Теория на границите- един от разделите на математическия анализ, който човек може да овладее, други трудно изчисляват границите. Въпросът за намирането на граници е доста общ, тъй като има десетки трикове ограничителни решения различни видове. Същите граници могат да бъдат намерени както по правилото на L'Hopital, така и без него. Случва се графикът в поредица от безкрайно малки функции да ви позволи бързо да получите желания резултат. Има набор от трикове и трикове, които ви позволяват да намерите границата на функция с всякаква сложност. В тази статия ще се опитаме да разберем основните видове лимити, които най-често се срещат на практика. Тук няма да даваме теорията и дефиницията на границата, има много ресурси в интернет, където това се дъвче. Затова нека направим практически изчисления, тук започвате "Не знам! Не знам как! Не са ни учили!"

Изчисляване на лимити по метода на заместване

Пример 1 Намерете границата на функция
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Решение: На теория примери от този вид се изчисляват чрез обичайното заместване

Лимитът е 18/11.
Няма нищо сложно и мъдро в такива граници - те замениха стойността, изчислиха, записаха границата в отговор. Въпреки това, въз основа на такива ограничения, всички са научени, че първо трябва да замените стойност във функцията. Освен това ограниченията усложняват, въвеждат концепцията за безкрайност, несигурност и други подобни.

Граница с несигурност от тип безкрайност, разделена на безкрайност. Методи за разкриване на несигурност

Пример 2 Намерете границата на функция
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=безкрайност).
Решение: Дадена е граница на полинома на формата, разделен на полином, и променливата клони към безкрайност

Простото заместване на стойността, до която променливата трябва да намери границите, няма да помогне, получаваме несигурност във формата безкрайност, разделена на безкрайност.
Теория на пот за границите Алгоритъмът за изчисляване на границата е да се намери най-голямата степен на "x" в числителя или знаменателя. След това върху него се опростяват числителят и знаменателят и се намира границата на функцията

Тъй като стойността клони към нула, когато променливата отива към безкрайност, те се пренебрегват или се записват в крайния израз като нули

Веднага от практиката можете да получите две заключения, които са намек в изчисленията. Ако променливата клони към безкрайност и степента на числителя е по-голяма от степента на знаменателя, тогава границата е равна на безкрайност. В противен случай, ако полиномът в знаменателя е от по-висок порядък, отколкото в числителя, границата е нула.
Граничната формула може да бъде записана като

Ако имаме функция под формата на обикновен дневник без дроби, тогава нейната граница е равна на безкрайност

Следващият тип граници се отнася до поведението на функции близо до нула.

Пример 3 Намерете границата на функция
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Решение: Тук не е необходимо да се изважда водещият множител на полинома. Точно обратното, необходимо е да се намери най-малката степен на числителя и знаменателя и да се изчисли границата

x^2 стойност; x клонят към нула, когато променливата клони към нула. Следователно те се пренебрегват, така че получаваме

че границата е 2,5.

Сега знаеш как да намерите границата на функциявид полином, разделен на полином, ако променливата клони към безкрайност или 0. Но това е само малка и лесна част от примерите. от следващ материалЩе се научиш как да се разкрият несигурностите на границите на функция.

Граница с неопределеност от тип 0/0 и методи за нейното изчисляване

Веднага всички си спомнят правилото, според което не можете да разделите на нула. Въпреки това, теорията на границите в този контекст означава безкрайно малки функции.
Нека да разгледаме няколко примера за онагледяване.

Пример 4 Намерете границата на функция
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Решение: Когато заместваме стойността на променливата x = -1 в знаменателя, получаваме нула, получаваме същото в числителя. Така че имаме несигурност на формата 0/0.
Лесно е да се справите с такава несигурност: трябва да факторизирате полинома или по-скоро да изберете фактор, който превръща функцията в нула.

След разлагане границата на функцията може да бъде записана като

Това е цялата техника за изчисляване на границата на функция. Правим същото, ако има граница на формата на полином, разделен на полином.

Пример 5 Намерете границата на функция
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Решение: Директно заместване показва
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
какво имаме тип несигурност 0/0.
Разделете полиномите на фактора, който въвежда сингулярността


Има учители, които учат, че полиномите от 2-ри ред, тоест от типа "квадратни уравнения" трябва да се решават чрез дискриминанта. Но реална практикапоказва, че е по-дълъг и по-сложен, така че се отървете от функциите в посочения алгоритъм. Така записваме функцията под формата на прости множители и изчисляваме в границата

Както можете да видите, няма нищо сложно при изчисляването на такива граници. Знаете как да разделяте полиноми в момента на изучаване на границите, поне според програмата, вече трябва да преминете.
Сред задачите за тип несигурност 0/0има такива, при които е необходимо да се прилагат формулите за съкратено умножение. Но ако не ги знаете, тогава като разделите полинома на монома, можете да получите желаната формула.

Пример 6 Намерете границата на функция
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Решение: Имаме несигурност от тип 0/0. В числителя използваме формулата за съкратено умножение

и изчислете желания лимит

Метод за разкриване на несигурност чрез умножение по конюгата

Методът се прилага към границите, в които ирационалните функции генерират несигурност. Числителят или знаменателят се превръща в нула в точката на изчисление и не е известно как да се намери границата.

Пример 7 Намерете границата на функция
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Решение:Нека представим променливата във формулата за граница

При заместване получаваме несигурност от тип 0/0.
Според теорията на границите схемата за заобикаляне на тази сингулярност се състои в умножаване на ирационален израз по неговия спрегнат. За да запазите израза непроменен, знаменателят трябва да бъде разделен на същата стойност

Чрез правилото за разликата на квадратите опростяваме числителя и изчисляваме границата на функцията

Ние опростяваме термините, които създават сингулярност в границата и извършваме заместването

Пример 8 Намерете границата на функция
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Решение: Директното заместване показва, че границата има сингулярност под формата 0/0.

За разширяване, умножение и деление на спрегнатия към числителя

Запишете разликата на квадратите

Ние опростяваме термините, които въвеждат сингулярност и намираме границата на функцията

Пример 9 Намерете границата на функция
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Решение: Заместете двойката във формулата

Вземете несигурност 0/0.
Знаменателят трябва да се умножи по конюгирания израз, а в числителя да се реши квадратно уравнениеили факторизирайте, като вземете предвид сингулярността. Тъй като е известно, че 2 е корен, тогава вторият корен се намира от теоремата на Виета

Така записваме числителя във формата

и сложете лимита

След като намалихме разликата на квадратите, ние се отърваваме от характеристиките в числителя и знаменателя

По горния начин можете да се отървете от сингулярността в много примери и приложението трябва да се забележи навсякъде, където дадената разлика на корените се превръща в нула при заместване. Други видове граници се отнасят до експоненциални функции, безкрайно малки функции, логаритми, сингулярни граници и други техники. Но можете да прочетете за това в статиите по-долу за ограниченията.

Понятия за граници на последователности и функции. Когато се изисква да се намери границата на редица, се записва по следния начин: lim xn=a. В такава последователност от последователности xn клони към a, а n клони към безкрайност. Една последователност обикновено се представя като серия, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последователностите се делят на възходящи и низходящи. Например:
xn=n^2 - нарастваща последователност
yn=1/n - последователност
Така, например, границата на последователността xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x→∞
Тази граница е нула, защото n→∞ и редицата 1/n^2 клони към нула.

Обикновено променлива x клони към крайна граница a, освен това x постоянно се приближава до a и стойността на a е постоянна. Това се записва по следния начин: limx = a, докато n може да клони както към нула, така и към безкрайност. Има безкрайни функции, за тях границата клони към безкрайност. В други случаи, когато, например, функцията за забавяне на влака, е възможно ограничение, клонящо към нула.
Ограниченията имат редица свойства. По правило всяка функция има само едно ограничение. Това е основното свойство на лимита. Други са изброени по-долу:
* Лимитът на сбора е равен на сбора от лимитите:
lim(x+y)=limx+limy
* Лимитът на произведението е равен на произведението на лимитите:
lim(xy)=limx*лим
* Лимитът на частното е равен на частното на лимитите:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянният коефициент се изважда от граничния знак:
lim(Cx)=C lim x
Дадена е функция 1 /x, където x →∞, нейната граница е нула. Ако x→0, тогава границата на такава функция е равна на ∞.
За тригонометричните функции съществуват тези правила. Тъй като функцията sin x винаги клони към единица, когато се доближава до нула, идентичността е валидна за нея:
lim sin x/x=1

В редица функции, при изчисляване на границите на които възниква несигурност - ситуация, при която границата не може да бъде изчислена. Единственият изход от тази ситуация е L'Hopital. Има два вида несигурност:
* несигурност на формата 0/0
* несигурност на формата ∞/∞
Например, даден лимит от следната форма: lim f(x)/l(x), освен това f(x0)=l(x0)=0. В този случай има несигурност от формата 0/0. За да се реши такъв проблем, двете функции се диференцират, след което се намира границата на резултата. За несигурности от формата 0/0 границата е:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (като x→0)
Същото правило е вярно за несигурности от типа ∞/∞. Но в този случай е вярно следното равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощта на правилото на L'Hopital можете да намерите стойностите на всякакви граници, в които се появяват несигурности. Задължително условие за

обем - липсата на грешки при намирането на производни. Така, например, производната на функцията (x^2)" е равна на 2x. От това можем да заключим, че:
f"(x)=nx^(n-1)

Член на последователността.

Числото a се нарича граница на редицата (xn), ако за всяко ε>0 съществува число n=n(ε), започващо от което |xn-a |

Пример 2. Докажете, че в пример 1 числото a=1 не е границата на редицата от предишния пример. Решение. Опростете отново общия член на последователността. Вземете ε=1 (това е всяко число >

Проблемите с директното изчисляване на границата на последователност са доста монотонни. Всички те съдържат съотношения на полиноми по отношение на n или изрази по отношение на тези полиноми. Когато започвате да решавате, извадете от скоби (знак за радикал) компонента, разположен в старшия. Да предположим, че за числителя на оригиналния израз това ще доведе до появата на фактора a^p, а за знаменателя b^q. Очевидно всички останали членове имат формата C / (n-k) и клонят към нула, когато n>

Първият начин за изчисляване на границата на последователност се основава на нейната дефиниция. Вярно е, че трябва да се помни, че той не дава начини за директно търсене на границата, а само ви позволява да докажете, че дадено число a е (или не е) граница Пример 1. Докажете, че последователността (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) има граница a=3. Решение. Продължете, като приложите определението в обратен ред. Тоест от дясно на ляво. Първо проверете дали е възможно да се опрости формулата за xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Разгледайте неравенството |(3n+1)/(n+2)-3|0 можете да намерите всяко естествено число nε по-голямо от -2+5/ε.

Пример 2. Докажете, че в пример 1 числото a=1 не е границата на редицата от предишния пример. Решение. Опростете отново общия член на последователността. Вземете ε=1 (това е всяко число >0) Запишете последното неравенство на общата дефиниция |(3n+1)/(n+2)-1|

Проблемите с директното изчисляване на границата на последователност са доста монотонни. Всички те съдържат съотношения на полиноми по отношение на n или изрази по отношение на тези полиноми. Когато започвате да решавате, извадете от скоби (знак за радикал) компонента, разположен в старшия. Да предположим, че за числителя на оригиналния израз това ще доведе до появата на фактора a^p, а за знаменателя b^q. Очевидно всички останали членове имат вида С/(n-k) и клонят към нула при n>k (n клони към безкрайност). След това запишете отговора: 0 ако pq.

Нека посочим един нетрадиционен начин за намиране на границата на редица и безкрайни суми. Ще използваме функционални последователности (техните функционални членове, дефинирани на някакъв интервал (a,b)) Пример 3. Намерете сумата от формата 1+1/2! +1/3! +...+1/n! +…=s .Решение. Всяко число a^0=1. Поставете 1=exp(0) и разгледайте функционалната последователност (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Съвет 2: В какъв ред трябва да гледате филмите на Marvel Avengers?

Вселената на Marvel е базирана на комикси на Marvel, но не всички адаптации на комикси са част от MCU. Включва само кадри, произведени от или съвместно с Marvel Studios. Кинематографичната вселена на Marvel е разделена на фази, всеки филм има свое място в нея. Сериалите и късометражните филми обаче, като част от вселената, в хронологията могат да бъдат между фазите. Тези. може да не принадлежат към определени части на MCU.

Сериалите на Netflix и abc са различни от вселената на Marvel. MCU има две функции:

• всеки филм има своя собствена история;
• глобалният сюжет се движи от един филм в друг, в резултат на което всеки от тях движи този сюжет напред.

Сериите на канала abc са свързани с глобалния сюжет на кинематографичната вселена, но не напредват, а само го допълват. Сериалите на Netflix са напълно независими истории, със собствен сюжет и собствен глобален свят.

През годините вселената на Marvel се разраства и продължава да се разширява. Ето защо е трудно за неподготвен човек да се справи с хронологията на нейните филми, защото не всеки разбира, че не можете да гледате Iron Man 3 веднага след Iron Man 2. И за да се разбере, е необходимо да се проучи хронологията, която включва три фази.

Първа фаза:

1. Филмът "Железният човек", 2008 г. Тази картина поставя основата и общия тон за следващите филмови адаптации, действието й се развива през 2010 г.
2. Филмът Невероятният Хълк 2008. В тази филмова адаптация зрителите разбират, че историите на двама различни герои се случват в една и съща вселена, тъй като и Железният човек, и Невероятният Хълк споменават S.H.I.E.L.D, програмата за супер войници, логото на StarkIndusries и т.н. Филмът се развива през 2011 г. Картината не продължава историята на филма "Хълк" от 2003 г.
3. Филмът "Железният човек 2", 2010 г. Тази история е своеобразно семе за Отмъстителите, въвежда Черната вдовица в сюжета, дава много предпоставки за бъдещи проекти и говори за новите проблеми, с които се сблъсква Тони Старк година след първата част на Iron Man.
4. Тор филм 2011. Това също е подготовка за Отмъстителите, а основната цел на картината е да запознае зрителя с Тор и Локи. Историята се развива паралелно с историята на The Incredible Hulk и Iron Man 2.
5. Филмът "Първият отмъстител", 2011 г. Разказва за Капитан Америка - първият супергерой на Земята, който, подобно на Хълк, се появи благодарение на серума "супер войник". Първата и последната сцена от филма се развиват през 2011 г., а основното действие се развива между 1943 и 1945 г. Тесерактът, един от шестте Камъка на безкрайността, се появява във филма и се разкрива, че "бащата" на S.H.I.E.L.D. е бил SNR (Стратегически научен резерв).
6. Късометражен филм "Консултант", 2011 г. Това обяснява последната сцена на The Incredible Hulk.
7. Късометражен филм "Смешна случка по пътя към чука на Тор", 2011 г.
8. Филмът Отмъстителите, 2012 г. Историята се развива през 2012 г., когато S.H.I.E.L.D. в името на спасяването на света обявява "обща колекция".

Втора фаза:

1. Филмът "Железният човек 3", 2013 г. Действието се развива през зимата на 2012 г., когато Тони Старк се завръща у дома след битката за Ню Йорк, но е измъчван от кошмари. Той не може да спи и посвещава времето си на създаване на нови костюми.
2. Поредицата "Агентите на ЩИТ", 2013 г.
3. Тор 2: Тъмният свят, 2013 г. Филмът разказва как Тор се завръща у дома и открива, че всичките девет свята са потънали в хаос. И за това как Тор подреди нещата.
4. Късометражен филм "Да живее кралят", 2014 г. Това е история за Тревър Слетъри, която се развива след събитията от Iron Man 3.
5. Капитан Америка: Друга война, филм от 2014 г. Това е история за Капитан Америка, който не може да се върне у дома, затова търси нова работа и става агент на Щ.И.Е.Л.Д., работейки в екип с Черната вдовица. Филмът се гледа най-добре между 16 и 17 епизод на Agents of SHIELD.
6. Филмът пазители на галактиката 2014 г. Трябва да гледате след 1-ви сезон на сериала "Агентите на Щ.И.Т.." Това е историята на престъпници извън Земята, които сформират екип, за да попречат на по-опасния престъпник Ронан да получи Камъка на безкрайността.
7. Сериалът "Агентите на ЩИТ", втори сезон, 2014 г.
8. Поредицата "Агент Картър", 2016 г. Това е историята за това как Пеги Картър и икономът Едуин Джарвис помагат на Хауърд Старк да си върне доброто име.
9. Филмът Отмъстителите: Ерата на Ултрон 2015 г. В този филм Отмъстителите отново са заедно, за да спасят света, но този път те са станали пълноправен екип. По-добре е да гледате между 19 и 20 епизод от втория сезон на "Агентите на ЩИТ".
10. Филмът "Ant-Man", 2015 г. Гледайте след сезон 2 на сериала "Агентите на Щ.И.Е.Т.."

Трета фаза:

1. Филмът "Първият отмъстител: Конфронтация", 2016 г. След Соковийския договор от Отмъстителите се изисква да се подчиняват на правителството, но това ги разделя на два лагера: тези, които са за регистрацията, и тези, които са против нея.

Това са все филми, които вече са излезли. Но не цялата история. В третата фаза са предвидени още 14 филма, а след това – и четвъртата фаза.

Свързана статия

Решение ограничения на онлайн функциите. Намерете граничната стойност на функция или функционална последователност в точка, изчислете ограничаванестойност на функцията в безкрайност. определят сходимостта на редица от числа и много повече може да се направи благодарение на нашата онлайн услуга- . Позволяваме ви да намерите функционални ограничения онлайн бързо и точно. Вие сами въвеждате променливата на функцията и границата, към която тя се стреми, нашата услуга прави всички изчисления вместо вас, като дава точен и лесен отговор. И за намиране на лимита онлайнможете да въвеждате както числови серии, така и аналитични функции, съдържащи константи в буквален израз. В този случай намерената граница на функцията ще съдържа тези константи като постоянни аргументи в израза. Нашата услуга решава всякакви сложни проблеми с намирането лимити онлайн, достатъчно е да посочите функцията и точката, в която е необходимо да се изчисли ограничение на функцията. Компютри лимити онлайн, можеш да използваш различни методии правилата за тяхното решаване, докато сравнявате резултата с лимит решение онлайнна www.site, което ще доведе до успешно изпълнение на задачата - ще избегнете собствените си грешки и правописни грешки. Или можете напълно да ни се доверите и да използвате нашия резултат в работата си, без да харчите допълнителни усилия и време за независими изчисления на границата на функцията. Разрешаваме въвеждане на гранични стойности като безкрайност. Трябва да въведете общ член на числовата редица и www.сайтще изчисли стойността лимит онлайндо плюс или минус безкрайност.

Една от основните концепции на математическия анализ е ограничение на функциятаи ограничение на последователносттав точка и в безкрайност е важно да можете да решавате правилно граници. С нашата услуга няма да е трудно. Взема се решение лимити онлайнслед секунди отговорът е точен и пълен. Изучаването на смятането започва с преминаване към границата, границисе използват в почти всички раздели на висшата математика, така че е полезно да имате под ръка сървър за ограничаване на решенията онлайнкойто е сайтът.

Ограниченията създават много проблеми на всички студенти по математика. За да разрешите границата, понякога трябва да използвате много трикове и да изберете от множество решения точно това, което е подходящо за конкретен пример.

В тази статия няма да ви помогнем да разберете границите на вашите способности или да разберете границите на контрола, но ще се опитаме да отговорим на въпроса: как да разберете границите на висшата математика? Разбирането идва с опит, така че в същото време ще дадем някои подробни примери за решаване на граници с обяснения.

Концепцията за лимит в математиката

Първият въпрос е: каква е границата и границата на какво? Можем да говорим за граници на числови последователности и функции. Интересуваме се от понятието граница на функция, тъй като именно с тях учениците най-често се сблъскват. Но първо най-много обща дефиницияограничение:

Да кажем, че има някаква променлива. Ако тази стойност в процеса на промяна се приближава за неопределено време определен брой а , тогава а е границата на тази стойност.

За функция, дефинирана в някакъв интервал f(x)=y границата е броят А , към които функцията клони, когато х клонящи към определена точка а . Точка а принадлежи на интервала, на който е дефинирана функцията.

Звучи тромаво, но е написано много просто:

Лим- от английски лимит- лимит.

Има и геометрично обяснение за дефиницията на границата, но тук няма да навлизаме в теорията, тъй като се интересуваме повече от практическата, отколкото от теоретичната страна на въпроса. Когато казваме това х клони към някаква стойност, това означава, че променливата не приема стойността на число, а се приближава безкрайно близо до нея.

Да донесем конкретен пример. Предизвикателството е да се намери границата.

За да решим този пример, заместваме стойността х=3 във функция. Получаваме:

Между другото, ако се интересувате, прочетете отделна статия по тази тема.

В примерите х може да клони към всяка стойност. Може да бъде произволно число или безкрайност. Ето един пример кога х клони към безкрайност:

Интуитивно е ясно, че колкото по-голямо е числото в знаменателя, толкова по-малка стойност ще приеме функцията. И така, с неограничен растеж х значение 1/x ще намалява и ще се доближава до нула.

Както можете да видите, за да разрешите границата, просто трябва да замените стойността, към която да се стремите, във функцията х . Това обаче е най-простият случай. Често намирането на границата не е толкова очевидно. В границите има несигурност на типа 0/0 или безкрайност/безкрайност . Какво да правим в такива случаи? Използвайте трикове!

Вътрешна несигурност

Неопределеност на формата безкрайност/безкрайност

Нека има ограничение:

Ако се опитаме да заместим безкрайност във функцията, ще получим безкрайност както в числителя, така и в знаменателя. Като цяло си струва да се каже, че има известен елемент на изкуство в разрешаването на такива несигурности: човек трябва да забележи как една функция може да бъде трансформирана по такъв начин, че несигурността да изчезне. В нашия случай разделяме числителя и знаменателя на х в старша степен. Какво ще се случи?

От вече разгледания по-горе пример знаем, че членовете, съдържащи x в знаменателя, ще клонят към нула. Тогава решението на лимита е:

За разкриване на неясноти по типа безкрайност/безкрайностразделете числителя и знаменателя на хв най-висока степен.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Друг вид несигурност: 0/0

Както винаги, заместване във функцията на стойността х=-1 дава 0 в числителя и знаменателя. Погледнете малко по-внимателно и ще забележите, че имаме квадратно уравнение в числителя. Нека намерим корените и напишем:

Нека намалим и получим:

Така че, ако срещнете неяснота на типа 0/0 - разложете на множители числителя и знаменателя.

За да ви улесним при решаването на примери, ето таблица с ограниченията на някои функции:

Правилото на L'Hopital в рамките

Друг мощен начин за премахване на двата вида несигурност. Каква е същността на метода?

Ако има несигурност в границата, вземаме производната на числителя и знаменателя, докато несигурността изчезне.

Визуално правилото на L'Hopital изглежда така:

Важен момент : границата, в която производните на числителя и знаменателя са вместо числителя и знаменателя, трябва да съществува.

А сега реален пример:

Има типична несигурност 0/0 . Вземете производните на числителя и знаменателя:

Воала, несигурността се елиминира бързо и елегантно.

Надяваме се, че ще можете да използвате тази информация на практика и да намерите отговора на въпроса "как да решаваме граници във висшата математика". Ако трябва да изчислите границата на последователност или границата на функция в точка и нямате време за тази работа от думата "абсолютно", вижте за бързо и подробно решение.