3 volte multiplo. Annuisci e annuisci di tre o più numeri. Determinazione tramite fattorizzazione
Diamo un'occhiata a tre modi per trovare il minimo comune multiplo.
Determinazione tramite fattorizzazione
Il primo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri dati in fattori primi.
Diciamo che dobbiamo trovare il MCM dei numeri: 99, 30 e 28. Per fare ciò, fattorizziamo ciascuno di questi numeri in fattori primi:
Affinché il numero desiderato sia divisibile per 99, 30 e 28, è necessario e sufficiente che includa tutti i fattori primi di questi divisori. Per fare ciò, dobbiamo prendere tutti i fattori primi di questi numeri alla massima potenza possibile e moltiplicarli tra loro:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Pertanto, MCM (99, 30, 28) = 13.860 Nessun altro numero inferiore a 13.860 è divisibile per 99, 30 o 28.
Per trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri, li scomponi nei loro fattori primi, quindi prendi ciascun fattore primo con l'esponente più grande in cui appare e moltiplica questi fattori insieme.
Poiché i numeri relativamente primi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, tre numeri: 20, 49 e 33 sono primi tra loro. Ecco perché
MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Lo stesso deve essere fatto quando si trova il minimo comune multiplo di diversi numeri primi. Ad esempio, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Trovare per selezione
Il secondo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo mediante selezione.
Esempio 1. Quando il più grande dei numeri dati viene diviso per un altro numero dato, il MCM di questi numeri è uguale al più grande di essi. Ad esempio, dati quattro numeri: 60, 30, 10 e 6. Ciascuno di essi è divisibile per 60, quindi:
MCM(60, 30, 10, 6) = 60
Negli altri casi, per trovare il minimo comune multiplo, si utilizza la seguente procedura:
- Determina il numero più grande dai numeri dati.
- Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli del numero più grande moltiplicandolo per i numeri naturali in ordine crescente e controllando se il prodotto risultante è divisibile per i restanti numeri dati.
Esempio 2. Dati tre numeri 24, 3 e 18. Determiniamo il più grande: questo è il numero 24. Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli di 24, controllando se ciascuno di essi è divisibile per 18 e 3:
24 · 1 = 24 - divisibile per 3, ma non divisibile per 18.
24 · 2 = 48 - divisibile per 3, ma non divisibile per 18.
24 · 3 = 72 - divisibile per 3 e 18.
Pertanto, MCM (24, 3, 18) = 72.
Trovare trovando in sequenza l'LCM
Il terzo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo trovando sequenzialmente l'LCM.
Il MCM di due numeri dati è uguale al prodotto di questi numeri diviso per il loro massimo comun divisore.
Esempio 1. Trova il MCM di due numeri dati: 12 e 8. Determina il loro massimo comun divisore: MCD (12, 8) = 4. Moltiplica questi numeri:
Dividiamo il prodotto per il loro MCD:
Pertanto, MCM (12, 8) = 24.
Per trovare il MCM di tre o più numeri, utilizzare la seguente procedura:
- Per prima cosa, trova il MCM di due qualsiasi di questi numeri.
- Quindi, MCM del minimo comune multiplo trovato e del terzo numero indicato.
- Quindi, il MCM del minimo comune multiplo risultante e del quarto numero, ecc.
- Pertanto, la ricerca di LCM continua finché ci sono numeri.
Esempio 2. Troviamo il MCM di tre numeri dati: 12, 8 e 9. Abbiamo già trovato il MCM dei numeri 12 e 8 nell'esempio precedente (questo è il numero 24). Resta da trovare il minimo comune multiplo del numero 24 e il terzo numero dato - 9. Determina il loro massimo comun divisore: MCD (24, 9) = 3. Moltiplica il MCM per il numero 9:
Dividiamo il prodotto per il loro MCD:
Pertanto, MCM (12, 8, 9) = 72.
LCM – minimo comune multiplo. Un numero che dividerà tutti i numeri dati senza resto.
Ad esempio, se i numeri indicati sono 2, 3, 5, allora LCM=2*3*5=30
E se i numeri indicati sono 2,4,8, allora MCM =8
cos'è il GCD?
MCD è il massimo comun divisore. Un numero che può essere utilizzato per dividere ciascuno dei numeri indicati senza lasciare resto.
È logico che se i numeri indicati sono primi, allora il mcd è uguale a uno.
