У дома » Расте месец след месец » Дробни рационални уравнения. Алгоритъм за решение. "решаване на дробни рационални уравнения"

Дробни рационални уравнения. Алгоритъм за решение. "решаване на дробни рационални уравнения"

Вече научихме как да решаваме квадратни уравнения. Сега нека разширим изучаваните методи към рационални уравнения.

Какво е рационален израз? Вече сме се сблъсквали с тази концепция. Рационални изразиса изрази, съставени от числа, променливи, техните степени и символи на математически операции.

Съответно рационалните уравнения са уравнения от вида: , където - рационални изрази.

Преди това разглеждахме само онези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни. Сега нека разгледаме тези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до квадратни уравнения.

Пример 1

Решете уравнението: .

Решение:

Една дроб е равна на 0 тогава и само ако нейният числител е равен на 0 и знаменателят й не е равен на 0.

Получаваме следната система:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение. Преди да го решим, нека разделим всичките му коефициенти на 3. Получаваме:

Получаваме два корена: ; .

Тъй като 2 никога не е равно на 0, трябва да бъдат изпълнени две условия: . Тъй като нито един от корените на полученото по-горе уравнение не съвпада с невалидните стойности на променливата, получени при решаването на второто неравенство, и двете са решения на това уравнение.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за решение рационални уравнения:

1. Преместете всички членове вляво, така че дясната страна да завършва с 0.

2. Трансформирайте и опростете лявата страна, приведете всички дроби към общ знаменател.

3. Приравнете получената дроб на 0, като използвате следния алгоритъм: .

4. Запишете онези корени, които са получени в първото уравнение и отговарят на второто неравенство в отговора.

Нека да разгледаме друг пример.

Пример 2

Решете уравнението: .

Решение

В самото начало нека преместим всички термини на лява страна, така че отдясно остава 0. Получаваме:

Сега нека приведем лявата страна на уравнението към общ знаменател:

Това уравнение е еквивалентно на системата:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение.

Коефициенти на това уравнение: . Изчисляваме дискриминанта:

Получаваме два корена: ; .

Сега нека решим второто неравенство: произведението на факторите не е равно на 0 тогава и само ако никой от факторите не е равен на 0.

Трябва да бъдат изпълнени две условия: . Откриваме, че от двата корена на първото уравнение само един е подходящ - 3.

Отговор:.

В този урок си спомнихме какво е рационален израз и също научихме как да решаваме рационални уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения.

В следващия урок ще разгледаме рационалните уравнения като модели на реални ситуации, а също така ще разгледаме проблемите с движението.

Библиография

Башмаков M.I. Алгебра 8 клас. - М.: Образование, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.. Алгебра, 8. 5-то изд. - М.: Образование, 2010.
Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 клас. Учебник за общообразователните институции. - М.: Образование, 2006.

Фестивал на педагогическите идеи" Публичен урок" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа

Дробни уравнения. ОДЗ.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Продължаваме да овладяваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Последният оставен изглед - дробни уравнения . Или те също се наричат много по-уважително - дробни рационални уравнения. Същото е.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, тези уравнения непременно съдържат дроби. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменател. Поне в едно. Например:

Нека ви напомня, че ако знаменателите са само числа, това са линейни уравнения.

Как да решим дробни уравнения? Първо, отървете се от дробите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5=5 или неправилен израз, като 7=2. Но това рядко се случва. Ще спомена това по-долу.

Но как да се отървем от дробите!? Много просто. Прилагане на същите идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по същия израз. Така че всички знаменатели са намалени! Всичко веднага ще стане по-лесно. Нека обясня с пример. Нека трябва да решим уравнението:

Как ви учеха в началното училище? Преместваме всичко на една страна, привеждаме го към общ знаменател и т.н. Забравете го като лош сън! Това е, което трябва да направите, когато събирате или изваждате дроби. Или работите с неравенства. И в уравненията ние веднага умножаваме двете страни по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

От лявата страна намаляването на знаменателя изисква умножение по х+2. А отдясно се изисква умножение по 2. Това означава, че уравнението трябва да се умножи по 2(x+2). Умножете:

Това е обичайно умножение на дроби, но ще го опиша подробно:

Моля, обърнете внимание, че все още не отварям скобата (x + 2)! И така, изцяло го пиша:

От лявата страна се свива изцяло (x+2), а вдясно 2. Което се изискваше! След намаляване получаваме линеенуравнението:

И всеки може да реши това уравнение! х = 2.

