Jednačina prave na ravni.

Kao što je poznato, bilo koja tačka na ravni je određena sa dve koordinate u nekom koordinatnom sistemu. Koordinatni sistemi mogu biti različiti u zavisnosti od izbora baze i porekla.

Definicija. Jednačina linije je odnos y = f(x) između koordinata tačaka koje čine ovu pravu.

Imajte na umu da se jednadžba linije može izraziti na parametarski način, odnosno svaka koordinata svake tačke se izražava kroz neki nezavisni parametar t.

Tipičan primjer je putanja pokretne tačke. U ovom slučaju, vrijeme igra ulogu parametra.

Jednačina prave linije na ravni.

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

štaviše, konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2  0. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije.

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C \u003d 0, A  0, B  0 - prava prolazi kroz ishodište

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - prava je paralelna s osom Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C = 0) - prava je paralelna sa Oy osom

B \u003d C \u003d 0, A  0 - prava linija se poklapa sa osom Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Jednadžba prave linije po tački i vektora normale.

Definicija. Kartezijanski pravougaoni sistem koordinatni vektor sa komponentama (A, B) je okomit na pravu datu jednadžbom Ax + By + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A (1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamjenjujemo koordinate date točke A u rezultirajući izraz.

Dobijamo: 3 - 2 + C \u003d 0, dakle C = -1.

Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), a onda jednačina prave koja prolazi kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.

Na ravni, jednadžba ravne linije koja je gore napisana je pojednostavljena:

ako je x 1  x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak
=k se poziva faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednadžba prave linije po tački i nagibu.

Ako opšta jednačina direktni Ax + Wu + C = 0 dovode do oblika:

i odrediti
, tada se rezultirajuća jednačina zove jednačina prave linije sa nagibomk.

Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.

Po analogiji sa tačkom s obzirom na jednadžbu prave kroz vektor normale, možete uneti zadavanje prave linije kroz tačku i usmeravajućeg vektora prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule ( 1 ,  2), čije komponente zadovoljavaju uslov A 1 + B 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor prave

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednadžbu prave linije sa vektorom pravca (1, -1) i prolazi kroz tačku A(1, 2).

Tražićemo jednačinu željene prave u obliku: Ax + By + C = 0. U skladu sa definicijom, koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1A + (-1)B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C/A = 0.

kod x = 1, y = 2 dobijamo S/A = -3, tj. željena jednačina:

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C 0, onda, dijeljenjem sa –C, dobijamo:
ili

, gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent a je koordinata tačke preseka prave sa x-osom, i b- koordinata tačke preseka prave linije sa Oy osom.

Primjer. Zadata je opšta jednačina prave x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako su obje strane jednadžbe Ax + Wy + C = 0 podijeljeno brojem
, koji se zove normalizujući faktor, onda dobijamo

xcos + ysin - p = 0 –

normalna jednačina prave linije.

Predznak  faktora normalizacije mora biti odabran tako da S< 0.

p je dužina okomice spuštene od početka do prave, a  je ugao koji ova okomica formira sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Primjer. S obzirom na opću jednadžbu prave linije 12x - 5y - 65 = 0. Potrebno je napisati različite vrste jednačine ove prave.

jednadžba ove prave u segmentima:

jednadžba ove prave sa nagibom: (podijelite sa 5)

normalna jednačina prave linije:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se svaka prava linija ne može predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave linije paralelne sa osama ili koje prolaze kroz ishodište.

Primjer. Prava linija odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osa. Napišite jednadžbu ravne linije ako je površina trokuta koji čine ovi segmenti 8 cm 2.

Jednačina prave linije ima oblik:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 ne odgovara uslovu problema.

Ukupno:
ili x + y - 4 = 0.

Primjer. Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku A (-2, -3) i ishodište.

Jednačina prave linije ima oblik:
, gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ugao između linija na ravni.

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

.

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2 .

Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Prave Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A proporcionalni 1 =  A, B 1 =  B. Ako i C 1 =  C, tada se linije poklapaju.

Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku

okomito na ovu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je tačka M(x 0 , y 0 ), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C = 0 definirana kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi dati poen M 0 je okomito na datu pravu.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

.

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Željena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k = . Tada je y =
. Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu:
odakle je b = 17. Ukupno:
.

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Analitička geometrija u prostoru.

Jednačina linije u prostoru.

Jednačina prave u prostoru po tački i

vektor smjera.

Uzmite proizvoljnu liniju i vektor (m, n, p) paralelno sa datom pravom. Vector pozvao vodeći vektor ravno.

Uzmimo dvije proizvoljne tačke M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i M(x, y, z) na pravoj liniji.

z

M1

Označimo radijus vektore ovih tačaka kao i , očigledno je da - =
.

Jer vektori
i su kolinearni, onda je relacija tačna
= t, gdje je t neki parametar.

Ukupno možemo napisati: = + t.

Jer ova jednačina je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, onda je rezultirajuća jednačina parametarska jednačina prave linije.

Ova vektorska jednadžba se može predstaviti u koordinatnom obliku:

Transformirajući ovaj sistem i izjednačavajući vrijednosti parametra t, dobijamo kanonske jednačine prave u prostoru:

.

Definicija. Smjer kosinus direktni su kosinusi smjera vektora , koji se može izračunati po formulama:

;

.

Odavde dobijamo: m: n: p = cos : cos : cos.

Zovu se brojevi m, n, p faktori nagiba ravno. Jer je vektor različit od nule, m, n i p ne mogu biti nula u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti nula. U ovom slučaju, u jednačini prave linije, odgovarajuće brojioce treba izjednačiti sa nulom.

Jednačina prave linije u prolazu kroz prostor

kroz dve tačke.

Ako su dvije proizvoljne tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2) označene na pravoj liniji u prostoru, tada koordinate tih tačaka moraju zadovoljiti jednadžbu ravna linija dobijena gore:

.