E se i numeri indicati sono 2, 4, 8, allora MCD è uguale a 2.
Non lo descriveremo in termini generali, ma mostreremo semplicemente la soluzione con un esempio.
Dati due numeri 126 e 44. Trova MCD.
Quindi se ci vengono forniti due numeri del modulo
Quindi il GCD viene calcolato come
dove min è il valore minimo di tutte le potenze del numero pn
e NOC come
dove max è il valore massimo di tutte le potenze del numero pn
Osservando le formule sopra riportate, puoi facilmente dimostrare che il mcd di due o più numeri sarà uguale a uno, quando tra almeno una coppia di valori dati ci sono numeri relativamente primi.
Pertanto, è facile rispondere alla domanda su cosa sia uguale al MCD di numeri come 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 senza calcolare nulla.
i numeri 3 e 7 sono coprimi, e quindi mcd = 1
Diamo un'occhiata a un esempio.
Dati tre numeri 24654, 25473 e 954
Ogni numero è scomposto nei seguenti fattori
Oppure, se lo scriviamo in una forma alternativa
Cioè, il MCD di questi tre numeri è uguale a tre
Bene, possiamo calcolare l'LCM in modo simile, ed è uguale a
Il nostro bot ti aiuterà a calcolare il MCD e il MCM di qualsiasi numero intero, due, tre o dieci.
Continuiamo la conversazione sul minimo comune multiplo, che abbiamo iniziato nella sezione "LCM - minimo comune multiplo, definizione, esempi". In questo argomento esamineremo i modi per trovare l'LCM di tre o più numeri e esamineremo la questione su come trovare l'LCM di un numero negativo.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Calcolo del minimo comune multiplo (LCM) tramite GCD
Abbiamo già stabilito la relazione tra il minimo comune multiplo e il massimo comun divisore. Ora impariamo come determinare l'LCM tramite GCD. Per prima cosa, vediamo come farlo per i numeri positivi.
Definizione 1
Puoi trovare il minimo comune multiplo attraverso il massimo comune divisore utilizzando la formula MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).
Esempio 1
Devi trovare l'LCM dei numeri 126 e 70.
Soluzione
Prendiamo a = 126, b = 70. Sostituiamo i valori nella formula per calcolare il minimo comune multiplo attraverso il massimo comun divisore MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .
Trova il mcd dei numeri 70 e 126. Per questo abbiamo bisogno dell'algoritmo euclideo: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, quindi MCD (126 , 70) = 14 .
Calcoliamo il LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Risposta: MCM(126, 70) = 630.
Esempio 2
Trova il numero 68 e 34.
Soluzione
Il MCD in questo caso non è difficile da trovare, poiché 68 è divisibile per 34. Calcoliamo il minimo comune multiplo utilizzando la formula: MCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Risposta: MCM(68, 34) = 68.
In questo esempio, abbiamo utilizzato la regola per trovare il minimo comune multiplo degli interi positivi a e b: se il primo numero è divisibile per il secondo, il MCM di quei numeri sarà uguale al primo numero.
Trovare il LCM fattorizzando i numeri in fattori primi
Ora diamo un'occhiata al metodo per trovare l'LCM, che si basa sulla fattorizzazione dei numeri in fattori primi.
Definizione 2
Per trovare il minimo comune multiplo dobbiamo eseguire alcuni semplici passaggi:
- componiamo il prodotto di tutti i fattori primi dei numeri per i quali dobbiamo trovare il MCM;
- escludiamo tutti i fattori primi dai loro prodotti risultanti;
- il prodotto ottenuto dopo aver eliminato i fattori primi comuni sarà uguale al MCM dei numeri dati.
Questo metodo per trovare il minimo comune multiplo si basa sull'uguaglianza MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b). Se guardi la formula, diventerà chiaro: il prodotto dei numeri aeb è uguale al prodotto di tutti i fattori che partecipano alla scomposizione di questi due numeri. In questo caso, il MCD di due numeri è uguale al prodotto di tutti i fattori primi presenti contemporaneamente nella fattorizzazione di questi due numeri.
Esempio 3
Abbiamo due numeri 75 e 210. Possiamo fattorizzarli come segue: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Se componi il prodotto di tutti i fattori dei due numeri originali, ottieni: 2 3 3 5 5 5 7.
Se escludiamo i fattori comuni ai numeri 3 e 5, otteniamo un prodotto della forma seguente: 2 3 5 5 7 = 1050. Questo prodotto sarà il nostro LCM per i numeri 75 e 210.
