Teorija granica- jedan od dijelova matematičke analize, koji se može savladati, drugi teško izračunati granice. Pitanje pronalaženja granica prilično je općenito jer postoje deseci trikova granična rješenja razne vrste. Iste granice mogu se naći i prema L'Hopitalovom pravilu i bez njega. Događa se da raspored u nizu infinitezimalnih funkcija omogućuje brzo dobivanje željenog rezultata. Postoji skup trikova i trikova koji vam omogućuju da pronađete granicu funkcije bilo koje složenosti. U ovom ćemo članku pokušati razumjeti glavne vrste ograničenja koja se najčešće susreću u praksi. Ovdje nećemo davati teoriju i definiciju granice, ima mnogo izvora na internetu gdje se to prežvaka. Stoga, idemo praktično računati, ovdje počinjete "Ne znam! Ne znam kako! Nisu nas učili!"

Izračun limita metodom supstitucije

Primjer 1 Pronađite limit funkcije
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rješenje: U teoriji, primjeri ove vrste izračunavaju se uobičajenom zamjenom

Limit je 18/11.
U takvim granicama nema ništa komplicirano i mudro - zamijenili su vrijednost, izračunali, zapisali granicu kao odgovor. No, na temelju takvih ograničenja, svi su poučeni da, prije svega, trebate zamijeniti vrijednost u funkciju. Dalje, granice kompliciraju, uvode koncept beskonačnosti, neizvjesnosti i slično.

Granica s nesigurnošću tipa beskonačno podijeljeno s beskonačno. Metode otkrivanja nesigurnosti

Primjer 2 Pronađite limit funkcije
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=beskonačno).
Rješenje: dana je granica polinoma oblika podijeljenog s polinomom, a varijabla teži beskonačnosti

Jednostavna zamjena vrijednosti kojoj varijabla treba pronaći granice neće pomoći, dobivamo nesigurnost oblika beskonačno podijeljeno s beskonačno.
Pot teorija granica Algoritam za izračunavanje granice je pronaći najveći stupanj "x" u brojniku ili nazivniku. Zatim se na njemu pojednostavljuju brojnik i nazivnik i nalazi se granica funkcije

Budući da vrijednost teži nuli kada varijabla ide u beskonačnost, one se zanemaruju ili se u konačnom izrazu pišu kao nule

Odmah iz prakse možete dobiti dva zaključka koji su nagovještaj u izračunima. Ako varijabla teži beskonačnosti, a stupanj brojnika je veći od stupnja nazivnika, tada je granica jednaka beskonačnosti. Inače, ako je polinom u nazivniku višeg reda nego u brojniku, granica je nula.
Formula granice može se napisati kao

Ako imamo funkciju oblika običnog loga bez razlomaka, tada je njezin limit jednak beskonačnosti

Sljedeća vrsta ograničenja tiče se ponašanja funkcija blizu nule.

Primjer 3 Pronađite limit funkcije
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Rješenje: Ovdje nije potrebno izbaciti vodeći množitelj polinoma. Upravo suprotno, potrebno je pronaći najmanju potenciju brojnika i nazivnika i izračunati granicu

x^2 vrijednost; x teže nuli kada varijabla teži nuli. Stoga se zanemaruju, pa dobivamo

da je granica 2,5.

Sada znaš kako pronaći limit funkcije vrsta polinoma podijeljenog s polinomom ako varijabla teži beskonačnosti ili 0. Ali ovo je samo mali i laki dio primjera. Iz sljedeći materijal Naučit ćeš kako otkriti nesigurnosti granica funkcije.

Granica s nesigurnošću tipa 0/0 i metode njezina izračuna

Svi se odmah sjećaju pravila prema kojem ne možete dijeliti s nulom. Međutim, teorija granica u ovom kontekstu znači infinitezimalne funkcije.
Pogledajmo nekoliko primjera za ilustraciju.

Primjer 4 Pronađite limit funkcije
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rješenje: Zamjenom vrijednosti varijable x = -1 u nazivnik dobivamo nulu, isto dobivamo u brojniku. Tako da imamo nesigurnost oblika 0/0.
Lako se nositi s takvom nesigurnošću: potrebno je faktorizirati polinom, odnosno odabrati faktor koji funkciju pretvara u nulu.

Nakon dekompozicije, granica funkcije se može napisati kao

To je cijela tehnika za izračunavanje limita funkcije. Isto radimo ako postoji granica oblika polinoma podijeljenog s polinomom.

Primjer 5 Pronađite limit funkcije
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Rješenje: Izravna zamjena pokazuje
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
što imamo nesigurnost tipa 0/0.
Podijelite polinome faktorom koji uvodi singularitet


Ima nastavnika koji uče da se preko diskriminante rješavaju polinomi 2. reda, odnosno tipa "kvadratne jednadžbe". Ali prava praksa pokazuje da je duži i kompliciraniji, stoga se riješite značajki unutar navedenog algoritma. Dakle, funkciju zapisujemo u obliku jednostavnih faktora i računamo u limitu

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u izračunavanju takvih granica. Znate dijeliti polinome u vrijeme učenja granica, barem po programu, već biste trebali proći.
Među zadacima za nesigurnost tipa 0/0 ima onih u kojima je potrebno primijeniti formule skraćenog množenja. Ali ako ih ne znate, tada dijeljenjem polinoma s monomom možete dobiti željenu formulu.

Primjer 6 Pronađite limit funkcije
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rješenje: Imamo nesigurnost tipa 0/0. U brojniku koristimo formulu za skraćeno množenje

i izračunajte željeni limit

Metoda otkrivanja nesigurnosti množenjem konjugatom

Metoda se primjenjuje na granice u kojima iracionalne funkcije stvaraju nesigurnost. Brojnik ili nazivnik pretvaraju se u nulu u točki izračuna i ne zna se kako pronaći granicu.

Primjer 7 Pronađite limit funkcije
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Riješenje: Predstavimo varijablu u formuli limita

Kod zamjene dobivamo nesigurnost tipa 0/0.
Prema teoriji granica, shema za zaobilaženje ove singularnosti sastoji se od množenja iracionalnog izraza njegovim konjugatom. Kako bi izraz ostao nepromijenjen, nazivnik se mora podijeliti s istom vrijednošću

Pravilom razlike kvadrata pojednostavljujemo brojnik i izračunavamo limit funkcije

Pojednostavljujemo pojmove koji stvaraju singularnost u limitu i izvodimo zamjenu

Primjer 8 Pronađite limit funkcije
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rješenje: Izravna supstitucija pokazuje da granica ima singularitet oblika 0/0.

Za proširenje, množenje i dijeljenje s konjugatom na brojnik

Zapiši razliku kvadrata

Pojednostavljujemo pojmove koji uvode singularitet i nalazimo limit funkcije

Primjer 9 Pronađite limit funkcije
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Rješenje: zamijenite dvojku u formuli

Dobiti nesigurnost 0/0.
Nazivnik treba pomnožiti s konjugiranim izrazom, a u brojniku riješiti kvadratna jednadžba ili faktorizirati, uzimajući u obzir singularnost. Kako je poznato da je 2 korijen, onda se drugi korijen nalazi prema Vieta teoremu

Dakle, zapisujemo brojnik u obliku

i staviti u granicu

Smanjujući razliku kvadrata, oslobađamo se obilježja u brojniku i nazivniku

Na gornji način možete se riješiti singularnosti u mnogim primjerima, a primjenu treba uočiti svugdje gdje zadana razlika korijena prelazi u nulu pri zamjeni. Ostale vrste ograničenja odnose se na eksponencijalne funkcije, infinitezimalne funkcije, logaritme, singularne granice i druge tehnike. Ali o tome možete pročitati u člancima o ograničenjima u nastavku.

Pojmovi limita nizova i funkcija. Kada se traži limit niza, piše se na sljedeći način: lim xn=a. U takvom nizu nizova xn teži a, a n beskonačno. Niz se obično predstavlja kao niz, na primjer:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Nizovi se dijele na uzlazne i silazne. Na primjer:
xn=n^2 - rastući niz
yn=1/n - niz
Tako, na primjer, granica niza xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x→∞
Ova granica je nula jer n→∞ i niz 1/n^2 teži nuli.

Obično varijabla x teži konačnoj granici a, štoviše, x se stalno približava a, a vrijednost a je konstantna. Ovo se piše na sljedeći način: limx = a, dok n također može težiti i nuli i beskonačnosti. Postoje beskonačne funkcije, za njih granica teži beskonačnosti. U drugim slučajevima, kada je, na primjer, funkcija usporavanja vlaka, moguće je ograničenje koje teži nuli.
Granice imaju niz svojstava. U pravilu svaka funkcija ima samo jednu granicu. Ovo je glavno svojstvo granice. Ostali su navedeni u nastavku:
* Limit zbroja jednak je zbroju limita:
lim(x+y)=limx+vapno
* Granica umnoška jednaka je umnošku granica:
lim(xy)=limx*vapno
* Granica kvocijenta jednaka je kvocijentu granica:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Konstantni faktor uzet je iz graničnog znaka:
lim(Cx)=C lim x
Zadana je funkcija 1 /x gdje je x →∞, njezina granica je nula. Ako je x→0, tada je limit takve funkcije jednak ∞.
Za trigonometrijske funkcije postoje ova pravila. Budući da funkcija sin x uvijek teži jedinici kada se približava nuli, za nju vrijedi identitet:
lim sin x/x=1

U nizu funkcija kod čijih se granica javlja neizvjesnost - situacija u kojoj se granica ne može izračunati. Jedini izlaz iz ove situacije je L'Hopital. Postoje dvije vrste neizvjesnosti:
* nesigurnost oblika 0/0
* nesigurnost oblika ∞/∞
Na primjer, dana je granica sljedećeg oblika: lim f(x)/l(x), štoviše, f(x0)=l(x0)=0. U ovom slučaju postoji nesigurnost oblika 0/0. Da bi se riješio takav problem, obje se funkcije diferenciraju, nakon čega se nalazi granica rezultata. Za nesigurnosti oblika 0/0, granica je:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (za x→0)
Isto pravilo vrijedi za nesigurnosti tipa ∞/∞. Ali u ovom slučaju vrijedi sljedeća jednakost: f(x)=l(x)=∞
Koristeći L'Hospitalovo pravilo, možete pronaći vrijednosti svih granica u kojima se pojavljuju nesigurnosti. Obavezan uvjet za

volumen - odsutnost pogrešaka u pronalaženju izvedenica. Tako je, na primjer, derivacija funkcije (x^2)" jednaka 2x. Iz ovoga možemo zaključiti da:
f"(x)=nx^(n-1)

Član niza.

Broj a naziva se limitom niza (xn) ako za bilo koje ε>0 postoji broj n=n(ε) počevši od kojeg je |xn-a |

Primjer 2. Dokažite da u primjeru 1 broj a=1 nije granica niza prethodnog primjera. Riješenje. Ponovno pojednostavite zajednički član niza. Uzmimo ε=1 (ovo je bilo koji broj >

Problemi izravnog izračunavanja limita niza prilično su monotoni. Svi oni sadrže omjere polinoma s obzirom na n ili izraze s obzirom na te polinome. Na početku rješavanja iz zagrada (predznak radikala) izvadite komponentu koja se nalazi u senioru. Pretpostavimo da će za brojnik izvornog izraza to dovesti do pojave faktora a^p, a za nazivnik b^q. Očito, svi preostali članovi imaju oblik C / (n-k) i teže nuli kada je n>

Prvi način za izračunavanje limita niza temelji se na njegovoj definiciji. Istina, treba imati na umu da on ne daje načine za izravno traženje granice, već vam samo omogućuje da dokažete da neki broj a jest (ili nije) granica. Primjer 1. Dokažite da je niz (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) ima limit a=3. Rješenje. Nastavite primjenom definicije obrnutim redoslijedom. Odnosno s desna na lijevo. Prvo provjerite je li moguće pojednostaviti formulu za xn.hn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Razmotrite nejednakost |(3n+1)/(n+2)-3|0 možete pronaći bilo koju prirodni broj nε veći od -2+5/ε.

Primjer 2. Dokažite da u primjeru 1 broj a=1 nije granica niza prethodnog primjera. Riješenje. Ponovno pojednostavite zajednički član niza. Uzmimo ε=1 (ovo je bilo koji broj >0) Zapiši konačnu nejednakost opće definicije |(3n+1)/(n+2)-1|

Problemi izravnog izračunavanja limita niza prilično su monotoni. Svi oni sadrže omjere polinoma s obzirom na n ili izraze s obzirom na te polinome. Na početku rješavanja iz zagrada (predznak radikala) izvadite komponentu koja se nalazi u senioru. Pretpostavimo da će za brojnik izvornog izraza to dovesti do pojave faktora a^p, a za nazivnik b^q. Očito, svi preostali članovi imaju oblik S/(n-k) i teže nuli za n>k (n teži beskonačnosti). Zatim zapišite odgovor: 0 ako je pq.

Naznačimo netradicionalni način pronalaženja limita niza i beskonačnih suma. Koristit ćemo funkcionalne nizove (njihove funkcijske članove definirane na nekom intervalu (a,b)) Primjer 3. Nađi zbroj oblika 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Rješenje. Bilo koji broj a^0=1. Stavite 1=exp(0) i razmotrite niz funkcija (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Savjet 2: Kojim redoslijedom biste trebali gledati filmove Marvel Avengers?

Marvelov svemir temelji se na Marvelovim stripovima, ali nisu sve adaptacije stripova dio MCU-a. Uključuje samo snimke proizvedene od strane ili u suradnji s Marvel Studios. Marvel Cinematic Universe podijeljen je u faze, svaki film ima svoje mjesto u njemu. Međutim, TV serije i kratki filmovi, kao dio svemira, u kronologiji mogu biti između faza. Oni. možda neće pripadati određenim dijelovima MCU-a.

Netflix i abc serije razlikuju se od Marvelovog svemira. MCU ima dvije značajke:

• svaki film ima svoju priču;
• globalna radnja se pomiče iz jednog filma u drugi, kao rezultat toga, svaki od njih pomiče ovu radnju naprijed.

Serije kanala abc povezane su s globalnom radnjom kinematografskog svemira, ali ne napreduju, već je samo nadopunjuju. Netflixove serije su potpuno neovisne priče, sa svojim zapletom i svojim globalnim svijetom.

Tijekom godina, Marvelov svemir je rastao i nastavlja se širiti. Stoga se nespremnoj osobi teško baviti kronologijom njezinih filmova, jer ne shvaćaju svi da se Iron Man 3 ne može gledati odmah nakon Iron Man 2. A za razumijevanje potrebno je proučiti kronologiju koja uključuje tri faze.

Prva faza:

1. Film "Iron Man", 2008. Ova slika postavlja temelje i opći ton za sljedeće filmske adaptacije, a radnja se odvija 2010. godine.
2. Film Nevjerojatni Hulk iz 2008. U ovoj filmskoj adaptaciji gledatelji razumiju da se priče o dva različita heroja događaju u istom svemiru, budući da i Iron Man i The Incredible Hulk spominju S.H.I.E.L.D., program super-vojnika, logo StarkIndusries itd. Film je smješten u 2011. godinu. Slika ne nastavlja priču filma "Hulk" iz 2003. godine.
3. Film "Iron Man 2", 2010. Ova priča je svojevrsno sjeme za Osvetnike, u radnju uvodi Crnu udovicu, daje puno preduvjeta za buduće projekte i govori o novim problemima s kojima se Tony Stark suočio godinu dana nakon prvog dijela Iron Mana.
4. Thor film 2011. Ovo je također priprema za Osvetnike, a glavni cilj slike je upoznati gledatelja s Thorom i Lokijem. Priča se odvija paralelno s pričom The Incredible Hulk i Iron Man 2.
5. Film "Prvi osvetnik", 2011. Govori o kapetanu Americi - prvom superjunaku Zemlje, koji se, poput Hulka, pojavio zahvaljujući serumu "supervojnika". Prva i posljednja scena filma odvija se 2011. godine, a glavna radnja odvija se između 1943. i 1945. godine. Tesseract, jedan od šest kamenova beskonačnosti, pojavljuje se u filmu i otkriva se da je S.H.I.E.L.D.-ov "otac" bio SNR (Strategic Science Reserve).
6. Kratki film "Konzultant", 2011. Ovo objašnjava posljednju scenu Nevjerojatnog Hulka.
7. Kratki film "Smiješna zgoda na putu do Thorovog čekića", 2011.
8. Film Osvetnici, 2012. Priča se odvija 2012. godine, kada S.H.I.E.L.D. radi spasa svijeta najavljuje "opće prikupljanje".

Druga faza:

