Statistička interpretacija de Broglie valova (vidi §216) i Heisenbergove relacije nesigurnosti (vidi §215) dovela je do zaključka da je jednadžba gibanja u kvantna mehanika, opisujući gibanje mikročestica u različitim poljima sila, trebala bi postojati jednadžba iz koje bi slijedila valna svojstva čestica promatrana u eksperimentu. Glavna jednadžba mora biti jednadžba za valnu funkciju  (x, y,z, t), budući da je to ona, točnije, vrijednost || 2, određuje vjerojatnost ostanka čestice u trenutku vremena t u volumenu dV, tj. u području s koordinatama x I x+dx, y I y+dy, z I z+dz. Budući da željena jednadžba mora uzeti u obzir valna svojstva čestica, mora biti valna jednadžba, poput jednadžbe koja opisuje elektromagnetske valove. Osnovnu jednadžbu nerelativističke kvantne mehanike formulirao je 1926. E. Schrödinger. Schrödingerova jednadžba, kao i sve osnovne jednadžbe fizike (primjerice, Newtonove jednadžbe u klasičnoj mehanici i Maxwellove jednadžbe za elektromagnetsko polje), nije izvedena, već postulirana. Točnost ove jednadžbe potvrđuje slaganje s iskustvom rezultata dobivenih pomoću nje, što joj, pak, daje karakter zakona prirode. Schrödingerova jednadžba ima oblik

gdje je h =h/(2 ), m - masa čestica -

Laplaceov operator (= d 2  / dx 2 +d 2  / dg 2

+d 2 / d z2), ja- imaginarna jedinica, U(x, y,z, t)

Potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se giba je

 (x, y, z, t)- željena valna funkcija čestice.

Jednadžba (217.1) vrijedi za bilo koju česticu (sa spinom jednakim 0; vidi §225) koja se kreće malom (u usporedbi s brzinom svjetlosti) brzinom, tj. brzinom v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. §216); 2) производные d/ d x, d/ d y, d/ d z, d/ d t mora biti kontinuiran;

3) funkcija || 2 mora biti integrabilan; taj se uvjet u najjednostavnijim slučajevima svodi na uvjet normalizacije vjerojatnosti (216.3).

Da bismo došli do Schrödingerove jednadžbe, razmotrimo slobodno pokretnu česticu, koja je, prema de Broglieovoj zamisli, povezana s ravnim valom. Radi jednostavnosti, razmatramo jednodimenzionalni slučaj. Jednadžba ravnog vala koji se širi duž osi X, ima oblik (vidi § 154)

 (x,t)=Acos( t-kx), ili u složenom zapisu

 (X,t)=Ae i ( t-kx) .

Prema tome, de Broglie ravni val ima oblik

 =Ae-(i/h)(Et-px) (217.2)

(uzimajući u obzir da je =E/h, k=p/h). U kvantnoj mehanici eksponent se uzima s predznakom minus, ali budući da je fizičko značenje samo |  | 2, onda je ovo (vidi (217.2)) nebitno. Zatim

Koristeći odnos između energije E i zamah p(E=p 2 /(2 m)) i zamjenom izraza

(217.3), dobivamo diferencijalnu jednadžbu

što se poklapa s jednadžbom (217.1) za slučaj U=0 (uzimali smo u obzir slobodnu česticu).

Ako se čestica giba u polju sila koje karakterizira potencijalna energija ti, zatim ukupna energija E sastoji se od kinetičke i potencijalne energije. Analognim razmišljanjem i korištenjem odnosa između E I R za ovaj slučaj R 2 /(2 m)=E-u, dolazimo do diferencijalne jednadžbe koja se podudara S(217.1).

Gornje obrazloženje ne treba uzeti kao izvođenje Schrödingerove jednadžbe. Oni samo objašnjavaju kako se može doći do ove jednadžbe. Dokaz točnosti Schrödingerove jednadžbe je suglasnost zaključaka do kojih ona vodi s iskustvom.

Jednadžba (217.1) je opća Schrödingerova jednadžba. On se također zove vremenski ovisna Schrödingerova jednadžba. Za mnoge fizikalne pojave koje se događaju u mikrokozmosu, jednadžba (217.1) može se pojednostaviti uklanjanjem ovisnosti  iz vremena, drugim riječima, pronađite Schrödingerovu jednadžbu za stacionarna stanja - stanja s fiksnim vrijednostima energije. To je moguće ako je polje sila u kojem se čestica giba stacionarno, tj. funkcija U=U(x, y,z) ne ovisi izričito o vremenu i ima značenje potencijalne energije. U tom slučaju rješenje Schrödingerove jednadžbe može se prikazati kao produkt dviju funkcija, od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga samo funkcija vremena, a vremenska ovisnost izražena je faktorom e - i  t = e -i (E / h0t , tako da

 (x, y,z, t)= (x, y,z) e-i(E/h)t ,

Gdje E - ukupna energija čestice, koja je konstantna u slučaju stacionarnog polja. Zamjenom (217.4) u (217.1), dobivamo

odakle nakon dijeljenja zajedničkim faktorom e -i(E/h)t i odgovarajućim transformacijama dolazimo do jednadžbe koja definira funkciju :

Jednadžba (217.5) naziva se Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja.

Ova jednadžba uključuje ukupnu energiju kao parametar Ečestice. U teoriji diferencijalnih jednadžbi dokazuje se da takve jednadžbe imaju beskonačan broj rješenja, od kojih se nametanjem rubnih uvjeta biraju rješenja koja imaju fizikalni smisao. Za Schrödingerovu jednadžbu, takvi uvjeti su uvjeti regularnosti valnih funkcija: valne funkcije moraju biti konačne, jednoznačne i kontinuirane zajedno sa svojim prvim izvodnicama. Dakle, pravo fizikalno značenje imaju samo rješenja koja su izražena regularnim funkcijama , ali regularna rješenja ne postoje ni za jednu vrijednost parametra E, a samo za određeni skup njih, karakterističan za dati zadatak. Ove energetske vrijednosti nazivaju se vlastiti. Rješenja koja odgovaraju vlastiti energetske vrijednosti nazivaju se vlastite funkcije. Svojstvene vrijednosti E mogu formirati kontinuirane i diskretne serije. U prvom slučaju govori se o stalan, ili kontinuirani, spektar, u drugom - o diskretnom spektru.

Statistička interpretacija de Broglie valova i Heisenbergove relacije nesigurnosti dovela je do zaključka da bi jednadžba gibanja u kvantnoj mehanici, koja opisuje gibanje mikročestica u različitim poljima sila, trebala biti jednadžba iz koje bi se eksperimentalno promatrana valna svojstva čestica slijediti. Glavna jednadžba mora biti jednadžba za valnu funkciju Y ( x, y, z, t), budući da je ona, odnosno, točnije, količina |Y | 2, određuje vjerojatnost ostanka čestice u trenutku vremena t u svesku d V , tj. u području s koordinatama x I x + dx, y I y+dy, z I z+dz. Kako bi željena jednadžba trebala uzeti u obzir valna svojstva čestica, onda bi trebala biti valna jednadžba, slično jednadžbi koja opisuje elektromagnetske valove.

Osnovna jednadžba nerelativistička kvantna mehanika formulirao 1926. E. Schrödinger. Schrödingerova jednadžba, kao i sve osnovne jednadžbe fizike (primjerice, Newtonove jednadžbe u klasičnoj mehanici i Maxwellove jednadžbe za elektromagnetsko polje), nije izvedena, već postulirana. Točnost ove jednadžbe potvrđuje slaganje s iskustvom rezultata dobivenih pomoću nje, što joj, pak, daje karakter zakona prirode. Schrödingerova jednadžba ima oblik

Gdje ћ =h/(2p ), T- masa čestice, D-Laplaceov operator ja- imaginarna jedinica, U (x, y, z, t) - potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se giba, Y (x, y, z, t) je željena valna funkcija čestice.

Jednadžba (217.1) vrijedi za bilo koju česticu (sa spinom jednakim 0) koja se kreće malom (u usporedbi s brzinom svjetlosti) brzinom, tj. v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной производные mora biti kontinuiran; 3) funkcija |Y | 2 mora biti integrabilan; taj se uvjet u najjednostavnijim slučajevima svodi na uvjet normalizacije vjerojatnosti (216.3).

Da bismo došli do Schrödingerove jednadžbe, razmotrimo slobodno pokretnu česticu, koja je, prema de Broglieovoj zamisli, povezana s ravnim valom. Radi jednostavnosti, razmatramo jednodimenzionalni slučaj. Jednadžba ravnog vala koji se širi duž osi X, ima oblik , ili u složenom zapisu . Prema tome, de Broglie ravni val ima oblik

(217.2)

(uzimajući u obzir da w = E /ć, k =p /ć). U kvantnoj mehanici eksponent se uzima s predznakom minus, ali budući da je samo |Y | 2, onda je ovo (vidi (217.2)) nebitno. Zatim

Koristeći odnos između energije E i zamah p (E=p 2 /( 2m)) a zamjenom izraza (217.3) dobivamo diferencijalnu jednadžbu

što se poklapa s jednadžbom (217.1) za slučaj U= 0 (uzimali smo u obzir slobodnu česticu). Ako se čestica giba u polju sila koje karakterizira potencijalna energija U , zatim ukupna energija E sastoji se od kinetičke i potencijalne energije. Analognim razmišljanjem i korištenjem odnosa između E I R(za ovaj slučaj str 2 /(2m)=E–U), vrtimo se do diferencijalne jednadžbe koja koincidira s (217.1).

Gornje obrazloženje ne treba uzeti kao izvođenje Schrödingerove jednadžbe. Oni samo objašnjavaju kako se može doći do ove jednadžbe. Dokaz točnosti Schrödingerove jednadžbe je suglasnost zaključaka do kojih ona vodi s iskustvom.

Jednadžba (217.1) je opća Schrödingerova jednadžba. On se također zove vremenski ovisna Schrödingerova jednadžba. Za mnoge fizikalne pojave koje se događaju u mikrosvijetu, jednadžba (217.1) može se pojednostaviti uklanjanjem ovisnosti Y o vremenu, drugim riječima, da se pronađe Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja - stanja s fiksnim vrijednostima energije. To je moguće ako je polje sila u kojem se čestica giba stacionarno, tj. funkcija U \u003d U (x, y, z) ne ovisi izričito o vremenu i ima značenje potencijalne energije. U tom slučaju rješenje Schrödingerove jednadžbe može se prikazati kao produkt dviju funkcija, od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga samo funkcija vremena, a ovisnost o vremenu izražena je faktorom , tako da

Gdje E - ukupna energija čestice, koja je konstantna u slučaju stacionarnog polja. Zamjenom (217.4) u (217.1), dobivamo

odakle nakon dijeljenja zajedničkim faktorom i odgovarajućih transformacija dolazimo do jednadžbe koja definira funkciju y :

(217.5)

Jednadžba (217.5) naziva se Schrödingerova jednadžba za stacionar Države. Ova jednadžba uključuje ukupnu energiju kao parametar Ečestice. U teoriji diferencijalnih jednadžbi dokazuje se da takve jednadžbe imaju beskonačan broj rješenja, od kojih se nametanjem rubnih uvjeta biraju rješenja koja imaju fizikalni smisao. Za Schrödingerovu jednadžbu, takvi uvjeti su uvjeti regularnosti valnih funkcija: valne funkcije moraju biti konačne, jednoznačne i kontinuirane zajedno sa svojim prvim izvodnicama. Dakle, samo rješenja koja su izražena regularnim funkcijama imaju pravi fizikalni smisao g. Ali redovita rješenja se ne odvijaju ni za jednu vrijednost parametra E, ali samo za određeni skup njih, karakterističan za dati zadatak. Ove energetske vrijednosti nazivaju se vlastiti. Rješenja koja odgovaraju vlastiti energetske vrijednosti nazivaju se vlastite funkcije. Svojstvene vrijednosti E mogu formirati kontinuirane i diskretne serije. U prvom slučaju govori se o stalan, ili stalan, spektar, u drugom - o diskretnom spektru.

U razvoju de Broglieove ideje o valnim svojstvima materije, E. Schrödinger je 1926. dobio svoju poznatu jednadžbu. Schrödinger je usporedio kretanje mikročestice sa složenom funkcijom koordinata i vremena, koju je nazvao valnom funkcijom i označio grčkim slovom "psi" (). Nazvat ćemo je psi-funkcija.

Psi-funkcija karakterizira stanje mikročestice. Oblik funkcije dobiva se iz rješenja Schrödingerove jednadžbe koja izgleda ovako:

Ovdje je masa čestice, i je imaginarna jedinica, je Laplaceov operator, rezultat čijeg djelovanja na neku funkciju je zbroj drugih parcijalnih izvodnica u odnosu na koordinate:

Slovo U u jednadžbi (21.1) označava funkciju koordinata i vremena, čiji gradijent, uzet sa suprotnim predznakom, određuje silu koja djeluje na česticu. U slučaju kada funkcija U ne ovisi eksplicitno o vremenu, ona ima značenje potencijalne energije čestice.

Iz jednadžbe (21.1) proizlazi da je oblik psi-funkcije određen funkcijom U, tj. u konačnici prirodom sila koje djeluju na česticu.

Schrödingerova jednadžba je osnovna jednadžba nerelativističke kvantne mehanike. Ne može se izvesti iz drugih odnosa. Nju treba smatrati početnom temeljnom pretpostavkom, čiju valjanost dokazuje činjenica da su sve posljedice koje iz nje proizlaze na najegzaktniji način sukladne s eksperimentalnim činjenicama.

Schrödinger je svoju jednadžbu postavio na temelju optičko-mehaničke analogije. Ta analogija leži u sličnosti jednadžbi koje opisuju put svjetlosnih zraka s jednadžbama koje određuju putanje čestica u analitičkoj mehanici. U optici, putanja zraka zadovoljava Fermatov princip (vidi § 115 2. sveska), u mehanici, oblik putanje zadovoljava tzv. princip najmanjeg djelovanja.

Ako je polje sile u kojem se čestica giba stacionarno, tada funkcija V ne ovisi izričito o vremenu i, kao što je već navedeno, ima značenje potencijalne energije. U ovom slučaju, rješenje Schrödingerove jednadžbe dijeli se na dva faktora, od kojih jedan ovisi samo o koordinatama, a drugi samo o vremenu:

Ovdje je E ukupna energija čestice, koja ostaje konstantna u slučaju stacionarnog polja. Da bismo provjerili valjanost izraza (21.3), zamijenit ćemo ga u jednadžbu (21.1). Kao rezultat toga dobivamo relaciju

Smanjujući zajednički faktor, dolazimo do diferencijalne jednadžbe koja definira funkciju

Jednadžba (21.4) naziva se Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja. U nastavku ćemo se baviti samo ovom jednadžbom i radi kratkoće nazvat ćemo je jednostavno Schrödingerova jednadžba. Jednadžba (21.4) često se piše kao

Objasnimo kako možemo doći do Schrödingerove jednadžbe. Radi jednostavnosti, ograničili smo se na jednodimenzionalni slučaj. Razmotrimo slobodno pokretnu česticu.

Prema de Broglieovoj zamisli, treba ga povezati s ravnim valom

(u kvantnoj mehanici je uobičajeno uzimati eksponent s predznakom minus). Zamjenom u skladu s (18.1) i (18.2) kroz E i dolazimo do izraza

Diferencirajući ovaj izraz jednom s obzirom na t, a drugi put dva puta s obzirom na x, dobivamo

U nerelativističkoj klasičnoj mehanici, energija E i količina gibanja slobodne čestice povezani su relacijom

Zamjenom izraza (21.7) za E i u ovu relaciju, a zatim redukcijom za , dobivamo jednadžbu

koja se poklapa s jednadžbom (21.1) ako u potonju stavimo

U slučaju čestice koja se giba u polju sile karakteriziranom potencijalnom energijom U, energija E i količina gibanja povezani su

Proširujući izraze (21.7) za E i na ovaj slučaj, dobivamo

Množenjem ovog omjera s , pomicanjem člana ulijevo, dolazimo do jednadžbe

koja se podudara s jednadžbom (21.1).

Gornje obrazloženje nema dokaznu snagu i ne može se smatrati izvođenjem Schrödingerove jednadžbe. Njihov cilj je objasniti kako je moguće doći do uspostavljanja ove jednadžbe.

U kvantnoj mehanici pojam igra važnu ulogu.Operator označava pravilo po kojem se jedna funkcija (označimo) pridružuje drugoj funkciji (označimo). Simbolično, ovo je zapisano na sljedeći način:

Ovdje - simbolična oznaka operatora (s istim uspjehom može se uzeti bilo koje drugo slovo s "šeširom" iznad njega, na primjer, itd.). U formuli (21.2) ulogu Q ima funkcija F, a ulogu f ima desna strana formule.

Klasična mehanika, zbog prisutnosti valnih svojstava u mikročesticama, ne može dati točan opis njihovog ponašanja. To se može učiniti pomoću kvantne mehanike, koju su stvorili Schrödinger, Heisenberg, Dirac i drugi.

Osnovna jednadžba kvantne mehanike je Schrödingerova jednadžba. Stanje mikročestica u kvantnoj mehanici opisuje se valnom funkcijom ili Ψ (psi)-funkcijom. Ova funkcija je funkcija koordinata i vremena i može se pronaći rješavanjem jednadžbe

(Schrödingerova jednadžba),

gdje je m masa čestice; h = h/2π je Planckova konstanta; Ψ - valna funkcija ili psi-funkcija, koja je funkcija koordinata i vremena
- Laplaceov operator;U=U(x,y,z,t) - potencijalna energija čestice u polju sila u kojem se giba; ja =
je zamišljena jedinica.

Schrödingerova jednadžba, kao i Newtonova jednadžba u klasičnoj mehanici, ne može se dobiti teorijski, već je generalizacija velikog broja eksperimentalnih činjenica. Valjanost ove relacije dokazuje činjenica da se sve posljedice koje iz nje slijede najtočnije slažu s eksperimentalnim činjenicama.

Iz Schrödingerove jednadžbe proizlazi da je oblik valne funkcije Ψ određen potencijalnom energijom U, tj. prirodu sila koje djeluju na česticu. Općenito, potencijalna energija U je funkcija koordinata i vremena. Za stacionarno (nepromjenjivo u vremenu) polje sila, potencijalna energija U je eksplicitno neovisna o vremenu. U ovom slučaju, valna funkcija Ψ dijeli se na dva faktora, od kojih jedan ovisi samo o vremenu, drugi - samo o koordinatama.

,

gdje je E ukupna energija čestice.

Zamjenom ove funkcije u Schrödingerovu jednadžbu dobivamo

;
ili

Ovo je Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja. Obje jednadžbe vrijede za bilo koju česticu koja se kreće malom (v "c) brzinom. Osim toga, na valnu funkciju se nameću dodatni uvjeti:

Posljednja jednadžba uključuje ukupnu energiju E čestice kao parametar. Iz teorije diferencijalnih jednadžbi, takve jednadžbe imaju rješenja (iz svog bezbrojnog skupa) koja odražavaju fizičko značenje, ne za bilo koje vrijednosti parametra E, već samo za određeni skup njih, karakterističan za dati problem. Rješenja koja imaju fizikalni smisao dobivaju se samo kada su navedeni uvjeti nametnuti. Energetske vrijednosti E za koje rješenja Schrödingerove jednadžbe imaju fizičko značenje nazivaju se vlastiti. Rješenja, tj. nazivaju se valne funkcije koje odgovaraju svojstvenim vrijednostima energije vlastiti funkcije.

Valna funkcija i njezino statističko značenje

Položaj čestice u prostoru u određenom trenutku u kvantnoj mehanici određen je spoznajom valne funkcije Ψ. Vjerojatnost dw da se čestica nalazi u elementu volumena dV proporcionalna je kvadratu modula valne funkcije |Ψ| 2 i volumen elementa dV

Količina |Ψ| 2= (kvadrat modula Ψ-funkcije) ima značenje gustoće vjerojatnosti, tj. određuje vjerojatnost pronalaska čestice u jedinici volumena u blizini točke s koordinatama x, y, z.

Dakle, nije sama Ψ-funkcija ono što ima fizičko značenje, već kvadrat njezinog modula |Ψ| 2. Vjerojatnost pronalaska čestice u trenutku t u konačnom volumenu V, prema teoremu o zbrajanju vjerojatnosti, jednaka je

.

Valna funkcija mora biti normalizirana na takav način da vjerojatnost određenog događaja postane jedinica. To će biti točno ako se volumen integracije V uzme kao beskonačni volumen cijelog prostora. Uvjeti normalizacije vjerojatnosti

,

gdje se integral računa po cijelom beskonačnom prostoru, tj. u x, y, z koordinatama od -∞ do +∞.

U tom slučaju valna funkcija mora zadovoljiti tri prethodno navedena uvjeta:

1. Mora biti konačan (vjerojatnost ne može biti veća od 1).

2. Mora biti nedvosmislen (vjerojatnost ne može biti dvosmislena).

Mora biti kontinuiran (vjerojatnost ne može skočiti).

Opća Schrödingerova jednadžba. Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja

Statistička interpretacija de Broglie valova (vidi § 216) i Heisenbergove relacije nesigurnosti (vidi 5 215) dovela je do zaključka da bi jednadžba gibanja u kvantnoj mehanici, koja opisuje gibanje mikročestica u različitim poljima sila, trebala biti jednadžba iz koje promatrači na doživljavaju valna svojstva čestica. Osnovna jednadžba mora biti jednadžba za valnu funkciju Ψ (x, y, z, t), budući da je upravo ona, točnije, veličina |Ψ| 2, određuje vjerojatnost da čestica ostane u trenutku t u volumenu dV, tj. u području s koordinatama x i x+dx, y i y+dy, z i z+dz. Budući da željena jednadžba mora uzeti u obzir valna svojstva čestica, mora biti valna jednadžba, slična jednadžbi koja opisuje elektromagnetske valove.

Osnovnu jednadžbu nerelativističke kvantne mehanike formulirao je 1926. E. Schrödinger. Schrödingerova jednadžba, kao i sve osnovne jednadžbe fizike (primjerice, Newtonove jednadžbe u klasičnoj mehanici i Maxwellove jednadžbe za elektromagnetsko polje), nije izvedena, već postulirana. Točnost ove jednadžbe potvrđuje slaganje s iskustvom rezultata dobivenih pomoću nje, što joj, pak, daje karakter zakona prirode. Schrödingerova jednadžba ima oblik

gdje je h=h/(2π), m je masa čestice, ∆ je Laplaceov operator ( ),

i - imaginarna jedinica, U (x, y, z, t) - potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se giba, Ψ (x, y, z, t ) - željena valna funkcija čestice.

Jednadžba (217.1) vrijedi za bilo koju česticu (sa spinom jednakim 0; vidi § 225) koja se kreće malom (u usporedbi s brzinom svjetlosti) brzinom, tj. brzinom υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

mora biti kontinuiran; 3) funkcija |Ψ| 2 mora biti integrabilan; taj se uvjet u najjednostavnijim slučajevima svodi na uvjet normalizacije vjerojatnosti (216.3).

Da bismo došli do Schrödingerove jednadžbe, razmotrimo slobodno pokretnu česticu, koja je, prema de Broglieovoj zamisli, povezana s ravnim valom. Radi jednostavnosti, razmatramo jednodimenzionalni slučaj. Jednadžba za ravni val koji se širi duž x-osi je (vidi § 154)

Ili u složenom zapisu . Prema tome, de Broglie ravni val ima oblik

(217.2)

(uzimajući u obzir da je ω = E/h, k=p/h). U kvantnoj mehanici eksponent se uzima s predznakom minus, ali budući da je samo |Ψ| 2, onda je ovo (vidi (217.2)) nebitno. Zatim

,

; (217.3)

Koristeći odnos između energije E i momenta p (E = p 2 /(2m)) i zamjenom izraza (217.3), dobivamo diferencijalnu jednadžbu

što se podudara s jednadžbom (217.1) za slučaj U = 0 (razmatrali smo slobodnu česticu).

Ako se čestica giba u polju sila koje karakterizira potencijalna energija U, tada je ukupna energija E zbroj kinetičke i potencijalne energije. Provodeći slično razmišljanje koristeći odnos između E i p (za ovaj slučaj, p 2 / (2m) = E - U), dolazimo do diferencijalne jednadžbe koja koincidira s (217.1).

Gornje obrazloženje ne treba uzeti kao izvođenje Schrödingerove jednadžbe. Oni samo objašnjavaju kako se može doći do ove jednadžbe. Dokaz točnosti Schrödingerove jednadžbe je suglasnost zaključaka do kojih ona vodi s iskustvom.

Jednadžba (217.1) je opća Schrödingerova jednadžba. Također se naziva vremenski ovisna Schrödingerova jednadžba. Za mnoge fizikalne pojave koje se događaju u mikrokozmosu, jednadžba (217.1) može se pojednostaviti uklanjanjem ovisnosti Ψ o vremenu, drugim riječima, da se pronađe Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja - stanje s fiksnim vrijednostima energije. To je moguće ako je polje sila u kojem se čestica giba stacionarno, tj. funkcija U = U(x, y, z ) ne ovisi izričito o vremenu i ima značenje potencijalne energije. U tom slučaju rješenje Schrödingerove jednadžbe može se prikazati kao produkt dviju funkcija od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga samo funkcija vremena, a ovisnost o vremenu izražena je faktorom

,

gdje je E - ukupna energija čestice, koja je konstantna u slučaju stacionarnog polja. Zamjenom (217.4) u (217.1), dobivamo

odakle nakon dijeljenja zajedničkim faktorom e – i (E/ h) t i odgovarajućih transformacija dolazimo do jednadžbe koja definira funkciju ψ:

(217.5)

Jednadžba (217.5) naziva se Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja.

Ova jednadžba uključuje ukupnu energiju E čestice kao parametar. U teoriji diferencijalnih jednadžbi dokazuje se da takve jednadžbe imaju beskonačan broj rješenja, od kojih se nametanjem rubnih uvjeta biraju rješenja koja imaju fizikalni smisao. Za Schrödingerovu jednadžbu, takvi uvjeti su uvjeti regularnosti valnih funkcija: valne funkcije moraju biti konačne, jednoznačne i kontinuirane zajedno sa svojim prvim izvodnicama. Dakle, samo rješenja koja su izražena regularnim funkcijama ψ . Ali redovita rješenja se ne odvijaju za bilo koju vrijednost parametra E, već samo za određeni skup njih, što je karakteristično za dati problem. Ove energetske vrijednosti nazivaju se intrinzične. Rješenja koja odgovaraju svojstvenim vrijednostima energije nazivaju se svojstvenim funkcijama. Svojstvene vrijednosti E mogu tvoriti kontinuirani ili diskretni niz. U prvom slučaju govori se o kontinuiranom, odnosno kontinuiranom spektru, u drugom o diskretnom spektru.