Esempio 4
Trova il LCM dei numeri 441 E 700 , fattorizzando entrambi i numeri in fattori primi.
Soluzione
Troviamo tutti i fattori primi dei numeri indicati nella condizione:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Otteniamo due catene di numeri: 441 = 3 3 7 7 e 700 = 2 2 5 5 7.
Il prodotto di tutti i fattori che hanno partecipato alla scomposizione di questi numeri avrà la forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Troviamo i fattori comuni. Questo è il numero 7. Escludiamolo dal prodotto totale: 2 2 3 3 5 5 7 7. Si scopre che NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Risposta: LOC(441, 700) = 44.100.
Diamo un'altra formulazione del metodo per trovare il MCM scomponendo i numeri in fattori primi.
Definizione 3
In precedenza, abbiamo escluso dal numero totale i fattori comuni a entrambi i numeri. Ora lo faremo diversamente:
- Scomponiamo entrambi i numeri in fattori primi:
- aggiungi al prodotto dei fattori primi del primo numero i fattori mancanti del secondo numero;
- otteniamo il prodotto, che sarà il MCM desiderato di due numeri.
Esempio 5
Torniamo ai numeri 75 e 210, per i quali abbiamo già cercato l'LCM in uno degli esempi precedenti. Suddividiamoli in semplici fattori: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Al prodotto dei fattori 3, 5 e 5 i numeri 75 aggiungono i fattori mancanti 2 E 7 numeri 210. Noi abbiamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Questo è il LCM dei numeri 75 e 210.
Esempio 6
È necessario calcolare il LCM dei numeri 84 e 648.
Soluzione
Scomponiamo i numeri della condizione in fattori semplici: 84 = 2 2 3 7 E 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Aggiungiamo al prodotto i fattori 2, 2, 3 e 7
numeri 84 fattori mancanti 2, 3, 3 e
3
numeri 648. Otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Questo è il minimo comune multiplo tra 84 e 648.
Risposta: VLCM(84, 648) = 4.536.
Trovare il MCM di tre o più numeri
Indipendentemente dal numero di numeri con cui abbiamo a che fare, l'algoritmo delle nostre azioni sarà sempre lo stesso: troveremo in sequenza il MCM di due numeri. C'è un teorema per questo caso.
Teorema 1
Supponiamo di avere numeri interi un 1 , un 2 , ... , un k. NOC m k questi numeri si trovano calcolando in sequenza m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Vediamo ora come applicare il teorema per risolvere problemi specifici.
Esempio 7
Devi calcolare il minimo comune multiplo di quattro numeri 140, 9, 54 e 250 .
Soluzione
Introduciamo la notazione: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Cominciamo calcolando m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Applichiamo l'algoritmo euclideo per calcolare il MCD dei numeri 140 e 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Otteniamo: MCD (140, 9) = 1, MCD (140, 9) = 140 9: MCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Pertanto, m2 = 1.260.
Ora calcoliamo utilizzando lo stesso algoritmo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Durante i calcoli otteniamo m 3 = 3 780.
Non ci resta che calcolare m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Seguiamo lo stesso algoritmo. Otteniamo m 4 = 94 500.
L'LCM dei quattro numeri della condizione di esempio è 94500.
Risposta: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Come puoi vedere, i calcoli sono semplici, ma piuttosto laboriosi. Per risparmiare tempo, puoi andare in un altro modo.
Definizione 4
Ti offriamo il seguente algoritmo di azioni:
- scomponiamo tutti i numeri in fattori primi;
- al prodotto dei fattori del primo numero aggiungiamo i fattori mancanti dal prodotto del secondo numero;
- al prodotto ottenuto nella fase precedente aggiungiamo i fattori mancanti del terzo numero, ecc.;
- il prodotto risultante sarà il minimo comune multiplo di tutti i numeri della condizione.
Esempio 8
Devi trovare l'LCM di cinque numeri 84, 6, 48, 7, 143.
Soluzione
Scomponiamo tutti e cinque i numeri in fattori primi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. I numeri primi, ovvero il numero 7, non possono essere scomposti in fattori primi. Tali numeri coincidono con la loro scomposizione in fattori primi.
Ora prendiamo il prodotto dei fattori primi 2, 2, 3 e 7 del numero 84 e aggiungiamo ad essi i fattori mancanti del secondo numero. Abbiamo scomposto il numero 6 in 2 e 3. Questi fattori sono già nel prodotto del primo numero. Pertanto li omettiamo.
Continuiamo ad aggiungere i moltiplicatori mancanti. Passiamo al numero 48, dal prodotto dei cui fattori primi prendiamo 2 e 2. Poi aggiungiamo il fattore primo di 7 del quarto numero e i divisori di 11 e 13 del quinto. Otteniamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Questo è il minimo comune multiplo dei cinque numeri originali.
Risposta: VL (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Trovare il minimo comune multiplo dei numeri negativi
Per trovare il minimo comune multiplo dei numeri negativi, questi numeri devono prima essere sostituiti da numeri con il segno opposto, quindi i calcoli devono essere eseguiti utilizzando gli algoritmi sopra indicati.
Esempio 9
VMC (54, − 34) = VMC (54, 34) e VMC (− 622, − 46, − 54, − 888) = VMC (622, 46, 54, 888).
Tali azioni sono consentite perché se lo accettiamo UN E − a– numeri opposti,
quindi l'insieme dei multipli di un numero UN corrisponde all'insieme dei multipli di un numero − a.
Esempio 10
È necessario calcolare il LCM dei numeri negativi − 145 E − 45 .
Soluzione
Sostituiamo i numeri − 145 E − 45 ai loro numeri opposti 145 E 45 . Ora, utilizzando l'algoritmo, calcoliamo il MCM (145, 45) = 145 · 45: MCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, avendo precedentemente determinato il MCD utilizzando l'algoritmo euclideo.
Otteniamo che il LCM dei numeri è − 145 e − 45 equivale 1 305 .
Risposta: LCM (-145, -45) = 1.305.
Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
Per capire come calcolare il LCM è necessario innanzitutto determinare il significato del termine “multiplo”.
Un multiplo di A è un numero naturale divisibile per A senza resto. Pertanto, i numeri multipli di 5 possono essere considerati 15, 20, 25 e così via.
Può esserci un numero limitato di divisori di un particolare numero, ma esiste un numero infinito di multipli.
Un multiplo comune dei numeri naturali è un numero divisibile per essi senza lasciare resto.
Come trovare il minimo comune multiplo dei numeri
Il minimo comune multiplo (MCM) dei numeri (due, tre o più) è il più piccolo numero naturale divisibile per tutti questi numeri.
Per trovare il LOC, puoi utilizzare diversi metodi.
Per i numeri piccoli è conveniente scrivere tutti i multipli di questi numeri su una riga finché non si trova qualcosa in comune tra loro. I multipli si indicano con la lettera maiuscola K.
Ad esempio, i multipli di 4 possono essere scritti in questo modo:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Pertanto, puoi vedere che il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6 è il numero 24. Questa notazione viene eseguita come segue:
MCM(4, 6) = 24
Ora scrivi i fattori comuni ad entrambi i numeri. Nella nostra versione è due e cinque. Tuttavia, in altri casi questo numero può essere composto da una, due o tre cifre o anche di più. Successivamente devi lavorare con i gradi. Scegli la potenza più piccola per ciascun fattore. Nell'esempio è due alla seconda potenza e cinque alla prima.
Infine, devi solo moltiplicare i numeri risultanti. Nel nostro caso, tutto è estremamente semplice: due quadrati moltiplicati per cinque fanno 20. Pertanto, il numero 20 può essere definito il massimo comun divisore per 60 e 80.
Video sull'argomento
Nota
Ricorda che un fattore primo è un numero che ha solo 2 divisori: uno e il numero stesso.
Consigli utili
Oltre a questo metodo, puoi anche utilizzare l'algoritmo euclideo. La sua descrizione completa, presentata in forma geometrica, può essere trovata nel libro "Elementi" di Euclide.
Articolo correlato
L'addizione e la sottrazione delle frazioni naturali è possibile solo se hanno lo stesso denominatore. Per non complicare i calcoli portandoli ad un unico denominatore, trova il minimo comun divisore dei denominatori ed effettua il calcolo.
Avrai bisogno
- - capacità di scomporre i numeri in fattori primi;
- - capacità di eseguire operazioni con le frazioni.
Istruzioni
Annota l'addizione delle frazioni. Quindi, trova il loro minimo comune multiplo. Per fare ciò, esegui la seguente sequenza di azioni: 1. Immagina ciascuno dei denominatori dei numeri primi (un numero primo, un numero che è divisibile solo per 1 e se stesso senza resto, ad esempio 2, 3, 5, 7, ecc.).2. Raggruppa tutti quelli semplici scritti, indicando i loro gradi. 3. Scegli le potenze più grandi di ciascuno di questi fattori primi che compaiono in questi numeri. 4. Moltiplicare i poteri scritti.
Ad esempio, il denominatore comune per le frazioni con denominatori 15, 24 e 36 sarà un numero che può essere calcolato come segue: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Scrivi le potenze maggiori di tutti i divisori primi di questi numeri: 2^3 3^2 5=360.
Dividi il denominatore comune per ciascuno e i denominatori delle frazioni da sommare. Moltiplica i loro numeratori per il numero risultante. Sotto la linea comune della frazione, scrivi il minimo comune dividendo, che è anche il minimo comune denominatore. Al numeratore, aggiungi i numeri risultanti dalla moltiplicazione di ciascun numeratore per il quoziente del minimo comune divisore diviso per il denominatore della frazione. La somma di tutti i numeratori e divisa per il minimo comune denominatore sarà il numero desiderato.
Ad esempio, per il 15/4, il 24/7 e il 36/11, esegui questa operazione. Trova il minimo comune denominatore, che è 360. Quindi dividi 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Moltiplicare il numero 4, che è il numeratore della prima frazione, per 24 (4 24=96), il numero 7 per 15 (7 15=105), il numero 11 per 10 (11 10=110). Quindi aggiungi questi numeri (96+105+110=301). Otteniamo il risultato 4/15+7/24+11/36=301/360.
Fonti:
- come trovare il numero più piccolo
Gli interi sono una varietà di numeri matematici che hanno molte applicazioni nella vita di tutti i giorni. I numeri interi non negativi vengono utilizzati quando si indica il numero di oggetti, numeri negativi - nei messaggi sulle previsioni del tempo, ecc. GCD e LCM sono caratteristiche naturali dei numeri interi associati alle operazioni di divisione.
Istruzioni
Il GCD è facile da calcolare utilizzando l'algoritmo euclideo o il metodo binario. Secondo l'algoritmo di Euclide per determinare il mcd dei numeri a e b, uno dei quali non è zero, esiste una sequenza di numeri r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, in cui r_1 è uguale al resto della divisione il primo numero dal secondo. E gli altri membri della sequenza sono uguali ai resti della divisione del membro precedente per il precedente, e il penultimo elemento è diviso per l'ultimo senza resto.
Matematicamente la sequenza può essere rappresentata come:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
dove k_i è un fattore intero.
MCD (a, b) = r_n.
Esempio.
Trova GCD (36, 120). Secondo l’algoritmo euclideo, sottrai da 120 un numero multiplo di 36, in questo caso è 120 – 36*3 = 12. Ora sottrai da 120 un numero multiplo di 12, otterrai 120 – 12* 10 = 0. Pertanto, MCD (36, 120) = 12.
L'algoritmo binario per trovare il GCD si basa sulla teoria dello spostamento. Secondo questo metodo, il mcd di due numeri ha le seguenti proprietà:
MCD (a, b) = 2*MCD (a/2, b/2) anche per a e b
MCD (a, b) = MCD (a/2, b) per a pari e b dispari (è vero il contrario per MCD (a, b) = MCD (a, b/2))
MCD (a, b) = MCD ((a - b)/2, b) per a > b dispari
MCD (a, b) = MCD ((b - a)/2, a) per b dispari > a
Pertanto, mcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* mcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
Il minimo comune multiplo (LCM) di due numeri interi è il più piccolo intero divisibile per entrambi i numeri originali senza lasciare resto.
Il MCM può essere calcolato utilizzando MCD: MCM (a, b) = |a*b|/MCD (a, b).
Il secondo modo per calcolare il LCM è la fattorizzazione canonica dei numeri in fattori primi:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
dove r_i sono numeri primi e k_i e m_i sono numeri interi ≥ 0.
LCM è rappresentato sotto forma degli stessi fattori primi, dove il massimo di due numeri è considerato come potenza.
Esempio.