Нека решим друг пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 = 3/1 и 2x = 2x/ 1, можем да напишем:

И отново се отърваваме от това, което наистина не харесваме - дроби.

Виждаме, че за да намалим знаменателя с X, трябва да умножим дробта по (x – 2). И малко не са пречка за нас. Е, нека да умножим. всичколявата страна и всичкоправилната страна:

Отново скоби (x – 2)Не разкривам. Работя със скобата като цяло като един номер! Това трябва да се прави винаги, в противен случай нищо няма да се намали.

С чувство на дълбоко удовлетворение намаляваме (x – 2)и получаваме уравнение без никакви дроби, с линийка!

Сега нека отворим скобите:

Носим подобни, преместваме всичко от лявата страна и получаваме:

Но преди това ще се научим да решаваме други проблеми. На интерес. Това е рейк, между другото!

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Просто казано, това са уравнения, в които има поне една променлива в знаменателя.

Например:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Пример Недробни рационални уравнения:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Как се решават дробни рационални уравнения?

Основното нещо, което трябва да запомните за дробните рационални уравнения е, че трябва да пишете в тях. И след като намерите корените, не забравяйте да ги проверите за допустимост. В противен случай могат да се появят външни корени и цялото решение ще се счита за неправилно.

Алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение:

Запишете и "решете" ODZ.

Умножете всеки член в уравнението по общия знаменател и съкратете получените дроби. Знаменателите ще изчезнат.

Напишете уравнението, без да отваряте скобите.

Решете полученото уравнение.

Проверете намерените корени с ODZ.

Запишете в отговора си корените, които са преминали теста в стъпка 7.

Не запаметявайте алгоритъма, 3-5 решени уравнения и той ще се запомни сам.

Пример . Решаване на дробно рационално уравнение \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Решение:

Отговор: \(3\).

Пример . Намерете корените на дробното рационално уравнение \(=0\)

Решение:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Записваме и „решаваме” ОДЗ. Разгъваме \(x^2+7x+10\) в съгласно формулата: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). За щастие вече намерихме \(x_1\) и \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Очевидно общият знаменател на дробите е \((x+2)(x+5)\). Умножаваме цялото уравнение по него.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Намаляване на дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Отваряне на скобите
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Представяме подобни условия
\(2x^2+9x-5=0\)		Намиране на корените на уравнението
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Един от корените не отговаря на ODZ, така че в отговора пишем само втория корен.

Отговор: \(\frac(1)(2)\).

Съответно рационалните уравнения са уравнения от вида: , където - рационални изрази.

Пример 1

Решете уравнението: .

Решение:

Една дроб е равна на 0 тогава и само ако нейният числител е равен на 0 и знаменателят й не е равен на 0.

Получаваме следната система:

Получаваме два корена: ; .

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Преместете всички членове вляво, така че дясната страна да завършва с 0.

2. Трансформирайте и опростете лявата страна, приведете всички дроби към общ знаменател.

3. Приравнете получената дроб на 0, като използвате следния алгоритъм: .

Нека да разгледаме друг пример.

Пример 2

Решете уравнението: .

Решение

В самото начало преместваме всички членове наляво, така че отдясно да остане 0. Получаваме:

Сега нека приведем лявата страна на уравнението към общ знаменател:

Това уравнение е еквивалентно на системата:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение.

Коефициенти на това уравнение: . Изчисляваме дискриминанта:

Получаваме два корена: ; .

Отговор:.