Osim toga, za tačku M 1 možemo napisati:

.

Zajedno rješavajući ove jednačine dobijamo:

.

Ovo je jednadžba prave linije koja prolazi kroz dvije tačke u prostoru.

Opšte jednačine prave u prostoru.

Jednačina prave linije se može posmatrati kao jednačina linije preseka dve ravni.

Kao što je gore objašnjeno, ravan u vektorskom obliku može se dati jednadžbom:

+ D = 0, gdje je

- normalna ravan; - radijus-vektor proizvoljne tačke ravni.

Jednačina prave linije na ravni.
Vektor smjera je ravan. Normalni vektor

Prava linija na ravni je jedna od najjednostavnijih geometrijski oblici, poznato vam iz nižim razredima, a danas ćemo naučiti kako se nositi s njim koristeći metode analitičke geometrije. Za savladavanje materijala potrebno je biti u stanju izgraditi ravnu liniju; znati koja jednačina definira pravu liniju, posebno pravu liniju koja prolazi kroz ishodište i prave linije paralelne sa koordinatnim osa. Ove informacije možete pronaći u priručniku. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, kreirao sam ga za matan, ali odjeljak o linearna funkcija pokazao se vrlo uspješnim i detaljnim. Zato, dragi čajnici, prvo se zagrijte tamo. Osim toga, potrebno je imati osnovno znanje o vektori inače će razumijevanje materijala biti nepotpuno.

U ovoj lekciji ćemo pogledati načine na koje možete napisati jednadžbu prave linije u ravni. Preporučujem da ne zanemarite praktične primjere (čak i ako izgledaju vrlo jednostavno), jer ću ih snabdjeti elementarnim i važnim činjenicama, tehničkim metodama koje će biti potrebne u budućnosti, uključujući i druge dijelove više matematike.

• Kako napisati jednačinu prave linije sa nagibom?
• Kako ?
• Kako pronaći vektor smjera po opštoj jednadžbi prave?
• Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

i počinjemo:

Jednačina linije sa nagibom

Poznati "školski" oblik jednačine prave se zove jednadžba prave linije sa nagibom. Na primjer, ako je jednadžba data ravna linija, tada je njen nagib: . Razmotrimo geometrijsko značenje ovog koeficijenta i kako njegova vrijednost utječe na lokaciju linije:

U toku geometrije se dokazuje da nagib prave linije je tangenta ugla između pozitivnog smjera osei zadata linija: , a ugao je „odvrnut“ u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Da ne bih zatrpao crtež, nacrtao sam uglove za samo dvije ravne linije. Uzmite u obzir "crvenu" pravu liniju i njen nagib. Prema gore navedenom: (ugao "alfa" je označen zelenim lukom). Za "plavu" pravu liniju sa nagibom, jednakost je tačna (ugao "beta" je označen smeđim lukom). A ako je poznat tangent ugla, onda ga je lako pronaći ako je potrebno i ugao preko inverzna funkcija- arktangent. Kako kažu, trigonometrijska tablica ili kalkulator u ruci. dakle, nagib karakteriše stepen nagiba prave linije prema x-osi.

Istovremeno, moguće je sledećim slučajevima:

1) Ako je nagib negativan: , tada linija, grubo govoreći, ide od vrha do dna. Primjeri su "plave" i "grimizne" ravne linije na crtežu.

2) Ako je nagib pozitivan: , tada linija ide odozdo prema gore. Primjeri su "crne" i "crvene" ravne linije na crtežu.

3) Ako je nagib jednak nuli: , tada jednačina poprima oblik , a odgovarajuća prava je paralelna sa osom. Primjer je "žuta" linija.

4) Za porodicu pravih linija paralelnih sa osom (nema primera na crtežu, osim same ose), nagib ne postoji (tangenta od 90 stepeni nije definisana).

Što je veći modul nagiba, to je linijski graf strmiji.

Na primjer, razmotrite dvije ravne linije. Ovdje, dakle, prava linija ima strmiji nagib. Podsjećam da modul omogućava ignorisanje znaka, samo nas zanima apsolutne vrijednosti ugaoni koeficijenti.

Zauzvrat, prava linija je strmija od pravih linija. .

Obrnuto: što je manji nagib po modulu, prava je ravna.

Za ravne linije nejednakost je tačna, dakle, prava linija je više od krošnje. Dječji tobogan, kako ne bi zasadili modrice i izbočine.

Zašto je ovo potrebno?

Produžite svoju muku Poznavanje gore navedenih činjenica omogućava vam da odmah vidite svoje greške, posebno greške pri crtanju grafikona - ako je crtež ispao "jasno da nešto nije u redu". Poželjno je da vi odmah bilo je jasno da je, na primjer, prava linija vrlo strma i ide odozdo prema gore, a prava linija je vrlo ravna, blizu ose i ide odozgo prema dolje.

U geometrijskim problemima često se pojavljuje nekoliko ravnih linija, pa ih je zgodno nekako označiti.

Notacija: ravne linije su označene malim sa latiničnim slovima: . Popularna opcija je označavanje istog slova prirodnim indeksima. Na primjer, pet linija koje smo upravo razmotrili mogu se označiti sa .

Pošto je svaka prava linija jednoznačno određena sa dvije tačke, može se označiti ovim tačkama: itd. Zapis sasvim očigledno implicira da tačke pripadaju pravoj.

Vrijeme je da se malo opustimo:

Kako napisati jednačinu prave linije sa nagibom?

Ako je poznata tačka koja pripada određenoj pravoj i nagib ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Primjer 1

Sastavite jednačinu prave sa nagibom ako je poznato da ta tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Odluka: Jednačinu prave linije ćemo sastaviti prema formuli . U ovom slučaju:

Odgovori:

Ispitivanje izvedeno elementarno. Prvo, pogledamo rezultirajuću jednadžbu i uvjerimo se da je naš nagib na svom mjestu. Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti datu jednačinu. Ubacimo ih u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Izlaz: Jednačina pronađena ispravno.

Zamršeniji primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 2

Napišite jednadžbu prave ako je poznato da je njen nagibni ugao u odnosu na pozitivan smjer ose , a tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Ako imate problema, pročitajte ponovo teorijski materijal. Tačnije, praktičnije, nedostaju mi ​​mnogi dokazi.

Zazvonilo je posljednje zvono, maturski bal je utihnuo, a ispred kapije matična školačekamo, zapravo, analitičku geometriju. Šale su gotove... Možda je tek počelo =)

Nostalgično mašemo ručkom poznatom i upoznajemo se s opštom jednačinom prave linije. Pošto je u analitičkoj geometriji u upotrebi upravo ovo:

Opća jednačina prave linije ima oblik: , gdje su neki brojevi. Istovremeno, koeficijenti istovremeno nisu jednake nuli, jer jednačina gubi smisao.

Obucimo se u odijelo i vežemo jednačinu sa nagibom. Prvo, pomjerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Pojam sa "x" mora se staviti na prvo mjesto:

U principu, jednadžba već ima oblik, ali prema pravilima matematičke etikete, koeficijent prvog člana (u ovom slučaju) mora biti pozitivan. Promjena znakova:

Zapamtite ovu tehničku karakteristiku! Prvi koeficijent (najčešće) činimo pozitivnim!

U analitičkoj geometriji, jednačina prave linije će se skoro uvek dati u opštem obliku. Pa, ako je potrebno, lako ga je dovesti u "školski" oblik s nagibom (s izuzetkom ravnih linija paralelnih s y-osi).

Zapitajmo se šta dosta znate izgraditi pravu liniju? Dva poena. Ali o ovom slučaju iz djetinjstva kasnije, sada drži pravilo strelice. Svaka prava linija ima dobro definisan nagib na koji se lako "prilagoditi" vektor.

Vektor koji je paralelan pravoj naziva se vektor smjera te prave.. Očigledno, svaka prava linija ima beskonačno mnogo vektora smjera, i svi će biti kolinearni (ko-usmjereni ili ne - nije bitno).

Vektor smjera ću označiti na sljedeći način: .

Ali jedan vektor nije dovoljan da se napravi prava linija, vektor je slobodan i nije vezan ni za jednu tačku ravni. Stoga je dodatno potrebno znati neku tačku koja pripada pravoj.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor smjera?

Ako je poznata određena tačka koja pripada pravoj i usmjeravajući vektor ove prave, tada se jednadžba ove linije može sastaviti po formuli:

Ponekad se zove kanonska jednadžba linije .

Šta raditi kada jedna od koordinata je nula, u nastavku ćemo pogledati praktične primjere. Usput, imajte na umu - oboje odjednom koordinate ne mogu biti nula, jer nulti vektor ne specificira određeni smjer.

Primjer 3

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor smjera

Odluka: Jednačinu prave linije ćemo sastaviti prema formuli. U ovom slučaju:

Koristeći svojstva proporcije, oslobađamo se razlomaka:

I dovodimo jednačinu u opći oblik:

Odgovori:

Crtanje u takvim primjerima, u pravilu, nije potrebno, već radi razumijevanja:

Na crtežu vidimo početnu tačku, originalni vektor pravca (može se odložiti iz bilo koje tačke na ravni) i konstruisanu liniju. Usput, u mnogim slučajevima, konstrukcija ravne linije najpogodnije se izvodi pomoću jednadžbe nagiba. Našu jednadžbu je lako pretvoriti u oblik i bez ikakvih problema pokupiti još jednu tačku za izgradnju prave linije.

Kao što je napomenuto na početku odjeljka, linija ima beskonačno mnogo vektora smjera i svi su kolinearni. Na primjer, nacrtao sam tri takva vektora: . Koji god vektor smjera da odaberemo, rezultat će uvijek biti ista pravolinijska jednadžba.

Sastavimo jednačinu prave linije sa tačkom i usmjeravajućim vektorom:

Rastavljanje proporcije:

Podijelite obje strane sa -2 i dobijete poznatu jednačinu:

Oni koji žele mogu na sličan način testirati vektore ili bilo koji drugi kolinearni vektor.

Sada da riješimo inverzni problem:

Kako pronaći vektor smjera po opštoj jednadžbi prave?

Veoma jednostavno:

Ako je prava linija data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor vektor pravca ove prave.

Primjeri pronalaženja vektora smjera pravih linija:

Naredba nam omogućava da pronađemo samo jedan vektor smjera iz beskonačnog skupa, ali nam ne treba više. Iako je u nekim slučajevima preporučljivo smanjiti koordinate vektora smjera:

Dakle, jednačina specificira ravnu liniju koja je paralelna sa osom i koordinate rezultirajućeg vektora upravljanja se prikladno dijele sa -2, dobivajući upravo osnovni vektor kao upravljački vektor. Logično.

Slično, jednačina definira ravnu liniju paralelnu osi, a dijeljenjem koordinata vektora sa 5, dobivamo ort kao vektor smjera.

Sada izvršimo provjeri primjer 3. Primjer je krenuo gore, pa vas podsjećam da smo u njemu napravili jednadžbu prave linije koristeći tačku i vektor smjera

Kao prvo, prema jednadžbi prave, vraćamo njen usmjeravajući vektor: - sve je u redu, dobili smo originalni vektor (u nekim slučajevima može se pokazati da je kolinearan originalnom vektoru, a to je obično lako vidjeti po proporcionalnosti odgovarajućih koordinata).

Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti jednačinu . Zamjenjujemo ih u jednačinu:

Dobijena je tačna jednakost, čime smo veoma zadovoljni.

Izlaz: Posao je ispravno završen.

Primjer 4

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor smjera

Ovo je "uradi sam" primjer. Rješenje i odgovor na kraju lekcije. Vrlo je poželjno izvršiti provjeru prema upravo razmatranom algoritmu. Pokušajte uvijek (ako je moguće) provjeriti nacrt. Glupo je praviti greške tamo gde se one mogu 100% izbeći.

U slučaju da je jedna od koordinata vektora smjera nula, vrlo je jednostavno učiniti:

Primjer 5

Odluka: Formula je nevažeća jer je nazivnik na desnoj strani nula. Postoji izlaz! Koristeći svojstva proporcije, prepisujemo formulu u obliku , a ostatak se kotrlja po dubokoj kolotečini:

Odgovori:

Ispitivanje:

1) Vratite vektor smjera prave linije:
– rezultirajući vektor je kolinearan s originalnim vektorom smjera.

2) Zamijenite koordinate tačke u jednačini:

Dobija se tačna jednakost

Izlaz: posao obavljen korektno

Postavlja se pitanje zašto se zamarati formulom ako postoji univerzalna verzija koja će ionako funkcionirati? Dva su razloga. Prvo, frakciona formula mnogo bolje zapamtiti. I drugo, nedostatak univerzalne formule je to značajno povećan rizik od zabune prilikom zamjene koordinata.

Primjer 6

Sastavite jednadžbu prave linije date tačku i vektor pravca.

Ovo je "uradi sam" primjer.

Vratimo se na sveprisutne dvije tačke:

Kako napisati jednačinu prave date dvije tačke?

Ako su poznate dvije tačke, onda se jednačina prave linije koja prolazi kroz ove tačke može sastaviti pomoću formule:

U stvari, ovo je neka vrsta formule, a evo i zašto: ako su poznate dvije tačke, tada će vektor biti vektor smjera ove prave. U učionici Vektori za lutke smatrali smo najjednostavniji zadatak– kako pronaći koordinate vektora iz dvije tačke. Prema ovom problemu, koordinate vektora pravca:

Bilješka : točke se mogu "zamijeniti" i koristiti formulu . Takva odluka bi bila ravnopravna.

Primjer 7

Napišite jednačinu prave iz dvije tačke .

Odluka: Koristite formulu:

Češljamo nazivnike:

I promiješaj špil:

Sada je zgodno riješiti se razlomaka. U ovom slučaju morate oba dijela pomnožiti sa 6:

Otvorite zagrade i prisjetite se jednadžbe:

Odgovori:

Ispitivanje je očigledno - koordinate početnih tačaka moraju zadovoljiti rezultirajuću jednadžbu:

1) Zamijenite koordinate tačke:

Istinska jednakost.

2) Zamijenite koordinate tačke:

Istinska jednakost.

Izlaz: jednadžba prave linije je tačna.

Ako najmanje jedan bodova ne zadovoljava jednačinu, potražite grešku.

Vrijedi napomenuti da je grafička provjera u ovom slučaju teška, jer izgraditi liniju i vidjeti pripadaju li joj točke , nije tako lako.

Napomenut ću nekoliko tehničkih tačaka rješenja. Možda je u ovom problemu korisnije koristiti formulu ogledala i za iste tačke napravi jednačinu:

Ima manje razlomaka. Ako želite, možete dovršiti rješenje do kraja, rezultat bi trebao biti ista jednačina.

Druga stvar je pogledati konačni odgovor i vidjeti može li se dodatno pojednostaviti? Na primjer, ako se dobije jednačina, onda je preporučljivo smanjiti je za dva: - jednačina će postaviti istu pravu liniju. Međutim, ovo je već tema razgovora međusobnog rasporeda pravih linija.

Dobivši odgovor u primjeru 7, za svaki slučaj, provjerio sam da li su SVI koeficijenti jednačine djeljivi sa 2, 3 ili 7. Mada, najčešće se takve redukcije vrše prilikom rješavanja.

Primjer 8

Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke .

Ovo je primjer nezavisnog rješenja, koje će vam samo omogućiti da bolje razumijete i razradite tehniku ​​proračuna.

Slično kao u prethodnom paragrafu: ako je u formuli jedan od nazivnika (koordinata vektora pravca) nestaje, onda ga prepisujemo kao . I opet, primijetite kako je počela izgledati nespretno i zbunjeno. Ne vidim puno smisla u dovođenju praktični primjeri, pošto smo takav problem već zaista riješili (vidi br. 5, 6).

Pravolinijski normalni vektor (normalni vektor)

Šta je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno je da svaka prava linija ima beskonačan broj njih (kao i usmjeravajućih vektora), a svi normalni vektori prave će biti kolinearni (kosmjerni ili ne - nije bitno).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vektorima smjera:

Ako je prava linija data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor normalni vektor ove prave.

Ako se koordinate vektora smjera moraju pažljivo „izvući“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale mogu jednostavno „ukloniti“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Provjerićemo ortogonalnost ovih vektora pomoću tačkasti proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće napisati jednačinu prave, znajući jednu tačku i normalan vektor? Čini se da je to moguće. Ako je normalni vektor poznat, tada je i pravac najravnije linije jedinstveno određen - ovo je "kruta struktura" s uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako je poznata neka tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Ovdje je sve prošlo bez razlomaka i drugih iznenađenja. Takav je naš normalni vektor. Sviđa mi se. I postovanje =)

Primjer 9

Sastavite jednadžbu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Odluka: Koristite formulu:

Dobija se opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) "Uklonite" koordinate vektora normale iz jednačine: - da, zaista, originalni vektor se dobija iz uslova (ili vektor treba da bude kolinearan originalnom vektoru).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava jednačinu:

Istinska jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednadžba tačna, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvlačimo vektor smjera prave linije:

Odgovori:

Na crtežu je situacija sljedeća:

Za potrebe obuke sličan zadatak za samostalno rješenje:

Primjer 10

Sastavite jednadžbu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važnim vrstama jednadžbi prave u ravnini

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave linije u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi se ne mogu predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član nula i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, "tehnička" jednačina. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Zašto je to zgodno? Jednadžba prave linije u segmentima omogućava brzo pronalaženje tačaka presjeka prave linije s koordinatnim osama, što je vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Pronađite tačku preseka prave sa osom. Resetujemo „y“, a jednačina dobija oblik . Željena tačka se dobija automatski: .