Trovare il LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
MCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
Il materiale presentato di seguito è una logica continuazione della teoria dell'articolo intitolato LCM - minimo comune multiplo, definizione, esempi, connessione tra LCM e GCD. Qui parleremo di trovare il minimo comune multiplo (LCM), e presteremo particolare attenzione alla risoluzione degli esempi. Innanzitutto, mostreremo come viene calcolato il MCM di due numeri utilizzando il MCD di questi numeri. Successivamente, esamineremo come trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri in fattori primi. Successivamente, ci concentreremo sulla ricerca del LCM di tre o più numeri e presteremo attenzione anche al calcolo del LCM dei numeri negativi.
Navigazione della pagina.
Calcolo del minimo comune multiplo (LCM) tramite GCD
Un modo per trovare il minimo comune multiplo si basa sulla relazione tra MCM e MCD. La connessione esistente tra MCM e MCD ci consente di calcolare il minimo comune multiplo di due interi positivi attraverso un massimo comun divisore noto. La formula corrispondente è LCM(a, b)=a b:MCD(a, b) . Diamo un'occhiata agli esempi di come trovare l'LCM utilizzando la formula fornita.
Esempio.
Trova il minimo comune multiplo di due numeri 126 e 70.
Soluzione.
In questo esempio a=126, b=70. Usiamo la connessione tra MCM e MCD, espressa dalla formula LCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Cioè, prima dobbiamo trovare il massimo comun divisore dei numeri 70 e 126, dopodiché possiamo calcolare il MCM di questi numeri utilizzando la formula scritta.
Troviamo MCD(126, 70) utilizzando l'algoritmo euclideo: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, quindi MCD(126, 70)=14.
Ora troviamo il minimo comune multiplo richiesto: MCD(126, 70)=126·70:MCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Risposta:
MMC(126, 70)=630 .
Esempio.
A quanto è uguale MCM(68, 34)?
Soluzione.
Perché 68 è divisibile per 34, quindi MCD(68, 34)=34. Ora calcoliamo il minimo comune multiplo: MCD(68, 34)=68·34:MCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Risposta:
MMC(68, 34)=68 .
Nota che l'esempio precedente si adatta alla seguente regola per trovare il MCM per gli interi positivi a e b: se il numero a è divisibile per b, allora il minimo comune multiplo di questi numeri è a.
Trovare il LCM fattorizzando i numeri in fattori primi
Un altro modo per trovare il minimo comune multiplo è quello di fattorizzare i numeri in fattori primi. Se componi un prodotto da tutti i fattori primi di determinati numeri, e poi escludi da questo prodotto tutti i fattori primi comuni presenti nelle scomposizioni dei numeri dati, allora il prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo dei numeri dati .
La regola stabilita per trovare l'LCM segue dall'uguaglianza LCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Infatti, il prodotto dei numeri a e b è uguale al prodotto di tutti i fattori coinvolti nell'espansione dei numeri a e b. A sua volta, MCD(a, b) è uguale al prodotto di tutti i fattori primi presenti simultaneamente negli sviluppi dei numeri a e b (come descritto nella sezione su come trovare MCD utilizzando l'espansione dei numeri in fattori primi).
Facciamo un esempio. Sappiamo che 75=3·5·5 e 210=2·3·5·7. Componiamo il prodotto di tutti i fattori di queste espansioni: 2·3·3·5·5·5·7 . Ora da questo prodotto escludiamo tutti i fattori presenti sia nell'espansione del numero 75 che nell'espansione del numero 210 (questi fattori sono 3 e 5), quindi il prodotto assumerà la forma 2·3·5·5·7 . Il valore di questo prodotto è pari al minimo comune multiplo tra 75 e 210, cioè NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.
Esempio.
Fattorizza i numeri 441 e 700 in fattori primi e trova il minimo comune multiplo di questi numeri.
Soluzione.
Scomponiamo in fattori primi i numeri 441 e 700:
Otteniamo 441=3·3·7·7 e 700=2·2·5·5·7.
Ora creiamo un prodotto da tutti i fattori coinvolti nell'espansione di questi numeri: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Escludiamo da questo prodotto tutti i fattori che sono presenti contemporaneamente in entrambe le espansioni (esiste solo uno di questi fattori - questo è il numero 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Così, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Risposta:
NOC(441, 700)= 44 100 .
La regola per trovare il MCM utilizzando la fattorizzazione dei numeri in fattori primi può essere formulata in modo leggermente diverso. Se i fattori mancanti dell'espansione del numero b vengono aggiunti ai fattori dell'espansione del numero a, il valore del prodotto risultante sarà uguale al minimo comune multiplo dei numeri a e b.
Ad esempio, prendiamo gli stessi numeri 75 e 210, la loro scomposizione in fattori primi è la seguente: 75=3·5·5 e 210=2·3·5·7. Ai fattori 3, 5 e 5 dell'espansione del numero 75 aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 7 dell'espansione del numero 210, otteniamo il prodotto 2·3·5·5·7, il cui valore è uguale a MCM(75, 210).
Esempio.
Trova il minimo comune multiplo tra 84 e 648.
Soluzione.
Otteniamo prima la scomposizione dei numeri 84 e 648 in fattori primi. Sembrano 84=2·2·3·7 e 648=2·2·2·3·3·3·3. Ai fattori 2, 2, 3 e 7 dall'espansione del numero 84 aggiungiamo i fattori mancanti 2, 3, 3 e 3 dall'espansione del numero 648, otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7, che è uguale a 4 536 . Pertanto, il minimo comune multiplo desiderato tra 84 e 648 è 4536.
Risposta:
VLCM(84, 648)=4.536 .
Trovare il MCM di tre o più numeri
Il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere trovato trovando in sequenza il MCM di due numeri. Ricordiamo il teorema corrispondente, che fornisce un modo per trovare il MCM di tre o più numeri.
Teorema.
Dati i numeri interi positivi a 1 , a 2 , …, a k, il minimo comune multiplo m k di questi numeri si trova calcolando in sequenza m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Consideriamo l'applicazione di questo teorema usando l'esempio della ricerca del minimo comune multiplo di quattro numeri.
Esempio.
Trova il LCM di quattro numeri 140, 9, 54 e 250.
Soluzione.
In questo esempio, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Per prima cosa troviamo m2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Per fare ciò, utilizzando l'algoritmo euclideo, determiniamo MCD(140, 9), abbiamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, pertanto, MCD(140, 9)=1 , da dove MCD(140, 9)=140 9:MCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Cioè, m2 =1 260.
Ora troviamo m3 = LOC (m2, a3) = LOC (1 260, 54). Calcoliamolo tramite MCD(1 260, 54), che determiniamo anch'esso utilizzando l'algoritmo euclideo: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Allora mcd(1.260, 54)=18, da cui mcd(1.260, 54)= 1.260·54:mcd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Cioè, m3 =3 780.
Non resta che trovare m4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Per fare ciò, troviamo MCD(3.780, 250) utilizzando l'algoritmo euclideo: 3.780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Pertanto, MCM(3.780, 250)=10, da cui MCM(3.780, 250)= 3 780 250: MCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Cioè, m4 =94 500.
Quindi il minimo comune multiplo dei quattro numeri originali è 94.500.
Risposta:
VLCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
In molti casi, è conveniente trovare il minimo comune multiplo di tre o più numeri utilizzando la scomposizione in fattori primi dei numeri dati. In questo caso, dovresti rispettare la seguente regola. Il minimo comune multiplo di più numeri è uguale al prodotto, che è così composto: i fattori mancanti dell'espansione del secondo numero si sommano a tutti i fattori dell'espansione del primo numero, i fattori mancanti dell'espansione di il terzo numero viene aggiunto ai fattori risultanti e così via.
Diamo un'occhiata a un esempio di come trovare il minimo comune multiplo utilizzando la scomposizione in fattori primi.
Esempio.
Trova il minimo comune multiplo dei cinque numeri 84, 6, 48, 7, 143.
Soluzione.
Per prima cosa otteniamo la scomposizione di questi numeri in fattori primi: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 è un numero primo, coincide con la sua scomposizione in fattori primi) e 143=11·13.
Per trovare il MCM di questi numeri, ai fattori del primo numero 84 (sono 2, 2, 3 e 7), è necessario aggiungere i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero 6. La scomposizione del numero 6 non contiene fattori mancanti, poiché sia il 2 che il 3 sono già presenti nella scomposizione del primo numero 84. Successivamente, ai fattori 2, 2, 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del terzo numero 48, otteniamo un insieme di fattori 2, 2, 2, 2, 3 e 7. Non sarà necessario aggiungere moltiplicatori a questo set nel passaggio successivo, poiché 7 è già contenuto in esso. Infine, ai fattori 2, 2, 2, 2, 3 e 7 aggiungiamo i fattori mancanti 11 e 13 dall'espansione del numero 143. Otteniamo il prodotto 2·2·2·2·3·7·11·13, che è uguale a 48.048.