Библиография

Башмаков M.I. Алгебра 8 клас. - М.: Образование, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.. Алгебра, 8. 5-то изд. - М.: Образование, 2010.
Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 клас. Учебник за общообразователните институции. - М.: Образование, 2006.

Фестивал на педагогическите идеи "Открит урок" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа

Нека се запознаем с рационални и дробни рационални уравнения, да дадем тяхната дефиниция, да дадем примери и също така да анализираме най-често срещаните видове проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Рационално уравнение: определение и примери

Запознаването с рационалните изрази започва в 8 клас на училище. По това време в уроците по алгебра учениците все по-често започват да срещат задачи с уравнения, които съдържат рационални изрази в бележките си. Нека опресним паметта си какво представлява.

Определение 1

Рационално уравнениее уравнение, в което и двете страни съдържат рационални изрази.

В различни ръководства можете да намерите друга формулировка.

Определение 2

Рационално уравнение- това е уравнение, чиято лява страна съдържа рационален израз, а дясната страна съдържа нула.

Дефинициите, които дадохме за рационални уравнения, са еквивалентни, тъй като говорят за едно и също нещо. Правилността на нашите думи се потвърждава от факта, че за всякакви рационални изрази ПИ Qуравнения P = QИ P − Q = 0ще бъдат еквивалентни изрази.

Сега нека да разгледаме примерите.

Пример 1

Рационални уравнения:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Рационалните уравнения, подобно на уравненията от други типове, могат да съдържат произволен брой променливи от 1 до няколко. Първо ще разгледаме прости примери, в който уравненията ще съдържат само една променлива. И тогава ще започнем постепенно да усложняваме задачата.

Рационалните уравнения са разделени на две големи групи: цели числа и дроби. Нека видим какви уравнения ще се прилагат за всяка от групите.

Определение 3

Едно рационално уравнение ще бъде цяло число, ако лявата и дясната му страна съдържат цели рационални изрази.

Определение 4

Рационалното уравнение ще бъде дробно, ако една или и двете му части съдържат дроб.

Дробни рационални уравнения в задължителенсъдържа деление на променлива или променливата е в знаменателя. При писането на цели уравнения няма такова разделение.

Пример 2

3 x + 2 = 0И (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– цели рационални уравнения. Тук двете страни на уравнението са представени с цели числа.

1 x - 1 = x 3 и x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5са частично рационални уравнения.

Целите рационални уравнения включват линейни и квадратни уравнения.

Решаване на цели уравнения

Решаването на такива уравнения обикновено се свежда до превръщането им в еквивалентни алгебрични уравнения. Това може да се постигне чрез извършване на еквивалентни трансформации на уравнения в съответствие със следния алгоритъм:

първо получаваме нула от дясната страна на уравнението; за да направим това, трябва да преместим израза, който е от дясната страна на уравнението, в лявата му страна и да променим знака;
след това трансформираме израза от лявата страна на уравнението в полином със стандартна форма.

Трябва да получим алгебрично уравнение. Това уравнение ще бъде еквивалентно на първоначалното уравнение. Лесните случаи ни позволяват да намалим цялото уравнение до линейно или квадратично, за да решим проблема. Като цяло решаваме алгебрично уравнение на степен н.

Пример 3

Необходимо е да се намерят корените на цялото уравнение 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Решение

Нека трансформираме оригиналния израз, за да получим еквивалентно алгебрично уравнение. За да направим това, ще прехвърлим израза, съдържащ се от дясната страна на уравнението, в лявата страна и ще заменим знака с противоположния. В резултат получаваме: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Сега нека трансформираме израза, който е от лявата страна, в полином от стандартната форма и да произведем необходими действияс този полином:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Успяхме да намалим решението на първоначалното уравнение до решението квадратно уравнениемил x 2 − 5 x − 6 = 0. Дискриминантът на това уравнение е положителен: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Това означава, че ще има два истински корена. Нека ги намерим с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 или x 2 = - 1

Нека проверим правилността на корените на уравнението, които намерихме по време на решението. За целта заместваме получените числа в оригиналното уравнение: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3И 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. В първия случай 63 = 63 , във втория 0 = 0 . корени х=6И x = − 1са наистина корените на уравнението, дадено в примерното условие.

