Jednadžba ugla između linija. Ugao između linija na ravni
Ovaj materijal je posvećen konceptu kao što je ugao između dvije prave linije koje se sijeku. U prvom paragrafu ćemo objasniti šta je to i pokazati na ilustracijama. Zatim ćemo analizirati kako možete pronaći sinus, kosinus ovog ugla i sam ugao (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dajemo potrebne formule i pokazati primjere kako se primjenjuju u praksi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Da bismo shvatili šta je ugao nastao na preseku dve prave, moramo se prisetiti same definicije ugla, okomitosti i presečne tačke.
Definicija 1
Dve prave nazivamo seku ako imaju jednu zajedničku tačku. Ova tačka se naziva tačka preseka dve prave.
Svaka linija je podijeljena točkom presjeka na zrake. U ovom slučaju, obje prave formiraju 4 ugla, od kojih su dva vertikalna, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti i ostale preostale.
Recimo da znamo da je jedan od uglova jednak α. U tom slučaju, ugao koji je okomit na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale uglove, moramo izračunati razliku 180° - α. Ako je α jednako 90 stepeni, tada će svi uglovi biti pravi. Prave koje se sijeku pod pravim uglom nazivaju se okomiti (poseban članak posvećen je konceptu okomitosti).
Pogledajte sliku:
Pređimo na formulaciju glavne definicije.
Definicija 2
Ugao koji formiraju dvije linije koje se seku je mjera manjeg od 4 ugla koji formiraju ove dvije prave.
Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina ugla u ovom slučaju bit će izražena bilo kojim pravi broj u intervalu (0 , 90 ] . Ako su prave okomite, tada će ugao između njih u svakom slučaju biti jednak 90 stepeni.
Sposobnost pronalaženja mjere ugla između dvije linije koje se seku je korisna za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.
Za početak, možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o dodatnim uglovima, onda ih možemo povezati sa uglom koji nam je potreban koristeći svojstva jednakih ili sličnih oblika. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati ugao između linija na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem pogodan za rješavanje. Ako imamo pravokutni trokut u uvjetu, tada ćemo za proračune morati znati i sinus, kosinus i tangent ugla.
Koordinatna metoda je također vrlo pogodna za rješavanje problema ovog tipa. Hajde da objasnimo kako ga pravilno koristiti.
Imamo pravougaoni (kartezijanski) koordinatni sistem O x y sa dvije prave. Označimo ih slovima a i b. U ovom slučaju, prave se mogu opisati pomoću bilo koje jednačine. Originalne linije imaju presek M. Kako odrediti željeni ugao (označimo ga α) između ovih linija?
Počnimo sa formulacijom osnovnog principa nalaženja ugla pod datim uslovima.
Znamo da su koncepti kao što su usmjeravajući i normalni vektor usko povezani s konceptom prave linije. Ako imamo jednadžbu neke prave linije, iz nje možemo uzeti koordinate ovih vektora. To možemo učiniti za dvije linije koje se seku odjednom.
Ugao koji formiraju dvije linije koje se ukrštaju može se pronaći pomoću:
- ugao između vektora smjera;
- ugao između normalnih vektora;
- ugao između vektora normale jedne linije i vektora smjera druge.
Sada pogledajmo svaku metodu posebno.
1. Pretpostavimo da imamo pravu a sa vektorom smjera a → = (a x , a y) i pravu b sa vektorom smjera b → (b x , b y) . Odvojimo sada dva vektora a → i b → iz tačke preseka. Nakon toga, vidjet ćemo da će svaki biti smješten na svojoj liniji. Zatim imamo četiri opcije za njihov relativni položaj. Pogledajte ilustraciju:
Ako ugao između dva vektora nije tup, onda će to biti ugao koji nam treba između pravih a i b koji se sijeku. Ako je tup, onda će željeni ugao biti jednak uglu pored ugla a → , b → ^ . Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 °, i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .
Od kosinusa jednakih uglova su jednake, možemo prepisati rezultirajuće jednakosti na sljedeći način: cos α = cos a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .
U drugom slučaju korištene su formule redukcije. dakle,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Napišimo posljednju formulu riječima:
Definicija 3
Kosinus ugla kojeg formiraju dvije linije koje se sijeku bit će jednak modulu kosinusa ugla između njegovih vektora smjera.
