Дефиниция на система от линейни уравнения и нейното решение. Примери за системи от линейни уравнения: метод на решение
Системата се нарича става,или разрешимиако има поне едно решение. Системата се нарича несъвместим,или неразтворимако няма решения.
Определени, неопределени СЛАЕ.
Ако SLAE има решение и е уникален, тогава той се извиква определении ако решението не е уникално, тогава несигурен.
МАТРИЧНИ УРАВНЕНИЯ
Матриците позволяват накратко да се запише системата линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:
Помислете за матрицата на системата 
и матрични колони от неизвестни и свободни членове 
Да намерим продукта 
тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това, използвайки дефиницията за равенство на матрицата, тази система може да бъде записана като
или по-кратко А∙X=B.
Ето матрици Аи бса известни, а матрицата хнеизвестен. Тя трябва да бъде намерена, защото. нейните елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.
Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението отляво по матрицата А-1, обратната на матрицата А: . Тъй като A -1 A = Eи д∙X=X, тогава получаваме решението на матричното уравнение във формата X = A -1 B .
Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да бъде намерена само за квадратни матрици, матричният метод може да реши само онези системи, в които броят на уравненията е същият като броя на неизвестните.
Формули на Крамер
Методът на Крамър е, че последователно намираме главен системен идентификатор, т.е. детерминанта на матрица A: D = det (a i j) и n спомагателни детерминанти D i (i= ), които се получават от детерминантата D чрез заместване на i-тата колона с колона от свободни членове.
Формулите на Cramer изглеждат така: D × x i = D i (i = ).
От това следва правилото на Крамер, което дава изчерпателен отговор на въпроса за съвместимостта на системата: ако основната детерминанта на системата е различна от нула, тогава системата има уникално решение, определено по формулите: x i = D i / D.
Ако основната детерминанта на системата D и всички спомагателни детерминанти D i = 0 (i= ), то системата има безкраен брой решения. Ако основната детерминанта на системата D = 0 и поне една спомагателна детерминанта е различна от нула, тогава системата е непоследователна.
Теорема (правило на Крамър): Ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и 
Доказателство: И така, разгледайте система от 3 уравнения с три неизвестни. Умножете първото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение - на А21и 3-ти - на А 31:
Нека добавим тези уравнения:
Разгледайте всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. Съгласно теоремата за разширяване на детерминантата по отношение на елементите от 1-ва колона.
По същия начин може да се покаже, че и .
И накрая, лесно е да се види това 
Така получаваме равенството: . Следователно,.
Равенствата и се извеждат аналогично, откъдето следва твърдението на теоремата.
Теорема на Кронекер-Капели.
Система от линейни уравнения е последователна тогава и само ако рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица.
Доказателство:Той се разделя на два етапа.
1. Нека системата има решение. Нека покажем това.
Нека наборът от числа 
е решението на системата. Означаваме с -тата колона на матрицата , 
. Тогава , т.е. колоната от свободни членове е линейна комбинация от колоните на матрицата . Позволявам . Нека се преструваме, че 
. След това от 
. Избираме в основния минор . Той има ред. Колоната от свободни членове трябва да минава през този минор, в противен случай той ще бъде базовият минор на матрицата. Колоната от свободни членове в минор е линейна комбинация от колоните на матрицата. По силата на свойствата на детерминантата, където е детерминантата, която се получава от минор чрез замяна на колоната от свободни членове с колоната. Ако колоната премина през второстепенната M, тогава в , ще има две еднакви колони и следователно, . Ако колоната не е преминала през второстепенната, тогава тя ще се различава от малката от ред r + 1 на матрицата само по реда на колоните. От тогава . По този начин, което противоречи на определението за основен минор. Следователно, предположението, че , е невярно.
2. Нека . Нека покажем, че системата има решение. Тъй като , тогава базисният минор на матрицата е базисният минор на матрицата. Нека колоните да минават през минор 
. След това, по теоремата за базисния минор в матрица, колоната от свободни членове е линейна комбинация от посочените колони:
| (1) |
Задаваме , , , , и вземаме останалите неизвестни равни на нула. Тогава за тези стойности получаваме
По силата на равенството (1) . Последното равенство означава, че наборът от числа 
е решението на системата. Доказано е съществуването на решение.