Отговор: 6 , − 1 .

Нека да разгледаме какво означава "степен на цяло уравнение". Често ще срещаме този термин в случаите, когато трябва да представим цяло уравнение в алгебрична форма. Нека дефинираме понятието.

Определение 5

Степен на цялото уравнение- това е степента алгебрично уравнение, еквивалентно на оригиналното цяло число.

Ако погледнете уравненията от горния пример, можете да установите: степента на цялото това уравнение е втора.

Ако нашият курс беше ограничен до решаване на уравнения от втора степен, тогава обсъждането на темата можеше да приключи дотук. Но не е толкова просто. Решаването на уравнения от трета степен е изпълнено с трудности. А за уравнения по-високи от четвърта степен няма общи формуликорени В тази връзка решаването на цели уравнения от трета, четвърта и други степени изисква да използваме редица други техники и методи.

Най-често използваният подход за решаване на цели рационални уравнения се основава на метода на факторизиране. Алгоритъмът на действията в този случай е следният:

преместваме израза от дясната страна наляво, така че нулата да остане от дясната страна на записа;
Представяме израза от лявата страна като продукт от фактори и след това преминаваме към набор от няколко по-прости уравнения.

Пример 4

Намерете решението на уравнението (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Решение

Преместваме израза от дясната страна на записа вляво с противоположен знак: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Преобразуването на лявата страна в полином от стандартната форма е неподходящо поради факта, че това ще ни даде алгебрично уравнение от четвърта степен: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Лесното преобразуване не оправдава всички трудности при решаването на такова уравнение.

Много по-лесно е да отидем по друг начин: нека извадим общия множител от скоби x 2 − 10 x + 13 .Така че стигаме до уравнение от формата (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Сега заместваме полученото уравнение с набор от две квадратни уравнения x 2 − 10 x + 13 = 0И x 2 − 2 x − 1 = 0и намерете техните корени чрез дискриминанта: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Отговор: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

По същия начин можем да използваме метода за въвеждане на нова променлива. Този метод ни позволява да преминем към еквивалентни уравнения със степени, по-ниски от степените в оригиналното цяло число.

Пример 5

Уравнението има ли корени? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Решение

Ако сега се опитаме да редуцираме цяло рационално уравнение до алгебрично, ще получим уравнение от степен 4, което няма рационални корени. Следователно ще ни бъде по-лесно да тръгнем по друг начин: въведем нова променлива y, която ще замени израза в уравнението х 2 + 3 х.

Сега ще работим с цялото уравнение (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Нека преместим дясната страна на уравнението наляво с обратен знак и да извършим необходимите трансформации. Получаваме: y 2 + 4 y + 3 = 0. Нека намерим корените на квадратното уравнение: y = − 1И y = − 3.

Сега нека направим обратната замяна. Получаваме две уравнения x 2 + 3 x = − 1И x 2 + 3 · x = − 3 .Нека ги пренапишем като x 2 + 3 x + 1 = 0 и x 2 + 3 x + 3 = 0. Използваме формулата за корените на квадратно уравнение, за да намерим корените на първото уравнение от получените: - 3 ± 5 2. Дискриминантът на второто уравнение е отрицателен. Това означава, че второто уравнение няма реални корени.

Отговор:- 3 ± 5 2

В задачите доста често се появяват цели уравнения с високи степени. Няма нужда да се страхувате от тях. Трябва да сте готови да използвате нестандартен метод за решаването им, включващ редица изкуствени трансформации.

Решаване на дробни рационални уравнения

Ще започнем разглеждането на тази подтема с алгоритъм за решаване на частично рационални уравнения от формата p (x) q (x) = 0, където p(x)И q(x)– цели рационални изрази. Решаването на други дробно-рационални уравнения винаги може да се сведе до решаването на уравнения от посочения тип.