Opšti oblik formule za kosinus ugla između dva vektora a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) izgleda ovako:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Iz njega možemo izvesti formulu za kosinus ugla između dvije date prave:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tada se sam ugao može pronaći pomoću sljedeće formule:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera datih linija.
Navedimo primjer rješavanja problema.
Primjer 1
U pravougaonom koordinatnom sistemu, na ravni su date dve prave a i b koje se seku. Mogu se opisati parametarskim jednačinama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3 . Izračunajte ugao između ovih linija.
Rješenje
U uslovu imamo parametarsku jednačinu, što znači da za ovu pravu liniju možemo odmah zapisati koordinate njenog vektora pravca. Da bismo to učinili, trebamo uzeti vrijednosti koeficijenata na parametru, tj. prava x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R imat će vektor smjera a → = (4 , 1) .
Druga prava linija je opisana pomoću kanonske jednadžbe x 5 = y - 6 - 3 . Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ova prava ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .
Zatim nastavljamo direktno s pronalaženjem ugla. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite dostupne koordinate dva vektora u gornju formulu α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Dobijamo sljedeće:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Odgovori: Ove linije formiraju ugao od 45 stepeni.
Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem ugla između normalnih vektora. Ako imamo pravu a sa vektorom normale n a → = (n a x , n a y) i pravu b sa vektorom normale n b → = (n b x , n b y) , tada će ugao između njih biti jednak uglu između n a → i n b → ili ugao koji će biti susedan sa n a → , n b → ^ . Ova metoda je prikazana na slici:
Formule za izračunavanje kosinusa ugla između linija koje se sijeku i samog ugla pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Ovdje n a → i n b → označavaju vektore normale dvije date prave.
Primjer 2
Dve prave su date u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačina 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0 . Pronađite sinus, kosinus ugla između njih i veličinu samog ugla.
Rješenje
Originalne prave linije su date koristeći normalne pravolinijske jednadžbe oblika A x + B y + C = 0 . Označimo vektor normale n → = (A , B) . Nađimo koordinate prvog vektora normale za jednu pravu liniju i zapišemo ih: n a → = (3 , 5) . Za drugu liniju x + 4 y - 17 = 0 vektor normale će imati koordinate n b → = (1 , 4) . Sada dodajte dobijene vrijednosti u formulu i izračunajte zbir:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Ako znamo kosinus ugla, onda možemo izračunati njegov sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet. Budući da kut α formiran pravim linijama nije tup, tada sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.
U ovom slučaju, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Odgovor: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analizirajmo zadnji slučaj - pronalaženje ugla između linija, ako znamo koordinate vektora usmjeravanja jedne linije i vektora normale druge.
Pretpostavimo da prava a ima vektor pravca a → = (a x , a y) , a prava b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Moramo odgoditi ove vektore od točke presjeka i razmotriti sve opcije za njihov relativni položaj. pogledajte sliku:
Ako ugao između datih vektora nije veći od 90 stepeni, ispada da će dopuniti ugao između a i b u pravi ugao.
a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Ako je manji od 90 stepeni, dobijamo sledeće:
a → , n b → ^ > 90 ° , zatim a → , n b → ^ = 90 ° + α
Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih uglova, pišemo:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .
dakle,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Hajde da formulišemo zaključak.
Definicija 4
Da biste pronašli sinus ugla između dvije prave koje se sijeku u ravni, morate izračunati modul kosinusa ugla između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.
Zapišimo potrebne formule. Pronalaženje sinusa ugla:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Pronalaženje samog ugla:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → je vektor normale druge.
Primjer 3
Dvije prave koje se seku date su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0 . Pronađite ugao preseka.
Rješenje
Koordinate usmjerivača i vektora normale uzimamo iz datih jednačina. Ispada a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4) . Uzimamo formulu α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i razmotrimo:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Imajte na umu da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.
odgovor:α = a r c sin 7 2 34
Evo još jednog načina da pronađete željeni ugao koristeći koeficijente nagiba datih linija.
