Definicija sustava linearnih jednadžbi i njegovo rješenje. Primjeri sustava linearnih jednadžbi: metoda rješavanja

Sustav se zove zglob, ili rješiv ako ima barem jedno rješenje. Sustav se zove nekompatibilno, ili netopljiv ako nema rješenja.

Određeni, neodređeni SLAE.

Ako SLAE ima rješenje i jedinstven je, tada se poziva određeni a ako rješenje nije jedinstveno, onda neizvjestan.

MATRIČNE JEDNADŽBE

Matrice omogućuju ukratko zapisivanje sustava linearne jednadžbe. Neka je dan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:

Razmotrite matricu sustava i matrični stupci nepoznatih i slobodnih članova

Pronađimo proizvod

oni. kao rezultat umnoška dobivamo lijeve strane jednadžbi ovog sustava. Tada se, koristeći definiciju jednakosti matrica, ovaj sustav može napisati kao

ili kraće A∙X=B.

Ovdje matrice A i B su poznati, a matrica x nepoznato. Nju treba pronaći, jer. njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s matricom A-1, inverz matrice A: . Jer A -1 A = E i E∙X=X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B .

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, matrična metoda može riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi je jednak broju nepoznanica.

Cramerove formule

Cramerova metoda je da sukcesivno nalazimo identifikator glavnog sustava, tj. determinanta matrice A: D = det (a i j) i n pomoćne odrednice D i (i= ), koje se dobivaju iz determinante D zamjenom i-tog stupca stupcem slobodnih članova.

Cramerove formule izgledaju ovako: D × x i = D i (i = ).

To implicira Cramerovo pravilo, koje daje iscrpan odgovor na pitanje kompatibilnosti sustava: ako je glavna determinanta sustava različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje, određeno formulama: x i = D i / D.

Ako je glavna determinanta sustava D i sve pomoćne determinante D i = 0 (i= ), tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Ako je glavna determinanta sustava D = 0, a barem jedna pomoćna determinanta je različita od nule, tada je sustav nekonzistentan.

Teorem (Cramerovo pravilo): Ako je determinanta sustava Δ ≠ 0, tada sustav koji se razmatra ima jedno i samo jedno rješenje, i

Dokaz: Dakle, razmotrite sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožite 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A 11 element a 11, 2. jednadžba - na A21 i 3. - na A 31:

Dodajmo ove jednadžbe:

Razmotrite svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Prema teoremu o proširenju determinante po elementima 1. stupca.

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako vidjeti

Tako dobivamo jednakost: . Posljedično,.

Jednakosti i izvode se slično, odakle slijedi tvrdnja teorema.

Kronecker-Capellijev teorem.

Sustav linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice.

Dokaz: Rastavlja se u dvije faze.

1. Neka sustav ima rješenje. Pokažimo to.

Neka skup brojeva je rješenje sustava. Označimo s -tom kolonom matrice , . Tada je , odnosno stupac slobodnih članova linearna kombinacija stupaca matrice . Neka . Hajdemo to pretvarati . Zatim po . Biramo u osnovnom molu . On ima red. Kolona slobodnih članova mora proći kroz ovaj minor, inače će to biti bazni minor matrice. Stupac slobodnih članova u molu je linearna kombinacija stupaca matrice. Na temelju svojstava determinante, gdje je determinanta koja se dobiva iz minora zamjenom stupca slobodnih članova stupcem. Ako je stupac prošao kroz minor M, tada će u , biti dva identična stupca i, prema tome, . Ako stupac nije prošao kroz minor, tada će se od minora reda r + 1 matrice razlikovati samo po redoslijedu stupaca. Od tad . Dakle, što je u suprotnosti s definicijom manje osnove. Dakle, pretpostavka da , je lažna.

2. Neka . Pokažimo da sustav ima rješenje. Budući da je tada bazni minor matrice bazni minor matrice. Neka stupci prolaze kroz mol . Zatim, prema teoremu o baznom minoru u matrici, stupac slobodnih članova je linearna kombinacija naznačenih stupaca:

(1)

Postavljamo , , , , a preostale nepoznanice uzimamo jednake nuli. Tada za ove vrijednosti dobivamo

Na temelju jednakosti (1) . Posljednja jednakost znači da skup brojeva je rješenje sustava. Postojanje rješenja je dokazano.

U gore razmatranom sustavu , a sustav je dosljedan. U sustavu , , a sustav je nedosljedan.

Napomena: Iako Kronecker-Capellijev teorem omogućuje određivanje je li sustav konzistentan, koristi se prilično rijetko, uglavnom u teorijske studije. Razlog je taj što su proračuni koji se izvode prilikom pronalaženja ranga matrice u osnovi isti kao proračuni prilikom pronalaženja rješenja sustava. Stoga se obično umjesto pronalaženja i traži rješenje sustava. Ako se može pronaći, tada saznajemo da je sustav konzistentan i istovremeno dobivamo njegovo rješenje. Ako se rješenje ne može naći, onda zaključujemo da je sustav nekonzistentan.

Algoritam za pronalaženje rješenja proizvoljnog sustava linearnih jednadžbi (Gaussova metoda)

Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama. Potrebno je pronaći njegovo opće rješenje ako je konzistentno ili utvrditi njegovu nekonzistentnost. Metoda koja će biti prikazana u ovom odjeljku bliska je metodi izračunavanja determinante i metodi određivanja ranga matrice. Predloženi algoritam se zove Gaussova metoda ili metoda sukcesivne eliminacije nepoznanica.

Napišimo proširenu matricu sustava

Sljedeće operacije s matricama nazivamo elementarnim operacijama:

1. permutacija linija;

2. množenje niza brojem različitim od nule;

3. zbrajanje niza s drugim nizom pomnoženim brojem.

Imajte na umu da se kod rješavanja sustava jednadžbi, za razliku od izračunavanja determinante i pronalaženja ranga, ne može raditi sa stupcima. Ako se sustav jednadžbi obnovi iz matrice dobivene izvođenjem elementarne operacije, tada će novi sustav biti ekvivalentan izvornom.

Cilj algoritma je primjenom niza elementarnih operacija na matricu osigurati da svaki redak, osim možda prvog, počinje nulama, a broj nula do prvog elementa koji nije nula u svakom sljedećem retku veći nego u prethodnom.

Korak algoritma je sljedeći. Pronađite prvi stupac koji nije nula u matrici. Neka to bude stupac s brojem . U njemu nalazimo element koji nije nula i redak s tim elementom zamijenimo prvim retkom. Kako ne bismo gomilali dodatnu notaciju, pretpostavit ćemo da je takva promjena redaka u matrici već napravljena, tj. Zatim u drugi red dodamo prvi pomnožen s brojem, u treći red dodamo prvi pomnožen s brojem itd. Kao rezultat toga, dobivamo matricu

(Prvi nulti stupci obično nedostaju.)

Ako matrica ima red s brojem k, u kojem su svi elementi jednaki nuli i , tada zaustavljamo izvođenje algoritma i zaključujemo da je sustav nekonzistentan. Doista, obnavljanjem sustava jednadžbi iz proširene matrice dobivamo da će -ta jednadžba imati oblik

Ova jednadžba ne zadovoljava nijedan skup brojeva .

Matrica se može napisati kao

S obzirom na matricu, izvodimo opisani korak algoritma. Uzmi matricu

gdje , . Ova matrica se opet može napisati kao

a gornji korak algoritma ponovno se primjenjuje na matricu.

Proces se zaustavlja ako se nakon izvođenja sljedećeg koraka nova reducirana matrica sastoji samo od nula ili ako su svi redovi iscrpljeni. Napominjemo da bi zaključak o nekompatibilnosti sustava mogao zaustaviti proces i ranije.

Kad ne bismo reducirali matricu, onda bismo na kraju došli do matrice oblika

Zatim se izvodi takozvani obrnuti prolaz Gaussove metode. Na temelju matrice sastavljamo sustav jednadžbi. Na lijevoj strani ostavljamo nepoznanice s brojevima koji odgovaraju prvim elementima koji nisu nula u svakom retku, tj. Primijeti da . Preostale nepoznanice prebacuju se na desnu stranu. Smatrajući da su nepoznanice na desnoj strani neke fiksne veličine, lako je izraziti nepoznanice na lijevoj strani preko njih.

Sada, dajući proizvoljne vrijednosti nepoznanicama na desnoj strani i računajući vrijednosti varijabli na lijevoj strani, pronaći ćemo različita rješenja izvornog sustava Ax=b. Za zapis općeg rješenja potrebno je slovima označiti nepoznanice s desne strane bilo kojim redom , uključujući one nepoznanice koje nisu eksplicitno napisane s desne strane zbog nula koeficijenata, a zatim se stupac nepoznanica može napisati kao stupac, gdje je svaki element linearna kombinacija proizvoljnih vrijednosti (konkretno, samo proizvoljna vrijednost). Ovaj unos će biti opće rješenje sustava.

Ako je sustav bio homogen, tada dobivamo opće rješenje homogenog sustava. Koeficijenti at uzeti u svakom elementu stupca općeg rješenja činit će prvo rješenje iz temeljnog sustava rješenja, koeficijenti at - drugo rješenje i tako dalje.

Metoda 2: Osnovni sustav rješenja homogenog sustava može se dobiti na drugi način. Da biste to učinili, jednoj varijabli, prenesenoj na desnu stranu, mora se dodijeliti vrijednost 1, a ostalo - nule. Izračunavanjem vrijednosti varijabli s lijeve strane dobivamo jedno rješenje iz temeljnog sustava. Dodjeljujući drugoj varijabli s desne strane vrijednost 1, a ostalima nule, dobivamo drugo rješenje iz fundamentalnog sustava itd.

Definicija: sustav se naziva zajednički th, ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan - inače, odnosno u slučaju kada sustav nema rješenja. Pitanje ima li sustav rješenje ili ne povezano je ne samo s omjerom broja jednadžbi i broja nepoznanica. Na primjer, sustav od tri jednadžbe s dvije nepoznanice

ima rješenje , pa čak ima i beskonačno mnogo rješenja, ali sustav dviju jednadžbi s tri nepoznanice.

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Ovaj sustav je uvijek konzistentan jer ima trivijalno rješenje x 1 =…=x n =0

Da bi netrivijalna rješenja postojala, potrebno je i dovoljno da

uvjeti r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th Skup SLAE rješenja tvori linearni prostor dimenzija (n-r). To znači da su umnožak njegovog rješenja s brojem, kao i zbroj i linearna kombinacija konačnog broja njegovih rješenja, rješenja ovog sustava. Linearni prostor rješenja bilo kojeg SLAE je potprostor prostora R n .

Svaki skup (n-r) linearno neovisnih rješenja SLAE (koji je baza u prostoru rješenja) naziva se temeljni skup rješenja (FSR).

Neka su h 1 ,…,h r osnovne nepoznanice, h r +1 ,…,h n slobodne nepoznanice. Slobodnim varijablama redom dajemo sljedeće vrijednosti:

……. … ……

A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0

Formira linearni prostor S (prostor rješenja), koji je podprostor u R n (n je broj nepoznanica), i dims=k=n-r, gdje je r rang sustava. Baza u prostoru rješenja (x (1) ,…, x (k) ) naziva se temeljni sustav rješenja, a opće rješenje ima oblik:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Primjer 1. Naći opće rješenje i neko posebno rješenje sustava

Riješenje učinite to pomoću kalkulatora. Ispisujemo proširenu i glavnu matricu:

Glavna matrica A odvojena je točkastom linijom.Odozgo upisujemo nepoznate sustave, imajući u vidu moguću permutaciju članova u jednadžbama sustava. Određivanjem ranga proširene matrice, istovremeno nalazimo rang glavne. U matrici B prvi i drugi stupac su proporcionalni. Od dva proporcionalna stupca samo jedan može pasti u osnovni minor, pa pomaknimo npr. prvi stupac iza crtkane crte sa suprotnim predznakom. Za sustav to znači prijenos članova s ​​x 1 na desnu stranu jednadžbi.

Matricu dovodimo u trokutasti oblik. Radit ćemo samo s redovima, budući da množenje retka matrice brojem koji nije nula i njegovo dodavanje u drugi red za sustav znači množenje jednadžbe s istim brojem i njegovo dodavanje drugoj jednadžbi, što ne mijenja rješenje sustava. Rad s prvim redom: pomnožite prvi redak matrice s (-3) i naizmjence dodajte drugom i trećem retku. Zatim pomnožimo prvi red s (-2) i dodamo ga četvrtom.

Druga i treća linija su proporcionalne, stoga se jedna od njih, na primjer druga, može precrtati. To je jednako brisanju druge jednadžbe sustava, jer je posljedica treće.

Sada radimo s drugom linijom: pomnožimo je s (-1) i dodamo trećoj.

Minor, zaokružen točkastom linijom, ima najviši red(od mogućih minora) i različit je od nule (jednak je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali), a taj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, pa je rangA = rangB = 3 .
Minor je osnovni. Sadrži koeficijente za nepoznate x 2, x 3, x 4, što znači da su nepoznate x 2, x 3, x 4 ovisne, a x 1, x 5 slobodne.
Transformiramo matricu ostavljajući samo osnovni minor s lijeve strane (što odgovara točki 4 gornjeg algoritma rješenja).

Sustav s koeficijentima ove matrice je ekvivalentan izvornom sustavu i ima oblik

Metodom eliminacije nepoznanica nalazimo:
, ,

Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 2, x 3, x 4 kroz slobodne x 1 i x 5, odnosno našli smo opće rješenje:

Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobivamo bilo koji broj pojedinačnih rješenja. Pronađimo dva posebna rješenja:
1) neka je x 1 = x 5 = 0, tada je x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) stavite x 1 = 1, x 5 = -1, zatim x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Tako smo pronašli dva rješenja: (0.1, -3,3,0) - jedno rješenje, (1.4, -7.7, -1) - drugo rješenje.

Primjer 2. Istražite kompatibilnost, pronađite opće i jedno posebno rješenje sustava

Riješenje. Preuredimo prvu i drugu jednadžbu tako da imamo jedinicu u prvoj jednadžbi i napišimo matricu B.

Dobivamo nule u četvrtom stupcu, djelujući na prvi redak:

Sada uzmite nule u trećem stupcu koristeći drugi redak:

Treći i četvrti red su proporcionalni, pa se jedan od njih može precrtati bez promjene ranga:
Pomnožite treći red s (-2) i dodajte četvrtom:

Vidimo da su rangovi glavne i proširene matrice 4, a rang se podudara s brojem nepoznanica, dakle sustav ima jedinstveno rješenje:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Primjer 3. Ispitajte kompatibilnost sustava i pronađite rješenje ako postoji.

Riješenje. Sastavljamo proširenu matricu sustava.

Preuredite prve dvije jednadžbe tako da u gornjem lijevom kutu bude 1:
Množenjem prvog reda s (-1), dodajemo ga trećem:

Pomnožite drugi redak s (-2) i dodajte trećem:

Sustav je nekonzistentan jer glavna matrica dobiva red sastavljen od nula, koji se precrtava kada se pronađe rang, a zadnji red ostaje u proširenoj matrici, odnosno r B > r A .

Vježbajte. Istražite ovaj sustav jednadžbi za kompatibilnost i riješite ga pomoću matričnog računa.
Riješenje

Primjer. Dokažite kompatibilnost sustava linearnih jednadžbi i riješite ga na dva načina: 1) Gaussovom metodom; 2) Cramerova metoda. (odgovor upiši u obliku: x1,x2,x3)
Rješenje :doc :doc :xls
Odgovor: 2,-1,3.

Primjer. Zadan je sustav linearnih jednadžbi. Dokažite njegovu kompatibilnost. Naći opće rješenje sustava i jedno posebno rješenje.
Riješenje
Odgovor: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Vježbajte. Pronađite opća i posebna rješenja za svaki sustav.
Riješenje. Ovaj sustav proučavamo pomoću Kronecker-Capellijevog teorema.
Ispisujemo proširenu i glavnu matricu:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x2x 3x4x5

Ovdje je matrica A podebljana.
Matricu dovodimo u trokutasti oblik. Radit ćemo samo s redovima, budući da množenje retka matrice brojem koji nije nula i njegovo dodavanje u drugi red za sustav znači množenje jednadžbe s istim brojem i njegovo dodavanje drugoj jednadžbi, što ne mijenja rješenje sustava.
Pomnožite 1. red s (3). Pomnožite 2. red s (-1). Dodajmo 2. redak 1.:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

Drugi red pomnožite s (2). Pomnožite 3. red s (-3). Dodajmo 3. redak 2.:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Pomnožite 2. red s (-1). Dodajmo 2. redak 1.:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Odabrani minor ima najviši red (od svih mogućih minora) i različit je od nule (jednak je umnošku elemenata na recipročnoj dijagonali), a taj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, dakle rangiran (A) = rang(B) = 3 Budući da je rang glavne matrice jednak rangu proširene, tada sustav je suradnički.
Ovaj minor je osnovni. Sadrži koeficijente za nepoznate x 1, x 2, x 3, što znači da su nepoznate x 1, x 2, x 3 zavisne (osnovne), a x 4, x 5 slobodne.
Transformiramo matricu, ostavljajući samo osnovni minor s lijeve strane.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x2x 3 x4x5
Sustav s koeficijentima ove matrice je ekvivalentan izvornom sustavu i ima oblik:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Metodom eliminacije nepoznanica nalazimo:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1, x 2, x 3 kroz slobodne x 4, x 5, tj. zajednička odluka:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
neizvjestan, jer ima više od jednog rješenja.

