Gdje je x i gdje je y u koordinatama. Što je koordinatni sustav? Primjena koordinatnih sustava u geodeziji

Ako ste na nekoj nultoj točki i razmišljate o tome koliko vam jedinica udaljenosti treba da idete ravno naprijed i zatim ravno desno da dođete do neke druge točke, tada već koristite pravokutni Kartezijev koordinatni sustav na ravnini. A ako je točka iznad ravnine na kojoj stojite, a uspon do točke duž stepenica striktno prema gore također za određeni broj jedinica udaljenosti dodaje se vašim izračunima, tada već koristite pravokutni kartezijski koordinatni sustav u svemiru.

Uređeni sustav dviju ili triju međusobno okomitih osi koje se sijeku sa zajedničkim ishodištem (ishodištem) i zajedničkom jedinicom za duljinu naziva se pravokutni kartezijev koordinatni sustav .

Uz ime francuskog matematičara Renea Descartesa (1596.-1662.) prvenstveno se veže takav koordinatni sustav u kojem se na svim osima mjeri zajednička jedinica duljine, a osi su ravne. Osim pravokutnog, postoji zajednički kartezijev koordinatni sustav (afini koordinatni sustav). Također može uključivati ​​ne nužno okomite osi. Ako su osi okomite, tada je koordinatni sustav pravokutan.

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav na ravnini ima dvije osi pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u prostoru - tri sjekire. Svaka točka na ravnini ili u prostoru određena je uređenim skupom koordinata – brojeva u skladu s jediničnom duljinom koordinatnog sustava.

Imajte na umu da, kao što slijedi iz definicije, postoji Kartezijev koordinatni sustav na ravnoj liniji, odnosno u jednoj dimenziji. Uvođenje kartezijevih koordinata na pravoj liniji jedan je od načina na koji se bilo kojoj točki na pravoj liniji pridružuje točno definiran realni broj, odnosno koordinata.

Metoda koordinata, koja je nastala u djelima Renéa Descartesa, označila je revolucionarno restrukturiranje cjelokupne matematike. Postalo je moguće tumačiti algebarske jednadžbe (ili nejednadžbe) u obliku geometrijskih slika (grafova) i, obrnuto, tražiti rješenje geometrijskih problema pomoću analitičkih formula, sustava jednadžbi. Da, nejednakost z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy i nalazi se iznad ove ravnine za 3 jedinice.

Uz pomoć Kartezijevog koordinatnog sustava, pripadnost točke danoj krivulji odgovara činjenici da su brojevi x i g zadovoljiti neku jednadžbu. Dakle, koordinate točke kruga sa središtem u danoj točki ( a; b) zadovoljavaju jednadžbu (x - a)² + ( g - b)² = R² .

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav na ravnini

Formiraju dvije okomite osi na ravnini sa zajedničkim ishodištem i istom jedinicom mjerila Kartezijev koordinatni sustav na ravnini . Jedna od tih osi naziva se os Vol, ili x-os , drugi - os Joj, ili y-os . Te se osi nazivaju i koordinatnim osima. Označimo sa Mx i Mg odnosno projekcija proizvoljne točke M na osovini Vol i Joj. Kako doći do projekcija? Prođite kroz točku M Vol. Ova linija siječe os Vol u točki Mx. Prođite kroz točku M ravna linija okomita na os Joj. Ova linija siječe os Joj u točki Mg. To je prikazano na donjoj slici.

x i g bodova M zvat ćemo redom veličine usmjerenih segmenata OMx i OMg. Vrijednosti ovih usmjerenih segmenata izračunavaju se redom kao x = x0 - 0 i g = g0 - 0 . Kartezijeve koordinate x i g bodova M apscisa i ordinata . Činjenica da je točka M ima koordinate x i g, označava se na sljedeći način: M(x, g) .

Koordinatne osi dijele ravninu na četiri kvadrant , čija je numeracija prikazana na donjoj slici. Također označava raspored znakova za koordinate točaka, ovisno o njihovom položaju u jednom ili drugom kvadrantu.

Uz kartezijeve pravokutne koordinate u ravnini često se razmatra i polarni koordinatni sustav. O načinu prijelaza iz jednog koordinatnog sustava u drugi - u lekciji polarni koordinatni sustav .

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u prostoru

Kartezijeve koordinate u prostoru uvode se u potpunoj analogiji s Kartezijevim koordinatama na ravnini.

Tri međusobno okomite osi u prostoru (koordinatne osi) sa zajedničkim ishodištem O i isti oblik jedinice mjerila Kartezijev pravokutni koordinatni sustav u prostoru .

Jedna od tih osi naziva se os Vol, ili x-os , drugi - os Joj, ili y-os , treća - os Oz, ili primijeniti os . Neka Mx, Mg Mz- projekcije proizvoljne točke M mjesta na osi Vol , Joj i Oz odnosno.

Prođite kroz točku M VolVol u točki Mx. Prođite kroz točku M ravnina okomita na os Joj. Ova ravnina siječe os Joj u točki Mg. Prođite kroz točku M ravnina okomita na os Oz. Ova ravnina siječe os Oz u točki Mz.

Kartezijeve pravokutne koordinate x , g i z bodova M zvat ćemo redom veličine usmjerenih segmenata OMx, OMg i OMz. Vrijednosti ovih usmjerenih segmenata izračunavaju se redom kao x = x0 - 0 , g = g0 - 0 i z = z0 - 0 .

Kartezijeve koordinate x , g i z bodova M nazivaju se prema tome apscisa , ordinata i aplikacija .

Uzete u paru, koordinatne osi nalaze se u koordinatnim ravninama xOy , yOz i zOx .

Zadaci o točkama u Kartezijevom koordinatnom sustavu

Primjer 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Odredite koordinate projekcija tih točaka na x-os.

Odluka. Kao što proizlazi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na x-os nalazi se na samoj x-osi, odnosno osi Vol, pa stoga ima apscisu jednaku apscisi same točke i ordinatu (koordinatu na osi Joj, koju x-os siječe u točki 0), jednaka nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate ovih točaka na x-osi:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Primjer 2 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Odredite koordinate projekcija tih točaka na y-os.

Odluka. Kao što proizlazi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na y-os nalazi se na samoj y-osi, odnosno osi Joj, pa stoga ima ordinatu jednaku ordinati same točke i apscisu (koordinatu na osi Vol, koju y-os siječe u točki 0), jednaka nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate ovih točaka na y-osi:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Primjer 3 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Vol .

Vol Vol Vol, imat će istu apscisu kao i dana točka, a ordinata jednaka u apsolutnoj vrijednosti ordinati dane točke, i suprotnog predznaka od nje. Tako dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na os Vol :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Primjer 4 Odredite u kojim se kvadrantima (četvrtinama, figuri s kvadrantima - na kraju odlomka "Pravokutni kartezijev koordinatni sustav na ravnini") može nalaziti točka. M(x; g) , ako

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − g = 0 ;

4) x + g = 0 ;

5) x + g > 0 ;

6) x + g < 0 ;

7) x − g > 0 ;

8) x − g < 0 .

Primjer 5 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Odredite koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na os Joj .

Nastavljamo zajedno rješavati probleme

Primjer 6 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Odredite koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na os Joj .

Odluka. Rotirajte 180 stupnjeva oko osi Joj usmjeren odsječak od osi Joj do ove točke. Na slici, gdje su označeni kvadranti ravnine, vidimo da je točka simetrična zadanoj u odnosu na os Joj, imat će istu ordinatu kao dana točka, i apscisu jednaku u apsolutnoj vrijednosti apscisi dane točke, a suprotnog predznaka od nje. Tako dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na os Joj :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Primjer 7 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Odredite koordinate točaka koje su simetrične tim točkama u odnosu na ishodište.

Odluka. Rotiramo za 180 stupnjeva oko ishodišta usmjerenog segmenta koji ide od ishodišta do zadane točke. Na slici, gdje su označeni kvadranti ravnine, vidimo da će točka simetrična danoj s obzirom na ishodište koordinata imati apscisu i ordinatu jednaku apsolutnoj vrijednosti apscisi i ordinati dane točke , ali suprotnog predznaka od njih. Tako dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na ishodište:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Primjer 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Pronađite koordinate projekcija ovih točaka:

1) u avionu Oxy ;

2) do aviona Oxz ;

3) do aviona Oyz ;

4) na apscisnoj osi;

5) na y-osi;

6) na osi aplikacije.

