L'area della superficie laterale e completa del prisma. Teorema sull'area della superficie laterale di un prisma rettilineo
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Nel curriculum scolastico per il corso di geometria solida, lo studio delle figure tridimensionali di solito inizia con un semplice corpo geometrico: un poliedro prismatico. Il ruolo delle sue basi è svolto da 2 poligoni uguali che giacciono su piani paralleli. Un caso speciale è un prisma quadrangolare regolare. Le sue basi sono 2 quadrangoli regolari identici, ai quali i lati sono perpendicolari, aventi la forma di parallelogrammi (o rettangoli se il prisma non è inclinato).
Che aspetto ha un prisma
Un prisma quadrangolare regolare è un esaedro le cui basi sono 2 quadrati, e facce laterali rappresentato da rettangoli. Un altro nome per questo figura geometrica- un parallelepipedo rettilineo.
Di seguito è mostrato un disegno che mostra un prisma quadrangolare.
Puoi anche vedere nella foto elementi essenziali, che compongono il corpo geometrico. Sono comunemente indicati come:
A volte nei problemi di geometria puoi trovare il concetto di sezione. La definizione suonerà così: una sezione sono tutti i punti di un corpo volumetrico che appartengono al piano di taglio. La sezione è perpendicolare (attraversa i bordi della figura con un angolo di 90 gradi). Per Prisma rettangolare si considera anche una sezione diagonale (il numero massimo di sezioni realizzabili è 2) passante per 2 spigoli e le diagonali della base.
Se la sezione è disegnata in modo tale che il piano di taglio non sia parallelo né alle basi né alle facce laterali, il risultato è un prisma troncato.
Vari rapporti e formule sono usati per trovare gli elementi prismatici ridotti. Alcuni di essi sono noti dal corso della planimetria (ad esempio, per trovare l'area della base di un prisma, è sufficiente ricordare la formula per l'area di un quadrato).
Superficie e volume
Per determinare il volume di un prisma usando la formula, devi conoscere l'area della sua base e altezza:
V = Sprim h
Poiché la base di un prisma tetraedrico regolare è un quadrato con lato un, Puoi scrivere la formula in una forma più dettagliata:
V = a² h
Se stiamo parlando di un cubo, un prisma regolare di uguale lunghezza, larghezza e altezza, il volume viene calcolato come segue:
Per capire come trovare l'area della superficie laterale di un prisma, devi immaginare la sua spazzata.
Si può notare dal disegno che la superficie laterale è composta da 4 rettangoli uguali. La sua area è calcolata come prodotto del perimetro della base e dell'altezza della figura:
Lato = Pos h
Poiché il perimetro di un quadrato è P = 4a, la formula assume la forma:
Lato = 4a h
Per il cubo:
Lato = 4a²
Per calcolare la superficie totale di un prisma, aggiungi 2 aree di base all'area laterale:
Pieno = Sside + 2Sbase
Applicata a un prisma regolare quadrangolare, la formula ha la forma:
Pieno = 4a h + 2a²
Per la superficie di un cubo:
Pieno = 6a²
Conoscendo il volume o la superficie, è possibile calcolare i singoli elementi di un corpo geometrico.
Trovare elementi prismatici
Spesso ci sono problemi in cui si dà il volume o si conosce il valore della superficie laterale, dove è necessario determinare la lunghezza del lato della base o l'altezza. In questi casi si possono ricavare formule:
- lunghezza lato base: a = Lato / 4h = √(V / h);
- altezza o lunghezza costa laterale: h = Sside / 4a = V / a²;
- area di base: Sprim = V/h;
- area della faccia laterale: Lato gr = lato / 4.
Per determinare quanta area ha una sezione diagonale, è necessario conoscere la lunghezza della diagonale e l'altezza della figura. Per un quadrato d = a√2. Perciò:
Sdiag = ah√2
Per calcolare la diagonale del prisma si usa la formula:
dpremio = √(2a² + h²)
Per capire come applicare i rapporti di cui sopra, puoi esercitarti e risolvere alcuni semplici compiti.
Esempi di problemi con soluzioni
Ecco alcuni dei compiti che compaiono negli esami finali di stato in matematica.
Esercizio 1.