Vježbajte. Riješite sustav jednadžbi.
Odgovor:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobivamo bilo koji broj pojedinačnih rješenja. Sustav je neizvjestan

Istražiti kompatibilnost sustava linearnih dobnih jednadžbi (SLAE) znači otkriti ima li taj sustav rješenja ili ne. Pa, ako postoje rješenja, navedite koliko ih je.

Trebat će nam podaci iz teme "Sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Osnovni pojmovi. Matrična notacija". Konkretno, potrebni su pojmovi kao što su matrica sustava i proširena matrica sustava, jer se na njima temelji formulacija Kronecker-Capellijevog teorema. Kao i obično, matricu sustava označit ćemo slovom $A$, a proširenu matricu sustava slovom $\widetilde(A)$.

Kronecker-Capellijev teorem

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava, tj. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Podsjećam vas da se sustav naziva zajedničkim ako ima barem jedno rješenje. Kronecker-Capellijev teorem kaže sljedeće: ako $\rang A=\rang\widetilde(A)$, tada postoji rješenje; ako je $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, tada ovaj SLAE nema rješenja (nedosljedan je). Odgovor na pitanje o broju tih rješenja daje korolar Kronecker-Capellijevog teorema. Izjava korolara koristi slovo $n$, koje je jednako broju varijabli u danom SLAE.

Korolar iz Kronecker-Capellijevog teorema

  1. Ako je $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, tada je SLAE nekonzistentan (nema rješenja).
  2. Ako je $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
  3. Ako je $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, tada je SLAE definitivan (ima točno jedno rješenje).

Imajte na umu da formulirani teorem i njegova posljedica ne pokazuju kako pronaći rješenje za SLAE. Uz njihovu pomoć možete samo saznati postoje li ta rješenja ili ne, a ako postoje, koliko ih ima.

Primjer #1

Istražite SLAE $ \lijevo \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ za dosljednost Ako je SLAE dosljedan, označite broj rješenja.

Da bismo otkrili postojanje rješenja za dani SLAE, koristimo Kronecker-Capelli teorem. Trebaju nam matrica sustava $A$ i proširena matrica sustava $\widetilde(A)$, zapišemo ih:

$$ A=\lijevo(\početak(niza) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \kraj(niza) \desno);\; \widetilde(A)=\lijevo(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(niz)\desno). $$

Moramo pronaći $\rang A$ i $\rang\widetilde(A)$. Postoji mnogo načina za to, a neki od njih su navedeni u odjeljku Matrix Rank. Obično se koriste dvije metode za proučavanje takvih sustava: "Izračunavanje ranga matrice po definiciji" ili "Izračunavanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija".

Metoda broj 1. Izračun rangova po definiciji.

Prema definiciji, rang je najviši red minora matrice, među kojima postoji barem jedan osim nule. Obično studija počinje s minorima prvog reda, ali ovdje je prikladnije odmah prijeći na izračun minora trećeg reda matrice $A$. Elementi minora trećeg reda nalaze se na sjecištu tri retka i tri stupca razmatrane matrice. Budući da matrica $A$ sadrži samo 3 retka i 3 stupca, minor trećeg reda matrice $A$ je determinanta matrice $A$, tj. $\DeltaA$. Za izračunavanje determinante primjenjujemo formulu br. 2 iz teme "Formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda":

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(niz) \right|=-21. $$

Dakle, postoji minor trećeg reda matrice $A$, koji nije jednak nuli. Minor 4. reda se ne može sastaviti jer zahtijeva 4 retka i 4 stupca, a matrica $A$ ima samo 3 retka i 3 stupca. Dakle, najviši red minora matrice $A$, među kojima postoji barem jedan različit od nule, jednak je 3. Prema tome, $\rang A=3$.

Također moramo pronaći $\rang\widetilde(A)$. Pogledajmo strukturu $\widetilde(A)$ matrice. Do retka u matrici $\widetilde(A)$ nalaze se elementi matrice $A$, a saznali smo da je $\Delta A\neq 0$. Stoga matrica $\widetilde(A)$ ima minor trećeg reda koji nije jednak nuli. Ne možemo sastaviti minore četvrtog reda matrice $\widetilde(A)$, pa zaključujemo: $\rang\widetilde(A)=3$.

Budući da je $\rang A=\rang\widetilde(A)$, prema Kronecker-Capellijevom teoremu sustav je konzistentan, tj. ima rješenje (barem jedno). Kako bismo označili broj rješenja, uzimamo u obzir da naš SLAE sadrži 3 nepoznanice: $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Budući da je broj nepoznanica $n=3$, zaključujemo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dakle, prema korolaru Kronecker-Capellijevog teorema, sustav je određen, tj. ima jedinstveno rješenje.

Problem riješen. Koji su nedostaci i prednosti ovuda? Prvo, razgovarajmo o prednostima. Prvo, morali smo pronaći samo jednu determinantu. Nakon toga smo odmah donijeli zaključak o broju rješenja. Obično se u standardnim tipičnim izračunima daju sustavi jednadžbi koji sadrže tri nepoznanice i imaju jedno rješenje. Za takve sustave ovu metodu vrlo zgodno, jer unaprijed znamo da postoji rješenje (inače ne bi bilo primjera u tipičnom izračunu). Oni. ostaje nam samo pokazati da postoji rješenje za većinu brz način. Drugo, izračunata vrijednost determinante matrice sustava (tj. $\Delta A$) dobro će nam doći kasnije: kada zadani sustav počnemo rješavati Cramerovom metodom ili inverznom matricom.

Međutim, po definiciji, metoda izračuna ranga je nepoželjna ako je matrica sustava $A$ pravokutna. U ovom slučaju, bolje je primijeniti drugu metodu, koja će biti objašnjena u nastavku. Osim toga, ako je $\Delta A=0$, tada nećemo moći ništa reći o broju rješenja za dati nehomogeni SLAE. Možda SLAE ima beskonačan broj rješenja, a možda niti jedno. Ako je $\Delta A=0$ onda je potrebno dodatna istraživanja, što je često glomazno.

Rezimirajući ono što je rečeno, napominjem da je prva metoda dobra za one SLAE čija je matrica sustava kvadratna. Istovremeno, sam SLAE sadrži tri ili četiri nepoznanice i preuzet je iz standardnih standardnih izračuna ili kontrolnih radova.

Metoda broj 2. Izračunavanje ranga metodom elementarnih transformacija.

Ova metoda je detaljno opisana u odgovarajućoj temi. Izračunat ćemo rang matrice $\widetilde(A)$. Zašto matrice $\widetilde(A)$, a ne $A$? Radi se o tome da je matrica $A$ dio matrice $\widetilde(A)$, pa ćemo izračunavanjem ranga matrice $\widetilde(A)$ istovremeno pronaći i rang matrice $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(niz) \desno) \desna strelica \lijevo|\tekst (zamijenite prvi i drugi redak)\desno| \desna strelica \\ &\desna strelica \lijevo(\begin(niz) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(niz) \right) \begin(niz) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(niz) \rightarrow \left(\begin (niz) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(niz) \desno) \begin(niz) ( l) \fantom(0) \\ \fantom(0)\\ III-2\cdot II \end(niz)\desna strelica\\ &\desna strelica \lijevo(\begin(niz) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(niz) \desno) \end(poravnano)

Sveli smo matricu $\widetilde(A)$ na trapezoidni oblik. Na glavnoj dijagonali rezultirajuće matrice $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( niz) \right)$ sadrži tri elementa različita od nule: -1, 3 i -7. Zaključak: rang matrice $\widetilde(A)$ je 3, tj. $\rank\widetilde(A)=3$. Provodeći transformacije s elementima matrice $\widetilde(A)$, istovremeno smo transformirali elemente matrice $A$ koji se nalaze ispred crte. Matrica $A$ također je trapezoidna: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Zaključak: rang matrice $A$ također je jednak 3, tj. $\rang A=3$.

Budući da je $\rang A=\rang\widetilde(A)$, prema Kronecker-Capellijevom teoremu sustav je konzistentan, tj. ima rješenje. Kako bismo označili broj rješenja, uzimamo u obzir da naš SLAE sadrži 3 nepoznanice: $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Budući da je broj nepoznanica $n=3$, zaključujemo: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, dakle, prema korolaru Kronecker-Capellijevog teorema, sustav je definiran, tj. ima jedinstveno rješenje.

Koje su prednosti druge metode? Glavna prednost je njegova svestranost. Nije nam bitno je li matrica sustava kvadratna ili ne. Osim toga, zapravo smo izvršili transformacije Gaussove metode prema naprijed. Ostalo je samo nekoliko koraka i mogli bismo dobiti rješenje ovog SLAE. Da budem iskrena, više volim drugi način nego prvi, ali izbor je stvar ukusa.

Odgovor: Zadani SLAE je dosljedan i definiran.

Primjer #2

Istražite SLAE $ \lijevo\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ za dosljednost.

Naći ćemo rangove matrice sustava i proširene matrice sustava metodom elementarnih transformacija. Proširena matrica sustava: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(niz) \desno)$. Pronađimo potrebne rangove transformacijom proširene matrice sustava:

Proširena matrica sustava svodi se na stepenasti oblik. Ako se matrica reducira na stepenasti oblik, tada je njen rang jednak broju redaka koji nisu nula. Prema tome, $\rank A=3$. Matrica $A$ (do crte) je svedena na trapezoidni oblik i njen rang je jednak 2, $\rang A=2$.

Budući da je $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, tada je, prema Kronecker-Capellijevom teoremu, sustav nekonzistentan (tj. nema rješenja).

Odgovor: Sustav je nedosljedan.

Primjer #3

Istražite SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ za kompatibilnost.

Proširena matrica sustava je: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(niz)\desno)$. Zamijenite prvi i drugi redak ove matrice tako da prvi element prvog retka bude jedan: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Proširenu matricu sustava i samu matricu sustava sveli smo na trapezni oblik. Rang proširene matrice sustava jednak je tri, rang matrice sustava također je jednak tri. Budući da sustav sadrži $n=5$ nepoznanica, tj. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли ovaj sustav je neodređeno, tj. ima beskonačan broj rješenja.

Odgovor: sustav je neodređen.

U drugom dijelu ćemo analizirati primjere koji su često uključeni u standardne izračune ili testove u višoj matematici: proučavanje kompatibilnosti i rješenje SLAE ovisno o vrijednostima parametara koji su u njemu uključeni.

  • Sustavi m linearne jednadžbe sa n nepoznato.
    Rješavanje sustava linearnih jednadžbi je takav skup brojeva ( x 1 , x 2 , …, x n), čijom zamjenom u svaku od jednadžbi sustava dobiva se točna jednakost.
    gdje a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n su koeficijenti sustava;
    b i , i = 1, …, m- besplatni članovi;
    x j , j = 1, …, n- nepoznato.
    Gornji sustav može se napisati u matričnom obliku: A X = B,




    gdje ( A|B) je glavna matrica sustava;
    A— proširena matrica sustava;
    x— kolona nepoznatih;
    B je stupac besplatnih članova.
    Ako matrica B nije nulta matrica ∅, onda se ovaj sustav linearnih jednadžbi naziva nehomogenim.
    Ako matrica B= ∅, tada se ovaj sustav linearnih jednadžbi naziva homogenim. Homogen sustav uvijek ima nulto (trivijalno) rješenje: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
    Zajednički sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji ima rješenje.
    Nekonzistentni sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji nema rješenja.
    Neki sustavi linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji ima jedinstveno rješenje.
    Neodređeni sustav linearnih jednadžbi je sustav linearnih jednadžbi koji ima beskonačan broj rješenja.
  • Sustavi od n linearnih jednadžbi s n nepoznanica
    Ako je broj nepoznanica jednak broju jednadžbi, tada je matrica kvadratna. Matrična determinanta naziva se glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi i označava se simbolom Δ.
    Cramer metoda za rješavanje sustava n linearne jednadžbe sa n nepoznato.
    Cramerovo pravilo.
    Ako glavna determinanta sustava linearnih jednadžbi nije jednaka nuli, tada je sustav konzistentan i definiran, a jedino rješenje se izračunava pomoću Cramerovih formula:
    gdje su Δ i determinante dobivene iz glavne determinante sustava Δ zamjenom ja stupca u stupac slobodnih članova. .
  • Sustavi od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica
    Kronecker-Cappellijev teorem.


    Da bi ovaj sustav linearnih jednadžbi bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang matrice sustava bude jednak rangu proširene matrice sustava, tj. rang(Α) = rang(Α|B).
    Ako a rang(Α) ≠ rang(Α|B), onda sustav očito nema rješenja.
    Ako rang(Α) = rang(Α|B), tada su moguća dva slučaja:
    1) rang(Α) = n(na broj nepoznanica) - rješenje je jedinstveno i može se dobiti Cramerovim formulama;
    2) rang (Α)< n − rješenja je beskonačno mnogo.
  • Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi


    Sastavimo proširenu matricu ( A|B) zadanog sustava koeficijenata na nepoznatoj i desnoj strani.
    Gaussova metoda ili metoda eliminacije nepoznanica sastoji se u smanjenju proširene matrice ( A|B) uz pomoć elementarnih transformacija preko svojih redova u dijagonalni oblik (u gornji trokutasti oblik). Vraćajući se sustavu jednadžbi, sve nepoznanice su određene.
    Elementarne transformacije nizova uključuju sljedeće:
    1) zamjena dva reda;
    2) množenje niza brojem koji nije 0;
    3) dodavanje nizu drugog niza pomnoženog s proizvoljnim brojem;
    4) odbacivanje nultog niza.
    Proširena matrica reducirana na dijagonalni oblik odgovara linearni sustav, ekvivalentan zadanom, čije rješenje ne izaziva poteškoće. .
  • Sustav homogenih linearnih jednadžbi.
    Homogeni sustav ima oblik:

    to odgovara matričnoj jednadžbi A X = 0.
    1) Homogeni sustav je uvijek konzistentan, jer r(A) = r(A|B), uvijek postoji nulto rješenje (0, 0, …, 0).
    2) Da bi homogeni sustav imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r = r(A)< n , što je ekvivalentno Δ = 0.
    3) Ako r< n , tada je Δ = 0, tada ima slobodnih nepoznanica c 1 , c 2 , …, c n-r, sustav ima netrivijalna rješenja, a ima ih beskonačno mnogo.
    4) Opće rješenje x na r< n može se napisati u matričnom obliku na sljedeći način:
    X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
    gdje su rješenja X 1 , X 2 , …, X n-r tvore temeljni sustav rješenja.
    5) Fundamentalni sustav rješenja može se dobiti iz općeg rješenja homogenog sustava:

    ,
    ako uzastopno pretpostavimo da su vrijednosti parametara (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
    Dekompozicija općeg rješenja u terminima temeljnog sustava rješenja je zapis općeg rješenja kao linearne kombinacije rješenja koja pripadaju temeljnom sustavu.
    Teorema. Da bi sustav linearnih homogenih jednadžbi imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ ≠ 0.
    Dakle, ako je determinanta Δ ≠ 0, tada sustav ima jedinstveno rješenje.
    Ako je Δ ≠ 0, tada sustav linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.
    Teorema. Da bi homogeni sustav imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r(A)< n .
    Dokaz:
    1) r ne može biti više n(rang matrice ne prelazi broj stupaca ili redaka);
    2) r< n , jer ako r=n, tada je glavna determinanta sustava Δ ≠ 0, a prema Cramerovim formulama postoji jedinstveno trivijalno rješenje x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, što je u suprotnosti s uvjetom. Sredstva, r(A)< n .
    Posljedica. U cilju homogenog sustava n linearne jednadžbe sa n nepoznanica ima rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ = 0.

gdje x* - jedno od rješenja nehomogenog sustava (2) (na primjer (4)), (E−A + A)čini kernel (nulti prostor) matrice A.

Napravimo kosturnu dekompoziciju matrice (E−A + A):

E−A + A=Q S

gdje Q n×n−r- matrica ranga (Q)=n−r, S n−r×n-rang matrica (S)=n−r.

Tada se (13) može napisati u sljedećem obliku:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

gdje k=Sz.

Tako, opći postupak rješavanja sustav linearnih jednadžbi pomoću pseudo inverzna matrica može se predstaviti u sljedećem obliku:

  1. Izračunajte pseudoinverznu matricu A + .
  2. Izračunavamo posebno rješenje nehomogenog sustava linearnih jednadžbi (2): x*=A + b.
  3. Provjeravamo kompatibilnost sustava. Za ovo izračunavamo AA + b. Ako a AA + b≠b, onda je sustav nedosljedan. U protivnom nastavljamo postupak.
  4. vyssylyaem E−A+A.
  5. Radi razgradnju kostura E−A + A=Q·S.
  6. Izrada rješenja

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi online

Online kalkulator omogućuje vam da pronađete opće rješenje sustava linearnih jednadžbi s detaljnim objašnjenjima.

Udio: