Kako riješiti jednadžbe s razlomcima. Racionalne jednadžbe

Rješavanje jednadžbi s razlomcima Pogledajmo primjere. Primjeri su jednostavni i ilustrativni. Uz njihovu pomoć moći ćete razumjeti na najrazumljiviji način.
Na primjer, trebate riješiti jednostavnu jednadžbu x/b + c = d.

Jednadžba ovog tipa naziva se linearna, jer Nazivnik sadrži samo brojeve.

Rješenje se izvodi množenjem obje strane jednadžbe s b, tada jednadžba poprima oblik x = b*(d – c), tj. nazivnik razlomka na lijevoj strani se poništava.

Na primjer, kako riješiti frakcijska jednadžba:
x/5+4=9
Obje strane pomnožimo s 5. Dobijemo:
x+20=45
x=45-20=25

Drugi primjer kada je nepoznanica u nazivniku:

Jednadžbe ovog tipa nazivaju se frakcijsko-racionalne ili jednostavno frakcijske.

Razlomačku jednadžbu riješili bismo tako da bismo se riješili razlomaka, nakon čega se ova jednadžba, najčešće, pretvara u linearnu ili kvadratnu jednadžbu, koju je moguće riješiti na uobičajeni način. Samo trebate uzeti u obzir sljedeće točke:

  • vrijednost varijable koja pretvara nazivnik u 0 ne može biti korijen;
  • Ne možete podijeliti ili pomnožiti jednadžbu s izrazom =0.

Ovdje stupa na snagu koncept područja dopuštenih vrijednosti (ADV) - to su vrijednosti korijena jednadžbe za koje jednadžba ima smisla.

Dakle, pri rješavanju jednadžbe potrebno je pronaći korijene, a zatim provjeriti njihovu usklađenost s ODZ-om. Iz odgovora su isključeni oni korijeni koji ne odgovaraju našem ODZ-u.

Na primjer, trebate riješiti razlomljenu jednadžbu:

Na temelju gore navedeno pravilo x ne može biti = 0, tj. ODZ u ovom slučaju: x – bilo koja vrijednost osim nule.

Rješavamo se nazivnika množenjem svih članova jednadžbe s x

I rješavamo uobičajenu jednadžbu

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odgovor: x = 1/3

Riješimo kompliciraniju jednadžbu:

ODZ je također prisutan i ovdje: x -2.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe nećemo sve pomaknuti na jednu stranu i dovesti razlomke na zajednički nazivnik. Odmah ćemo pomnožiti obje strane jednadžbe s izrazom koji će poništiti sve nazivnike odjednom.

Da biste smanjili nazivnike, trebate pomnožiti lijevu stranu s x+2, a desnu stranu s 2. To znači da obje strane jednadžbe moraju biti pomnožene s 2(x+2):

Ovo je najčešće množenje razlomaka, o čemu smo već govorili gore.

Napišimo istu jednadžbu, ali malo drugačije

Lijeva strana se reducira za (x+2), a desna za 2. Nakon redukcije dobivamo uobičajenu linearnu jednadžbu:

x = 4 – 2 = 2, što odgovara našem ODZ-u

Odgovor: x = 2.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima nije tako teško kao što se može činiti. U ovom smo članku to pokazali primjerima. Ako imate bilo kakvih poteškoća sa kako rješavati jednadžbe s razlomcima, a zatim odjavite pretplatu u komentarima.

Pozivamo vas na lekciju o rješavanju jednadžbi s razlomcima, najvjerojatnije ste se već susreli s takvim jednadžbama, pa ćemo u ovoj lekciji ponoviti i sažeti informacije koje znate.

Više lekcija na stranici

Razlomačko-racionalna jednadžba je jednadžba u kojoj se nalaze racionalni razlomci, odnosno varijabla u nazivniku. Vjerojatno ste se u prošlosti susreli s ovakvim jednadžbama, pa ćemo u ovoj lekciji ponoviti i sažeti ono što znate.

Prvo predlažem da se okrenete prethodnoj lekciji o ovoj temi - lekciji "Rješavanje kvadratnih jednadžbi". U toj lekciji razmatran je primjer rješavanja razlomljene racionalne jednadžbe. Razmotrimo to

Rješenje ove jednadžbe provodi se u nekoliko faza:

  • Pretvaranje jednadžbe koja sadrži racionalne razlomke.
  • Ići na cijelu jednadžbu i pojednostaviti je;
  • Rješavanje kvadratne jednadžbe.

Prilikom rješavanja bilo koje razlomljene racionalne jednadžbe potrebno je proći kroz prve 2 faze. Treća faza je izborna, budući da jednadžba dobivena kao rezultat pojednostavljenja ne mora biti kvadratna, već linearna; rješavanje linearne jednadžbe puno je lakše. Postoji još jedan važan korak pri rješavanju razlomljene racionalne jednadžbe. To će biti vidljivo prilikom rješavanja sljedeće jednadžbe.

što bi trebao učiniti prvo? – Naravno, dovedite razlomke na zajednički nazivnik. I vrlo je važno pronaći točno najmanje zajedničkog nazivnika, u suprotnom, dalje, u procesu rješavanja, jednadžba će biti komplicirana. Ovdje napominjemo da se nazivnik zadnjeg razlomka može faktorizirati na I y+2. Upravo će taj proizvod biti zajednički nazivnik u ovoj jednadžbi. Sada moramo odrediti dodatne faktore za svaki od razlomaka. Točnije, za posljednji razlomak takav množitelj nije potreban, jer je njegov nazivnik jednak uobičajenom. Sada kada svi razlomci imaju iste nazivnike, možemo prijeći na cijelu jednadžbu, sastavljenu od istih brojnika. Ali potrebno je napraviti jednu napomenu da pronađena vrijednost nepoznanice ne može nijedan nazivnik svesti na nulu. Ovo je ODZ: y≠0, y≠2. Time je završena prva od prethodno opisanih faza rješenja i prelazimo na drugu - pojednostavljujemo dobivenu cijelu jednadžbu. Da biste to učinili, otvorite zagrade, premjestite sve članove na jednu stranu jednadžbe i predstavite slične. Učinite to sami i provjerite jesu li moji izračuni, koji su dali jednadžbu, točni 3y 2 – 12y = 0. Ova jednadžba je kvadratna, napisana je u standardnom obliku, a jedan od njenih koeficijenata je nula.

Jednostavno rečeno, to su jednadžbe u kojima je barem jedna varijabla u nazivniku.

Na primjer:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)


Primjer Ne frakcijske racionalne jednadžbe:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kako se rješavaju razlomljene racionalne jednadžbe?

Glavna stvar koju treba zapamtiti o frakcijskim racionalnim jednadžbama je da morate pisati u njima. I nakon pronalaska korijena, svakako ih provjerite za dopuštenost. Inače se mogu pojaviti strani korijeni, a cijela će se odluka smatrati netočnom.


Algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe:

    Zapišite i “riješite” ODZ.

    Pomnožite svaki član u jednadžbi zajedničkim nazivnikom i poništite dobivene razlomke. Nazivnici će nestati.

    Napiši jednadžbu bez otvaranja zagrada.

    Riješite dobivenu jednadžbu.

    Pronađene korijene provjeriti ODZ-om.

    Zapišite u svoj odgovor korijene koji su prošli test u koraku 7.

Nemojte pamtiti algoritam, 3-5 riješenih jednadžbi i zapamtit će se sam.


Primjer . Odlučiti frakcijska racionalna jednadžba \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Riješenje:

Odgovor: \(3\).


Primjer . Pronađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe \(=0\)

Riješenje:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\)

ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
\(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
\(x^2+7x+10≠0\)
\(D=49-4 \cdot 10=9\)
\(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\)
\(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)

Zapisujemo i “rješavamo” ODZ.

Proširujemo \(x^2+7x+10\) u prema formuli: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Srećom, već smo pronašli \(x_1\) i \(x_2\).

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)

Očito, zajednički nazivnik razlomaka je \((x+2)(x+5)\). Njime množimo cijelu jednadžbu.

\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\)
\(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)

Smanjenje razlomaka

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

Otvaranje zagrada

\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)

Predstavljamo slične uvjete

\(2x^2+9x-5=0\)


Pronalaženje korijena jednadžbe

\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)


Jedan od korijena ne odgovara ODZ-u, pa u odgovor upisujemo samo drugi korijen.

Odgovor: \(\frac(1)(2)\).

Jednadžbu smo uveli gore u § 7. Prvo, prisjetimo se što je racionalni izraz. Ovo je algebarski izraz sastavljen od brojeva i varijable x pomoću operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja s prirodnim eksponentom.

Ako je r(x) racionalan izraz, onda se jednadžba r(x) = 0 naziva racionalna jednadžba.

Međutim, u praksi je prikladnije koristiti nešto šire tumačenje pojma "racionalna jednadžba": to je jednadžba oblika h(x) = q(x), gdje su h(x) i q(x) racionalni izrazi.

Do sada nismo mogli riješiti nijednu racionalnu jednadžbu, već samo onu koja se, kao rezultat raznih transformacija i promišljanja, svela na Linearna jednadžba. Sada su naše mogućnosti puno veće: moći ćemo riješiti racionalnu jednadžbu koja se ne svodi samo na linearnu
mu, ali i na kvadratnu jednadžbu.

Prisjetimo se kako smo prije rješavali racionalne jednadžbe i pokušajmo formulirati algoritam rješenja.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Riješenje. Prepišimo jednadžbu u obliku

U ovom slučaju, kao i obično, koristimo činjenicu da jednakosti A = B i A - B = 0 izražavaju isti odnos između A i B. To nam je omogućilo da pomaknemo član na lijevu stranu jednadžbe s suprotnog predznaka.

Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe. Imamo


Prisjetimo se uvjeta jednakosti razlomci nula: ako i samo ako su dvije relacije istovremeno zadovoljene:

1) brojnik razlomka je nula (a = 0); 2) nazivnik razlomka je različit od nule).
Izjednačujući brojnik razlomka na lijevoj strani jednadžbe (1) s nulom, dobivamo

Ostaje provjeriti ispunjenje drugog gore navedenog uvjeta. Relacija znači za jednadžbu (1) da . Vrijednosti x 1 = 2 i x 2 = 0,6 zadovoljavaju navedene odnose i stoga služe kao korijeni jednadžbe (1), a ujedno i korijeni dane jednadžbe.

1) Transformirajmo jednadžbu u oblik

2) Transformirajmo lijevu stranu ove jednadžbe:

(istovremeno promijenio predznake u brojniku i
razlomci).
Tako, dana jednadžba poprima oblik

3) Riješite jednadžbu x 2 - 6x + 8 = 0. Pronađite

4) Za pronađene vrijednosti provjerite ispunjenost uvjeta . Broj 4 zadovoljava ovaj uvjet, ali broj 2 ne. To znači da je 4 korijen dane jednadžbe, a 2 vanjski korijen.
ODGOVOR: 4.

2. Rješavanje racionalnih jednadžbi uvođenjem nove varijable

Metoda uvođenja nove varijable vam je poznata; koristili ste je više puta. Pokažimo na primjerima kako se koristi u rješavanju racionalnih jednadžbi.

Primjer 3. Riješite jednadžbu x 4 + x 2 - 20 = 0.

Riješenje. Uvedimo novu varijablu y = x 2 . Budući da je x 4 = (x 2) 2 = y 2, tada se dana jednadžba može prepisati kao

y 2 + y - 20 = 0.

ovo - kvadratna jednadžba, čije ćemo korijene pronaći pomoću poznatog formule; dobivamo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ali y = x 2, što znači da je problem sveden na rješavanje dvije jednadžbe:
x 2 =4; x 2 = -5.

Iz prve jednadžbe nalazimo da druga jednadžba nema korijena.
Odgovor: .
Jednadžba oblika ax 4 + bx 2 +c = 0 naziva se bikvadratna jednadžba ("bi" je dva, tj. vrsta "dvostruke kvadratne" jednadžbe). Upravo riješena jednadžba bila je upravo bikvadratna. Bilo koja bikvadratna jednadžba rješava se na isti način kao jednadžba iz primjera 3: uvodi se nova varijabla y = x 2, rješava se dobivena kvadratna jednadžba s obzirom na varijablu y, a zatim se vraća na varijablu x.

Primjer 4. Riješite jednadžbu

Riješenje. Imajte na umu da se isti izraz x 2 + 3x ovdje pojavljuje dva puta. To znači da ima smisla uvesti novu varijablu y = x 2 + 3x. To će nam omogućiti da jednadžbu prepišemo u jednostavniji i ugodniji oblik (što je zapravo svrha uvođenja novog varijabla- i pojednostavljenje snimanja
postaje jasnije, a struktura jednadžbe postaje jasnija):

Sada upotrijebimo algoritam za rješavanje racionalne jednadžbe.

1) Premjestimo sve članove jednadžbe u jedan dio:

= 0
2) Transformirajte lijevu stranu jednadžbe

Dakle, transformirali smo danu jednadžbu u oblik


3) Iz jednadžbe - 7y 2 + 29y -4 = 0 nalazimo (ti i ja smo već riješili dosta kvadratnih jednadžbi, pa vjerojatno ne vrijedi uvijek davati detaljne izračune u udžbeniku).

4) Provjerimo pronađene korijene pomoću uvjeta 5 (y - 3) (y + 1). Oba korijena zadovoljavaju ovaj uvjet.
Dakle, kvadratna jednadžba za novu varijablu y je riješena:
Kako je y = x 2 + 3x, a y, kako smo utvrdili, ima dvije vrijednosti: 4 i , ostaje nam još riješiti dvije jednadžbe: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Korijeni prve jednadžbe su brojevi 1 i - 4, korijeni druge jednadžbe su brojevi

U razmatranim primjerima način uvođenja nove varijable bio je, kako matematičari vole reći, adekvatan situaciji, odnosno dobro joj je korespondirao. Zašto? Da, jer se isti izraz jasno pojavio u jednadžbi nekoliko puta i postojao je razlog da se ovaj izraz označi novim slovom. Ali to se ne događa uvijek; ponekad se nova varijabla "pojavi" samo tijekom procesa transformacije. Upravo to će se dogoditi u sljedećem primjeru.

Primjer 5. Riješite jednadžbu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Riješenje. Imamo
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Zx+2.

To znači da se zadana jednadžba može prepisati u obliku

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Sada se “pojavila” nova varijabla: y = x 2 - 3x.

Uz njegovu pomoć, jednadžba se može prepisati u obliku y (y + 2) = 24, a zatim y 2 + 2y - 24 = 0. Korijeni ove jednadžbe su brojevi 4 i -6.

Vraćajući se na početnu varijablu x, dobivamo dvije jednadžbe x 2 - 3x = 4 i x 2 - 3x = - 6. Iz prve jednadžbe nalazimo x 1 = 4, x 2 = - 1; druga jednadžba nema korijena.

ODGOVOR: 4, - 1.

Sadržaj lekcije bilješke lekcije prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije

Već smo naučili rješavati kvadratne jednadžbe. Sada proširimo proučavane metode na racionalne jednadžbe.

Što je racionalni izraz? Već smo se susreli s ovim konceptom. Racionalni izrazi su izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih potencija i simbola matematičkih operacija.

Prema tome, racionalne jednadžbe su jednadžbe oblika: , gdje je - racionalni izrazi.

Prethodno smo razmatrali samo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na linearne. Sada pogledajmo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe.

Primjer 1

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Razlomak je jednak 0 ako i samo ako mu je brojnik jednak 0, a nazivnik nije jednak 0.

Dobivamo sljedeći sustav:

Prva jednadžba sustava je kvadratna jednadžba. Prije nego ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente s 3. Dobivamo:

Dobivamo dva korijena: ; .

Budući da 2 nikada nije jednako 0, moraju biti ispunjena dva uvjeta: . Budući da se niti jedan od korijena gore dobivene jednadžbe ne podudara s nevažećim vrijednostima varijable koje su dobivene prilikom rješavanja druge nejednadžbe, oba su rješenja ove jednadžbe.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve članove na lijevu stranu tako da desna strana završi s 0.

2. Transformirajte i pojednostavite lijevu stranu, sve razlomke dovedite na zajednički nazivnik.

3. Izjednačite dobiveni razlomak s 0 pomoću sljedećeg algoritma: .

4. Zapišite korijene koji su dobiveni u prvoj jednadžbi i zadovoljite drugu nejednakost u odgovoru.

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer 2

Riješite jednadžbu: .

Riješenje

Na samom početku premjestimo sve pojmove na lijeva strana, tako da 0 ostaje s desne strane.

Dovedimo sada lijevu stranu jednadžbe na zajednički nazivnik:

Ova jednadžba je ekvivalentna sustavu:

Prva jednadžba sustava je kvadratna jednadžba.

Koeficijenti ove jednadžbe: . Izračunavamo diskriminantu:

Dobivamo dva korijena: ; .

Riješimo sada drugu nejednadžbu: umnožak faktora nije jednak 0 ako i samo ako nijedan od faktora nije jednak 0.

Dva uvjeta moraju biti ispunjena: . Nalazimo da je od dva korijena prve jednadžbe samo jedan prikladan - 3.

Odgovor:.

U ovoj lekciji smo se sjetili što je racionalni izraz, a također smo naučili kako riješiti racionalne jednadžbe, koje se svode na kvadratne jednadžbe.

U sljedećoj lekciji razmotrit ćemo racionalne jednadžbe kao modele stvarnih situacija, a također ćemo pogledati probleme gibanja.

Bibliografija

  1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2004.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra, 8. 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.
  3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Udžbenik za općeobrazovne ustanove. - M.: Obrazovanje, 2006.
  1. Festival pedagoških ideja" Javni sat" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Domaća zadaća

Udio: