Introduzcamos el reemplazo t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

La solución a nuestra ecuación cuadrática son las raíces: t=2 y t=-1/2

Entonces cos(x)=2 y cos(x)=-1/2.

Porque el coseno no puede tomar valores mayores que uno, entonces cos(x)=2 no tiene raíces.

Para cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Respuesta: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuaciones trigonométricas homogéneas.

Definición: Una ecuación de la forma a sin(x)+b cos(x) se llama ecuación trigonométrica homogénea de primer grado.

Ecuaciones de la forma

Ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado.

Para resolver una ecuación trigonométrica homogénea de primer grado, la dividimos por cos(x): Es imposible dividir por el coseno si es igual a cero, asegurémonos de que esto no sea así:
Sea cos(x)=0, entonces asin(x)+0=0 => sin(x)=0, pero el seno y el coseno no son iguales a cero al mismo tiempo, tenemos una contradicción, entonces podemos dividir con seguridad por cero

Resuelve la ecuación:
Ejemplo: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Decisión:

Saca el factor común: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Entonces tenemos que resolver dos ecuaciones:

cos(x)=0 y cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 para x= π/2 + πk;

Considere la ecuación cos(x)+sin(x)=0 Divida nuestra ecuación por cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Respuesta: x= π/2 + πk y x= -π/4+πk

¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas homogéneas de segundo grado?
¡Chicos, sigan estas reglas siempre!

1. Mira lo que es igual al coeficiente y, si a = 0, entonces nuestra ecuación tomará la forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), cuyo ejemplo está en la diapositiva anterior.

2. Si a≠0, entonces necesitas dividir ambas partes de la ecuación por el coseno al cuadrado, obtenemos:


Realizamos el cambio de variable t=tg(x) obtenemos la ecuación:

Resolver Ejemplo #:3

Resuelve la ecuación:
Decisión:

Divide ambos lados de la ecuación por el coseno cuadrado:

Hacemos un cambio de variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática: t=-3 y t=1

Entonces: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Respuesta: x=-arctg(3) + πk y x= π/4+ πk

Resolver Ejemplo #:4

Resuelve la ecuación:

Decisión:
Transformemos nuestra expresión:


Podemos resolver tales ecuaciones: x= - π/4 + 2πk y x=5π/4 + 2πk

Respuesta: x= - π/4 + 2πk y x=5π/4 + 2πk

Resolver Ejemplo #:5

Resuelve la ecuación:

Decisión:
Transformemos nuestra expresión:


Introducimos el reemplazo tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La solución a nuestra ecuación cuadrática serán las raíces: t=-2 y t=1/2

Entonces obtenemos: tg(2x)=-2 y tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Respuesta: x=-arctg(2)/2 + πk/2 y x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Tareas para solución independiente.

1) Resuelve la ecuación

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Resolver ecuaciones: sin(3x)= √3/2. Y encuentra todas las raíces en el segmento [π/2; π].

3) Resuelve la ecuación: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Resuelva la ecuación: 3 sen 2 (x) + √3 sen (x) cos (x) = 0

5) Resuelve la ecuación: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Resuelve la ecuación: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sen 2 (2x)

Ecuaciones trigonométricas más complejas

ecuaciones

pecado x = un,
porque x = un,
tg x = un,
ctg x = un

son las ecuaciones trigonométricas más simples. En este párrafo sobre ejemplos concretos consideraremos ecuaciones trigonométricas más complejas. Su solución, por regla general, se reduce a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples.

Ejemplo 1 . resuelve la ecuación

pecado 2 X= porque X pecado 2 X.

Pasando todos los términos de esta ecuación al lado izquierdo y descomponiendo la expresión resultante en factores, obtenemos:

pecado 2 X(1 - porque X) = 0.

El producto de dos expresiones es igual a cero si y sólo si al menos uno de los factores es igual a cero, y el otro toma cualquier valor numérico, siempre que esté definido.

Si pecado 2 X = 0 , entonces 2 X=n π ; X = π / 2n.

Si 1 - porque X = 0 , entonces porque X = 1; X = 2kπ .

Entonces, tenemos dos grupos de raíces: X = π / 2n; X = 2kπ . El segundo grupo de raíces obviamente está contenido en el primero, ya que para n = 4k la expresión X = π / 2n se convierte
X = 2kπ .