Isto i sa osovinom je tačka u kojoj prava seče y-osu.

Opšta jednačina prave linije:

Posebni slučajevi opće jednačine prave:

i ako C= 0, jednačina (2) će imati oblik

Sjekira + By = 0,

a prava linija definisana ovom jednačinom prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate ishodišta x = 0, y= 0 zadovoljava ovu jednačinu.

b) Ako u opštoj jednačini prave (2) B= 0, tada jednačina poprima oblik

Sjekira + With= 0, ili .

Jednačina ne sadrži varijablu y, a prava linija definisana ovom jednačinom je paralelna sa osom Oy.

c) Ako u opštoj jednačini prave (2) A= 0, tada ova jednadžba poprima oblik

By + With= 0, ili ;

jednadžba ne sadrži varijablu x, a njome definirana ravna linija je paralelna s osi Ox.

Treba imati na umu: ako je ravna linija paralelna bilo kojoj koordinatnoj osi, tada njena jednadžba ne sadrži pojam koji sadrži istoimenu koordinatu s ovom osom.

d) Kada C= 0 i A= 0 jednačina (2) poprima oblik By= 0, ili y = 0.

Ovo je jednačina ose Ox.

e) Kada C= 0 i B= 0 jednačina (2) se može napisati u obliku Sjekira= 0 ili x = 0.

Ovo je jednačina ose Oy.

Međusobni raspored pravih linija na ravni. Ugao između linija na ravni. Stanje paralelnih pravih. Uslov okomitosti pravih.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektori S 1 i S 2 se nazivaju vodiči za svoje linije.

Ugao između pravih l 1 i l 2 određen je uglom između vektora pravca.
Teorema 1: cos ugao između l 1 i l 2 = cos (l 1; l 2) \u003d

Teorema 2: Da bi 2 reda bile jednake, potrebno je i dovoljno:

Teorema 3: tako da je potrebno i dovoljno da 2 prave budu okomite:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Opća jednačina ravnine i njeni posebni slučajevi. Jednačina ravnine u segmentima.

Opća jednačina u ravnini:

Ax + By + Cz + D = 0

Posebni slučajevi:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - ravan prolazi kroz ishodište

2. S=0 Ax+By+D = 0 – ravan || oz

3. V=0 Ax+Cz+d = 0 – ravan || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – ravan || OX

5. A=0 i D=0 By+Cz = 0 - ravan prolazi kroz OX

6. B=0 i D=0 Ax+Cz = 0 - ravan prolazi kroz OY

7. C=0 i D=0 Ax+By = 0 - ravan prolazi kroz OZ

Međusobni raspored ravni i pravih linija u prostoru:

1. Ugao između linija u prostoru je ugao između njihovih vektora pravca.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Ugao između ravnina je određen kroz ugao između njihovih vektora normale.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Kosinus ugla između prave i ravni se može naći kroz sin ugla između vektora pravca prave i vektora normale ravni.

4. 2 reda || u svemiru kada njihova || vektorski vodiči

5. 2 aviona || kada || normalni vektori

6. Na sličan način se uvode pojmovi okomitosti pravih i ravni.

Pitanje #14

Različiti tipovi jednačine prave na ravni (jednačina prave u segmentima, sa nagibom, itd.)

Jednačina prave linije u segmentima:
Pretpostavimo da je u opštoj jednačini prave:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - prava linija prolazi kroz ishodište.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. u \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Jednačina prave linije sa nagibom:

Svaka prava linija koja nije jednaka y-osi (B nije = 0) može se napisati na sljedeći način. oblik:

k = tgα α je ugao između prave i pozitivno usmjerene linije OH

b - tačka preseka prave linije sa osom OS

Doc-in:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: B

Jednačina prave linije na dvije tačke:

Pitanje #16

Kraj limit funkcije u tački i za x→∞

Krajnja granica u tački x 0:

Broj A naziva se granica funkcije y \u003d f (x) za x → x 0, ako za bilo koje E > 0 postoji b > 0 tako da za x ≠ x 0, zadovoljava nejednakost |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Granica je označena: = A

Krajnja granica u tački +∞:

Broj A naziva se granica funkcije y = f(x) za x → + ∞ , ako za bilo koje E > 0 postoji C > 0 takvo da je za x > C nejednakost |f(x) - A|< Е

Granica je označena: = A

Krajnja granica u tački -∞:

Broj A naziva se granica funkcije y = f(x) za x→-∞, ako za bilo koju E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Ovaj članak nastavlja temu jednadžbe ravne linije na ravni: razmotrite takvu vrstu jednadžbe kao opću jednadžbu ravne linije. Hajde da definišemo teoremu i damo njen dokaz; Hajde da shvatimo šta je nepotpuna opšta jednačina prave linije i kako napraviti prelaze iz opšte jednačine u druge vrste jednačina prave linije. Cijelu teoriju ćemo konsolidirati ilustracijama i rješavanjem praktičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neka je na ravni dat pravougaoni koordinatni sistem O x y.

Teorema 1

Bilo koja jednadžba prvog stepena, koja ima oblik A x + B y + C \u003d 0, gdje su A, B, C neki realni brojevi(A i B nisu jednaki nuli u isto vrijeme) definira pravu liniju u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni. Zauzvrat, bilo koja linija u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni je određena jednadžbom koja ima oblik A x + B y + C = 0 za određeni skup vrijednosti A, B, C.

Dokaz

Ova teorema se sastoji od dvije tačke, svaku od njih ćemo dokazati.

1. Dokažimo da jednačina A x + B y + C = 0 definira pravu na ravni.

Neka postoji neka tačka M 0 (x 0 , y 0) čije koordinate odgovaraju jednačini A x + B y + C = 0 . Dakle: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Oduzmite od lijeve i desne strane jednadžbe A x + B y + C = 0 lijevu i desnu stranu jednačine A x 0 + B y 0 + C = 0, dobićemo novu jednačinu koja izgleda kao A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . To je ekvivalentno A x + B y + C = 0 .

Rezultirajuća jednačina A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je neophodan i dovoljan uslov za okomitost vektora n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Dakle, skup tačaka M (x, y) definira u pravokutnom koordinatnom sistemu pravu liniju okomitu na smjer vektora n → = (A, B) . Možemo pretpostaviti da to nije tako, ali tada vektori n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne bi bili okomiti, a jednakost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne bi bilo tačno.

Dakle, jednadžba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definira neku liniju u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravnini, pa prema tome ekvivalentna jednadžba A x + B y + C = 0 definira ista linija. Tako smo dokazali prvi dio teoreme.

1. Dokažimo da se svaka prava linija u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni može dati jednačinom prvog stepena A x + B y + C = 0 .

Postavimo pravu liniju a u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni; tačka M 0 (x 0 , y 0) kroz koju prolazi ova prava, kao i vektor normale ove prave n → = (A , B) .

Neka postoji i neka tačka M (x, y) - plutajuća tačka prave. U ovom slučaju, vektori n → = (A , B) i M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) su okomiti jedan na drugi, a njihov skalarni proizvod je nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepišimo jednačinu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definirajmo C: C = - A x 0 - B y 0 i u krajnji rezultat dobijamo jednačinu A x + B y + C = 0 .

Dakle, dokazali smo drugi dio teoreme i dokazali smo cijelu teoremu u cjelini.

Definicija 1

Jednačina koja izgleda kao A x + B y + C = 0 - to opšta jednačina prave linije na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemuO x y .

Na osnovu dokazane teoreme možemo zaključiti da su prava linija data na ravni u fiksnom pravougaonom koordinatnom sistemu i njena opšta jednačina neraskidivo povezani. Drugim rečima, originalna linija odgovara njenoj opštoj jednačini; opšta jednačina prave odgovara datoj pravoj liniji.

Iz dokaza teoreme također slijedi da su koeficijenti A i B za varijable x i y koordinate vektora normale prave, koja je data opštom jednačinom prave A x + B y + C = 0 .

Razmislite konkretan primjer opšta jednačina prave linije.

Neka je data jednačina 2 x + 3 y - 2 = 0, koja odgovara pravoj liniji u datom pravougaonom koordinatnom sistemu. Vektor normale ove linije je vektor n → = (2, 3). Nacrtajte zadatu pravu liniju na crtežu.

Može se tvrditi i sledeće: prava linija koju vidimo na crtežu određena je opštom jednačinom 2 x + 3 y - 2 = 0, pošto koordinate svih tačaka date prave linije odgovaraju ovoj jednačini.

Možemo dobiti jednačinu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 množenjem obje strane opće pravolinijske jednačine sa brojem koji nije nula. Rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj opštoj jednačini, stoga će opisivati ​​istu liniju u ravni.

Definicija 2

Potpuna opšta jednačina prave linije- takva opća jednadžba linije A x + B y + C \u003d 0, u kojoj su brojevi A, B, C različiti od nule. Inače, jednačina je nepotpuna.

Hajde da analiziramo sve varijacije nepotpune opšte jednačine prave.

1. Kada je A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, opća jednadžba postaje B y + C = 0. Ovakva nepotpuna opšta jednačina definiše pravu liniju u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y koja je paralelna sa osom O x , jer za bilo koji stvarna vrijednost x varijabla y će uzeti vrijednost - C B . Drugim riječima, opća jednadžba linije A x + B y + C = 0, kada je A = 0, B ≠ 0, definira lokus tačaka (x, y) čije su koordinate jednake istom broju - C B .
2. Ako je A = 0, B ≠ 0, C = 0, opća jednadžba postaje y = 0. Takve nepotpuna jednačina definira x-os O x .
3. Kada je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dobijamo nepotpunu opću jednadžbu A x + C = 0, koja definira ravnu liniju paralelnu s y-osi.
4. Neka je A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada će nepotpuna opća jednadžba poprimiti oblik x = 0, a ovo je jednadžba koordinatne linije O y.
5. Konačno, kada je A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, nepotpuna opća jednadžba poprima oblik A x + B y \u003d 0. A ova jednadžba opisuje pravu liniju koja prolazi kroz ishodište. Zaista, par brojeva (0, 0) odgovara jednakosti A x + B y = 0, pošto je A · 0 + B · 0 = 0.

Ilustrujmo grafički sve navedene tipove nepotpune opšte jednadžbe prave linije.

Primjer 1

Poznato je da je data prava paralelna sa y-osi i prolazi kroz tačku 2 7 , - 11 . Potrebno je zapisati opštu jednačinu date prave.

Odluka

Prava linija paralelna y-osi data je jednadžbom oblika A x + C \u003d 0, u kojoj je A ≠ 0. Uslov takođe specificira koordinate tačke kroz koju prava prolazi, a koordinate ove tačke odgovaraju uslovima nepotpune opšte jednačine A x + C = 0 , tj. jednakost je tačna:

A 2 7 + C = 0

Iz njega je moguće odrediti C dajući A neku vrijednost različitu od nule, na primjer, A = 7. U ovom slučaju dobijamo: 7 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Znamo oba koeficijenta A i C, zamenimo ih u jednačinu A x + C = 0 i dobijemo traženu jednačinu prave: 7 x - 2 = 0

odgovor: 7 x - 2 = 0

Primjer 2

Na crtežu je prikazana prava linija, potrebno je zapisati njenu jednačinu.

