Ev » Pediatri » Karmaşık trigonometrik denklemlerin çözümü. Trigonometrik denklemlerin çözümü. Trigonometrik bir denklem nasıl çözülür?

Karmaşık trigonometrik denklemlerin çözümü. Trigonometrik denklemlerin çözümü. Trigonometrik bir denklem nasıl çözülür?

Bilginin entegre uygulanmasına ilişkin bir ders.

Dersin Hedefleri.

Dikkate almak çeşitli metodlar Trigonometrik denklemlerin çözümü.
Gelişim yaratıcılıkÖğrenciler denklem çözerek
Öğrencileri kendi eğitim faaliyetlerini öz kontrole, karşılıklı kontrole ve öz analize teşvik etmek.

Ekipman: ekran, projektör, referans materyali.

Dersler sırasında

Giriş konuşması.

Trigonometrik denklemleri çözmenin ana yöntemi, onları en basit hallerine indirgemektir. Bu durumda başvuruyorlar olağan yollarÇarpanlara ayırma gibi tekniklerin yanı sıra yalnızca trigonometrik denklemleri çözmek için kullanılan teknikler. Bu tekniklerin pek çoğu vardır, örneğin çeşitli trigonometrik ikameler, açı dönüşümleri, trigonometrik fonksiyonların dönüşümleri. Herhangi bir trigonometrik dönüşümün gelişigüzel uygulanması genellikle denklemi basitleştirmez, ancak onu felaket derecede karmaşıklaştırır. Çalışmak için Genel taslak Denklemi çözmeyi planlayın, denklemi en basit hale getirmenin bir yolunu çizin, önce açıları, yani denklemde yer alan trigonometrik fonksiyonların argümanlarını analiz etmelisiniz.

Bugün trigonometrik denklemleri çözme yöntemlerinden bahsedeceğiz. Doğru seçilen yöntem çoğu zaman çözümü önemli ölçüde basitleştirmenize olanak tanır, bu nedenle üzerinde çalıştığımız tüm yöntemler, sorunu çözebilmeniz için her zaman dikkat alanınızda tutulmalıdır. trigonometrik denklemler en uygun yöntemdir.

II. (Projektör kullanarak denklem çözme yöntemlerini tekrarlıyoruz.)

1. Trigonometrik bir denklemi cebirsel bir denkleme indirgeme yöntemi.

Tüm trigonometrik fonksiyonları aynı argümanla tek bir fonksiyon üzerinden ifade etmek gerekir. Bu, temel trigonometrik özdeşlik ve sonuçları kullanılarak yapılabilir. Bir trigonometrik fonksiyona sahip bir denklem elde ediyoruz. Bunu yeni bir bilinmeyen olarak alarak cebirsel bir denklem elde ederiz. Köklerini buluyoruz ve en basit trigonometrik denklemleri çözerek eski bilinmeyene dönüyoruz.

2. Çarpanlara ayırma yöntemi.

Açıları değiştirmek için, argümanların azaltılması, toplamı ve farkı formüllerinin yanı sıra trigonometrik fonksiyonların toplamını (farkını) bir çarpıma veya tam tersini dönüştürmek için kullanılan formüller genellikle faydalıdır.

günah x + günah 3x = günah 2x + sin4x

3. Ek bir açı ekleme yöntemi.

4. Evrensel ikame kullanma yöntemi.

F(sinx, cosx, tanx) = 0 formundaki denklemler evrensel bir trigonometrik ikame kullanılarak cebirsel hale getirilir

Sinüs, kosinüs ve tanjantın yarım açının tanjantı cinsinden ifade edilmesi. Bu teknik denkleme yol açabilir yüksek sipariş. Çözümü zor.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometri problemlerini çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant konularını zaten inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler, bir değişkenin trigonometrik bir fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemlerdir.

En basit trigonometrik denklemlerin çözüm şeklini tekrarlayalım:

1)Eğer |a|≤ 1 ise cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Eğer |a|≤ 1 ise sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

3) Eğer |a| > 1 ise sin(x) = a ve cos(x) = a denklemlerinin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tam sayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: T(kx+m)=a, T bir trigonometrik fonksiyondur.

Örnek.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Çözüm:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Değerler tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

O zaman x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n – eksi bir üssü n.

Trigonometrik denklemlere daha fazla örnek.

Denklemleri çözün: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Çözüm:

A) Bu sefer hemen denklemin köklerini hesaplamaya geçelim:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) Bunu şu şekilde yazıyoruz: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Bunu biliyoruz: arktan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3; burada k bir tam sayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Çözüm:

Biz karar vereceğiz Genel görünüm denklemimiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k'da k=0, x= π/16'da verilen parçadayız.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vuruyoruz.
k=2 için, x= π/16+ π=17π/16, ancak burada vurmadık, bu da büyük k için de açıkça vuramayacağımız anlamına geliyor.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

En basit trigonometrik denklemlere baktık ama daha karmaşık olanları da var. Bunları çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemi ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. Örneklere bakalım.

Denklemi çözelim:

Çözüm:
Denklemimizi çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanacağız: t=tg(x).

Yer değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: t=-1 ve t=1/3

O zaman tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3 en basit trigonometrik denklemi elde ederiz, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Çözüm:

Şu özdeşliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şu şekilde olacaktır: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 çünkü 2 (x) - 3 çünkü(x) -2 = 0

t=cos(x) değişimini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

O halde cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

Tanım: a sin(x)+b cos(x) formundaki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler denir.

Formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e bölün: Sıfıra eşitse kosinüse bölemezsiniz, durumun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değildir, bir çelişki elde ederiz, dolayısıyla güvenli bir şekilde bölebiliriz sıfır.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Çözüm:

Ortak çarpanı çıkaralım: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk'de Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün. Denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. Bakın ne oldu katsayı eşittir ve eğer a=0 ise denklemimiz cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) formunu alacaktır, bunun çözüm örneği önceki slaytta verilmiştir.

2. Eğer a≠0 ise denklemin her iki tarafını kosinüs kareye bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirip denklemi elde ederiz:

Örnek no.:3'ü çözün

Denklemi çözün:
Çözüm:

Denklemin her iki tarafını da kosinüs karesine bölelim:

t=tg(x) değişkenini değiştiriyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: t=-3 ve t=1

O zaman: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk

Örnek No.:4'ü çözün

Denklemi çözün:

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

Şu tür denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Örnek no.:5'i çözün

Denklemi çözün:

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değişimini tanıtalım

İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökler olacaktır: t=-2 ve t=1/2

O zaman şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yay(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız çözüm için problemler.

1) Denklemi çözün

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; π].

3) Denklemi çözün: bebek karyolası 2 (x) + 2 bebek karyolası (x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Daha karmaşık trigonometrik denklemler

Denklemler

günah x = bir,
çünkü x = bir,
tg x = bir,
ctg x = bir

en basit trigonometrik denklemlerdir. Bu paragrafta spesifik örnekler Daha karmaşık trigonometrik denklemlere bakacağız. Çözümleri genellikle en basit trigonometrik denklemlerin çözülmesine indirgenir.

Örnek 1 . Denklemi çözün

günah 2 X=çünkü X günah 2 X.

Bu denklemin tüm terimlerini sol tarafa aktarıp elde edilen ifadeyi çarpanlara ayırarak şunu elde ederiz:

günah 2 X(1 - çünkü X) = 0.

İki ifadenin çarpımı ancak ve ancak faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması ve diğerinin tanımlandığı sürece herhangi bir sayısal değer alması durumunda sıfıra eşittir.

Eğer günah 2 X = 0 , sonra 2 X= n π ; X = π / 2n.

Eğer 1 - çünkü X = 0 , o zaman çünkü X = 1; X = 2 binπ .

Yani iki grup kökümüz var: X = π / 2n; X = 2 binπ . İkinci kök grubu açıkça birincinin içinde yer alır, çünkü n = 4k için ifade X = π / 2n olur
X = 2 binπ .

Bu nedenle cevap tek bir formülle yazılabilir: X = π / 2n, Nerede N- herhangi bir tamsayı.

Bu denklemin sin 2 ile indirgenerek çözülemeyeceğine dikkat edin. X. Aslında indirgemeden sonra 1 - çünkü x = 0 elde ederiz, dolayısıyla X= 2 bin π . Yani bazı köklerimizi kaybederiz, örneğin π / 2 , π , 3π / 2 .

Örnek 2. Denklemi çözün

Bir kesir ancak payı sıfıra eşitse sıfıra eşittir.
Bu yüzden günah 2 X = 0 , nereden 2 X= n π ; X = π / 2n.

Bu değerlerden X bu değerleri yabancı olarak atmanız gerekir günahX sıfıra gider (paydası sıfır olan kesirlerin hiçbir anlamı yoktur: sıfıra bölme tanımsızdır). Bu değerler katları olan sayılardır π . Formülde
X = π / 2n eşit olarak elde edilirler N. Dolayısıyla bu denklemin kökleri sayılar olacaktır.

X = π / 2 (2k + 1),

burada k herhangi bir tamsayıdır.

Örnek 3 . Denklemi çözün

2 günah 2 X+ 7cos X - 5 = 0.

Hadi ifade edelim günah 2 X başından sonuna kadar çünküX : günah 2 X = 1 - çünkü 2X . O zaman bu denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

2 (1 - çünkü 2 X) + 7cos X - 5 = 0 , veya

2cos 2 X- 7 çünkü X + 3 = 0.

Belirleme çünküX başından sonuna kadar en ikinci dereceden denkleme ulaşıyoruz

2у 2 - 7у + 3 = 0,

kökleri 1/2 ve 3 sayılarıdır. Bu şu anlama gelir: ya çünkü X= 1/2 veya çünkü X= 3. Ancak ikincisi imkansızdır çünkü herhangi bir açının kosinüsü mutlak değer 1'i geçmez.

Bunu itiraf etmek kalıyor çünkü X = 1 / 2 , Neresi

X = ± 60° + 360° n.

Örnek 4 . Denklemi çözün

2 günah X+ 3cos X = 6.

Günahtan beri X ve çünkü X mutlak değerde 1'i geçmiyorsa ifade
2 günah X+ 3cos X daha büyük değerler alamaz 5 . Dolayısıyla bu denklemin kökleri yoktur.

Örnek 5 . Denklemi çözün

günah X+çünkü X = 1

Bu denklemin her iki tarafının karesini alırsak şunu elde ederiz:

günah 2 X+ 2 günah Xçünkü X+ çünkü 2 X = 1,

Ancak günah 2 X + çünkü 2 X = 1 . Bu yüzden 2 günah Xçünkü X = 0 . Eğer günah X = 0 , O X = Nπ ; eğer
çünkü X , O X = π / 2 + kπ . Bu iki çözüm grubu tek bir formülle yazılabilir:

X = π / 2n

Bu denklemin her iki tarafının karesini aldığımıza göre elde ettiğimiz kökler arasında yabancı köklerin de olması mümkündür. Bu nedenle bu örnekte öncekilerden farklı olarak bir kontrol yapılması gerekiyor. Tüm anlamlar

X = π / 2n 4 gruba ayrılabilir

	1) X = 2 binπ .	(n = 4k)
	2) X *= π /* 2 + 2 bin**π .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2 binπ .	(n = 4k + 2)
	4) X *= 3π /* 2 + 2 bin**π .	(n = 4k + 3)

Şu tarihte: X = 2kπ günah X+çünkü X= 0 + 1 = 1. Bu nedenle, X = 2kπ bu denklemin kökleridir.

Şu tarihte: X = π / 2 + 2kπ. günah X+çünkü X= 1 + 0 = 1 Yani X = π / 2 + 2kπ- ayrıca bu denklemin kökleri.

Şu tarihte: X = π + 2kπ günah X+çünkü X= 0 - 1 = - 1. Bu nedenle değerler X = π + 2kπ bu denklemin kökleri değildir. Benzer şekilde gösterilmiştir ki X = 3π / 2 + 2kπ. kökler değildir.

Dolayısıyla bu denklem aşağıdaki köklere sahiptir: X = 2kπ Ve X = π / 2 + 2mπ., Nerede k Ve M- herhangi bir tamsayı.

Çoğunu çözerken matematik problemleriÖzellikle 10. sınıftan önce gerçekleşenlerde, hedefe götürecek eylemlerin sırası açıkça tanımlanmıştır. Bu tür problemler arasında örneğin doğrusal ve ikinci dereceden denklemler, doğrusal ve ikinci dereceden eşitsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden olanlara indirgenen denklemler. Bahsedilen sorunların her birini başarılı bir şekilde çözme ilkesi şu şekildedir: Ne tür bir sorunu çözdüğünüzü belirlemeniz, istenen sonuca yol açacak gerekli eylem sırasını hatırlamanız gerekir; cevaplayın ve şu adımları izleyin.

Belirli bir problemi çözmedeki başarının veya başarısızlığın esas olarak çözülen denklem türünün ne kadar doğru belirlendiğine, çözümünün tüm aşamalarının sırasının ne kadar doğru yeniden üretildiğine bağlı olduğu açıktır. Elbette bu durumda aynı dönüşümleri ve hesaplamaları yapabilme becerisine sahip olmak gerekir.

ile durum farklı trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini tespit etmek hiç de zor değil. Doğru cevaba yol açacak eylemlerin sırasını belirlerken zorluklar ortaya çıkar.

İle dış görünüş denklemin türünü belirlemek bazen zordur. Ve denklemin türünü bilmeden, birkaç düzine trigonometrik formül arasından doğru olanı seçmek neredeyse imkansızdır.

Trigonometrik bir denklemi çözmek için şunları denemeniz gerekir:

1. Denklemde yer alan tüm fonksiyonları “aynı açılara” getirin;
2. Denklemi “özdeş fonksiyonlara” getirebilecek;
3. Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırın, vb.

Hadi düşünelim Trigonometrik denklemlerin çözümü için temel yöntemler.

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgeme

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Bir trigonometrik fonksiyonu bilinen bileşenler cinsinden ifade edin.

Adım 2. Formülleri kullanarak işlev bağımsız değişkenini bulun:

çünkü x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

günah x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arkctg a + πn, n Є Z.

Aşama 3. Bilinmeyen değişkeni bulun.

Örnek.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Çözüm.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Cevap: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Değişken değiştirme

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Denklemi trigonometrik fonksiyonlardan birine göre cebirsel forma indirgeyin.

Adım 2. Ortaya çıkan fonksiyonu t değişkeniyle belirtin (gerekirse t'ye kısıtlamalar getirin).

Aşama 3. Ortaya çıkan cebirsel denklemi yazın ve çözün.

Adım 4. Ters değiştirme yapın.

Adım 5. En basit trigonometrik denklemi çözün.

Örnek.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Çözüm.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t olsun, burada |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t+3 = 0;

t = 1 veya e = -3/2, |t| koşulunu sağlamaz ≤ 1.

4) günah(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Cevap: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Denklem sırası azaltma yöntemi

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Dereceyi azaltmak için formülü kullanarak bu denklemi doğrusal bir denklemle değiştirin:

günah 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Adım 2. Ortaya çıkan denklemi yöntem I ve II'yi kullanarak çözün.

Örnek.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Çözüm.

1) çünkü 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) çünkü 2x + 1/2 + 1/2 · çünkü 2x = 5/4;

3/2 çünkü 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Cevap: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homojen denklemler

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Bu denklemi forma indirgeyin

a) a sin x + b cos x = 0 (birinci dereceden homojen denklem)

veya görünüme

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ikinci derecenin homojen denklemi).

Adım 2. Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:

a) çünkü x ≠ 0;

b) çünkü 2 x ≠ 0;

ve tan x denklemini elde edin:

a) a tan x + b = 0;

b) a ten rengi 2 x + b arktan x + c = 0.

Aşama 3. Bilinen yöntemleri kullanarak denklemi çözün.

Örnek.

5sin 2 x + 3sin x çünkü x – 4 = 0.

Çözüm.

1) 5sin 2 x + 3sin x · çünkü x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

günah 2 x + 3sin x · çünkü x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 veya t = -4, bunun anlamı

tg x = 1 veya tg x = -4.

İlk denklemden x = π/4 + πn, n Є Z; ikinci denklemden x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Cevap: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Trigonometrik formüller kullanarak bir denklemi dönüştürme yöntemi

Çözüm diyagramı

Aşama 1. Olası tüm trigonometrik formülleri kullanarak, bu denklemi I, II, III, IV yöntemleriyle çözülen bir denkleme dönüştürün.

Adım 2. Ortaya çıkan denklemi bilinen yöntemleri kullanarak çözün.

Örnek.

günah x + günah 2x + günah 3x = 0.

Çözüm.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x çünkü x + sin 2x = 0.

2) günah 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

İlk denklemden 2x = π/2 + πn, n Є Z; ikinci denklemden cos x = -1/2.

x = π/4 + πn/2, n Є Z; ikinci denklemden x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Sonuç olarak x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Cevap: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonometrik denklemleri çözme yeteneği ve becerisi çok Daha da önemlisi, onların gelişimi hem öğrenci hem de öğretmen açısından ciddi çaba gerektirir.

Stereometri, fizik vb. pek çok problem, trigonometrik denklemlerin çözümüyle ilişkilidir. Bu tür problemleri çözme süreci, trigonometri unsurlarının incelenmesiyle elde edilen bilgi ve becerilerin çoğunu bünyesinde barındırır.

Trigonometrik denklemler önemli yer genel olarak matematik öğretimi ve kişilik gelişimi sürecinde.

Hala sorularınız mı var? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Trigonometrinin temel formülleri hakkında bilgi gerektirir - sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı, sinüs ve kosinüs üzerinden teğet ifadesi ve diğerleri. Bunları unutmuş veya bilmeyenler için "" yazısını okumanızı öneririz.
Yani temel trigonometrik formülleri biliyoruz, bunları pratikte kullanmanın zamanı geldi. Trigonometrik denklemleri çözme Doğru yaklaşımla bu oldukça heyecan verici bir aktivitedir, örneğin Rubik küpünü çözmek gibi.

İsminden yola çıkarak trigonometrik bir denklemin, bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklem olduğu açıktır.
Basit trigonometrik denklemler denir. Şöyle görünüyorlar: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hadi düşünelim bu tür trigonometrik denklemler nasıl çözülür Açıklık sağlamak için zaten tanıdık olan trigonometrik daireyi kullanacağız.

sinx = a

çünkü x = a

ten rengi x = a

karyola x = a

Herhangi bir trigonometrik denklem iki aşamada çözülür: Denklemi en basit haline indiririz ve ardından basit bir trigonometrik denklem olarak çözeriz.
Trigonometrik denklemlerin çözüldüğü 7 ana yöntem vardır.

Değişken ikame ve ikame yöntemi

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 denklemini çözün

İndirgeme formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Basitleştirmek ve olağan ikinci dereceden denklemi elde etmek için cos(x + /6)'yı y ile değiştirin:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Kökleri y 1 = 1, y 2 = 1/2

Şimdi ters sırayla gidelim

Y'nin bulunan değerlerini değiştiririz ve iki cevap seçeneği elde ederiz:

Trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme

Sin x + cos x = 1 denklemi nasıl çözülür?

0 sağda kalacak şekilde her şeyi sola taşıyalım:

günah x + cos x – 1 = 0

Denklemi basitleştirmek için yukarıda tartışılan özdeşlikleri kullanalım:

günah x - 2 günah 2 (x/2) = 0

Çarpanlara ayıralım:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

İki denklem elde ediyoruz

Homojen bir denkleme indirgeme

Bir denklemin tüm terimleri aynı açının aynı derecedeki sinüs ve kosinüsüne göre ise sinüs ve kosinüs açısından homojendir. Homojen bir denklemi çözmek için aşağıdakileri yapın:

a) tüm üyelerini sol tarafa aktarın;

b) tüm ortak faktörleri parantezlerden çıkarın;

c) tüm faktörleri ve parantezleri 0'a eşitleyin;

d) parantez içinde daha düşük dereceli homojen bir denklem elde edilir, bu da daha yüksek dereceli sinüs veya kosinüse bölünür;

e) tg için elde edilen denklemi çözün.

3sin 2 x + 4 sin x çünkü x + 5 çünkü 2 x = 2 denklemini çözün

Sin 2 x + cos 2 x = 1 formülünü kullanalım ve sağdaki açık ikiden kurtulalım:

3sin 2 x + 4 sin x çünkü x + 5 çünkü x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

günah 2 x + 4 günah x çünkü x + 3 çünkü 2 x = 0

cos x'e bölün:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Tan x'i y ile değiştirin ve ikinci dereceden bir denklem elde edin:

y 2 + 4y +3 = 0, kökleri y 1 =1, y 2 = 3

Buradan orijinal denklemin iki çözümünü buluyoruz:

x 2 = arktan 3 + k

Yarım açıya geçiş yoluyla denklemleri çözme

3sin x – 5cos x = 7 denklemini çözün

x/2'ye geçelim:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Her şeyi sola taşıyalım:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)'ye bölün:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Yardımcı açının tanıtılması

Düşünmek için şu formdaki bir denklemi ele alalım: a sin x + b cos x = c,

burada a, b, c bazı keyfi katsayılardır ve x bir bilinmeyendir.

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Şimdi trigonometrik formüllere göre denklemin katsayıları sin ve cos özelliklerine sahiptir, yani: modülleri 1'den fazla değildir ve karelerin toplamı = 1'dir. Bunları sırasıyla cos ve sin olarak gösterelim, burada - bu yardımcı açı denir. O zaman denklem şu şekli alacaktır:

çünkü * günah x + günah * çünkü x = C

veya sin(x + ) = C

Bu en basit trigonometrik denklemin çözümü

x = (-1) k * arcsin C - + k, burada