La sabbia viene versata in una scatola a forma di prisma quadrangolare regolare. L'altezza del suo livello è di 10 cm Quale sarà il livello della sabbia se lo sposti in un contenitore della stessa forma, ma con una lunghezza della base 2 volte più lunga?
Dovrebbe essere argomentato come segue. La quantità di sabbia nel primo e nel secondo contenitore non è cambiata, ad es. il suo volume è lo stesso. È possibile definire la lunghezza della base come un. In questo caso, per la prima scatola, il volume della sostanza sarà:
V₁ = ha² = 10a²
Per la seconda casella, la lunghezza della base è 2a, ma l'altezza del livello della sabbia è sconosciuta:
V₂ = h(2a)² = 4 ha²
Perché il V₁ = V₂, le espressioni possono essere eguagliate:
10a² = 4ha²
Dopo aver ridotto entrambi i membri dell'equazione di a², otteniamo:
Di conseguenza, il nuovo livello di sabbia sarà h = 10 / 4 = 2,5 centimetro.
Compito 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ è un prisma regolare. È noto che BD = AB₁ = 6√2. Trova la superficie totale del corpo.
Per facilitare la comprensione di quali elementi sono noti, puoi disegnare una figura.
Dal momento che stiamo parlando di un prisma regolare, possiamo concludere che la base è un quadrato con una diagonale di 6√2. La diagonale della faccia laterale ha lo stesso valore, quindi anche la faccia laterale ha la forma di un quadrato uguale alla base. Si scopre che tutte e tre le dimensioni - lunghezza, larghezza e altezza - sono uguali. Possiamo concludere che ABCDA₁B₁C₁D₁ è un cubo.
La lunghezza di ogni spigolo è determinata attraverso la diagonale nota:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
La superficie totale si trova con la formula del cubo:
Pieno = 6a² = 6 6² = 216
Compito 3.
La camera è in fase di ristrutturazione. È noto che il suo pavimento ha la forma di un quadrato con una superficie di 9 m². L'altezza della stanza è di 2,5 m Qual è il costo più basso per tappezzare una stanza se 1 m² costa 50 rubli?
Poiché il pavimento e il soffitto sono quadrati, cioè quadrilateri regolari, e le sue pareti sono perpendicolari alle superfici orizzontali, possiamo concludere che si tratta di un prisma regolare. È necessario determinare l'area della sua superficie laterale.
La lunghezza della stanza è a = √9 = 3 m.
La piazza sarà ricoperta di carta da parati Lato = 4 3 2,5 = 30 m².
Sarà il costo più basso della carta da parati per questa stanza 50 30 = 1500 rubli.
Quindi, per risolvere i problemi di un prisma rettangolare, è sufficiente essere in grado di calcolare l'area e il perimetro di un quadrato e di un rettangolo, nonché conoscere le formule per trovare il volume e la superficie.
Come trovare l'area di un cubo
Come appare
Prismi rettangolari circondati uomo moderno un bel po'. Questo, ad esempio, è il solito cartone da sotto scarpe, componenti di computer, ecc. Guardati intorno. Anche in una stanza vedrai sicuramente molti prismi rettangolari. Questa è una custodia per computer, una libreria, un frigorifero, un armadietto e molti altri oggetti. Il modulo è estremamente popolare principalmente perché ti consente di utilizzare lo spazio nel modo più efficiente possibile, sia che tu stia decorando l'interno o imballando le cose in cartone prima di spostarti.Proprietà di un prisma rettangolare
Un prisma rettangolare ha una serie di proprietà specifiche. Qualsiasi coppia di facce può fungere da sua , poiché tutte le facce adiacenti si trovano allo stesso angolo l'una rispetto all'altra e questo angolo è di 90 °. Il volume e la superficie di un prisma rettangolare sono più facili da calcolare rispetto a qualsiasi altro. Prendi qualsiasi oggetto che abbia la forma di un prisma rettangolare. Misura la sua lunghezza, larghezza e altezza. Per trovare il volume basta moltiplicare queste misure. Cioè, la formula è simile alla seguente: V \u003d a * b * h, dove V è il volume, aeb sono i lati della base, h è l'altezza che coincide con il bordo laterale di questo corpo geometrico. L'area di base è calcolata con la formula S1=a*b. Per realizzare la superficie laterale, devi prima calcolare il perimetro della base usando la formula P=2(a+b), quindi moltiplicarlo per l'altezza. Risulta la formula S2=P*h=2(a+b)*h. Per calcolare la superficie totale di un prisma rettangolare, aggiungi il doppio dell'area della base e dell'area della superficie laterale. La formula è S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2Prismi diversi sono diversi l'uno dall'altro. Allo stesso tempo, hanno molto in comune. Per trovare l'area della base di un prisma, devi capire che tipo è.
Teoria generale
Un prisma è un qualsiasi poliedro i cui lati hanno la forma di un parallelogramma. Inoltre, qualsiasi poliedro può trovarsi alla sua base, da un triangolo a un n-gon. Inoltre, le basi del prisma sono sempre uguali tra loro. Cosa non si applica alle facce laterali: possono variare in modo significativo in termini di dimensioni.
Quando si risolvono i problemi, non si incontra solo l'area della base del prisma. Potrebbe essere necessario conoscere la superficie laterale, cioè tutte le facce che non sono basi. L'intera superficie sarà già l'unione di tutte le facce che compongono il prisma.
A volte le altezze compaiono nelle attività. È perpendicolare alle basi. La diagonale di un poliedro è un segmento che collega a coppie due vertici qualsiasi che non appartengono alla stessa faccia.
Va notato che l'area della base di un prisma dritto o inclinato non dipende dall'angolo tra loro e le facce laterali. Se hanno le stesse figure nelle facce superiore e inferiore, le loro aree saranno uguali.
Prisma triangolare
Ha alla base una figura con tre vertici, cioè un triangolo. È noto per essere diverso. Se poi basti ricordare che la sua area è determinata dalla metà del prodotto delle gambe.
La notazione matematica si presenta così: S = ½ av.
Per trovare l'area della base in vista generale, sono utili le formule: Airone e quello in cui la metà del lato viene portata all'altezza ad esso disegnata.
La prima formula dovrebbe essere scritta in questo modo: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Questa voce contiene un semiperimetro (p), ovvero la somma di tre lati divisi per due.
Secondo: S = ½ n a * a.
Se vuoi conoscere l'area della base di un prisma triangolare, che è regolare, allora il triangolo è equilatero. Ha la sua formula: S = ¼ a 2 * √3.
prisma quadrangolare
La sua base è uno qualsiasi dei quadrilateri conosciuti. Può essere un rettangolo o un quadrato, un parallelepipedo o un rombo. In ogni caso, per calcolare l'area della base del prisma, avrai bisogno della tua formula.
Se la base è un rettangolo, la sua area è determinata come segue: S = av, dove a, b sono i lati del rettangolo.
Quando si tratta di un prisma quadrangolare, l'area di base di un prisma regolare viene calcolata utilizzando la formula per un quadrato. Perché è lui che giace alla base. S \u003d a 2.
Nel caso in cui la base sia un parallelepipedo, sarà necessaria la seguente uguaglianza: S \u003d a * n a. Succede che si danno un lato di un parallelepipedo e uno degli angoli. Quindi, per calcolare l'altezza, dovrai utilizzare una formula aggiuntiva: na \u003d b * sin A. Inoltre, l'angolo A è adiacente al lato "b" e l'altezza è na opposta a questo angolo.
Se un rombo si trova alla base del prisma, sarà necessaria la stessa formula per determinarne l'area come per un parallelogramma (poiché si tratta di un caso speciale). Ma puoi anche usare questo: S = ½ d 1 d 2. Qui d 1 e d 2 sono due diagonali del rombo.
Prisma pentagonale regolare
Questo caso comporta la divisione del poligono in triangoli, le cui aree sono più facili da scoprire. Anche se capita che le figure possano essere con un numero diverso di vertici.
Poiché la base del prisma è un pentagono regolare, può essere diviso in cinque triangoli equilateri. Quindi l'area della base del prisma è uguale all'area di uno di questi triangoli (la formula può essere vista sopra), moltiplicata per cinque.
Prisma esagonale regolare
Secondo il principio descritto per un prisma pentagonale, è possibile dividere l'esagono di base in 6 triangoli equilateri. La formula per l'area della base di tale prisma è simile alla precedente. Solo in esso dovrebbe essere moltiplicato per sei.
La formula sarà simile a questa: S = 3/2 e 2 * √3.