1) Projekcija točke na ravninu Oxy nalazi se na samoj ovoj ravnini, te stoga ima apscisu i ordinatu jednaku apscisi i ordinati dane točke, a aplikatu jednaku nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate projekcija tih točaka na Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projekcija točke na ravninu Oxz nalazi se na samoj ovoj ravnini, te stoga ima apscisu i aplikat jednak apscisi i aplikat dane točke, a ordinatu jednaku nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate projekcija tih točaka na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Projekcija točke na ravninu Oyz nalazi se na samoj ovoj ravnini, te stoga ima ordinatu i aplikat jednak ordinati i aplikat dane točke, a apscisu jednaku nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate projekcija tih točaka na Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Kao što proizlazi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na x-osu nalazi se na samoj x-osi, odnosno osi Vol, te stoga ima apscisu jednaku apscisi same točke, a ordinata i aplikata projekcije jednake su nuli (budući da osi ordinata i aplikata sijeku apscisu u točki 0). Dobivamo sljedeće koordinate projekcija ovih točaka na x-osu:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Projekcija točke na y-osu nalazi se na samoj y-osi, odnosno osi Joj, te stoga ima ordinatu jednaku ordinati same točke, a apscisa i aplikata projekcije jednake su nuli (budući da apscisa i aplikata osi sijeku ordinatnu os u točki 0). Dobivamo sljedeće koordinate projekcija ovih točaka na y-osu:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Projekcija točke na aplikacionu os nalazi se na samoj aplikatnoj osi, odnosno osi Oz, te stoga ima aplikat jednak aplikatu same točke, a apscisa i ordinata projekcije jednake su nuli (budući da apscisa i ordinatna os sijeku aplikatnu os u točki 0). Dobivamo sljedeće koordinate projekcija tih točaka na apliciranu os:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Primjer 9 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu u prostoru

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Odredite koordinate točaka koje su simetrične tim točkama u odnosu na:

1) ravnina Oxy ;

2) ravnina Oxz ;

3) ravnina Oyz ;

4) apscisna os;

5) y-os;

6) osovina aplikacije;

7) ishodište koordinata.

1) "Pomaknite" točku s druge strane osi Oxy Oxy, imat će apscisu i ordinatu jednaku apscisi i ordinati dane točke, i aplikat koji je po veličini jednak aplikatu dane točke, ali suprotnog predznaka od nje. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima u odnosu na ravninu Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Pomaknite" točku s druge strane osi Oxz za istu udaljenost. Prema slici koja prikazuje koordinatni prostor vidimo da je točka simetrična zadanoj u odnosu na os Oxz, imat će apscisu i aplikat jednak apscisi i aplikat dane točke, a ordinatu jednaku veličini ordinati dane točke, ali suprotnog predznaka od nje. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima u odnosu na ravninu Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Pomaknite" točku s druge strane osi Oyz za istu udaljenost. Prema slici koja prikazuje koordinatni prostor vidimo da je točka simetrična zadanoj u odnosu na os Oyz, imat će ordinatu i aplikat jednak ordinati i aplikati dane točke, a apscisu jednaku veličini apscisi dane točke, ali suprotnog predznaka od nje. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima u odnosu na ravninu Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Po analogiji sa simetričnim točkama na ravnini i točkama u prostoru simetričnim podacima u odnosu na ravnine, napominjemo da u slučaju simetrije oko neke osi Kartezijevog koordinatnog sustava u prostoru, koordinata na osi oko koje je postavljena simetrija će zadržati svoj predznak, a koordinate na druge dvije osi bit će iste u apsolutnoj vrijednosti kao koordinate zadane točke, ali suprotnog predznaka.

4) Apscisa će zadržati svoj predznak, dok će ordinata i aplikata promijeniti predznak. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima o x-osi:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinata će zadržati predznak, dok će apscisa i aplikata promijeniti predznak. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima o y-osi:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplikata će zadržati svoj predznak, a apscisa i ordinata će promijeniti predznak. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima o apliciranoj osi:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Po analogiji sa simetrijom u slučaju točaka na ravnini, u slučaju simetrije oko ishodišta, sve koordinate točke simetrične danoj bit će jednake u apsolutnoj vrijednosti koordinatama dane točke, ali suprotne u znak im. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka koje su simetrične podacima u odnosu na ishodište.