1. Film "Iron Man 3", 2013. Radnja se odvija u zimu 2012. godine, kada se Tony Stark vraća kući nakon bitke za New York, ali ga muče noćne more. Ne može spavati, a vrijeme posvećuje stvaranju novih kostima.
2. Serija "Agenti ŠTITA", 2013.
3. Thor 2: Mračni svijet, 2013. Film govori o tome kako se Thor vratio kući i otkrio da je svih devet svjetova uronjeno u kaos. I o tome kako je Thor posložio stvari.
4. Kratki film "Živio kralj", 2014. Ovo je priča o Trevoru Sletteryju koja se odvija nakon događaja iz Iron Man 3.
5. Kapetan Amerika: Još jedan rat, film iz 2014. Ovo je priča o Kapetanu Americi, koji se ne može vratiti kući, pa traži novi posao i postaje agent S.H.I.E.L.D.-a radeći u timu s Crnom udovicom. Film je najbolje pogledati između 16. i 17. epizode Agents of SHIELD.
6. Film Čuvari galaksije 2014. Morate pogledati nakon 1. sezone serije "Agenti S.H.I.E.L.D." Ovo je priča o kriminalcima izvan Zemlje koji su formirali tim kako bi spriječili opasnijeg kriminalca Ronana da dobije Kamen beskonačnosti.
7. Serija "Agenti ŠTITA", druga sezona, 2014.
8. Serija "Agent Carter", 2016. Ovo je priča o tome kako Peggy Carter i batler Edwin Jarvis pomažu Howardu Starku da vrati svoje dobro ime.
9. Film Osvetnici: Doba Ultrona iz 2015. U ovom filmu, Osvetnici su ponovno zajedno kako bi spasili svijet, ali ovaj put su postali pravi tim. Bolje je pogledati između 19 i 20 epizoda druge sezone "Agenti ŠTITA".
10. Film "Čovjek mrav", 2015. Pogledajte nakon 2. sezone serije "Agenti S.H.I.E.L.D."

Treća faza:

1. Film "Prvi osvetnik: Sukob", 2016. Nakon Sokovijskog sporazuma, od Osvetnika se traži da se pokoravaju vladi, ali to ih dijeli u dva tabora: one koji su za registraciju i one koji su protiv.

Sve su to filmovi koji su već objavljeni. Ali ne cijela priča. U trećoj fazi planirano je još 14 filmova, a potom - četvrta faza.

Povezani članak

Riješenje ograničenja mrežne funkcije. Naći graničnu vrijednost funkcije ili funkcionalnog niza u točki, izračunati ograničavajući vrijednost funkcije u beskonačnosti. odrediti konvergenciju niza brojeva i mnogo više se može učiniti zahvaljujući našim online usluga- . Omogućujemo vam brzo i točno pronalaženje ograničenja funkcija na internetu. Vi sami upisujete varijablu funkcije i granicu kojoj ona teži, naš servis radi sve izračune za vas, dajući točan i jednostavan odgovor. I za pronalaženje granice online možete unijeti i numeričke serije i analitičke funkcije koje sadrže konstante u doslovnom izrazu. U ovom slučaju, pronađena granica funkcije sadržavat će ove konstante kao konstantne argumente u izrazu. Naša usluga rješava sve složene probleme pronalaska ograničenja online, dovoljno je navesti funkciju i točku u kojoj je potrebno izračunati granica funkcije. Računalstvo ograničenja online, možeš koristiti razne metode i pravila za njihovo rješavanje, dok se rezultat uspoređuje s limit rješenje online na www.site, što će dovesti do uspješnog završetka zadatka - izbjeći ćete vlastite pogreške i tipfelere. Ili nam možete potpuno vjerovati i koristiti naš rezultat u svom radu, bez trošenja dodatnog truda i vremena na samostalne izračune granice funkcije. Dopuštamo unos graničnih vrijednosti kao što je beskonačnost. Morate unijeti zajednički izraz numeričkog niza i www.site izračunat će vrijednost ograničiti online do plus ili minus beskonačnosti.

Jedan od osnovnih pojmova matematičke analize je granica funkcije i ograničenje niza u točki i u beskonačnosti, važno je znati točno riješiti granice. Uz našu uslugu to neće biti teško. Odluka se donosi ograničenja online u roku od nekoliko sekundi odgovor je točan i potpun. Proučavanje kalkulusa počinje s prolaz do granice, granice koriste se u gotovo svim dijelovima više matematike, pa je korisno imati pri ruci poslužitelj za limit rješenja online koja je stranica.

Granice svim studentima matematike zadaju mnogo problema. Da biste riješili granicu, ponekad morate upotrijebiti mnogo trikova i odabrati iz mnoštva rješenja upravo ono koje je prikladno za određeni primjer.

U ovom članku nećemo vam pomoći da shvatite granice svojih sposobnosti ili shvatite granice kontrole, već ćemo pokušati odgovoriti na pitanje: kako razumjeti granice u višoj matematici? Razumijevanje dolazi s iskustvom, pa ćemo ujedno dati neke detaljne primjere rješavanja granica s objašnjenjima.

Pojam limita u matematici

Prvo pitanje je: koja je granica i granica čega? Možemo govoriti o granicama numeričkih nizova i funkcija. Zanima nas pojam limita funkcije, budući da se s njima učenici najčešće susreću. Ali prvo, najviše opća definicija ograničiti:

Recimo da postoji neka varijabla. Ako se ta vrijednost u procesu promjene neograničeno približava određeni broj a , onda a je granica ove vrijednosti.

Za funkciju definiranu u nekom intervalu f(x)=y granica je broj A , kojoj funkcija teži kada x težeći određenoj točki a . Točka a pripada intervalu na kojem je funkcija definirana.

Zvuči glomazno, ali je napisano vrlo jednostavno:

Lim- s engleskog ograničiti- granica.

Postoji i geometrijsko objašnjenje definicije granice, ali ovdje nećemo ulaziti u teoriju, jer nas više zanima praktična nego teorijska strana problema. Kad to kažemo x teži nekoj vrijednosti, to znači da varijabla ne poprima vrijednost broja, već mu se približava beskonačno blizu.

Donesimo konkretan primjer. Izazov je pronaći granicu.

Da bismo riješili ovaj primjer, zamijenit ćemo vrijednost x=3 u funkciju. Dobivamo:

Usput, ako ste zainteresirani, pročitajte poseban članak o ovoj temi.

U primjerima x može težiti bilo kojoj vrijednosti. To može biti bilo koji broj ili beskonačnost. Evo primjera kada x teži beskonačnosti:

Intuitivno je jasno da što je veći broj u nazivniku, to će manju vrijednost imati funkcija. Dakle, s neograničenim rastom x značenje 1/x smanjit će se i približiti nuli.

Kao što vidite, da biste riješili granicu, trebate samo zamijeniti vrijednost kojoj želite težiti u funkciju x . Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj. Pronalaženje granice često nije tako očito. Unutar ograničenja postoje nesigurnosti tipa 0/0 ili beskonačnosti/beskonačnosti . Što učiniti u takvim slučajevima? Koristite trikove!

Neizvjesnosti unutar

Neodređenost oblika beskonačnost/beskonačnost

Neka postoji granica:

Pokušamo li u funkciju zamijeniti beskonačnost, dobit ćemo beskonačnost i u brojniku i u nazivniku. Općenito, vrijedi reći da postoji određeni element umjetnosti u rješavanju takvih nesigurnosti: treba primijetiti kako se funkcija može transformirati na takav način da nesigurnost nestane. U našem slučaju, brojnik i nazivnik dijelimo s x u višem stupnju. Što će se dogoditi?

Iz primjera koji smo već razmotrili, znamo da će članovi koji sadrže x u nazivniku težiti nuli. Tada je rješenje granice:

Za otkrivanje dvosmislenosti tipa beskonačnosti/beskonačnosti podijeliti brojnik i nazivnik sa x do najvišeg stupnja.

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na

Druga vrsta nesigurnosti: 0/0

Kao i uvijek, supstitucija u funkciju vrijednosti x=-1 daje 0 u brojniku i nazivniku. Pogledajte malo pažljivije i primijetit ćete da imamo kvadratnu jednadžbu u brojniku. Pronađimo korijene i napišimo:

Smanjimo i dobijemo:

Dakle, ako naiđete na dvosmislenost tipa 0/0 - rastaviti brojnik i nazivnik na faktore.

Da bismo vam olakšali rješavanje primjera, evo tablice s ograničenjima nekih funkcija:

L'Hopitalova vladavina unutar

Još jedan moćan način za uklanjanje obje vrste neizvjesnosti. Što je bit metode?

Ako postoji nesigurnost u limitu, uzimamo derivaciju brojnika i nazivnika sve dok nesigurnost ne nestane.

Vizualno, L'Hopitalovo pravilo izgleda ovako:

Važna točka : granica, u kojoj su izvodnice brojnika i nazivnika umjesto brojnika i nazivnika, mora postojati.

A sad pravi primjer:

Postoji tipična neizvjesnost 0/0 . Uzmite derivacije brojnika i nazivnika:

Voila, neizvjesnost je eliminirana brzo i elegantno.

Nadamo se da ćete ove informacije moći dobro iskoristiti u praksi i pronaći odgovor na pitanje "kako riješiti granice u višoj matematici". Ako trebate izračunati limit niza ili limit funkcije u točki, a nemate vremena za taj posao od riječi "apsolutno", pogledajte za brzo i detaljno rješenje.