В системата, разгледана по-горе 
и системата е последователна. В системата , , и системата е непоследователна.
Забележка: Въпреки че теоремата на Кронекер-Капели позволява да се определи дали дадена система е последователна, тя се използва доста рядко, главно в теоретични изследвания. Причината е, че изчисленията, извършени при намиране на ранга на матрица, са основно същите като изчисленията при намиране на решение на системата. Затова обикновено вместо намиране на и , се търси решение на системата. Ако може да се намери, тогава научаваме, че системата е последователна и едновременно получаваме нейното решение. Ако не може да се намери решение, тогава заключаваме, че системата е непоследователна.
Алгоритъм за намиране на решения на произволна система от линейни уравнения (метод на Гаус)
Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни. Необходимо е да се намери общото му решение, ако то е последователно, или да се установи неговата несъгласуваност. Методът, който ще бъде представен в този раздел, е близък до метода за изчисляване на детерминантата и до метода за намиране на ранга на матрица. Предложеният алгоритъм се извиква Метод на Гаусили метод за последователно елиминиране на неизвестни.
Нека напишем разширената матрица на системата
Елементарни операции наричаме следните операции с матрици:
1. пермутация на линии;
2. умножаване на низ с различно от нула число;
3. добавяне на низ с друг низ, умножен по число.
Обърнете внимание, че при решаването на система от уравнения, за разлика от изчисляването на детерминантата и намирането на ранга, не може да се работи с колони. Ако системата от уравнения се възстанови от матрицата, получена чрез извършване на елементарна операция, тогава новата система ще бъде еквивалентна на оригиналната.
Целта на алгоритъма е чрез прилагане на последователност от елементарни операции към матрицата да гарантира, че всеки ред, с изключение може би на първия, започва с нули, а броят на нулите до първия ненулев елемент във всеки следващ ред е по-голям от предишния.
Стъпката на алгоритъма е следната. Намерете първата ненулева колона в матрицата. Нека е колона с номер . Намираме ненулев елемент в него и разменяме реда с този елемент с първия ред. За да не трупаме допълнителни означения, ще приемем, че такава промяна на редове в матрицата вече е направена, т.е. След това към втория ред добавяме първия, умножен по числото, към третия ред добавяме първия, умножен по числото и т.н. В резултат на това получаваме матрицата
(Първите нулеви колони обикновено липсват.)
Ако матрицата има ред с номер k, в който всички елементи са равни на нула и , тогава спираме изпълнението на алгоритъма и заключаваме, че системата е несъвместима. Наистина, възстановявайки системата от уравнения от разширената матрица, получаваме, че -тото уравнение ще има формата 
Това уравнение не отговаря на нито един набор от числа 
.
Матрицата може да бъде записана като 
По отношение на матрицата изпълняваме описаната стъпка от алгоритъма. Вземете матрицата
където , . Тази матрица отново може да бъде записана като
и горната стъпка на алгоритъма отново се прилага към матрицата.
Процесът спира, ако след изпълнението на следващата стъпка новата редуцирана матрица се състои само от нули или ако всички редове са изчерпани. Имайте предвид, че заключението за несъвместимостта на системата може да спре процеса дори по-рано.
Ако не намалихме матрицата, тогава накрая ще стигнем до матрица на формата
След това се извършва така нареченото обратно преминаване на метода на Гаус. Въз основа на матрицата съставяме система от уравнения. От лявата страна оставяме неизвестните с числа, съответстващи на първите ненулеви елементи във всеки ред, т.е. Забележи това . Останалите неизвестни се прехвърлят в дясната страна. Считайки неизвестните от дясната страна за някакви фиксирани величини, лесно е да изразим неизвестните от лявата страна чрез тях.