Imamo pravu a , koja je definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačine y = k 1 · x + b 1 , i pravu b , definisanu kao y = k 2 · x + b 2 . Ovo su jednadžbe linija sa nagibom. Da biste pronašli ugao presjeka, koristite formulu:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , gdje su k 1 i k 2 nagibi datih pravih. Za dobijanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje ugla kroz koordinate vektora normale.
Primjer 4
Postoje dvije prave koje se seku u ravni, dato jednačinama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte ugao presjeka.
Rješenje
Nagibi naših pravih jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4 . Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
odgovor:α = a r c cos 23 2 34
U zaključcima ovog paragrafa treba napomenuti da se formule za pronalaženje ugla koje su ovdje date ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili vektora normale datih linija i moći ih odrediti iz različite vrste jednačine. Ali formule za izračunavanje kosinusa kuta bolje je zapamtiti ili zapisati.
Kako izračunati ugao između linija koje se seku u prostoru
Proračun takvog ugla može se svesti na izračunavanje koordinata vektora pravca i određivanje veličine ugla koji ovi vektori formiraju. Za takve primjere koristimo isto razmišljanje koje smo dali ranije.
Recimo da imamo pravougaoni sistem koordinate koje se nalaze u trodimenzionalnom prostoru. Sadrži dvije prave a i b sa presječnom tačkom M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednačine ovih linija. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračunavanje kosinusa ugla između njih koristimo formulu:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Da bismo pronašli sam ugao, potrebna nam je ova formula:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Primjer 5
Imamo pravu liniju definisanu u 3D prostoru pomoću jednačine x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Poznato je da se seče sa O z osom. Izračunajte ugao presjeka i kosinus tog ugla.
Rješenje
Označimo ugao koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora pravca za prvu pravu - a → = (1 , - 3 , - 2) . Za aplikantnu osu možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0 , 0 , 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati u željenu formulu:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Kao rezultat, dobili smo da će ugao koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.
odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
kutak između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.
Neka su u prostoru date dvije prave:
Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo
Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelizma i okomitosti njihovih vektora pravca i:
Dva ravno su paralelne ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l 1 paralela l 2 ako i samo ako je paralelno 
.
Dva ravno okomito ako i samo ako je zbir proizvoda odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .
At cilj između linije i ravni
Pusti liniju d- nije okomito na ravan θ;
d′− projekcija prave linije d na ravan θ;
Najmanji od uglova između pravih linija d I d′ zvaćemo ugao između prave i ravni.
Označimo to sa φ=( d,θ)
Ako d⊥θ , tada ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− pravougaoni koordinatni sistem.
Jednačina ravni:
θ: Sjekira+By+cz+D=0
Smatramo da je prava data tačkom i vektorom smjera: d[M 0,str→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Zatim ostaje saznati ugao između vektora n→ i str→, označimo ga kao γ=( n→,str→).
Ako je ugao γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Ako je ugao γ>π/2 , tada je traženi ugao φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
onda, ugao između prave i ravni može se izračunati pomoću formule:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+k.č 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23
Pitanje 29. Koncept kvadratne forme. Znak-određenost kvadratnih oblika.
Kvadratni oblik j (x 1, x 2, ..., x n) n realnih varijabli x 1, x 2, ..., x n naziva se zbir oblika 
, (1)
Gdje aij su neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti aij = a ji.
Kvadratni oblik se zove validan, Ako aij
O GR. Matrica kvadratne forme naziva se matrica sastavljena od njenih koeficijenata. Kvadratični oblik (1) odgovara jedinstvenoj simetričnoj matrici 
tj. A T = A. Stoga se kvadratni oblik (1) može zapisati u matričnom obliku j ( X) = x T Ah, Gdje x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do notacije varijabli.
Rang kvadratnog oblika naziva se rangom njegove matrice. Kvadratni oblik se zove nedegenerisan, ako je njegova matrica nesingularna A. (podsjetimo da je matrica A naziva se nedegenerisanim ako mu je determinanta različita od nule). Inače, kvadratni oblik je degenerisan.
pozitivno definitivno(ili striktno pozitivno) ako
j ( X) > 0 , za bilo koga X = (X 1 , X 2 , …, x n), osim X = (0, 0, …, 0).
Matrix A pozitivno određen kvadratni oblik j ( X) se također naziva pozitivno određen. Prema tome, pozitivno određeni kvadratni oblik odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.
Kvadratni oblik (1) se zove negativno određeno(ili strogo negativno) ako
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), osim X = (0, 0, …, 0).
Slično kao gore, negativno-definirana kvadratna matrica se također naziva negativno-definirana.
Dakle, pozitivno (negativno) određen kvadratni oblik j ( X) dostiže minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 for X* = (0, 0, …, 0).
Zapiši to večina kvadratni oblici nisu predznakom određeni, odnosno nisu ni pozitivni ni negativni. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u početku koordinatnog sistema, već iu drugim tačkama.
Kada n> 2, potrebni su posebni kriteriji za provjeru predznačne određenosti kvadratnog oblika. Hajde da ih razmotrimo.
Major Minors kvadratni oblici se nazivaju minori:
odnosno radi se o maloletnicima reda 1, 2, …, n matrice A, koji se nalazi u gornjem lijevom kutu, posljednji od njih se poklapa sa determinantom matrice A.
Kriterijum za pozitivnu određenost (Sylvesterov kriterijum)
X) = x T Ah je pozitivno određen, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice A bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterijum negativne sigurnosti Da bi kvadratni oblik j ( X) = x T Ah je negativno određen, potrebno je i dovoljno da su njegovi glavni minori parnog reda pozitivni, a neparnog negativni, tj.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
Uputstvo
Bilješka
Period tangente trigonometrijske funkcije je 180 stepeni, što znači da uglovi nagiba pravih linija ne mogu, u apsolutnoj vrednosti, premašiti ovu vrednost.
Ako su koeficijenti nagiba međusobno jednaki, tada je ugao između takvih linija 0, jer se takve prave ili poklapaju ili su paralelne.
Da bi se odredio ugao između linija ukrštanja, potrebno je obje linije (ili jednu od njih) prenijeti na novu poziciju metodom paralelnog prijenosa do raskrsnice. Nakon toga, trebali biste pronaći kut između rezultirajućih linija koje se sijeku.
Trebaće ti
- Lenjir, pravougaoni trokut, olovka, kutomjer.
Uputstvo
Dakle, neka su vektor V = (a, b, c) i ravan A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus ugla α između vektora V i N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Da biste izračunali vrijednost ugla u stepenima ili radijanima, morate izračunati funkciju inverznu kosinusu iz rezultirajućeg izraza, tj. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Primjer: nađi kutak između vektor(5, -3, 8) i avion, dato opštom jednačinom 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rješenje: zapisati koordinate vektora normale ravni N = (2, -5, 3). Zamenite sve poznate vrednosti u gornjoj formuli: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Povezani video zapisi
Prava linija koja ima jednu sa krugom zajednička tačka, je tangenta na kružnicu. Još jedna karakteristika tangente je da je ona uvek okomita na poluprečnik povučen do tačke dodira, odnosno tangenta i poluprečnik čine pravu liniju kutak. Ako su dvije tangente na kružnicu AB i AC povučene iz jedne tačke A, onda su one uvijek jednake jedna drugoj. Definicija ugla između tangenti ( kutak ABC) se proizvodi pomoću Pitagorine teoreme.
Uputstvo
Da biste odredili ugao, morate znati poluprečnik kružnice OB i OS i udaljenost početne tačke tangente od centra kružnice - O. Dakle, uglovi ABO i ACO su jednaki, poluprečnik OB , na primjer, 10 cm, a udaljenost do središta kružnice AO je 15 cm. Odredite dužinu tangente formulom u skladu s Pitagorinom teoremom: AB = Kvadratni korijen od AO2 - OB2 ili 152 - 102 = 225 - 100 = 125;
Neka su date dvije prave l i m na ravni u Dekartovom koordinatnom sistemu opšte jednačine: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
Vektori normala na ove prave: = (A 1 , B 1) - na pravu l,
= (A 2 , B 2) na pravu m.
Neka je j ugao između pravih l i m.
Pošto su uglovi sa međusobno okomitim stranicama ili jednaki ili zbrajaju p, onda 
, tj. cos j = .
Dakle, dokazali smo sljedeću teoremu.
Teorema. Neka je j ugao između dve prave u ravni, i neka su ove prave date u Dekartovom koordinatnom sistemu opštim jednačinama A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada je cos j = 
.
Vježbe.
1) Izvedite formulu za izračunavanje ugla između linija ako:
(1) obe linije su date parametarski; (2) obe prave su date kanonskim jednačinama; (3) jedna prava je data parametarski, druga prava – opštom jednačinom; (4) obje prave su date jednadžbom nagiba.
2) Neka je j ugao između dve prave u ravni i neka su ove prave date Dekartovom koordinatnom sistemu jednačinama y = k 1 x + b 1 i y =k 2 x + b 2 .
Tada tan j = .
3) Istražiti međusobnog dogovora dvije prave date općim jednačinama u Dekartovom koordinatnom sistemu i popunite tabelu:
Udaljenost od tačke do prave u ravni.
Neka je prava l na ravni u Dekartovom koordinatnom sistemu data opštom jednačinom Ax + By + C = 0. Pronađite rastojanje od tačke M(x 0 , y 0) do prave l.
Udaljenost od tačke M do prave l je dužina okomice HM (H n l, HM ^ l).
Vektor i vektor normale na pravu l su kolinearni, tako da je | | = | | | | i | | = .
Neka su koordinate tačke H (x,y).
Pošto tačka H pripada pravoj l, onda je Ax + By + C = 0 (*).
Koordinate vektora i: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).
| | = 
= 
= 
(C = -Ax - By , vidi (*))
Teorema. Neka je prava l data u Dekartovom koordinatnom sistemu opštom jednačinom Ax + By + C = 0. Tada se udaljenost od tačke M(x 0 , y 0) do ove prave izračunava po formuli: r (M; l) = .
Vježbe.
1) Izvedite formulu za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave ako je: (1) prava data parametarski; (2) prava je data kanonskim jednačinama; (3) prava linija je data jednadžbom nagiba.
2) Napišite jednadžbu kružnice tangente na pravu 3x - y = 0 sa centrom u Q(-2,4).
3) Napišite jednadžbe linija koje dijele uglove formirane presjekom pravih 2x + y - 1 = 0 i x + y + 1 = 0 na pola.
§ 27. Analitička definicija ravni u prostoru
Definicija. Vektor normale na ravan nazvaćemo vektor različit od nule, čiji je svaki predstavnik okomit na datu ravan.
Komentar. Jasno je da ako je barem jedan predstavnik vektora okomit na ravan, onda su svi ostali predstavnici vektora okomiti na ovu ravan.
Neka je u prostoru dat kartezijanski koordinatni sistem.
Neka je data ravan a, = (A, B, C) – vektor normale na ovu ravan, tačka M (x 0 , y 0 , z 0) pripada ravni a.
Za bilo koju tačku N(x, y, z) ravni a, vektori i su ortogonalni, odnosno njihov skalarni proizvod je jednak nuli: = 0. Zapišimo posljednju jednakost u koordinatama: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.
Neka je -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, tada je Ax + By + Cz + D = 0.
Uzmite tačku K (x, y) tako da je Ax + By + Cz + D = 0. Pošto je D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, onda A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Pošto su koordinate usmjerenog segmenta = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ), posljednja jednakost znači da je ^ , pa prema tome K n a.
Dakle, dokazali smo sljedeću teoremu:
Teorema. Bilo koja ravan u prostoru u Dekartovom koordinatnom sistemu može se definirati jednadžbom oblika Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), gdje su (A, B, C) koordinate vektora normale na ovu ravan.
I obrnuto je tačno.
Teorema. Bilo koja jednadžba oblika Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) u Dekartovom koordinatnom sistemu definira određenu ravninu, dok su (A, B, C) koordinate vektor normale na ovu ravan.
Dokaz.
Uzmite tačku M (x 0 , y 0 , z 0) tako da je Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 i vektor = (A, B, C) ( ≠ q).
Ravan (i samo jedna) prolazi kroz tačku M okomito na vektor. Prema prethodnoj teoremi, ova ravan je data jednačinom Ax + By + Cz + D = 0.
Definicija. Jednačina oblika Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) naziva se opšta jednačina ravni.