Odluka

Dati crtež nam omogućava da lako uzmemo početne podatke za rješavanje problema. Na crtežu vidimo da je data prava paralelna sa Ox osi i da prolazi kroz tačku (0, 3).

Prava linija, koja je paralelna sa apscisom, određena je nepotpunom opštom jednačinom B y + S = 0. Pronađite vrijednosti B i C. Koordinate tačke (0, 3), pošto data prava prolazi kroz nju, zadovoljiće jednačinu prave B y + S = 0, tada važi jednakost: V · 3 + S = 0. Postavimo B na neku vrijednost osim nule. Recimo B = 1, u ovom slučaju, iz jednakosti B · 3 + C = 0 možemo pronaći C: C = - 3. Koristimo poznate vrednosti B i C, dobijamo traženu jednačinu prave: y - 3 = 0.

odgovor: y - 3 = 0 .

Opšta jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku ravni

Neka data prava prolazi kroz tačku M 0 (x 0, y 0), tada njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini prave, tj. jednakost je tačna: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Oduzmite lijevu i desnu stranu ove jednadžbe od lijeve i desne strane općeg potpuna jednačina ravno. Dobijamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ova jednadžba je ekvivalentna originalnoj općoj, prolazi kroz tačku M 0 (x 0, y 0) i ima normalni vektor n → \u003d (A, B) .

Rezultat koji smo dobili omogućava da se napiše opšta jednačina prave linije za poznate koordinate vektora normale prave i koordinate određene tačke ove prave.

Primjer 3

Zadata tačka M 0 (- 3, 4) kroz koju prava prolazi, i vektor normale ove prave n → = (1 , - 2) . Potrebno je zapisati jednačinu date prave.

Odluka

Početni uvjeti nam omogućavaju da dobijemo potrebne podatke za sastavljanje jednadžbe: A = 1, B = 2, x 0 = 3, y 0 = 4. onda:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problem je mogao biti riješen drugačije. Opšta jednačina prave ima oblik A x + B y + C = 0 . Dati normalni vektor vam omogućava da dobijete vrijednosti koeficijenata A i B, a zatim:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Sada pronađimo vrijednost C, koristeći tačku M 0 (- 3, 4) datu uslovom zadatka, kroz koju prava prolazi. Koordinate ove tačke odgovaraju jednačini x - 2 · y + C = 0 , tj. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Stoga je C = 11. Tražena pravolinijska jednačina ima oblik: x - 2 · y + 11 = 0 .

odgovor: x - 2 y + 11 = 0 .

Primjer 4

Date su prava 2 3 x - y - 1 2 = 0 i tačka M 0 koja leži na ovoj pravoj. Poznata je samo apscisa ove tačke, koja je jednaka -3. Potrebno je odrediti ordinatu date tačke.

Odluka

Postavimo oznaku koordinata tačke M 0 kao x 0 i y 0 . Početni podaci pokazuju da je x 0 \u003d - 3. Pošto tačka pripada datoj pravoj, njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini ove prave. Tada će biti tačna sljedeća jednakost:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definirajte y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odgovor: - 5 2

Prelazak sa opšte jednačine prave na druge tipove jednačina prave i obrnuto

Kao što znamo, postoji nekoliko tipova jednačine iste prave linije u ravni. Izbor vrste jednačine zavisi od uslova problema; moguće je izabrati onaj koji je pogodniji za njegovo rješenje. Ovdje vrlo dobro dolazi vještina pretvaranja jednačine jedne vrste u jednačinu druge vrste.

Prvo, razmotrimo prijelaz sa opće jednadžbe oblika A x + B y + C = 0 na kanonsku jednačinu x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ako je A ≠ 0, onda pojam B y prenosimo na desnu stranu opće jednačine. Na lijevoj strani vadimo A iz zagrada. Kao rezultat, dobijamo: A x + C A = - B y .

Ova jednakost se može napisati kao proporcija: x + C A - B = y A .

Ako je B ≠ 0, ostavljamo samo pojam A x na lijevoj strani opće jednadžbe, ostale prenosimo na desnu stranu, dobivamo: A x \u003d - B y - C. Izvadimo - B iz zagrada, zatim: A x \u003d - B y + C B.

Prepišimo jednakost kao proporciju: x - B = y + C B A .

Naravno, nema potrebe pamtiti rezultirajuće formule. Dovoljno je poznavati algoritam radnji prilikom prelaska sa opšte jednačine na kanonsku.

Primjer 5

Data je opšta jednačina prave 3 y - 4 = 0. Treba ga pretvoriti u kanonsku jednačinu.

Odluka

Originalnu jednačinu zapisujemo kao 3 y - 4 = 0 . Zatim postupamo prema algoritmu: pojam 0 x ostaje na lijevoj strani; a na desnoj strani vadimo - 3 iz zagrada; dobijamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Zapišimo rezultirajuću jednakost kao proporciju: x - 3 = y - 4 3 0 . Tako smo dobili jednačinu kanonskog oblika.

Odgovor: x - 3 = y - 4 3 0.

Za transformaciju opće jednačine prave u parametarsku, prvo se vrši prijelaz na kanonski oblik, a zatim prijelaz sa kanonske jednadžbe prave na parametarske jednačine.

Primjer 6

Prava linija je data jednačinom 2 x - 5 y - 1 = 0 . Zapišite parametarske jednačine ove linije.

Odluka

Napravimo prijelaz sa opće jednadžbe na kanonsku:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Sada uzmimo oba dijela rezultirajuće kanonske jednadžbe jednaka λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odgovor:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Opšta jednačina se može pretvoriti u jednačinu pravolinijske s nagibom y = k x + b, ali samo kada je B ≠ 0. Za prijelaz na lijevoj strani ostavljamo pojam B y , ostatak se prenosi na desnu. Dobijamo: B y = - A x - C . Podijelimo oba dijela rezultirajuće jednakosti sa B , što je različito od nule: y = - A B x - C B .

Primjer 7

Zadana je opšta jednačina prave linije: 2 x + 7 y = 0 . Morate tu jednačinu pretvoriti u jednadžbu nagiba.

Odluka

Hajde da proizvodimo neophodne radnje prema algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odgovor: y = - 2 7 x .

Iz opće jednadžbe ravne linije dovoljno je jednostavno dobiti jednadžbu u segmentima oblika x a + y b = 1. Da bismo napravili takav prijelaz, prenosimo broj C na desnu stranu jednakosti, podijelimo oba dijela rezultirajuće jednakosti sa -S i, na kraju, prenosimo koeficijente za varijable x i y na nazivnike:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Primjer 8

Opću jednačinu prave x - 7 y + 1 2 = 0 potrebno je pretvoriti u jednačinu prave u segmentima.

Odluka

Pomaknimo 1 2 na desnu stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Podijelite sa -1/2 obje strane jednačine: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odgovor: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Općenito, obrnuti prijelaz je također lak: sa drugih vrsta jednadžbi na opću.

Jednačina prave linije u segmentima i jednačina sa nagibom mogu se lako pretvoriti u opštu jednostavnim sakupljanjem svih članova na lijevoj strani jednačine:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonska jednadžba se pretvara u opću prema sljedećoj shemi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Za prelazak sa parametarskog, prvo se vrši prijelaz na kanonski, a zatim na opći:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Primjer 9

Date su parametarske jednačine prave x = - 1 + 2 · λ y = 4. Potrebno je zapisati opštu jednačinu ove linije.

Odluka

Napravimo prijelaz sa parametarskih jednadžbi na kanonske:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pređimo sa kanonskog na opšte:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odgovor: y - 4 = 0

Primjer 10

Zadata je jednačina prave linije u segmentima x 3 + y 1 2 = 1. Potrebno je izvršiti prijelaz na opći oblik jednačine.

Odluka:

Hajde da samo prepišemo jednačinu u traženom obliku:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odgovor: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sastavljanje opšte jednačine prave linije

Gore smo rekli da se opšta jednačina može napisati sa poznatim koordinatama vektora normale i koordinatama tačke kroz koju prava prolazi. Takva prava linija je definisana jednačinom A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Na istom mjestu analizirali smo i odgovarajući primjer.

Sada pogledajmo više složeni primjeri, u kojem je prvo potrebno odrediti koordinate vektora normale.

Primjer 11

Zadana je prava paralelna pravoj 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Poznata je i tačka M 0 (4, 1) kroz koju prolazi data prava. Potrebno je zapisati jednačinu date prave.

Odluka

Početni uslovi nam govore da su prave paralelne, dok kao normalni vektor prave čiju jednačinu treba napisati, uzimamo usmjeravajući vektor prave n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Sada znamo sve potrebne podatke za sastavljanje opće jednačine prave linije:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Primjer 12

Data prava prolazi kroz ishodište okomito na pravu x - 2 3 = y + 4 5 . Potrebno je napisati opštu jednačinu date prave.

Odluka

Vektor normale date prave će biti usmjeravajući vektor prave x - 2 3 = y + 4 5 .

Tada je n → = (3, 5) . Prava prolazi kroz ishodište, tj. kroz tačku O (0, 0) . Sastavimo opštu jednačinu date prave linije:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odgovori: 3 x + 5 y = 0 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Postoji beskonačno mnogo pravih koje se mogu povući kroz bilo koju tačku.

Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju, postoji samo jedna prava linija.

Dvije nepodudarne prave u ravni se ili seku u jednoj tački, ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

Postoje tri opcije u 3D prostoru. relativnu poziciju dvije ravne linije:

• linije se seku;

• ravne su paralelne;

• prave se seku.

Pravo linija- algebarska kriva prvog reda: u Dekartovom koordinatnom sistemu prava linija

je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije.

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nije jednako nuli u isto vrijeme. Ova jednačina prvog reda se zove general

jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i With Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija se poklapa sa osom OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija se poklapa sa osom Oh

Jednačina prave linije može se predstaviti u razne forme zavisno od bilo koje date

početni uslovi.

Jednadžba prave linije po tački i vektora normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na liniju dato jednačinom

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Odluka. Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C

u rezultirajući izraz zamjenjujemo koordinate date tačke A. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M2 (x 2, y 2 , z 2), onda jednačina prave linije,

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. On

ravni, gore napisana jednačina prave je pojednostavljena:

ako x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako x 1 = x 2 .

Razlomak = k pozvao faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Odluka. Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednadžba prave linije po tački i nagibu.

Ako je opšta jednačina prave linije Ah + Wu + C = 0 dovesti u formu:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.

Po analogiji sa tačkom koja razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i vektor pravca prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Bα 2 = 0 pozvao vektor smjera prave linije.

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Odluka. Tražićemo jednadžbu željene prave linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x=1, y=2 dobijamo C/ A = -3, tj. željena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C≠0, onda, dijeljenjem sa -C, dobijamo:

ili , gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osovinom Oh, a b- koordinata tačke preseka linije sa osom OU.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako obje strane jednačine Ah + Wu + C = 0 podijeliti brojem , koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave linije.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * C< 0.

R- dužina okomice spuštena od početka do prave,

a φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.

Primjer. S obzirom na opštu jednačinu prave linije 12x - 5y - 65 = 0. Potreban za pisanje različitih vrsta jednačina

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave linije u segmentima:

Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave linije:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između linija na ravni.

Definicija. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, zatim oštar ugao između ovih linija

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dvije prave su okomite

ako k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direktno Ah + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 \u003d λB. Ako takođe S 1 \u003d λS, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku je okomita na datu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do linije Ah + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

direktno. Zatim udaljenost između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito

zadata linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.