Сега, давайки произволни стойности на неизвестните от дясната страна и изчислявайки стойностите на променливите от лявата страна, ще намерим различни решения на оригиналната система Ax=b. За да запишете общото решение, е необходимо да обозначите неизвестните от дясната страна в произволен ред с букви 
, включително тези неизвестни, които не са изрично записани от дясната страна поради нулеви коефициенти, и след това колоната с неизвестни може да бъде записана като колона, където всеки елемент е линейна комбинация от произволни стойности 
(по-специално, само произволна стойност). Този запис ще бъде общото решение на системата.
Ако системата е хомогенна, тогава получаваме общото решение на хомогенната система. Коефициентите на , взети във всеки елемент от колоната на общото решение, ще съставят първото решение от фундаменталната система от решения, коефициентите на , второто решение и т.н.
Метод 2: Фундаменталната система от решения на хомогенна система може да се получи по друг начин. За да направите това, на една променлива, прехвърлена от дясната страна, трябва да бъде присвоена стойност 1, а на останалите - нули. Изчислявайки стойностите на променливите от лявата страна, получаваме едно решение от основната система. Като присвоим стойност 1 на другата променлива от дясната страна и нули на останалите, получаваме второто решение от фундаменталната система и т.н.
определение: системата се нарича съвместно th, ако има поне едно решение, и непоследователен - в противен случай, тоест в случай, че системата няма решения. Въпросът дали една система има решение или не е свързан не само със съотношението на броя на уравненията към броя на неизвестните. Например система от три уравнения с две неизвестни
 |
има решение и дори има безкрайно много решения, но система от две уравнения с три неизвестни.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Тази система винаги е последователна, тъй като има тривиално решение x 1 =…=x n =0
За да съществуват нетривиални решения е необходимо и достатъчно
условия r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
ThНаборът от SLAE решения образува линейно пространство с размерност (n-r). Това означава, че произведението на нейното решение с число, както и сумата и линейната комбинация от краен брой нейни решения, са решения на тази система. Пространството на линейното решение на всеки SLAE е подпространство на пространството R n .
Всяко множество от (n-r) линейно независими решения на SLAE (което е основа в пространството на решенията) се нарича фундаментален набор от решения (FSR).
Нека х 1 ,…,х r са основни неизвестни, х r +1 ,…,х n са свободни неизвестни. Ние даваме следните стойности на свободните променливи на свой ред:
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Формира линейно пространство S (пространство на решения), което е подпространство в R n (n е броят на неизвестните) и dims=k=n-r, където r е рангът на системата. Базисът в пространството на решенията (x (1) ,…, x (k) ) се нарича фундаментална система от решения и общото решение има формата:
X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? Р
Пример 1. Намерете общо решение и някакво конкретно решение на систематаРешениенаправете го с калкулатор. Изписваме разширената и основната матрици: 
С пунктирана линия е разделена основната матрица А. Отгоре записваме неизвестните системи, като имаме предвид възможната пермутация на членовете в уравненията на системата. Определяйки ранга на разширената матрица, ние едновременно намираме ранга на основната. В матрица B първата и втората колона са пропорционални. От двете пропорционални колони само една може да попадне в основния минор, така че нека преместим например първата колона отвъд прекъснатата линия с противоположния знак. За системата това означава прехвърляне на членове от x 1 към дясната страна на уравненията. 
Привеждаме матрицата до триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на матричен ред с число, различно от нула и добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му към друго уравнение, което не променя решението на системата . Работа с първия ред: умножете първия ред на матрицата по (-3) и добавете към втория и третия ред на свой ред. След това умножаваме първия ред по (-2) и го добавяме към четвъртия. 
Втората и третата линия са пропорционални, следователно една от тях, например втората, може да бъде зачеркната. Това е еквивалентно на изтриване на второто уравнение на системата, тъй като то е следствие от третото. 
Сега работим с втория ред: умножете го по (-1) и го добавете към третия. 
Малкото, оградено с пунктирана линия, има най-висок порядък(от възможните минори) и е различно от нула (равно е на произведението на елементите по главния диагонал), като този минор принадлежи както на главната матрица, така и на разширената, следователно rangA = rangB = 3 .
Незначителен 
е основен. Той включва коефициенти за неизвестни x 2, x 3, x 4, което означава, че неизвестните x 2, x 3, x 4 са зависими, а x 1, x 5 са свободни.
Трансформираме матрицата, оставяйки само основния минор отляво (което съответства на точка 4 от горния алгоритъм за решение). 
Системата с коефициенти на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата
Чрез метода на елиминиране на неизвестните намираме: 
, ,
Получихме отношения, изразяващи зависими променливи x 2, x 3, x 4 през свободни x 1 и x 5, тоест намерихме общо решение: 
Давайки произволни стойности на свободните неизвестни, получаваме произволен брой конкретни решения. Нека намерим две конкретни решения:
1) нека x 1 = x 5 = 0, тогава x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) поставете x 1 = 1, x 5 = -1, след това x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Така намерихме две решения: (0.1, -3,3,0) - едно решение, (1.4, -7.7, -1) - друго решение.
Пример 2. Проучете съвместимостта, намерете общо и едно конкретно решение на системата 
Решение. Нека пренаредим първото и второто уравнения, за да имаме единица в първото уравнение и да напишем матрицата B. 
Получаваме нули в четвъртата колона, опериращи на първия ред: 
Сега вземете нулите в третата колона, като използвате втория ред: 
Третият и четвъртият ред са пропорционални, така че един от тях може да бъде зачеркнат, без да се променя ранга:
Умножете третия ред по (-2) и добавете към четвъртия: 
Виждаме, че ранговете на основната и разширената матрици са 4, а рангът съвпада с броя на неизвестните, следователно системата има уникално решение:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Пример 3. Проверете системата за съвместимост и намерете решение, ако съществува. 
Решение. Съставяме разширената матрица на системата. 
Пренаредете първите две уравнения така, че да има 1 в горния ляв ъгъл:
Умножавайки първия ред по (-1), добавяме го към третия: 
Умножете втория ред по (-2) и добавете към третия: 
Системата е непоследователна, тъй като основната матрица получи ред, състоящ се от нули, който се зачертава, когато се намери рангът, и последният ред остава в разширената матрица, т.е. r B > r A .
Упражнение. Проучете тази система от уравнения за съвместимост и я решете с помощта на матрично смятане.
Решение
Пример. Докажете съвместимостта на система от линейни уравнения и я решете по два начина: 1) по метода на Гаус; 2) Метод на Крамер. (въведете отговора във формата: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Отговор: 2,-1,3.
Пример. Дадена е система от линейни уравнения. Докажете неговата съвместимост. Намерете общо решение на системата и едно конкретно решение.
Решение
Отговор: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Упражнение. Намерете общи и конкретни решения за всяка система.
Решение.Ние изучаваме тази система с помощта на теоремата на Кронекер-Капели.
Изписваме разширената и основната матрици:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| х 1 | x2 | х 3 | x4 | x5 |
Тук матрица A е с удебелен шрифт.
Привеждаме матрицата до триъгълна форма. Ще работим само с редове, тъй като умножаването на матричен ред с число, различно от нула и добавянето към друг ред за системата означава умножаване на уравнението по същото число и добавянето му към друго уравнение, което не променя решението на системата .
Умножете първия ред по (3). Умножете втория ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножете втория ред по (2). Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим третия ред към втория:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножете втория ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Избраният минор има най-висок ред (сред възможните минори) и е различен от нула (равен е на произведението на елементите по реципрочния диагонал), и този минор принадлежи както към основната матрица, така и към разширената, следователно rang( A) = rang(B) = 3 Тъй като рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената, тогава системата е колаборативна.
Този минор е основен. Той включва коефициенти за неизвестни x 1, x 2, x 3, което означава, че неизвестните x 1, x 2, x 3 са зависими (основни), а x 4, x 5 са свободни.
Трансформираме матрицата, оставяйки само основния минор отляво.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| х 1 | x2 | х 3 | x4 | x5 |
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Чрез метода на елиминиране на неизвестните намираме:
Получихме релации, изразяващи зависими променливи x 1, x 2, x 3 през свободни x 4, x 5, тоест намерихме общо решение:
х 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
несигурен, защото има повече от едно решение.
Упражнение. Решете системата от уравнения.
Отговор:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Давайки произволни стойности на свободните неизвестни, получаваме произволен брой конкретни решения. Системата е несигурен
Да се изследва система от линейни възрастови уравнения (SLAE) за съвместимост означава да се установи дали тази система има решения или не. Е, ако има решения, тогава посочете колко от тях.
Ще ни е необходима информация от темата "Система от линейни алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична нотация". По-специално са необходими такива понятия като матрицата на системата и разширената матрица на системата, тъй като формулировката на теоремата на Кронекер-Капели се основава на тях. Както обикновено, матрицата на системата ще бъде обозначена с буквата $A$, а разширената матрица на системата с буквата $\widetilde(A)$.
Теорема на Кронекер-Капели
Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само тогава, когато рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица на системата, т.е. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.
Нека ви напомня, че една система се нарича съвместна, ако има поне едно решение. Теоремата на Кронекер-Капели казва следното: ако $\rang A=\rang\widetilde(A)$, тогава има решение; ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава този SLAE няма решения (е непоследователен). Отговорът на въпроса за броя на тези решения се дава от следствие от теоремата на Кронекер-Капели. Твърдението на следствието използва буквата $n$, която е равна на броя на променливите в дадения SLAE.
Следствие от теоремата на Кронекер-Капели
- Ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава SLAE е непоследователен (няма решения).
- Ако $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Ако $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, тогава SLAE е определен (има точно едно решение).
Имайте предвид, че формулираната теорема и нейното следствие не показват как да се намери решението на SLAE. С тяхна помощ можете само да разберете дали тези решения съществуват или не, и ако съществуват, тогава колко.
Пример #1
Разгледайте SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ за последователност Ако SLAE е последователен, посочете броя на решенията.
За да открием съществуването на решения на даден SLAE, ние използваме теоремата на Kronecker-Capelli. Нуждаем се от матрицата на системата $A$ и разширената матрица на системата $\widetilde(A)$, записваме ги:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \край (масив)\вдясно). $$
Трябва да намерим $\rang A$ и $\rang\widetilde(A)$. Има много начини да направите това, някои от които са изброени в раздела Matrix Rank. Обикновено се използват два метода за изследване на такива системи: "Изчисляване на ранга на матрица по дефиниция" или "Изчисляване на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации".
Метод номер 1. Изчисляване на рангове по дефиниция.
Според дефиницията рангът е най-високият ред на второстепенните елементи на матрицата, сред които има поне един, различен от нула. Обикновено изследването започва с минорите от първи ред, но тук е по-удобно да се премине веднага към изчисляването на минора от трети ред на матрицата $A$. Елементите на минор от трети ред са в пресечната точка на три реда и три колони на разглежданата матрица. Тъй като матрицата $A$ съдържа само 3 реда и 3 колони, минорът от трети порядък на матрицата $A$ е детерминантата на матрицата $A$, т.е. $\DeltaA$. За изчисляване на детерминанта прилагаме формула № 2 от темата "Формули за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред":
$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(масив) \right|=-21. $$
И така, има минор от трети ред на матрицата $A$, който не е равен на нула. Минор от 4-ти ред не може да бъде съставен, тъй като изисква 4 реда и 4 колони, а матрицата $A$ има само 3 реда и 3 колони. И така, най-високият порядък на минори на матрицата $A$, сред които има поне един ненулев, е равен на 3. Следователно $\rang A=3$.
Също така трябва да намерим $\rang\widetilde(A)$. Нека да разгледаме структурата на матрицата $\widetilde(A)$. До реда в матрицата $\widetilde(A)$ има елементи от матрицата $A$ и открихме, че $\Delta A\neq 0$. Следователно матрицата $\widetilde(A)$ има минор от трети ред, който не е равен на нула. Не можем да съставим минори от четвърти ред на матрицата $\widetilde(A)$, така че заключаваме: $\rang\widetilde(A)=3$.
Тъй като $\rang A=\rang\widetilde(A)$, съгласно теоремата на Кронекер-Капели, системата е последователна, т.е. има решение (поне едно). За да посочим броя на решенията, вземаме предвид, че нашият SLAE съдържа 3 неизвестни: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Тъй като броят на неизвестните е $n=3$, заключаваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, следователно, съгласно следствието от теоремата на Кронекер-Капели, системата е определена, т.е. има уникално решение.
Проблема решен. Какви са недостатъците и предимствата на насам? Първо, нека поговорим за плюсовете. Първо, трябваше да намерим само една детерминанта. След това веднага направихме заключение за броя на решенията. Обикновено в стандартните типични изчисления се дават системи от уравнения, които съдържат три неизвестни и имат едно решение. За такива системи този методмного удобно, защото знаем предварително, че има решение (в противен случай нямаше да има пример в типично изчисление). Тези. остава само да покажем, че има решение на най бърз начин. Второ, изчислената стойност на детерминантата на системната матрица (т.е. $\Delta A$) ще бъде полезна по-късно: когато започнем да решаваме дадената система, използвайки метода на Крамер или използвайки обратната матрица.
Въпреки това, по дефиниция, методът за изчисляване на ранга е нежелан, ако системната матрица $A$ е правоъгълна. В този случай е по-добре да приложите втория метод, който ще бъде разгледан по-долу. Освен това, ако $\Delta A=0$, тогава няма да можем да кажем нищо за броя на решенията за даден нехомогенен SLAE. Може би SLAE има безкраен брой решения, а може би нито едно. Ако $\Delta A=0$, тогава е задължително допълнителни изследвания, което често е тромаво.
Обобщавайки казаното, отбелязвам, че първият метод е добър за тези SLAE, чиято системна матрица е квадратна. В същото време самият SLAE съдържа три или четири неизвестни и се взема от стандартни стандартни изчисления или контролни работи.
Метод номер 2. Изчисляване на ранга по метода на елементарните трансформации.
Този метод е описан подробно в съответната тема. Ще изчислим ранга на матрицата $\widetilde(A)$. Защо матрици $\widetilde(A)$, а не $A$? Въпросът е, че матрицата $A$ е част от матрицата $\widetilde(A)$, така че чрез изчисляване на ранга на матрицата $\widetilde(A)$ ние едновременно ще намерим ранга на матрицата $A$ .
\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(разменете първи и втори ред)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(масив) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (масив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(масив) \right) \begin(масив) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(масив) \right) \end(aligned)
Редуцирахме матрицата $\widetilde(A)$ до трапецовидна форма. На главния диагонал на получената матрица $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ съдържа три ненулеви елемента: -1, 3 и -7. Заключение: рангът на матрицата $\widetilde(A)$ е 3, т.е. $\rank\widetilde(A)=3$. Правейки трансформации с елементите на матрицата $\widetilde(A)$, ние едновременно трансформирахме елементите на матрицата $A$, разположени преди линията. Матрицата $A$ също е трапецовидна: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Извод: рангът на матрицата $A$ също е равен на 3, т.е. $\ранг A=3$.
Тъй като $\rang A=\rang\widetilde(A)$, съгласно теоремата на Кронекер-Капели, системата е последователна, т.е. има решение. За да посочим броя на решенията, вземаме предвид, че нашият SLAE съдържа 3 неизвестни: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Тъй като броят на неизвестните е $n=3$, заключаваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, следователно, съгласно следствието от теоремата на Кронекер-Капели, системата е дефинирана, т.е. има уникално решение.
Какви са предимствата на втория метод? Основното предимство е неговата универсалност. За нас няма значение дали матрицата на системата е квадратна или не. В допълнение, ние действително извършихме трансформации на метода на Гаус напред. Остават само няколко стъпки и можем да получим решението на този SLAE. Честно казано, вторият начин ми харесва повече от първия, но изборът е въпрос на вкус.
Отговор: Даденият SLAE е последователен и дефиниран.
Пример #2
Разгледайте SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ за последователност.
Ще намерим ранговете на системната матрица и разширената матрица на системата по метода на елементарните трансформации. Разширена системна матрица: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Нека намерим необходимите рангове, като трансформираме разширената матрица на системата:
Разширената матрица на системата е сведена до стъпаловидна форма. Ако матрицата се редуцира до стъпаловидна форма, тогава нейният ранг е равен на броя на ненулевите редове. Следователно $\rank A=3$. Матрицата $A$ (до реда) е приведена до трапецовидна форма и нейният ранг е равен на 2, $\rang A=2$.
Тъй като $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава, съгласно теоремата на Кронекер-Капели, системата е непоследователна (т.е. няма решения).
Отговор: Системата е непоследователна.
Пример #3
Разгледайте SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ за съвместимост.
Разширената системна матрица е: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array)\right)$. Разменете първия и втория ред на тази матрица, така че първият елемент на първия ред да е едно: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.
Редуцирахме разширената матрица на системата и матрицата на самата система до трапецовидна форма. Рангът на разширената матрица на системата е равен на три, рангът на матрицата на системата също е равен на три. Тъй като системата съдържа $n=5$ неизвестни, т.е. $\rang\widetilde(A)=\ранг A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли тази системае безсрочен, т.е. има безкраен брой решения.
Отговор: системата е неопределена.
Във втората част ще анализираме примери, които често се включват в стандартни изчисления или тестове по висша математика: изследване на съвместимостта и решението на SLAE в зависимост от стойностите на параметрите, включени в него.
- системи млинейни уравнения с ннеизвестен.
Решаване на система от линейни уравненияе такъв набор от числа ( x 1, x 2, …, x n), замествайки което във всяко от уравненията на системата, се получава правилното равенство.
където a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, nса коефициентите на системата;
b i , i = 1, …, m- безплатни членове;
x j , j = 1, …, n- неизвестен.
Горната система може да бъде написана в матрична форма: A X = B,
където ( А|б) е основната матрица на системата;
А— разширена матрица на системата;
х— колона неизвестни;
бе колона от безплатни членове.
Ако матрицата бне е нулева матрица ∅, тогава тази система от линейни уравнения се нарича нехомогенна.
Ако матрицата б= ∅, тогава тази система от линейни уравнения се нарича хомогенна. Една хомогенна система винаги има нулево (тривиално) решение: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Съвместна система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има решение.
Несъгласувана система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която няма решение.
Определена система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има уникално решение.
Неопределена система от линейни уравненияе система от линейни уравнения, която има безкраен брой решения. - Системи от n линейни уравнения с n неизвестни
Ако броят на неизвестните е равен на броя на уравненията, тогава матрицата е квадратна. Матричната детерминанта се нарича основна детерминанта на системата от линейни уравнения и се обозначава със символа Δ.
Метод на Крамерза решаване на системи нлинейни уравнения с ннеизвестен.
Правилото на Крамър.
Ако основният детерминант на система от линейни уравнения не е равен на нула, тогава системата е последователна и дефинирана и единственото решение се изчислява с помощта на формулите на Крамер:
където Δ i са детерминантите, получени от основния детерминант на системата Δ чрез замяна азта колона към колоната на безплатните членове. . - Системи от m линейни уравнения с n неизвестни
Теорема на Кронекер-Капели.
За да бъде последователна тази система от линейни уравнения, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица на системата, ранг (Α) = ранг (Α|B).
Ако ранг(Α) ≠ ранг(Α|B), тогава системата очевидно няма решения.
Ако ранг (Α) = ранг (Α|B), тогава са възможни два случая:
1) ранг(Α) = n(до броя на неизвестните) - решението е единствено и се получава по формулите на Крамер;
2) ранг (Α)< n − има безкрайно много решения. - Метод на Гаусза решаване на системи от линейни уравнения
Нека съставим разширената матрица ( А|б) на дадената система от коефициенти в неизвестната и дясната част.
Методът на Гаус или методът за елиминиране на неизвестни се състои в намаляване на разширената матрица ( А|б) с помощта на елементарни трансформации над неговите редове до диагонална форма (към горна триъгълна форма). Връщайки се към системата от уравнения, всички неизвестни са определени.
Елементарните трансформации на низове включват следното:
1) размяна на два реда;
2) умножаване на низ с число, различно от 0;
3) добавяне към низа на друг низ, умножен по произволно число;
4) изхвърляне на нулев низ.
Съответства разширена матрица, намалена до диагонална форма линейна система, еквивалентен на дадения, чието решаване не създава затруднения. . - Система от еднородни линейни уравнения.
Хомогенната система има формата:
то съответства на матричното уравнение A X = 0.
1) Хомогенната система винаги е последователна, тъй като r(A) = r(A|B), винаги има нулево решение (0, 0, …, 0).
2) За да има хомогенна система ненулево решение, е необходимо и достатъчно, че r = r(A)< n , което е еквивалентно на Δ = 0.
3) Ако r< n , тогава Δ = 0, тогава има свободни неизвестни c 1 , c 2 , …, c n-r, системата има нетривиални решения и има безкрайно много от тях.
4) Общо решение хпри r< n може да се запише в матрична форма, както следва:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
къде са решенията X 1 , X 2 , …, X n-rформират фундаментална система от решения.
5) Фундаменталната система от решения може да се получи от общото решение на хомогенната система:
,
ако последователно приемем, че стойностите на параметрите са (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Декомпозиция на общото решение по отношение на фундаменталната система от решенияе запис на общото решение като линейна комбинация от решения, принадлежащи към фундаменталната система.
Теорема. За да има система от линейни хомогенни уравнения ненулево решение, е необходимо и достатъчно Δ ≠ 0.
Така че, ако детерминантата е Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение.
Ако Δ ≠ 0, тогава системата от линейни еднородни уравнения има безкраен брой решения.
Теорема. За да има хомогенна система ненулево решение, е необходимо и достатъчно, че r(A)< n .
Доказателство:
1) rне може да бъде повече н(рангът на матрицата не надвишава броя на колоните или редовете);
2) r< n , защото ако r=n, тогава главният детерминант на системата Δ ≠ 0 и според формулите на Крамер има единствено тривиално решение x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, което противоречи на условието. означава, r(A)< n .
Последица. За хомогенна система нлинейни уравнения с ннеизвестни има ненулево решение, необходимо и достатъчно е Δ = 0.
където х* - едно от решенията на нехомогенната система (2) (например (4)), (E−A + A)образува ядрото (нулево пространство) на матрицата А.
Нека направим скелетно разлагане на матрицата (E−A + A):
E−A + A=Q S
където Q n×n−r- рангова матрица (Q)=n−r, С n−r×n-рангова матрица (S)=n−r.
Тогава (13) може да се запише в следния вид:
x=x*+Qk, ∀ к ∈ R n-r .
където k=Sz.
Така, обща процедура за решениесистема от линейни уравнения с помощта на псевдо обратна матрицаможе да се представи в следната форма:
- Изчислете псевдообратната матрица А + .
- Изчисляваме конкретно решение на нехомогенната система от линейни уравнения (2): х*=А + b.
- Проверяваме съвместимостта на системата. За това изчисляваме АА + b. Ако АА + b≠b, тогава системата е непоследователна. В противен случай продължаваме процедурата.
- vyssylyaem E−A+A.
- Извършване на разлагане на скелета E−A + A=Q·S.
- Изграждане на решение
x=x*+Qk, ∀ к ∈ R n-r .
Решаване на система от линейни уравнения онлайн
Онлайн калкулаторът ви позволява да намерите общото решение на система от линейни уравнения с подробни обяснения.