Най-често използваният метод за решаване на уравненията p (x) q (x) = 0 се основава на следното твърдение: числена дроб u v, Където v- това е число, което е различно от нула, равно на нула само в случаите, когато числителят на дробта е равен на нула. Следвайки логиката на горното твърдение, можем да твърдим, че решението на уравнението p (x) q (x) = 0 може да се сведе до изпълнение на две условия: p(x)=0И q(x) ≠ 0. Това е основата за конструиране на алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения под формата p (x) q (x) = 0:

намери решението на цялото рационално уравнение p(x)=0;
проверяваме дали условието е изпълнено за корените, намерени по време на решението q(x) ≠ 0.

Ако това условие е изпълнено, тогава намереният корен.Ако не, тогава коренът не е решение на проблема.

Пример 6

Нека намерим корените на уравнението 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Решение

Имаме работа с дробно рационално уравнение във формата p (x) q (x) = 0, в което p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Нека започнем да решаваме линейното уравнение 3 x − 2 = 0. Коренът на това уравнение ще бъде x = 2 3.

Нека проверим намерения корен, за да видим дали отговаря на условието 5 x 2 − 2 ≠ 0. За да направите това, заменете числова стойност в израза. Получаваме: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Условието е изпълнено. Означава, че x = 2 3е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор: 2 3 .

Има и друг вариант за решаване на дробни рационални уравнения p (x) q (x) = 0. Спомнете си, че това уравнение е еквивалентно на цялото уравнение p(x)=0върху обхвата на допустимите стойности на променливата x на първоначалното уравнение. Това ни позволява да използваме следния алгоритъм при решаването на уравненията p (x) q (x) = 0:

реши уравнението p(x)=0;
намерете обхвата на допустимите стойности на променливата x;
вземаме корените, които лежат в обхвата на допустимите стойности на променливата x като желаните корени на първоначалното дробно рационално уравнение.

Пример 7

Решете уравнението x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Решение

Първо, нека решим квадратното уравнение x 2 − 2 x − 11 = 0. За да изчислим неговите корени, използваме формулата за корени за четния втори коефициент. Получаваме D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12и x = 1 ± 2 3 .

Сега можем да намерим ODZ на променлива x за оригиналното уравнение. Това са всички числа, за които x 2 + 3 x ≠ 0. Това е същото като x (x + 3) ≠ 0, откъдето x ≠ 0, x ≠ − 3.

Сега нека проверим дали корените x = 1 ± 2 3, получени на първия етап от решението, са в обхвата на допустимите стойности на променливата x. Виждаме ги да влизат. Това означава, че първоначалното дробно рационално уравнение има два корена x = 1 ± 2 3.

Отговор: x = 1 ± 2 3

Вторият описан метод за решение е по-прост от първия в случаите, когато обхватът на допустимите стойности на променливата x се намира лесно и корените на уравнението p(x)=0ирационален. Например 7 ± 4 · 26 9. Корените могат да бъдат рационални, но с голям числител или знаменател. Например, 127 1101 И − 31 59 . Това спестява време за проверка на състоянието q(x) ≠ 0: Много по-лесно е да изключите корени, които не са подходящи според ODZ.

В случаите, когато корените на уравнението p(x)=0са цели числа, по-целесъобразно е да се използва първият от описаните алгоритми за решаване на уравнения под формата p (x) q (x) = 0. Намерете по-бързо корените на цяло уравнение p(x)=0и след това проверете дали условието е изпълнено за тях q(x) ≠ 0, вместо намиране на ODZ и след това решаване на уравнението p(x)=0на това ОДЗ. Това се дължи на факта, че в такива случаи обикновено е по-лесно да се провери, отколкото да се намери ДЗ.

Пример 8

Намерете корените на уравнението (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Решение

Нека започнем, като разгледаме цялото уравнение (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0и намиране на корените му. За целта прилагаме метода за решаване на уравнения чрез факторизация. Оказва се, че първоначалното уравнение е еквивалентно на набор от четири уравнения 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, от които три са линейни и единият е квадратен. Намиране на корени: от първото уравнение x = 1 2, от втория – х=6, от трета – x = 7 , x = − 2 , от четвърта – x = − 1.

Нека проверим получените корени. За нас е трудно да определим ODZ в този случай, тъй като за това ще трябва да решим алгебрично уравнение от пета степен. Ще бъде по-лесно да проверите условието, според което знаменателят на дробта, който е от лявата страна на уравнението, не трябва да отива на нула.

Нека се редуваме да заместваме корените на променливата x в израза x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112и изчислете стойността му:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Извършената проверка ни позволява да установим, че корените на оригиналното дробно рационално уравнение са 1 2, 6 и − 2 .

Отговор: 1 2 , 6 , - 2

Пример 9

Намерете корените на дробното рационално уравнение 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Решение

Нека започнем да работим с уравнението (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Да намерим корените му. За нас е по-лесно да си представим това уравнение като комбинация от квадратно и линейни уравнения 5 x 2 − 7 x − 1 = 0И x − 2 = 0.

Използваме формулата за корените на квадратно уравнение, за да намерим корените. Получаваме от първото уравнение два корена x = 7 ± 69 10, а от второто х = 2.

За нас ще бъде доста трудно да заместим стойността на корените в първоначалното уравнение, за да проверим условията. Ще бъде по-лесно да се определи ODZ на променливата x. В този случай ODZ на променливата x са всички числа, с изключение на тези, за които условието е изпълнено x 2 + 5 x − 14 = 0. Получаваме: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Сега нека проверим дали намерените корени принадлежат към диапазона от допустими стойности на променливата x.

Корените x = 7 ± 69 10 - принадлежат, следователно те са корените на първоначалното уравнение и х = 2- не принадлежи, следователно е външен корен.

Отговор: x = 7 ± 69 10 .

Нека разгледаме отделно случаите, когато числителят на дробно рационално уравнение от формата p (x) q (x) = 0 съдържа число. В такива случаи, ако числителят съдържа число, различно от нула, тогава уравнението няма да има корени. Ако това число е равно на нула, тогава коренът на уравнението ще бъде произволно число от ODZ.

Пример 10

Решете дробното рационално уравнение - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Решение

Това уравнение няма да има корени, тъй като числителят на дробта от лявата страна на уравнението съдържа различно от нула число. Това означава, че при никоя стойност на x стойността на дробта, дадена в постановката на проблема, няма да бъде равна на нула.

Отговор:без корени.

Пример 11

Решете уравнението 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Решение

Тъй като числителят на дробта съдържа нула, решението на уравнението ще бъде всяка стойност x от ODZ на променливата x.

Сега нека дефинираме ODZ. Той ще включва всички стойности на x, за които x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Решения на уравнението x 4 + 5 x 3 = 0са 0 И − 5 , тъй като това уравнение е еквивалентно на уравнението x 3 (x + 5) = 0, а това от своя страна е еквивалентно на комбинацията от две уравнения x 3 = 0 и х + 5 = 0, където се виждат тези корени. Стигаме до извода, че желаният диапазон от приемливи стойности е всеки x с изключение на х = 0И x = − 5.

Оказва се, че дробното рационално уравнение 0 x 4 + 5 x 3 = 0 има безкраен брой решения, които са всякакви числа, различни от нула и - 5.

Отговор: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Сега нека поговорим за дробни рационални уравнения с произволна форма и методи за тяхното решаване. Те могат да бъдат написани като r(x) = s(x), Където r(x)И s(x)– рационални изрази, като поне един от тях е дробен. Решаването на такива уравнения се свежда до решаване на уравнения под формата p (x) q (x) = 0.

Вече знаем, че можем да получим еквивалентно уравнение, като прехвърлим израз от дясната страна на уравнението в лявата с обратен знак. Това означава, че уравнението r(x) = s(x)е еквивалентно на уравнението r (x) − s (x) = 0. Също така вече обсъдихме начини за преобразуване на рационален израз в рационална дроб. Благодарение на това можем лесно да трансформираме уравнението r (x) − s (x) = 0в еднаква рационална дроб от формата p (x) q (x) .

Така че преминаваме от първоначалното дробно рационално уравнение r(x) = s(x)към уравнение от вида p (x) q (x) = 0, което вече се научихме да решаваме.

Трябва да се има предвид, че при извършване на преходи от r (x) − s (x) = 0към p(x)q(x) = 0 и след това към p(x)=0може да не вземем предвид разширяването на обхвата на допустимите стойности на променливата x.

Напълно възможно е първоначалното уравнение r(x) = s(x)и уравнение p(x)=0в резултат на трансформациите те ще престанат да бъдат еквивалентни. Тогава решението на уравнението p(x)=0може да ни даде корени, които ще бъдат чужди r(x) = s(x). В тази връзка във всеки случай е необходимо да се извърши проверка, като се използва някой от методите, описани по-горе.

За да ви улесним при изучаването на темата, сме обобщили цялата информация в алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение от вида r(x) = s(x):

прехвърляме израза от дясната страна с обратен знак и получаваме нула отдясно;
преобразувайте оригиналния израз в рационална дроб p (x) q (x) , като последователно извършвате операции с дроби и полиноми;
реши уравнението p(x)=0;
Ние идентифицираме външни корени, като проверяваме принадлежността им към ODZ или чрез заместване в оригиналното уравнение.

Визуално веригата от действия ще изглежда така:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → елиминиране ВЪНШНИ КОРЕНИ

Пример 12

Решете дробно рационалното уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .

Решение

Нека да преминем към уравнението x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Нека трансформираме дробния рационален израз от лявата страна на уравнението до формата p (x) q (x) .

За да направим това, ще трябва да намалим рационалните дроби до общ знаменател и да опростим израза:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

За да намерим корените на уравнението - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, трябва да решим уравнението − 2 x − 1 = 0. Получаваме един корен x = - 1 2.

Всичко, което трябва да направим, е да проверим с някой от методите. Нека ги разгледаме и двамата.

Нека заместим получената стойност в оригиналното уравнение. Получаваме - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Стигнахме до правилното числово равенство − 1 = − 1 . Означава, че x = − 1 2е коренът на първоначалното уравнение.

Сега да проверим през ODZ. Нека определим обхвата на допустимите стойности на променливата x. Това ще бъде целият набор от числа, с изключение на − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0 знаменателите на дробите се нулират). Коренът, който получихме x = − 1 2е към ОДЗ. Това означава, че е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор: − 1 2 .

Пример 13

Намерете корените на уравнението x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Решение

Имаме работа с дробно рационално уравнение. Затова ще действаме според алгоритъма.

Нека преместим израза от дясната страна наляво с обратен знак: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Нека извършим необходимите трансформации: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Стигаме до уравнението х = 0. Коренът на това уравнение е нула.

Нека проверим дали този корен е страничен за първоначалното уравнение. Нека заместим стойността в първоначалното уравнение: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Както можете да видите, полученото уравнение няма смисъл. Това означава, че 0 е външен корен и оригиналното дробно рационално уравнение няма корени.

Отговор:без корени.

Ако не сме включили други еквивалентни трансформации в алгоритъма, това не означава, че те не могат да бъдат използвани. Алгоритъмът е универсален, но е предназначен да помага, а не да ограничава.

Пример 14

Решете уравнението 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Решение

Най-лесният начин е да се реши даденото дробно рационално уравнение по алгоритъма. Но има и друг начин. Нека го разгледаме.

Изваждаме 7 от дясната и лявата страна, получаваме: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

От това можем да заключим, че изразът в знаменателя от лявата страна трябва да е равен на реципрочната стойност на числото от дясната страна, тоест 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Извадете 3 от двете страни: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. По аналогия, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, откъдето 1 5 - x 2 = 1 3, а след това 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Нека извършим проверка, за да определим дали намерените корени са корените на първоначалното уравнение.

Отговор: x = ± 2

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Дял: