Metodi per specificare la legge di distribuzione di dsv. Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta. Esempi di risoluzione di problemi: Deviazione quadratica media e varianza di una variabile casuale


Definizione 4.1.Variabile casualeè una quantità che, per effetto dell'esperimento, assume uno dei suoi valori possibili, e non si sa a priori quale.

Indicheremo le variabili casuali con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino ( X, Y, Z,…), ed i loro possibili significati sono indicati in lettere minuscole corrispondenti ( x io, y io,…).

Definizione 4.2. discreto, se assume valori possibili separati e isolati con determinate probabilità.

Definizione 4.3. Viene chiamata la variabile casuale continuo, se l'insieme dei suoi possibili valori riempie completamente un intervallo finito o infinito.

La definizione e le proprietà della funzione di distribuzione vengono preservate per la casualità continua una quantità per la quale la funzione di distribuzione può essere considerata uno dei tipi di specificazione della legge di distribuzione. Ma per una variabile casuale continua, la probabilità di ogni singolo valore è 0. Questo è segue dalla proprietà 4 della funzione di distribuzione: R(X = UN) = F(UN) – F(UN) = 0. Pertanto, per una variabile casuale di questo tipo ha senso parlare solo della probabilità che rientri in un determinato intervallo.

Il secondo modo per specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale continua è la cosiddetta densità di distribuzione (densità di probabilità, funzione differenziale).

Definizione 5.1. Funzione F(X), chiamato densità di distribuzione la variabile casuale continua è determinata dalla formula:

F (X) = F'(X), (5.1)

cioè, è la derivata della funzione di distribuzione.

Proprietà della densità di distribuzione.

1) F(X) ≥ 0, poiché la funzione di distribuzione non è decrescente.

2), che consegue dalla definizione di densità di distribuzione.

3) La probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo ( un, b) è determinato dalla formula Infatti,

4) (condizione di normalizzazione). La sua validità deriva dal fatto che a

5) da quando

Pertanto, il grafico della densità di distribuzione è una curva situata sopra l'asse O X, e questo asse è il suo asintoto orizzontale in (quest'ultimo è vero solo per le variabili casuali, il cui insieme di valori possibili è l'intero insieme dei numeri reali). L'area del trapezio curvilineo delimitata dal grafico di questa funzione è uguale a uno.

Commento. Se tutti i possibili valori di una variabile casuale continua sono concentrati sull'intervallo [ un, b], allora tutti gli integrali vengono calcolati entro questi limiti e all'esterno dell'intervallo [ un, b] F(X) ≡ 0.

10.Caratteristiche numeriche delle variabili aleatorie discrete e continue. Aspettativa matematica di una variabile casuale e sue proprietà. Dispersione di una variabile casuale e sue proprietà.

La legge di distribuzione (funzione di distribuzione e serie di distribuzione o densità di probabilità) descrive completamente il comportamento di una variabile casuale. Ma in una serie di problemi è sufficiente conoscere alcune caratteristiche numeriche del valore in esame (ad esempio il suo valore medio e la possibile deviazione da esso) per rispondere alla domanda posta.

I metodi per specificare una variabile casuale discreta non sono generali: non sono applicabili, ad esempio, per variabili casuali continue. Lasciamo infatti che i possibili valori della variabile casuale X riempiano completamente l'intervallo (a;b). È possibile elencare tutti i possibili valori di X? NO. Abbiamo bisogno di un modo generale per specificare qualsiasi tipo di variabile casuale. A questo scopo vengono introdotte le funzioni di distribuzione di probabilità di una variabile casuale.


Funzione di distribuzione La funzione di distribuzione è la funzione F(x), che determina la probabilità che la variabile casuale X come risultato del test assuma un valore inferiore a x, cioè F(x) = P(X


X 1. 3. 3. La probabilità che la variabile casuale assuma il valore concluso" title="Proprietà della funzione di distribuzione 1. 1. I valori della funzione di distribuzione appartengono al segmento: 0 F (x) 1. 2. 2. F (x) è una funzione non decrescente, cioè F(x 2) F(x 1), se x 2 > x 1. 3. 3. La probabilità che una variabile casuale assumere un valore è concluso" class="link_thumb"> 4 !} Proprietà della funzione di distribuzione I valori della funzione di distribuzione appartengono al segmento: 0 F(x) F(x) è una funzione non decrescente, cioè F(x 2) F(x 1), se x 2 > x La probabilità che la variabile casuale assuma il valore contenuto nell'intervallo (a;b), pari all'incremento della funzione di distribuzione su tale intervallo: P (a x 1. 3. 3. La probabilità che una variabile casuale assuma un valore contenuto in "> x 1. 3. 3. La probabilità che una variabile casuale assuma un valore contenuto nell'intervallo (a; b) è pari a l'incremento della funzione di distribuzione su questo intervallo: P (a"> x 1. 3. 3. La probabilità che la variabile casuale assuma il valore concluso" title="Proprietà della funzione di distribuzione 1. 1. I valori della funzione di distribuzione appartengono all'intervallo: 0 F( x) 1. 2. 2. F(x) – funzione non decrescente, cioè F(x 2) F(x 1), se x 2 > x 1. 3. 3. La probabilità che la variabile casuale abbia effetto, concluso"> title="Proprietà della funzione di distribuzione 1. 1. I valori della funzione di distribuzione appartengono al segmento: 0 F(x) 1. 2. 2. F(x) è una funzione non decrescente, cioè F(x 2) F(x 1), se x 2 > x 1. 3. 3. Si conclude la probabilità che una variabile casuale assuma un valore"> !}


Esempio 1. Una variabile casuale X è data da una funzione di distribuzione 0 at x -1 F(x) = x/4+1/4 at Trovare la probabilità che come risultato del test X assuma un valore appartenente all'intervallo (0;2): P(0







4. 4. La probabilità che una variabile casuale continua X assuma un valore specifico è 0. Pertanto, ha senso considerare la probabilità che una variabile casuale rientri in un intervallo, anche se piccolo. Ad esempio, sono interessati alla probabilità che le dimensioni delle parti non superino i limiti consentiti, ma non sollevano la questione della probabilità della loro coincidenza con la dimensione del progetto.


Ma è sbagliato pensare che l'uguaglianza della probabilità P(X=x 1) a 0 significhi che l'evento X=x 1 sia impossibile (se non ci limitiamo alla definizione classica di probabilità). Come risultato del test la variabile casuale assumerà necessariamente uno dei valori possibili; in particolare tale valore può essere pari a x 1.


5. 5. Se i possibili valori di una variabile casuale appartengono all'intervallo (a;b), allora 1) F(x) = 0 per x a; 2) F(x) = 1 in x b. ] Se i possibili valori di una variabile casuale continua si trovano sull'intero asse x, allora valgono le seguenti relazioni limite: Lim F(x) = 0; Lim F(x) = 1. x- x+






Distribuzione della densità di probabilità di una variabile casuale continua Il metodo per specificare una variabile casuale continua utilizzando la funzione di distribuzione non è l'unico. Una variabile casuale continua può anche essere specificata utilizzando un'altra funzione, chiamata densità di distribuzione o densità di probabilità (a volte chiamata funzione differenziale).


La densità di distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua X è chiamata funzione f(x) - la derivata prima della funzione di distribuzione F(x): f(x) = F"(x). Quindi, la funzione di distribuzione è un'antiderivativa della densità di distribuzione.


π/2. Trova la densità di distribuzione f(x). 0 in x π/2." title="Esempio. Data la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X 0 in x 0 F(x) = sinx in 0 π/2. Trova la densità di distribuzione f(x ). 0 in xπ/2." class="link_thumb"> 18 !} Esempio. Data è la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X 0 in x 0 F(x) = sinx in 0 π/2. Trova la densità di distribuzione f(x). 0 in xπ/2. π/2. Trova la densità di distribuzione f(x). 0 in x π/2."> π/2. Trova la densità di distribuzione f(x). 0 in x π/2."> π/2. Trova la densità di distribuzione f(x). 0 in x π/2." title="Esempio. Data la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X 0 in x 0 F(x) = sinx in 0 π/2. Trova la densità di distribuzione f(x ). 0 in xπ/2."> (x) = cosx при 0 π/2." title="Esempio. Data è la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X 0 in x 0 F(x) = sinx in 0 π/2. Trova la densità di distribuzione f(x). 0 in xπ/2."> !}






Proprietà della densità di distribuzione La densità di distribuzione è una funzione non negativa: f(x) 0. Il grafico della densità di distribuzione è chiamato curva di distribuzione L'integrale improprio della densità di distribuzione nell'intervallo da - a è uguale a 1. f(x )dx = 1. -


Significato probabilistico della densità di distribuzione La funzione f(x) determina la densità di distribuzione di probabilità per ciascun punto x. Per x sufficientemente piccolo. F(x + x) - F(x) f(x)x. Perché la differenza F(x + x) - F(x) determina (vedi sopra) la probabilità che X assuma un valore appartenente all'intervallo (x; x + x), allora tale probabilità è quindi approssimativamente pari al prodotto delle densità di probabilità in t x per la lunghezza dell'intervallo x.

Come è noto, variabile casuale si chiama grandezza variabile che può assumere determinati valori a seconda dei casi. Le variabili casuali sono indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino (X, Y, Z) e i loro valori sono indicati con lettere minuscole corrispondenti (x, y, z). Le variabili casuali si dividono in discontinue (discrete) e continue.

Variabile casuale discreta è una variabile casuale che accetta solo un insieme di valori finito o infinito (numerabile) con determinate probabilità diverse da zero.

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta è una funzione che collega i valori di una variabile casuale con le probabilità corrispondenti. La legge di distribuzione può essere specificata in uno dei seguenti modi.

1 . La legge di distribuzione può essere data dalla tabella:

dove λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) usando funzione di distribuzione F(x) , che determina per ciascun valore x la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore inferiore a x, cioè F(x) = P(X< x).

Proprietà della funzione F(x)

3 . La legge di distribuzione può essere specificata graficamente – poligono di distribuzione (poligono) (vedi problema 3).

Si noti che per risolvere alcuni problemi non è necessario conoscere la legge di distribuzione. In alcuni casi è sufficiente conoscere uno o più numeri che riflettono le caratteristiche più importanti della legge di distribuzione. Può trattarsi di un numero che ha il significato di "valore medio" di una variabile casuale o di un numero che mostra la dimensione media della deviazione di una variabile casuale dal suo valore medio. Numeri di questo tipo sono chiamati caratteristiche numeriche di una variabile casuale.

Caratteristiche numeriche fondamentali di una variabile casuale discreta :

  • Aspettativa matematica (valore medio) di una variabile casuale discreta M(X)=Σ x i p i.
    Per distribuzione binomiale M(X)=np, per distribuzione di Poisson M(X)=λ
  • Dispersione variabile casuale discreta D(X)=M2 O D(X) = M(X2)−2. La differenza X–M(X) è chiamata deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica.
    Per la distribuzione binomiale D(X)=npq, per la distribuzione di Poisson D(X)=λ
  • Deviazione standard (deviazione standard) σ(X)=√D(X).

Esempi di risoluzione di problemi sull'argomento "La legge della distribuzione di una variabile casuale discreta"

Compito 1.

Sono stati emessi 1000 biglietti della lotteria: 5 vinceranno 500 rubli, 10 vinceranno 100 rubli, 20 vinceranno 50 rubli, 50 vinceranno 10 rubli. Determina la legge della distribuzione di probabilità della variabile casuale X - vincite per biglietto.

Soluzione. A seconda delle condizioni del problema, sono possibili i seguenti valori della variabile casuale X: 0, 10, 50, 100 e 500.

Il numero di biglietti senza vincite è 1000 – (5+10+20+50) = 915, quindi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Allo stesso modo, troviamo tutte le altre probabilità: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Presentiamo la legge risultante sotto forma di tabella:

Troviamo l'aspettativa matematica del valore X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Compito 3.

Il dispositivo è composto da tre elementi funzionanti in modo indipendente. La probabilità di fallimento di ciascun elemento in un esperimento è 0,1. Elabora una legge di distribuzione per il numero di elementi falliti in un esperimento, costruisci un poligono di distribuzione. Trova la funzione di distribuzione F(x) e tracciala. Trova l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard di una variabile casuale discreta.

Soluzione. 1. La variabile casuale discreta X = (il numero di elementi falliti in un esperimento) ha i seguenti valori possibili: x 1 = 0 (nessuno degli elementi del dispositivo ha fallito), x 2 = 1 (un elemento ha fallito), x 3 = 2 ( due elementi falliti) e x 4 =3 (tre elementi falliti).

I guasti degli elementi sono indipendenti l'uno dall'altro, le probabilità di guasto di ciascun elemento sono uguali, quindi è applicabile Formula di Bernoulli . Considerando che, secondo la condizione n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determiniamo le probabilità dei valori:
P3(0) = C30 p0 q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Verificare: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Pertanto, la legge di distribuzione binomiale desiderata di X ha la forma:

Tracciamo i possibili valori di x i lungo l'asse delle ascisse e le corrispondenti probabilità pi lungo l'asse delle ordinate. Costruiamo i punti M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Collegando questi punti con segmenti di retta, otteniamo il poligono di distribuzione desiderato.

3. Troviamo la funzione di distribuzione F(x) = Р(Х

Per x ≤ 0 abbiamo F(x) = Р(Х<0) = 0;
per 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
per 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
per 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
per x > 3 ci sarà F(x) = 1, perché l'evento è attendibile.

Grafico della funzione F(x)

4. Per la distribuzione binomiale X:
- aspettativa matematica M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianza D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- deviazione standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Formula di Bernoulli (teorema particolare sulla ripetizione degli esperimenti)

Esempio 23

Ci sono tre biglietti della lotteria. La probabilità di vincita per qualsiasi biglietto è la stessa ed è uguale a R. Probabilità che il biglietto non venga vinto q = 1 – p– come probabilità dell’evento opposto. Determina la probabilità che su tre biglietti ne vincano esattamente due.

Indichiamo la probabilità desiderata con .

L'evento che ci interessa si verificherà se il primo E il secondo biglietto vince E il terzo non vince O il primo biglietto non vince E il secondo E il terzo vince OPPURE il secondo biglietto non vince E il primo E il terzo vince . La probabilità di ciascuna di queste opzioni può essere trovata utilizzando la formula di moltiplicazione e la risposta viene calcolata utilizzando la formula di addizione per eventi incompatibili:

= ppq + qpp + pqp = 3p 2 q.

Analizzando la soluzione al problema, scopriamo che è stato risolto nel seguente ordine:

Sono state compilate varie opzioni per l'attuazione dell'evento di interesse;

Viene contato il numero di queste opzioni;

Viene determinata la probabilità che un evento si verifichi implementando qualsiasi opzione;

La probabilità richiesta si trova moltiplicando la probabilità che un evento si verifichi secondo una delle opzioni per il numero totale di opzioni.

In effetti, il problema è stato risolto utilizzando il cosiddetto La formula di Bernoulli. Scriviamolo in forma generale.

Facciamo una serie di N esperimenti (test). Gli esperimenti vengono eseguiti ripetutamente, indipendentemente l'uno dall'altro e nelle stesse condizioni, in modo da aumentare la probabilità che un evento si verifichi UN non cambia da esperienza a esperienza ed è uguale a R. Indichiamo la probabilità che l'evento non si verifichi UN in un esperimento - q = 1-p. È necessario determinare la probabilità che in una serie di N sperimenta l'evento UN accadrà di nuovo K volte – denotiamo questo evento come IN.

Evento IN può essere realizzato in vari modi (opzioni). Ad esempio, in questo modo:

o così:

L'importante è che in ogni variante sia indicato il numero di occorrenze dell'evento UN equivale N e il numero di occorrenze dell'evento equivale n–k, sebbene appariranno e non appariranno in versioni diverse in sequenze diverse.

Per determinare il numero di tali opzioni, puoi utilizzare la formula combinatoria- numero di combinazioni di N elementi di K.

Combinazioni - queste sono combinazioni di K oggetti (elementi) selezionati da un certo insieme in N oggetti che contengono lo stesso numero di oggetti, ma differiscono tra loro in almeno uno di essi.

Numero di combinazioni di N elementi di K indicato come si può trovare dalla formula: = . (15)

Una proprietà importante per determinare il numero di combinazioni è la seguente:

Nel problema in esame gli elementi che differiscono tra loro sono il numero degli esperimenti. Il numero totale di opzioni è pari a .

Probabilità del verificarsi dell'evento UN tempi per ciascuna opzione è lo stesso e può essere trovato utilizzando la formula per moltiplicare le probabilità basata sulla frase “Si è verificato l'evento A K mai accaduto n–k una volta": p k q n - k


Sommando queste probabilità identiche per volte otteniamo una formula chiamata La formula di Bernoulli:

=p k q n - k . (16)

Bisogna ricordarlo p è probabilità di accadimento evento di nostro interesse nell'esperienza, e Q - probabilità di mancata comparsa questo evento nell'esperienza.

La formula di Bernoulli (Jacob Bernoulli la esplorò nel suo libro The Art of Conjecture) è anche chiamata privato teorema sulla ripetizione degli esperimenti. Ciò significa che ogni esperimento successivo viene condotto nelle stesse condizioni di tutti i precedenti, vale a dire la probabilità che un evento si verifichi non cambia da esperimento a esperimento e rimane uguale R.

Insieme al privato c'è teorema generale sulla ripetizione degli esperimenti (la probabilità che un evento cambi da esperimento a esperimento), la cui considerazione va oltre lo scopo di questo corso.

Esempio 24

Nell'officina ci sono 10 motori elettrici, la probabilità che ciascuno di essi venga spento è 0,1. I motori sono collegati alla rete indipendentemente l'uno dall'altro. Determinare la probabilità che tre motori elettrici vengano spenti contemporaneamente.

Soluzione. La condizione del problema corrisponde allo schema dei test ripetuti di J. Bernoulli. Risolviamo il problema utilizzando un teorema speciale sulla ripetizione degli esperimenti, tenendo conto che ci sono tre motori spenti (la probabilità dello stato spento è 0,1) e 7 motori accesi (la probabilità dello stato acceso è 0,9):

=p3q10-3=q 3 (1-q) 10-3 =120∙(0,1) 3 ∙(0,9) 7 =0,0574.

Variabili casuali e loro leggi di distribuzione

Insieme agli eventi casuali, un altro concetto importante nella teoria della probabilità è il concetto di “variabile casuale” (RV).

Grandezza è una caratteristica quantitativa del risultato di un esperimento.

Tutte le quantità sono divise in due grandi gruppi: non casuale e casuale.

Non casuale (deterministico) - si tratta di quantità che, in seguito all'esperienza, assumono un valore predeterminato e conosciuto. Ad esempio, l’ora dell’alba e del tramonto, la data del nuovo anno, il numero di dita delle mani di un neonato, il numero di esami e prove in un semestre.

Casuale (stocastico)- si tratta di quantità di cui non è noto in anticipo quale valore assumeranno a seguito dell'esperimento.

Le variabili casuali, a loro volta, possono essere discrete o continue.

Discreto sono quegli SV che nell'esperienza assumono uno dei tanti valori possibili, e questi valori, se si desidera, possono essere elencati o numerati, cioè questo insieme è finito. Molto spesso (anche se non necessariamente) si tratta di valori interi, non negativi. Per esempio, O punteggio dello studente all'esame; il numero di capelli sulla testa, il numero di lavoratori nell'officina ED.

Continuo chiamano SV tali che nell'esperienza assumono uno dei valori possibili, e il numero di questi valori, anche in un intervallo molto piccolo, è infinitamente grande. In altre parole, l’insieme dei possibili valori di una SV continua non è numerabile. Ad esempio, il livello di tensione nella rete, la durata di funzionamento di una linea elettrica prima del guasto, l'altezza e il peso di una persona, il peso di una penna stilografica.

Nomi di variabili casuali solitamente indicato in maiuscolo Alfabeto latino - X,Y; UN valori , quali variabili casuali assumono nell'esperimento, – minuscolo - x, y.

Valori diversi della stessa variabile casuale non vengono osservati con la stessa frequenza. Ad esempio, gli uomini indossano la taglia 42 molto più spesso della taglia 46; La tensione di rete è molto più spesso compresa nell'intervallo 215-225 V che nell'intervallo 225-235 V.

La relazione tra i valori di una variabile casuale e le probabilità del loro verificarsi è stabilita da legge di distribuzione di una variabile casuale. Dicono che SV è distribuito (soggetto a) secondo l'una o l'altra legge di distribuzione. Esistono diverse forme per specificare la legge di distribuzione:

· sotto forma di tabella (tabellare);

· sotto forma di disegno (graficamente);

formula (analiticamente).

Metodi per specificare le leggi di distribuzione delle variabili casuali

Tutti i metodi per specificare le leggi della distribuzione SW possono essere suddivisi condizionatamente in teorici e statistici. Leggi teoriche le distribuzioni riflettono le vere leggi esistenti in natura. Per stabilirli, secondo la legge dei grandi numeri, è necessario elaborare una quantità quasi infinita di informazioni. In pratica, tali leggi vengono stabilite sulla base di una quantità limitata di dati statistici e vengono formalizzate dall'uno o dall'altro statistico modi. Spesso si parla di statistica sperimentale (empirico)). Ogni metodo teorico per specificare la legge di distribuzione (DLR) ha analogie statistiche (STL). Consideriamo questi metodi.

TZR-1. Serie di distribuzione SV

Una serie di distribuzione è una tabella in cui sono indicati, da un lato, i valori di una variabile casuale e, dall'altro, le loro probabilità (Tabella 2). Nelle serie di distribuzione, i valori di SV sono disposti in modo ordinato, man mano che aumentano.

La probabilità totale di questi valori, pari a uno, viene divisa tra tutti i possibili valori di SV. Pertanto, la somma di tutte le probabilità della serie di distribuzione è uguale a uno: = 1

Tabella 2. Serie di distribuzione SV

II. VARIABILE CASUALE, SUA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE

2.1. Variabile casuale, metodi per specificarla

Casuale è una quantità che, a seguito di test, può assumere l'uno o l'altro valore numerico, e non si sa in anticipo quale.

Se per una qualsiasi quantità la sua misurazione viene ripetuta più volte in condizioni quasi identiche, scoprirete che ogni volta si ottengono risultati leggermente diversi. Questa è l'influenza di due tipi di cause: 1) fondamentali, che determinano il significato principale del risultato; 2) secondari, causandone la divergenza.

Con l'azione congiunta di queste cause, i concetti di necessità e caso sono strettamente correlati tra loro, ma il necessario prevale sul caso.

Pertanto, i possibili valori delle variabili casuali appartengono ad alcuni insiemi numerici.

Ciò che è casuale è che su questi insiemi le quantità possono assumere qualsiasi valore, ma questo non può essere detto a priori.

Una variabile casuale è associata ad un evento casuale.

Se un evento casuale - caratteristica di qualità tests, allora la variabile casuale è la sua caratteristica quantitativa .

Le variabili casuali sono indicate con lettere latine maiuscole e il loro significato - con lettere maiuscole -
.

La probabilità che una variabile casuale
assumerà il valore stare per:

eccetera.

Le variabili casuali sono specificate dalle leggi di distribuzione.

Legge di distribuzione di una variabile casuale è la corrispondenza stabilita tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità.

Le leggi di distribuzione possono essere specificate in tre modi: tabellare, grafico, analitico. Il metodo di impostazione dipende dal tipo di variabile casuale.

Esistono due tipi principali di variabili casuali: Variabili casuali discrete e distribuite con continuità.

2.2. Variabili aleatorie discrete e continue

Se i valori che una data variabile casuale può assumere formano una serie discreta (finita o infinita) di numeri
quindi viene chiamata la variabile casuale stessa discreto.

Se i valori che una data variabile casuale può assumere riempiono un intervallo finito o infinito (a, b) dell'asse numerico OH, quindi viene chiamata la variabile casuale continuo.

Ogni valore di una variabile casuale di tipo discreto corrisponde ad una certa probabilità ; ogni intervallo (a, b) dell'intervallo di valori di una variabile casuale di tipo continuo corrisponde anche ad una certa probabilità
che il valore assunto dalla variabile casuale rientra in questo intervallo.

2.3. Legge di distribuzione di una variabile casuale

Viene chiamata una relazione che stabilisce in un modo o nell'altro una connessione tra i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità legge di distribuzione variabile casuale.

Di solito viene fornita la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta prossima distribuzione:

In cui
, dove la sommatoria si estende all'intero insieme (finito o infinito) dei possibili valori di una data variabile casuale.

È conveniente specificare la legge di distribuzione di una variabile casuale continua utilizzando funzioni di densità di probabilità
.

La probabilità che il valore assunto dalla variabile casuale rientri nell'intervallo (a, b) è determinata dall'uguaglianza

Viene chiamato il grafico della funzione curva di distribuzione . Dal punto di vista geometrico, la probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo (a, b) è uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo delimitato dalla curva di distribuzione, l'asse OH e dritto x=a, x=b.

Compito 1. Vengono fornite le probabilità dei valori delle variabili casuali: il valore 10 ha una probabilità di 0,3; valore 2 – probabilità 0,4; valore 8 – probabilità 0,1; valore 4 – probabilità 0,2. Costruire una serie di distribuzioni di una variabile casuale.

Soluzione. Disponendo i valori della variabile casuale in ordine crescente, otteniamo la serie di distribuzione:

Portiamolo su un aereo coro punti (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) e (10; 0,3). Collegando punti successivi con segmenti di retta otteniamo poligono (O poligono ) distribuzione di una variabile casuale

Compito 2. In palio ci sono due oggetti del valore di 5.000 rubli ciascuno e un oggetto del valore di 30.000 rubli. Elabora una legge di distribuzione delle vincite per una persona che ha acquistato un biglietto su 50.

Soluzione. La variabile casuale desiderata è un guadagno e può assumere tre valori: 0, 5000 e 30000 rubli. Il primo risultato è favorito da 47 casi, il secondo da due casi e il terzo da un caso. Troviamo le loro probabilità:

; ; .

La legge di distribuzione di una variabile casuale ha la forma:

Come controllo troveremo

Compito 3. La variabile casuale è soggetta ad una legge di distribuzione con densità , e

Richiesto: 1) Trovare il coefficiente a; 2) tracciare la distribuzione della densità
; 3) trovare la probabilità di cadere nell'intervallo (1; 2).

Soluzione. 1) Poiché tutti i valori di una data variabile casuale sono contenuti nel segmento , allora

, Dove

, O

, cioè.
.

2) Il grafico di una funzione nell'intervallo è una parabola e al di fuori di questo intervallo l'asse x stesso funge da grafico.

3) Dall'uguaglianza si può ricavare la probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo (1; 2).

2.4. Distribuzione binomiale

Lascia che ne venga prodotto un certo numero N esperimenti indipendenti, e in ciascuno di essi qualche evento può verificarsi con la stessa probabilità R. Consideriamo una variabile casuale che rappresenta il numero di occorrenze di eventi UN V N esperimenti. La legge della sua distribuzione ha la forma

Valori

Probabilità

Dove
, si calcola utilizzando la formula di Bernoulli.

La legge di distribuzione, caratterizzata da tale tabella, si chiama binomiale .

Compito. La moneta viene lanciata 5 volte. Elabora una legge di distribuzione di una variabile casuale: il numero dello stemma.

Soluzione. Sono possibili i seguenti valori di variabile casuale: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sapendo che la probabilità che uno stemma cada in una prova è pari a , troveremo le probabilità dei valori di variabile casuale utilizzando la formula di Bernoulli:

La legge di distribuzione ha la forma

Valori

Probabilità

Controlliamo:

III. ASPETTATIVA MATEMATICA E VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE

3.1. Aspettativa di una variabile casuale discreta

      La caratteristica più completa di una variabile casuale è la sua legge di distribuzione della probabilità. Tuttavia, non è sempre necessario conoscere l’intera legge di distribuzione. A volte puoi cavartela con uno o più numeri che riflettono le caratteristiche più importanti della legge di distribuzione, ad esempio un numero che ha il significato del “valore medio” di una variabile casuale, o un numero che mostra la dimensione media della variabile casuale deviazione di una variabile casuale dal suo valore medio. Questi tipi di numeri vengono chiamati caratteristiche numeriche variabile casuale. Operando con caratteristiche numeriche è possibile risolvere molti problemi senza utilizzare la legge di distribuzione.

Una delle caratteristiche numeriche più importanti di una variabile casuale è la sua aspettativa matematica.

Se è nota una variabile casuale discreta, la cui legge di distribuzione ha la forma

Valori

Probabilità

Quello aspettativa matematica (o valore medio) di una quantità discreta è il numero

Pertanto, l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è uguale alla somma dei prodotti dei possibili valori di questa variabile e delle loro probabilità.

Esempio 1. Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale, conoscendo la legge della sua distribuzione

Soluzione.

Proprietà dell'aspettativa matematica.

    Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica:

    Aspettativa matematica di un valore costante CON uguale a questo valore stesso:

    L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche:

    L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle aspettative matematiche di queste variabili:

3.2. Deviazione standard e varianza di una variabile casuale.

Esempio 2. Troviamo l'aspettativa matematica delle variabili casuali e , conoscendo le leggi della loro distribuzione

P

Abbiamo ottenuto un risultato interessante: le leggi della distribuzione delle quantità sono diverse, ma le loro aspettative matematiche sono le stesse.

Dal disegno Bè chiaro che il valore della quantità è maggiormente concentrato attorno all'aspettativa matematica
, rispetto ai valori della quantità che sono sparsi (dispersi) rispetto alla sua aspettativa matematica
(disegno UN).

La principale caratteristica numerica del grado di dispersione dei valori di una variabile casuale rispetto alla sua aspettativa matematica
è la dispersione, che è indicata con
.

Definizione. Deviazione è la differenza tra una variabile casuale e la sua aspettativa matematica, cioè
.

Deviazione e suo quadrato
sono anche variabili casuali.

Definizione. Dispersione discreta di una variabile casuale è l'aspettativa matematica del quadrato della sua deviazione:

Proprietà di dispersione.

    Varianza di valore costante CONè uguale a 0:

.

.

Per calcolare le varianze, una formula più conveniente è

Esempio 3. Una variabile casuale discreta è distribuita secondo la legge:

Soluzione. Per prima cosa troviamo.

poi
.

Secondo la formula che abbiamo

Deviazione standard di una variabile casuale si chiama radice quadrata della sua varianza:

.

IV. COMPITI PRATICI PER L'AUTOCONTROLLO

Combinatoria

    Quanti numeri diversi di cinque cifre possono essere composti dalle cifre 1, 3, 5, 7, 9, a condizione che nessuna cifra sia ripetuta nel numero?

    Quante possibilità ci sono per distribuire tre premi se all'estrazione partecipano 7 squadre?

    In quanti modi è possibile selezionare due studenti per una conferenza se ci sono 33 persone nel gruppo?

    Risolvere equazioni

UN)
. B)
.

    Quanti numeri di quattro cifre divisibili per 5 si possono formare dalle cifre 0, 1, 2, 5, 7, se ciascun numero non deve contenere le stesse cifre?

    Da un gruppo di 15 persone, dovrebbero essere selezionati un caposquadra e 4 membri del team. In quanti modi è possibile farlo?

    Le lettere del codice Morse sono composte da simboli (punti e trattini). Quante lettere puoi disegnare se richiedi che ciascuna lettera contenga non più di cinque caratteri?

    In quanti modi si possono realizzare nastri quadricromatici partendo da sette nastri di colori diversi?

    In quanti modi si possono selezionare quattro persone per quattro posizioni diverse tra nove candidati?

    In quanti modi puoi scegliere 3 cartoline su 6?

    Prima della laurea, un gruppo di 30 studenti si è scambiato le foto. Quante cartoline fotografiche sono state distribuite?

    In quanti modi possono sedersi 10 ospiti in dieci posti su una tavola festiva?

    Quante partite dovrebbero giocare 20 squadre di calcio in un campionato a turno unico?

    In quanti modi possono essere distribuite 12 persone tra le squadre se ciascuna squadra è composta da 6 persone?

Teoria della probabilità

    L'urna contiene 7 palline rosse e 6 blu. Si estraggono due palline contemporaneamente dall'urna. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano rosse (evento A)?

    Nove libri diversi sono disposti in modo casuale su uno scaffale. Trova la probabilità che quattro libri specifici vengano posizionati uno accanto all'altro (evento C).

    Su 10 biglietti, 2 sono vincenti Determina la probabilità che tra 5 biglietti presi a caso, uno sia vincente.

    Si estraggono a caso 3 carte da un mazzo di carte (52 carte). Trova la probabilità che sia un tre, un sette, un asso.

    Un bambino gioca con le cinque lettere dell'alfabeto diviso A, K, R, Sh, Y. Qual è la probabilità che, se le lettere sono disposte casualmente in fila, otterrà la parola "Tetto".

    Nella scatola ci sono 6 palline bianche e 4 rosse. Si prendono a caso due palline. Qual è la probabilità che siano dello stesso colore?

    La prima urna contiene 6 palline nere e 4 bianche, la seconda urna contiene 5 palline nere e 7 bianche. Da ogni urna si estrae una pallina. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano bianche?

Variabile casuale, aspettativa matematica e varianza di una variabile casuale

    Elabora una legge di distribuzione per il numero di colpi su un bersaglio con sei colpi, se la probabilità di un colpo con un colpo è 0,4.

    La probabilità che uno studente trovi in ​​biblioteca il libro di cui ha bisogno è 0,3. Elaborare una legge di distribuzione per il numero di biblioteche che visiterà se in città ce ne sono quattro.

    Il cacciatore spara alla selvaggina fino al primo colpo, ma riesce a sparare non più di quattro colpi. Trova la varianza del numero di colpi mancati se la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,7.

    Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale X se la legge della sua distribuzione è data dalla tabella:

    L'impianto gestisce quattro linee automatiche. La probabilità che durante un turno di lavoro la prima riga non richieda aggiustamenti è 0,9, la seconda – 0,8, la terza – 0,75, la quarta – 0,7. trovare l'aspettativa matematica del numero di linee che non richiederanno aggiustamenti durante un turno di lavoro.

    Trova la varianza della variabile casuale X, conoscendo la legge della sua distribuzione:

Danko P.E. Matematica superiore in esercizi e problemi. In due parti. Parte II / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova. – M.: Scuola superiore, 1986. – 415 p.

Vygodsky M.Ya. Manuale di matematica superiore. – M.: Nauka, 1975. – 872 pag.

Ulteriori:

    Griguletsky V.G. Matematica per studenti di specialità economiche. Parte 2 / V.G. Griguletsky, I.V. Lukyanova, I.A. Petunina. – Krasnodar, 2002. – 348 pag.

    Malykhin V.I. La matematica in economia. – M.: Infra-M, 1999. – 356 p.

    Gusak A.A. Matematica superiore. In 2 volumi, T.2. - Libro di testo per studenti universitari. – M.: TetraSystems, 1988. – 448 pag.

    Griguletsky V.G. Matematica superiore / V.G. Griguletskij, Z.V. Yashchenko. – Krasnodar, 1998.-186 pag.

    Gmurman V.E. Una guida per risolvere problemi di teoria della probabilità e statistica matematica. – M.: Scuola Superiore, 2000. – 400 p.

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