Compiti
N. 1. Viene data una linea regolare La sua diagonale è di 22 cm, l'altezza del poliedro è di 14 cm Calcola l'area della base del prisma e l'intera superficie.
Soluzione. La base di un prisma è un quadrato, ma il suo lato non è noto. Puoi trovare il suo valore dalla diagonale del quadrato (x), che è correlata alla diagonale del prisma (d) e alla sua altezza (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. D'altra parte, questo segmento "x" è l'ipotenusa in un triangolo le cui gambe sono uguali al lato del quadrato. Cioè, x 2 \u003d a 2 + a 2. Pertanto, risulta che a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Sostituisci il numero 22 invece di d e sostituisci "n" con il suo valore - 14, si scopre che il lato del quadrato è 12 cm Ora è facile scoprire l'area di base: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Per scoprire l'area dell'intera superficie, è necessario aggiungere il doppio del valore dell'area di base e quadruplicare il lato. Quest'ultimo è facile da trovare con la formula per un rettangolo: moltiplicare l'altezza del poliedro e il lato della base. Cioè, 14 e 12, questo numero sarà uguale a 168 cm 2. La superficie totale del prisma risulta essere 960 cm 2 .
Risposta. L'area di base del prisma è di 144 cm2. L'intera superficie - 960 cm 2 .
N. 2. Dana Alla base si trova un triangolo con un lato di 6 cm In questo caso la diagonale della faccia laterale è di 10 cm Calcola le aree: la base e la superficie laterale.
Soluzione. Poiché il prisma è regolare, la sua base lo è triangolo equilatero. Pertanto, la sua area risulta essere uguale a 6 al quadrato per ¼ e la radice quadrata di 3. Un semplice calcolo porta al risultato: 9√3 cm 2. Questa è l'area di una base del prisma.
Tutte le facce laterali sono uguali e sono rettangoli con lati di 6 e 10 cm Per calcolare le loro aree, è sufficiente moltiplicare questi numeri. Quindi moltiplicali per tre, perché il prisma ha esattamente tante facce laterali. Quindi l'area della superficie laterale viene avvolta di 180 cm 2 .
Risposta. Aree: base - 9√3 cm 2, superficie laterale del prisma - 180 cm 2.
Conferenza: Prisma, sue basi, bordi laterali, altezza, superficie laterale; prisma dritto; prisma destro
Prisma
Se hai imparato con noi figure piatte da domande precedenti, allora sei completamente pronto per studiare figure tridimensionali. Il primo solido che impareremo sarà un prisma.
Prismaè un corpo voluminoso che ha un gran numero di facce.
Questa figura ha due poligoni alle basi, che si trovano su piani paralleli, e tutte le facce laterali hanno la forma di un parallelogramma.
Fig 1. Fig. 2
Quindi, vediamo in cosa consiste un prisma. Per fare ciò, prestare attenzione alla Fig.1
Come accennato in precedenza, il prisma ha due basi parallele tra loro: questi sono i pentagoni ABCEF e GMNJK. Inoltre, questi poligoni sono uguali tra loro.
Tutte le altre facce del prisma sono chiamate facce laterali: sono costituite da parallelogrammi. Ad esempio, BMNC, AGKF, FKJE, ecc.
Viene chiamata la superficie comune di tutte le facce laterali superficie laterale.
Ogni coppia di facce adiacenti ha un lato comune. Tale lato comune è chiamato spigolo. Ad esempio, MB, CE, AB, ecc.
Se le basi superiore e inferiore del prisma sono collegate da una perpendicolare, verrà chiamata altezza del prisma. Nella figura, l'altezza è contrassegnata come una linea retta OO 1.
Esistono due tipi principali di prisma: obliquo e diritto.
Se una nervature laterali i prismi non sono perpendicolari alle basi, quindi viene chiamato tale prisma obliquo.
Se tutti i bordi di un prisma sono perpendicolari alle basi, viene chiamato tale prisma dritto.
Se le basi del prisma sono poligoni regolari(quelli i cui lati sono uguali), allora si chiama tale prisma corretta.
Se le basi del prisma non sono parallele tra loro, verrà chiamato tale prisma troncato.
Potete vederlo in Fig.2
Formule per trovare volume, area di un prisma
Ci sono tre formule di base per trovare il volume. Differiscono l'uno dall'altro nella loro applicazione:
Formule simili per trovare la superficie di un prisma:
