Dom » dijete » Primjeri svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi. Trigonometrijske jednadžbe

Primjeri svih vrsta trigonometrijskih jednadžbi. Trigonometrijske jednadžbe

Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednadžbe, frakcijske jednadžbe te jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je utvrditi koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očito je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.

Drugačija je situacija sa trigonometrijske jednadžbe. Nije uopće teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.

Po izgled jednadžbe, ponekad je teško odrediti njenu vrstu. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, morate pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod “iste kutove”;
2. dovesti jednadžbu do “identičnih funkcija”;
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.

Razmotrimo osnovne metode rješenja trigonometrijske jednadžbe.

I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Izrazi trigonometrijsku funkciju preko poznatih komponenti.

Korak 2. Pronađite argument funkcije pomoću formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riješenje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Zamjena varijable

Dijagram rješenja

Korak 1. Reducirajte jednadžbu na algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2. Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).

3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.

Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Riješenje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednadžbi

Dijagram rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stupnja:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2. Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.

Primjer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Riješenje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Svedite ovu jednadžbu na oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).

Korak 2. Podijelite obje strane jednadžbe s

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijte jednadžbu za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Riješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Neka je tg x = t, dakle

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, što znači

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Dijagram rješenja

Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule svedite ovu jednadžbu na jednadžbu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2. Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Riješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo je važno, njihov razvoj zahtijeva značajan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su s rješavanjem trigonometrijskih jednadžbi. Proces rješavanja takvih problema utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe uzimaju važno mjesto u procesu nastave matematike i razvoja osobnosti općenito.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranici, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi bilo koje razine složenosti u konačnici se svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. I u tome se opet trigonometrijski krug pokazuje kao najbolji pomoćnik.

Prisjetimo se definicije kosinusa i sinusa.

Kosinus kuta je apscisa (to jest, koordinata duž osi) točke na jediničnoj kružnici koja odgovara rotaciji za dati kut.

Sinus kuta je ordinata (to jest, koordinata duž osi) točke na jediničnoj kružnici koja odgovara rotaciji za dati kut.

Pozitivan smjer kretanja na trigonometrijskoj kružnici je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Rotacija od 0 stupnjeva (ili 0 radijana) odgovara točki s koordinatama (1;0)

Ove definicije koristimo za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

1. Riješite jednadžbu

Ovu jednadžbu zadovoljavaju sve vrijednosti kuta zakreta koje odgovaraju točkama na kružnici čija je ordinata jednaka .

Označimo točku ordinatom na ordinatnoj osi:

Nacrtajte vodoravnu crtu paralelnu s osi x dok se ne presiječe s krugom. Dobivamo dvije točke koje leže na kružnici i imaju ordinatu. Ove točke odgovaraju kutovima rotacije u i radijanima:

Ako, ostavljajući točku koja odgovara kutu rotacije radijanima, obiđemo puni krug, tada ćemo doći do točke koja odgovara kutu rotacije po radijanu i ima istu ordinatu. To jest, ovaj kut rotacije također zadovoljava našu jednadžbu. Možemo napraviti koliko god želimo "praznih" okretaja, vraćajući se na istu točku, a sve te vrijednosti kuta zadovoljit će našu jednadžbu. Broj okretaja u praznom hodu bit će označen slovom (ili). Budući da ove revolucije možemo napraviti i u pozitivnom i u negativnom smjeru, (ili) možemo poprimiti bilo koje cjelobrojne vrijednosti.

To jest, prvi niz rješenja izvorne jednadžbe ima oblik:

, , - skup cijelih brojeva (1)

Slično, drugi niz rješenja ima oblik:

, Gdje , . (2)

Kao što ste možda pogodili, ovaj niz rješenja temelji se na točki na kružnici koja odgovara kutu rotacije za .

Ova dva niza rješenja mogu se kombinirati u jedan unos:

Ako uzmemo (tj. čak) ovaj unos, tada ćemo dobiti prvi niz rješenja.

Ako uzmemo (tj. neparno) ovaj unos, tada ćemo dobiti drugi niz rješenja.

2. Sada riješimo jednadžbu

Budući da je to apscisa točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom za kut, točku označavamo apscisom na osi:

Nacrtajte okomitu crtu paralelnu s osi dok se ne siječe s krugom. Dobit ćemo dvije točke koje leže na kružnici i imaju apscisu. Ove točke odgovaraju kutovima rotacije u i radijanima. Podsjetimo se da kada se krećemo u smjeru kazaljke na satu dobivamo negativan kut rotacije:

Zapišimo dva niza rješenja:

(Do željene točke dolazimo iz glavnog punog kruga, tj.

Spojimo ove dvije serije u jedan unos:

3. Riješite jednadžbu

Tangenta prolazi točkom s koordinatama (1,0) jedinične kružnice paralelne s osi OY

Označimo na njemu točku s ordinatom jednakom 1 (tražimo tangens čijih je kutova jednak 1):

Spojimo ovu točku s koordinatnim ishodištem ravnom crtom i označimo sjecišne točke pravca s jediničnom kružnicom. Sječne točke pravca i kružnice odgovaraju kutovima rotacije na i :

Budući da točke koje odgovaraju kutovima rotacije koji zadovoljavaju našu jednadžbu leže na udaljenosti od radijana jedna od druge, rješenje možemo napisati na sljedeći način:

4. Riješite jednadžbu

Pravac kotangenata prolazi točkom s koordinatama jedinične kružnice paralelnom s osi.

Označimo točku apscisom -1 na liniji kotangenata:

Spojimo ovu točku s ishodištem ravne crte i nastavimo je dok se ne siječe s kružnicom. Ova ravna linija presijecat će krug u točkama koje odgovaraju kutovima rotacije u i radijanima:

Budući da su ove točke odvojene jedna od druge udaljenost jednaka , Onda zajednička odluka Ovu jednadžbu možemo napisati ovako:

U navedenim primjerima koji ilustriraju rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi korištene su tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Međutim, ako desna strana jednadžbe sadrži netabularnu vrijednost, tada tu vrijednost zamijenimo u općem rješenju jednadžbe:

POSEBNA RJEŠENJA:

Označimo na kružnici točke čija je ordinata 0:

Označimo jednu točku na kružnici čija je ordinata 1:

Označimo jednu točku na kružnici čija je ordinata jednaka -1:

Budući da je uobičajeno naznačiti vrijednosti najbliže nuli, rješenje pišemo na sljedeći način:

Označimo na kružnici točke čija je apscisa jednaka 0:

5.
Označimo jednu točku na kružnici čija je apscisa jednaka 1:

Označimo jednu točku na kružnici čija je apscisa jednaka -1:

I malo složeniji primjeri:

Sinus je jednak jedan ako je argument jednak

Argument našeg sinusa je jednak, pa dobivamo:

Podijelite obje strane jednakosti s 3:

Odgovor:

Kosinus je nula ako je argument kosinusa jednak

Argument našeg kosinusa jednak je , pa dobivamo:

Izrazimo , da bismo to učinili prvo se pomaknemo udesno sa suprotnim predznakom:

Pojednostavimo desnu stranu:

Podijelite obje strane s -2:

Primijetite da se predznak ispred izraza ne mijenja, jer k može imati bilo koju cjelobrojnu vrijednost.

Odgovor:

I na kraju pogledajte video lekciju “Odabir korijena u trigonometrijskoj jednadžbi pomoću trigonometrijske kružnice”

Ovime završavamo naš razgovor o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. Sljedeći put ćemo razgovarati o tome kako odlučiti.

Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije – zbroj kvadrata sinusa i kosinusa, izražavanje tangensa kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ih ne znaju, preporučujemo čitanje članka "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih upotrijebimo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.

Već iz samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednadžba jednadžba u kojoj je nepoznanica pod predznakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Razmotrimo kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće koristit ćemo već poznati trigonometrijski krug.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

krevetić x = a

Svaka trigonometrijska jednadžba rješava se u dvije faze: jednadžbu svodimo na njezin najjednostavniji oblik, a zatim je rješavamo kao jednostavnu trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda kojima se rješavaju trigonometrijske jednadžbe.

Supstitucija varijable i metoda supstitucije

Riješite jednadžbu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Koristeći formule redukcije dobivamo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamijenite cos(x + /6) s y da biste pojednostavili i dobili uobičajenu kvadratnu jednadžbu:

2g 2 – 3g + 1 + 0

Korijeni su y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sada idemo obrnutim redom

Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobivamo dvije mogućnosti odgovora:

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi faktoriziranjem

Kako riješiti jednadžbu sin x + cos x = 1?

Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane desno:

sin x + cos x – 1 = 0

Upotrijebimo gore spomenute identitete da pojednostavimo jednadžbu:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Rastavimo na faktore:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobivamo dvije jednadžbe

Svođenje na homogenu jednadžbu

Jednadžba je homogena s obzirom na sinus i kosinus ako su svi njezini članovi relativni na sinus i kosinus iste potencije istog kuta. Za rješavanje homogene jednadžbe postupite na sljedeći način:

a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;

b) sve zajedničke faktore izvadite iz zagrada;

c) sve faktore i zagrade izjednačiti s 0;

d) u zagradama se dobiva homogena jednadžba nižeg stupnja, koja se pak dijeli na sinus ili kosinus višeg stupnja;

e) riješite dobivenu jednadžbu za tg.

Riješite jednadžbu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorena dva s desne strane:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podijeli s cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamijenite tan x s y i dobit ćete kvadratnu jednadžbu:

y 2 + 4y +3 = 0, čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3

Odavde nalazimo dva rješenja izvorne jednadžbe:

x 2 = arctan 3 + k

Rješavanje jednadžbi kroz prijelaz na polukut

Riješite jednadžbu 3sin x – 5cos x = 7

Prijeđimo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pomaknimo sve ulijevo:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podijeli s cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Uvođenje pomoćnog kuta

Za razmatranje, uzmimo jednadžbu oblika: a sin x + b cos x = c,

gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.

Podijelimo obje strane jednadžbe sa:

Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1, a zbroj kvadrata = 1. Označimo ih redom kao cos i sin, gdje - ovo je takozvani pomoćni kut. Tada će jednadžba poprimiti oblik:

cos * sin x + sin * cos x = C

ili sin(x + ) = C

Rješenje ove najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe je

x = (-1) k * arcsin C - + k, gdje je

Treba napomenuti da su oznake cos i sin međusobno zamjenjive.

Riješite jednadžbu sin 3x – cos 3x = 1

Koeficijenti u ovoj jednadžbi su:

a = , b = -1, pa obje strane podijelite s = 2

Trigonometrijske jednadžbe nisu laka tema. Previše su raznoliki.) Na primjer, ovi:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obvezne značajke. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi s x su pronađeni unutar istih funkcija. I samo tamo! Ako se X negdje pojavi vani, Na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će već biti jednadžba mješoviti tip. Takve jednadžbe zahtijevaju individualni pristup. Nećemo ih ovdje razmatrati.

Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednadžbe.) Ovdje ćemo se baviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da jer rješenje bilo koji trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dva stupnja. U prvoj fazi, zla jednadžba je svedena na jednostavnu kroz razne transformacije. Na drugom se rješava ova najjednostavnija jednadžba. Nema drugog načina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema previše smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Ovdje A stoji za bilo koji broj. Bilo koje.

Usput, unutar funkcije ne mora postojati čisti X, već neka vrsta izraza, poput:

cos(3x+π /3) = 1/2

itd. To komplicira život, ali ne utječe na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe mogu se riješiti na dva načina. Prvi način: pomoću logike i trigonometrijske kružnice. Ovdje ćemo pogledati ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - bit će riječi u sljedećoj lekciji.

Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, nejednadžbi i svih vrsta škakljivih nestandardnih primjera. Logika je jača od pamćenja!)

Rješavanje jednadžbi pomoću trigonometrijske kružnice.

Uključujemo elementarnu logiku i sposobnost korištenja trigonometrijske kružnice. Zar ne znaš kako? Međutim... Teško ćete se snaći u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug...... Što je to?" i "Mjerenje kutova na trigonometrijskoj kružnici". Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)

Oh, znaš!? Pa čak i savladao “Praktični rad s trigonometrijskom kružnicom”!? Čestitamo. Ova će vam tema biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno veseli je to što trigonometrijskom krugu nije važno koju jednadžbu rješavate. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - sve mu je isto. Postoji samo jedno načelo rješenja.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednadžbu. Barem ovo:

cosx = 0,5

Moramo pronaći X. Ako razgovaramo ljudski jezik, moram nađite kut (x) čiji je kosinus 0,5.

Kako smo prije koristili krug? Na njemu smo nacrtali kut. U stupnjevima ili radijanima. I to odmah pila trigonometrijske funkcije ovog kuta. Sada učinimo suprotno. Nacrtajmo kosinus na krug jednak 0,5 i odmah vidjet ćemo kutak. Ostaje samo da zapišem odgovor.) Da, da!

Nacrtajte krug i označite kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Kao ovo:

Sada nacrtajmo kut koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidjet ćete baš ovaj kutak X.

Kosinus kojeg kuta je 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Neki će se ljudi skeptično nasmijati, da... Kao, je li vrijedilo praviti krug kad je već sve jasno... Možete se, naravno, nasmijati...) Ali činjenica je da je to pogrešan odgovor. Ili bolje rečeno, nedovoljno. Poznavatelji krugova razumiju da ovdje postoji cijela hrpa drugih kutova koji također daju kosinus od 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA puni okret, točka A će se vratiti u prvobitni položaj. Uz isti kosinus jednak 0,5. Oni. kut će se promijeniti za 360° ili 2π radijana, i kosinus - br. Novi kut 60° + 360° = 420° također će biti rješenje naše jednadžbe, jer

Može se napraviti beskonačan broj takvih potpunih okreta... I svi ti novi kutovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednadžbe. I sve ih treba nekako zapisati kao odgovor. Svi. Inače, odluka se ne računa, da...)

Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. Zapišite u jednom kratkom odgovoru beskonačan skup odluke. Evo kako izgleda naša jednadžba:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću to dešifrirati. Piši i dalje značajno Ugodnije je nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

π /3 - ovo je isti kutak kao i mi pila na krug i odlučan prema tablici kosinusa.

2π je jedna potpuna revolucija u radijanima.

n - ovo je broj potpunih, tj. cijeli broj okretaja u minuti Jasno je da n može biti jednak 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki zapis:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n slova se mogu koristiti k, m, t itd.

Ovaj zapis znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Što god želiš. Ako u odgovor unesete ovaj broj, dobit ćete određeni kut, što će svakako biti rješenje naše teške jednadžbe.)

Ili, drugim riječima, x = π /3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je π /3 dodati bilo koji broj punih okretaja ( n ) u radijanima. Oni. 2π n radijan.

Svi? Ne. Namjerno produljujem užitak. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednadžbu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja ovako:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne samo jedan korijen, već cijeli niz korijena, zapisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i kutovi koji također daju kosinus od 0,5!

Vratimo se našoj slici s koje smo zapisali odgovor. evo je:

Prijeđite mišem preko slike i mi vidimo drugi kut koji također daje kosinus od 0,5.Što mislite, čemu je to jednako? Trokuti su isti... Da! On jednak kutu x , samo odgođeno u negativnom smjeru. Ovo je kut -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga možemo sa sigurnošću napisati:

x 2 = - π /3

Pa, naravno, dodajemo sve kutove koji se dobiju punim okretajima:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je sada sve.) Na trigonometrijskoj kružnici mi pila(tko razumije, naravno)) svi kutovi koji daju kosinus od 0,5. I zapisali smo te kutove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor je rezultirao s dva beskonačna niza korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je točan odgovor.

Nada, opći princip rješavanja trigonometrijskih jednadžbi korištenje kruga je jasno. Označimo na kružnici kosinus (sinus, tangens, kotangens) iz dana jednadžba, nacrtaj odgovarajuće kutove i zapiši odgovor. Naravno, moramo shvatiti koji smo kutovi pila na krugu. Ponekad to nije tako očito. Pa, rekao sam da je ovdje potrebna logika.)

Na primjer, pogledajmo drugu trigonometrijsku jednadžbu:

Uzmite u obzir da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbama!) Samo mi je zgodnije napisati ga nego korijene i razlomke.

Radimo prema općem principu. Nacrtamo krug, označimo (na sinusnoj osi, naravno!) 0,5. Nacrtamo sve kutove koji odgovaraju ovom sinusu odjednom. Dobivamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo kutom x u prvom kvartalu. Podsjećamo na tablicu sinusa i određujemo vrijednost ovog kuta. To je jednostavna stvar:

x = π /6

Sjećamo se punih okreta i mirne savjesti zapisujemo prvi niz odgovora:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pola posla je obavljeno. Ali sada moramo odrediti drugi kut... Zamršenije je od korištenja kosinusa, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi kut kroz x? Da Lako! Trokuti na slici su isti, a crveni kut x jednak kutu x . Samo se on računa od kuta π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban kut, točno izmjeren, s pozitivne poluosi OX, tj. pod kutom od 0 stupnjeva.

Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo sve. Prvi ugao sam maknula da ne kompliciram sliku. Kut koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:

π - x

X mi to znamo π /6 . Prema tome, drugi kut će biti:

π - π /6 = 5π /6

Opet se sjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugi niz odgovora:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Kompletan odgovor sastoji se od dva niza korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jednadžbe tangensa i kotangensa mogu se jednostavno riješiti koristeći isti opći princip za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Ako, naravno, znate nacrtati tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici.

U gornjim primjerima koristio sam tabličnu vrijednost sinusa i kosinusa: 0,5. Oni. jedno od onih značenja koje učenik poznaje mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrijednosti. Odlučite, pa odlučite!)

Dakle, recimo da trebamo riješiti ovu trigonometrijsku jednadžbu:

Takva vrijednost kosinusa u kratke tablice Ne. Ovo hladnokrvno ignoriramo jeziva činjenica. Nacrtajte kružnicu, označite 2/3 na kosinusnoj osi i nacrtajte odgovarajuće kutove. Dobili smo ovu sliku.

Pogledajmo, prvo, kut u prvoj četvrtini. Kad bismo samo znali koliko je x, odmah bismo zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiriti! Matematika ne ostavlja svoj narod u nevolji! Smislila je ark kosinuse za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, puno je lakše nego što mislite. Na ovom linku nema niti jedne škakljive čarolije o “inverznim trigonometrijskim funkcijama”... Ovo je suvišno u ovoj temi.

Ako ste upućeni, samo recite sebi: "X je kut čiji je kosinus jednak 2/3." I odmah, čisto prema definiciji ark kosinusa, možemo napisati:

Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvi niz korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Drugi niz korijena za drugi kut gotovo se automatski zapisuje. Sve je isto, samo će X (arccos 2/3) biti s minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I to je to! Ovo je točan odgovor. Još lakše nego s tabličnim vrijednostima. Nema potrebe ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da ova slika prikazuje rješenje kroz ark kosinus u biti, ne razlikuje se od slike za jednadžbu cosx = 0,5.

Točno! Opće načelo Zato je uobičajeno! Namjerno sam nacrtao dvije gotovo identične slike. Krug nam pokazuje kut x svojim kosinusom. Je li to tabularni kosinus ili nije, svima je nepoznato. Kakav je ovo kut, π /3, ili što je arc kosinus - to je na nama da odlučimo.

Ista pjesma sa sinusom. Na primjer:

Ponovno nacrtajte krug, označite sinus jednak 1/3, nacrtajte kutove. Ovo je slika koju dobivamo:

I opet je slika skoro ista kao kod jednadžbe sinx = 0,5. Opet krećemo iz kuta u prvoj četvrtini. Čemu je X jednako ako je njegov sinus 1/3? Nema problema!

Sada je prvi paket korijena spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Pozabavimo se drugim kutom. U primjeru s vrijednošću tablice od 0,5, to je bilo jednako:

π - x

I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa što!? Možete sigurno zapisati drugi paket korijena:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je potpuno točan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali jasno je, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kruga. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na zadanom intervalu, u trigonometrijskim nejednadžbama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krugu. Ukratko, u svim zadacima koji su malo teži od standardnih.

Primijenimo znanje u praksi?)

Riješite trigonometrijske jednadžbe:

Prvo, jednostavnije, izravno iz ove lekcije.

Sada je to kompliciranije.

Savjet: ovdje ćete morati razmišljati o krugu. Osobno.)

A sada su izvana jednostavni... Zovu se i posebni slučajevi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hint: ovdje u krugu treba odgonetnuti gdje su dva niza odgovora, a gdje jedan... I kako napisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ne izgubi niti jedan korijen iz beskonačnog broja!)

Pa, vrlo jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Savjet: ovdje morate znati što su arksinus i arkosinus? Što je arktangens, arkotangens? Najviše jednostavne definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tablične vrijednosti!)

Odgovori su, naravno, zbrkani):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne ide sve? Događa se. Ponovno pročitajte lekciju. Samo zamišljeno(postoji takva zastarjela riječ...) I slijedite poveznice. Glavne poveznice su o krugu. Bez nje, trigonometrija je kao prelazak ceste sa zavezanim očima. Ponekad upali.)