Primjer.
Napišimo jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke M (0.2.4), N (1,-1.0) i K (-1.0.5).
1. Pronađite koordinate vektora normale na ravan (MNK). Budući da je vektorski proizvod ´ ortogonan na nekolinearne vektore i , vektor je kolinearan na ´ .
= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);
´ = 
,
´ = (-11, 3, -5).
Dakle, kao normalni vektor uzmite vektor = (-11, 3, -5).
2. Koristimo sada rezultate prve teoreme:
jednadžba ove ravni A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, gdje su (A, B, C) koordinate vektora normale, (x 0 , y 0 , z 0) – koordinate tačke koja leži u ravni (na primjer, tačka M).
11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0
11x + 3y - 5z + 14 = 0
Odgovor: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.
Vježbe.
1) Napišite jednačinu ravni if
(1) ravan prolazi tačkom M (-2,3,0) paralelno sa ravninom 3x + y + z = 0;
(2) ravan sadrži (Ox) osu i okomita je na ravan x + 2y – 5z + 7 = 0.
2) Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri date tačke.
§ 28. Analitička specifikacija poluprostora*
Komentiraj*. Neka se popravi neki avion. Ispod poluprostor shvatićemo skup tačaka koje leže na jednoj strani date ravni, odnosno dve tačke leže u istom poluprostoru ako segment koji ih povezuje ne seče datu ravan. Ovaj avion se zove granica ovog poluprostora. Unija date ravni i poluprostora će se zvati zatvorenog poluprostora.
Neka je kartezijanski koordinatni sistem fiksiran u prostoru.
Teorema. Neka je ravan a data opštom jednačinom Ax + By + Cz + D = 0. Tada je jedan od dva poluprostora na koje ravan a deli prostor dat nejednakošću Ax + By + Cz + D > 0 , a drugi poluprostor je dat nejednakošću Ax + By + Cz + D< 0.
Dokaz.
Nacrtajmo vektor normale = (A, B, S) na ravan a iz tačke M (x 0 , y 0 , z 0) koja leži na ovoj ravni: = , M n a, MN ^ a. Ravan dijeli prostor na dva poluprostora: b 1 i b 2 . Jasno je da tačka N pripada jednom od ovih poluprostora. Bez gubitka opštosti, pretpostavljamo da je N n b 1 .
Dokažimo da je poluprostor b 1 definisan nejednakošću Ax + By + Cz + D > 0.
1) Uzmite tačku K(x,y,z) u poluprostoru b 1 . Ugao Ð NMK je ugao između vektora i oštar je, stoga je skalarni proizvod ovih vektora pozitivan: > 0. Zapišimo ovu nejednakost u koordinatama: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, tj. Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.
Pošto je M n b 1 , onda je Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, dakle -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Dakle, posljednja nejednakost se može napisati na sljedeći način: Ax + By + Cz + D > 0.
2) Uzmite tačku L(x,y) takvu da je Ax + By + Cz + D > 0.
Prepišimo nejednakost, zamjenjujući D sa (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (pošto je M n b 1, onda Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.
Vektor sa koordinatama (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) je vektor, pa je izraz A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) može se shvatiti , kao skalarni proizvod vektora i . Pošto je skalarni proizvod vektora i pozitivan, ugao između njih je oštar i tačka L n b 1 .
Slično, može se dokazati da je poluprostor b 2 dat nejednakošću Ax + By + Cz + D< 0.
Napomene.
1) Jasno je da gornji dokaz ne zavisi od izbora tačke M u ravni a.
2) Jasno je da se isti poluprostor može definirati različitim nejednačinama.
I obrnuto je tačno.
Teorema. Bilo koja linearna nejednakost oblika Ax + By + Cz + D > 0 (ili Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.
Dokaz.
Jednačina Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) u prostoru definira neku ravan a (vidi § ...). Kao što je dokazano u prethodnoj teoremi, jedan od dva poluprostora na koje ravan dijeli prostor dat je nejednakošću Ax Ax + By + Cz + D > 0.
Napomene.
1) Jasno je da se zatvoreni poluprostor može definirati nestrogom linearnom nejednakošću, a svaka nestroga linearna nejednakost u kartezijanskom koordinatnom sistemu definira zatvoreni poluprostor.
2) Svaki konveksni poliedar se može definisati kao presek zatvorenih poluprostora (čije su granice ravni koje sadrže lica poliedra), odnosno, analitički, sistemom linearnih nestrogih nejednačina.
Vježbe.
1) Dokažite dvije predstavljene teoreme za proizvoljni afini koordinatni sistem.
2) Da li je tačno obrnuto, da bilo koji sistem nestrogih linearnih nejednakosti definiše konveksan poligon?
Vježbajte.1) Istražite relativni položaj dvije ravnine date općim jednačinama u Dekartovom koordinatnom sistemu i popunite tabelu.
Neka su linije date u prostoru l I m. Kroz neku tačku A prostora povlačimo prave linije l 1 || l I m 1 || m(Sl. 138).
Imajte na umu da se tačka A može izabrati proizvoljno, posebno, može ležati na jednoj od datih pravih. Ako je ravno l I m seku, tada se A može uzeti kao tačka preseka ovih pravih ( l 1 =l I m 1 = m).
Ugao između neparalelnih linija l I m je vrijednost najmanjeg od susjednih uglova nastalih usijecanjem pravih linija l 1 I m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Pretpostavlja se da je ugao između paralelnih linija jednak nuli.
Ugao između linija l I m označeno sa \(\widehat((l;m)) \). Iz definicije slijedi da ako se mjeri u stepenima, onda 0° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, a ako je u radijanima, onda 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Zadatak. Zadata je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (slika 139).
Pronađite ugao između pravih AB i DC 1 .
Pravo AB i DC 1 križanje. Kako je prava DC paralelna pravoj AB, ugao između pravih AB i DC 1, prema definiciji, jednak je \(\widehat(C_(1)DC)\).
Stoga \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Direktno l I m pozvao okomito, ako je \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Na primjer, u kocki
Proračun ugla između linija.
Problem izračunavanja ugla između dve prave u prostoru rešava se na isti način kao i u ravni. Označite sa φ ugao između linija l 1 I l 2 , a kroz ψ - ugao između vektora pravca A I b ove prave linije.
Onda ako
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Sl. 206.6), tada φ = 180° - ψ. Očigledno je da je u oba slučaja tačna jednakost cos φ = |cos ψ|. Prema formuli (kosinus ugla između vektora a i b koji nisu nula jednak je skalarnom proizvodu ovih vektora podijeljen umnošku njihovih dužina) imamo
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
dakle,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Neka su linije zadane njihovim kanonskim jednadžbama
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; I \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Tada se ugao φ između linija određuje pomoću formule
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Ako je jedna od linija (ili obje) data nekanonskim jednadžbama, tada za izračunavanje kuta morate pronaći koordinate vektora smjera ovih linija, a zatim koristiti formulu (1).
Zadatak 1. Izračunajte ugao između linija
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Vektori pravca pravih linija imaju koordinate:
a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Formulom (1) nalazimo
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Dakle, ugao između ovih linija je 60°.
Zadatak 2. Izračunajte ugao između linija
$$ \begin(slučajevi)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(slučajevi) i \begin(slučajevi)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\kraj (slučajevi) $$
Iza vodećeg vektora A prvu pravu liniju uzimamo vektorski proizvod normalnih vektora n 1 = (3; 0; -12) i n 2 = (1; 1; -3) ravni koje definišu ovu pravu. Po formuli \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) dobijamo
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Slično, nalazimo vektor smjera druge prave linije:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Ali formula (1) izračunava kosinus željenog ugla:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$
Dakle, ugao između ovih linija je 90°.
Zadatak 3. U trouglastoj piramidi MAVS, ivice MA, MB i MC su međusobno okomite, (sl. 207);
njihove dužine su respektivno jednake 4, 3, 6. Tačka D je sredina [MA]. Pronađite ugao φ između pravih CA i DB.
Neka su SA i DB vektori smjera pravih SA i DB.
Uzmimo tačku M kao početak koordinata. Po uslovu zadatka imamo A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Stoga \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Koristimo formulu (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$
Prema tabeli kosinusa nalazimo da je ugao između pravih CA i DB približno 72°.