Por lo tanto, la respuesta se puede escribir en una fórmula: X = π / 2n, dónde norte-cualquier número entero.

Tenga en cuenta que esta ecuación no podría resolverse reduciendo por sen 2 X. De hecho, después de la reducción, obtendríamos 1 - cos x = 0, de donde X= 2k π . Así, perderíamos algunas raíces, por ejemplo π / 2 , π , 3π / 2 .

EJEMPLO 2. resuelve la ecuación

Una fracción es cero solo si su numerador es cero.
Es por eso pecado 2 X = 0 , de donde 2 X=n π ; X = π / 2n.

De estos valores X deben descartarse como extraños aquellos valores para los cuales pecadoX desaparece (las fracciones con denominadores cero no tienen sentido: la división por cero no está definida). Estos valores son números que son múltiplos de π . en la fórmula
X = π / 2n se obtienen incluso norte. Por lo tanto, las raíces de esta ecuación serán los números

X = π / 2 (2k + 1),

donde k es cualquier número entero.

Ejemplo 3 . resuelve la ecuación

2 pecado 2 X+ 7 porque X - 5 = 0.

Expresar pecado 2 X a través de porqueX : pecado 2 X = 1 - porque 2X . Entonces esta ecuación se puede reescribir como

2 (1 - porque 2 X) + 7 porque X - 5 = 0 , o

2 cos 2 X- 7cos X + 3 = 0.

denotando porqueX a través de en, llegamos a la ecuación cuadrática

2 años 2 - 7 años + 3 = 0,

cuyas raíces son los números 1 / 2 y 3. Por lo tanto, ya sea cos X= 1 / 2 o porque X= 3. Sin embargo, esto último es imposible, ya que el coseno de cualquier ángulo en valor absoluto no excede de 1.

Queda por reconocer que porque X = 1 / 2 , dónde

X = ± 60° + 360° norte.

Ejemplo 4 . resuelve la ecuación

2 pecado X+ 3 cos X = 6.

porque el pecado X y porque X no exceda de 1 en valor absoluto, entonces la expresión
2 pecado X+ 3 cos X no puede tomar valores mayores que 5 . Por lo tanto, esta ecuación no tiene raíces.

Ejemplo 5 . resuelve la ecuación

pecado X+ porque X = 1

Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación, obtenemos:

pecado 2 X+ 2 pecado X porque X+ cos2 X = 1,

pero pecado 2 X + porque 2 X = 1 . Es por eso 2 pecado X porque X = 0 . Si pecado X = 0 , después X = norteπ ; si
porque X , después X = π / 2 + kπ . Estos dos grupos de soluciones se pueden escribir en una fórmula:

X = π / 2n

Como elevamos al cuadrado ambas partes de esta ecuación, es posible que entre las raíces que obtuvimos haya algunas extrañas. Por eso en este ejemplo, a diferencia de todos los anteriores, es necesario hacer una comprobación. Todos los valores

X = π / 2n se puede dividir en 4 grupos

1) X = 2kπ .

 (n=4k)

2) X = π / 2 + 2kπ .

 (n=4k+1)

3) X = π + 2kπ .

 (n=4k+2)

4) X = 3π / 2 + 2kπ .

 (n=4k+3)

En X = 2kπ pecado X+ porque X= 0 + 1 = 1. Por lo tanto, X = 2kπ son las raíces de esta ecuación.

En X = π / 2 + 2kπ. pecado X+ porque X= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ son también las raíces de esta ecuación.

En X = π + 2kπ pecado X+ porque X= 0 - 1 = - 1. Por lo tanto, los valores X = π + 2kπ no son raíces de esta ecuación. Del mismo modo, se demuestra que X = 3π / 2 + 2kπ. no son raíces.

Por lo tanto, esta ecuación tiene las siguientes raíces: X = 2kπ y X = π / 2 + 2mπ., dónde k y metro- cualquier número entero.

Al resolver muchos problemas de matematicas, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Tales tareas incluyen, por ejemplo, lineal y ecuaciones cuadráticas, desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadrático. El principio de la solución exitosa de cada una de las tareas mencionadas es el siguiente: es necesario establecer a qué tipo pertenece el problema que se está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir. responde y sigue estos pasos.

Obviamente, el éxito o el fracaso en la resolución de un problema particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve, qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso, es necesario tener las habilidades para realizar transformaciones y cálculos idénticos.

Una situación diferente ocurre con ecuaciones trigonométricas. No es difícil establecer el hecho de que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades al determinar la secuencia de acciones que llevarían a la respuesta correcta.

A veces es difícil determinar su tipo por la aparición de una ecuación. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver la ecuación trigonométrica, debemos intentar:

1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a "las mismas funciones";
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.

Considerar Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.

I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples

Esquema de solución

Paso 1. Expresar la función trigonométrica en términos de componentes conocidas.

Paso 2 Encuentre el argumento de la función usando fórmulas:

cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.

sen x = a; x \u003d (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.

bronceado x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Paso 3 Encuentra una variable desconocida.

Ejemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Decisión.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Sustitución de variables

Esquema de solución

Paso 1. Lleva la ecuación a una forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.

Paso 2 Denote la función resultante por la variable t (si es necesario, introduzca restricciones en t).

Paso 3 Escriba y resuelva la ecuación algebraica resultante.

Paso 4 Haz una sustitución inversa.

Paso 5 Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.

Ejemplo.

2cos 2 (x/2) - 5sen (x/2) - 5 = 0.

Decisión.

1) 2(1 - sen 2 (x/2)) - 5 sen (x/2) - 5 = 0;

2sen 2(x/2) + 5sen(x/2) + 3 = 0.

2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 no satisface la condición |t| ≤ 1.

4) sen (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.

tercero Método de reducción del orden de la ecuación

Esquema de solución

Paso 1. Reemplace esta ecuación con una lineal usando las fórmulas de reducción de potencia:

sen 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Paso 2 Resuelva la ecuación resultante utilizando los métodos I y II.

Ejemplo.

cos2x + cos2x = 5/4.

Decisión.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuaciones homogéneas

Esquema de solución

Paso 1. Llevar esta ecuación a la forma

a) a sen x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)

o a la vista

b) a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).

Paso 2 Divide ambos lados de la ecuación por

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

y obtener la ecuación para tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Paso 3 Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.

Ejemplo.

5sen 2 x + 3sen x cos x - 4 = 0.

Decisión.

1) 5sen 2 x + 3sen x cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3 sen x cos x - 4 cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sea tg x = t, entonces

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, entonces

tg x = 1 o tg x = -4.

De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas

Esquema de solución

Paso 1. Usando todo tipo de fórmulas trigonométricas, convierta esta ecuación en una ecuación que pueda resolverse mediante los métodos I, II, III, IV.

Paso 2 Resuelve la ecuación resultante usando métodos conocidos.

Ejemplo.

senx + sen2x + sen3x = 0.

Decisión.

1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;

2sen 2x cos x + sen 2x = 0.

2) sen 2x (2 cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

De la primera ecuación 2x ​​= π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.

Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Respuesta: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacidad y las habilidades para resolver ecuaciones trigonométricas son muy importante, su desarrollo requiere un esfuerzo considerable, tanto por parte del alumno como del profesor.

Muchos problemas de estereometría, física, etc., están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas. El proceso de resolver tales problemas, por así decirlo, contiene muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.

Las ecuaciones trigonométricas toman lugar importante en el proceso de enseñanza de las matemáticas y el desarrollo de la personalidad en general.

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Requiere conocimiento de las fórmulas básicas de trigonometría: la suma de los cuadrados del seno y el coseno, la expresión de la tangente a través del seno y el coseno, y otros. Para quien los haya olvidado o no los conozca, recomendamos la lectura del artículo "".
Entonces, ya conocemos las fórmulas trigonométricas básicas, es hora de ponerlas en práctica. Resolver ecuaciones trigonométricas con el enfoque correcto, es una actividad bastante emocionante, como, por ejemplo, resolver un cubo de Rubik.

Basado en el nombre mismo, está claro que una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que la incógnita está bajo el signo de una función trigonométrica.
Existen las llamadas ecuaciones trigonométricas simples. Así es como se ven: senх = a, cos x = a, tg x = a. Considerar, cómo resolver tales ecuaciones trigonométricas, para mayor claridad, usaremos el círculo trigonométrico ya familiar.

senx = un

porque x = un

bronceado x = un

cuna x = una

Cualquier ecuación trigonométrica se resuelve en dos etapas: llevamos la ecuación a la forma más simple y luego la resolvemos como la ecuación trigonométrica más simple.
Hay 7 métodos principales por los cuales se resuelven las ecuaciones trigonométricas.

  1. Sustitución de variables y método de sustitución

    2. Resuelve la ecuación 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

    Usando las fórmulas de reducción obtenemos:

    2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

    Reemplacemos cos(x + /6) con y por simplicidad y obtengamos la ecuación cuadrática usual:

    2 años 2 – 3 años + 1 + 0

    cuyas raíces y 1 = 1, y 2 = 1/2

    Ahora vamos a retroceder

    Sustituimos los valores encontrados de y y obtenemos dos respuestas:

  2. Resolver ecuaciones trigonométricas mediante factorización

    3. ¿Cómo resolver la ecuación sen x + cos x = 1?

    Movamos todo a la izquierda para que el 0 quede a la derecha:

    sen x + cos x - 1 = 0

    Usamos las identidades anteriores para simplificar la ecuación:

    sen x - 2 sen 2 (x/2) = 0

    Hagamos la factorización:

    2 sen (x/2) * cos (x/2) - 2 sen 2 (x/2) = 0

    2sen(x/2) * = 0

    Obtenemos dos ecuaciones

  3. Reducción a una ecuación homogénea

    4. Una ecuación es homogénea con respecto al seno y al coseno si todos sus términos con respecto al seno y al coseno son del mismo grado del mismo ángulo. Para resolver una ecuación homogénea, proceda de la siguiente manera:

    a) transferir todos sus miembros al lado izquierdo;

    b) poner todos los factores comunes fuera de paréntesis;

    c) igualar todos los factores y corchetes a 0;

    d) entre paréntesis se obtiene una ecuación homogénea de menor grado que, a su vez, se divide por un seno o coseno de mayor grado;

    e) resolver la ecuación resultante para tg.

    Resuelve la ecuación 3sen 2 x + 4 sen x cos x + 5 cos 2 x = 2

    Usemos la fórmula sen 2 x + cos 2 x = 1 y eliminemos los dos abiertos de la derecha:

    3 sen 2 x + 4 sen x cos x + 5 cos x = 2 sen 2 x + 2 cos 2 x

    sen 2 x + 4 sen x cos x + 3 cos 2 x = 0

    Dividir por cosx:

    g 2 x + 4 g x + 3 = 0

    Reemplazamos tg x con y y obtenemos una ecuación cuadrática:

    y 2 + 4y +3 = 0 cuyas raíces son y 1 =1, y 2 = 3

    A partir de aquí encontramos dos soluciones a la ecuación original:

    x 2 \u003d arctg 3 + k

  4. Resolución de ecuaciones, a través de la transición a un medio ángulo

    5. Resuelve la ecuación 3sen x - 5cos x = 7

    Pasemos a x/2:

    6sen(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sen 2 (x/2) = 7sen 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

    Desplazando todo a la izquierda:

    2sen 2 (x/2) - 6sen(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

    Dividir por cos(x/2):

    tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

  5. Introducción de un ángulo auxiliar

    6. Para su consideración, tomemos una ecuación de la forma: a sen x + b cos x \u003d c,

    donde a, b, c son algunos coeficientes arbitrarios y x es una incógnita.

    Divide ambos lados de la ecuación por:

    Ahora los coeficientes de la ecuación, de acuerdo con las fórmulas trigonométricas, tienen las propiedades del seno y el coseno, a saber: su módulo no es más que 1 y la suma de los cuadrados = 1. Denotemos respectivamente cos y sen, donde está el tan -llamado ángulo auxiliar. Entonces la ecuación tomará la forma:

    cos * sen x + sen * cos x \u003d C

    o sen(x + ) = C

    La solución a esta simple ecuación trigonométrica es

    x \u003d (-1) k * arcsen C - + k, donde

    Cabe señalar que las designaciones cos y sin son intercambiables.

    Resuelve la ecuación sen 3x - cos 3x = 1

    En esta ecuación, los coeficientes son:

    a \u003d, b \u003d -1, entonces dividimos ambas partes por \u003d 2

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