Da biste postavili kartezijanski pravokutni koordinatni sustav, potrebno je odabrati nekoliko međusobno okomitih linija koje nazivamo osi. Sjecište O osi naziva se ishodištem.

Na svakoj osi morate postaviti pozitivan smjer i odabrati jedinicu mjerila. Koordinate točke P smatraju se pozitivnim ili negativnim, ovisno o tome na koju poluos pada projekcija točke P.

Riža. 2

Kartezijeve pravokutne koordinate točke P na površini dva međusobno okomite linije - koordinatne osi ili, što je isto, projekcije radijus vektora r P ukazuje na dva

Kada govorimo o dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu, horizontalna os se naziva os apscisa(Ox os), okomita os - os ordinata(os Oy). Pozitivni smjerovi su odabrani na osi Ox - desno, na osi Oy - gore. Koordinate x i y nazivaju se apscisa odnosno ordinata točke.

Oznaka P(a,b) znači da točka P na ravnini ima apscisu a i ordinatu b.

Kartezijeve pravokutne koordinate točke P u 3D prostoru nazivaju se uzeti s određenim predznakom udaljenosti (izražene u jedinicama mjerila) ove točke do tri međusobno okomite koordinatne ravnine ili, što je isto, projekcije radijus vektora r P ukazuje na tri međusobno okomite koordinatne osi.

Ovisno o međusobnom položaju pozitivnih smjerova koordinatnih osi, lijevo i pravo koordinatni sustavi.

Riža. 3a
 Riža. 3b

U pravilu koristite ispravan koordinatni sustav. Odabiru se pozitivni smjerovi: na osi Ox - prema promatraču; na osi Oy - desno; na osi Oz - gore. Koordinate x, y, z nazivaju se apscisa, ordinata i aplikata.

Koordinatne plohe kod kojih jedna od koordinata ostaje konstantna su ravnine paralelne s koordinatnim ravninama, a koordinatne crte duž kojih se mijenja samo jedna koordinata su pravci paralelni s koordinatnim osima. Koordinatne plohe sijeku se duž koordinatnih pravaca.

Pisanje P(a,b,c) znači da točka Q ima apscisu a, ordinatu b i aplikat c.

Krenimo direktnim logičkim putem, a da nas pritom ne ometaju mnogi suvremeni međunarodni i domaći znanstveni pojmovi. Koordinatni sustav može se prikazati kao određeni referentni sustav orijentiran na ravnini u dva smjera, au prostoru u tri smjera. Ako se prisjetimo matematičkog sustava, onda ga prikazuju dva međusobno okomita pravca, koji imaju nazive apscisna (X) i ordinatna (Y) os. Orijentirani su u vodoravnom i okomitom smjeru. Sjecište ovih linija je ishodište s nultim vrijednostima u apsolutnoj vrijednosti. A položaj točaka na ravnini određuje se pomoću dviju koordinata X i Y. U geodeziji se orijentacija osi na ravnini razlikuje od matematike. Planarni pravokutni sustav određen je X-osi u okomitom položaju (smjer sjever) i Y-osi u vodoravnom položaju (istok).

Klasifikacija koordinatnih sustava

U geodeziji se svi koordinatni sustavi mogu prikazati u dvije skupine:

  • pravocrtan rectangular
  • polarni

U obje skupine razlikuju se i ravni (dvodimenzionalni) i prostorni (trodimenzionalni) sustavi.

Pravokutni pravokutni sustavi uključuju Gauss-Krugerovu cilindričnu projekciju, pojedinačne referentne i lokalne koordinatne sustave.

Polarni sustavi uključuju geografske, astronomske i geodetske, geocentrične i topocentrične sustave.

Geografski koordinatni sustav

Zatvorena površina vanjske konture Zemlje predstavljena je sferoidnim geometrijskim oblikom. Lukovi na površini lopte mogu se uzeti kao glavni orijentacijski pravci na njoj. Na pojednostavljenom prikazu umanjenog modela našeg planeta u obliku globusa (figura zemlje) vizualno se mogu vidjeti prihvaćene referentne linije u obliku Greenwičkog meridijana i ekvatorijalne linije.

U ovom primjeru, to je prostorni sustav geografskih koordinata koji je općeprihvaćen u cijelom svijetu. Uvodi koncepte zemljopisne dužine i širine. Imajući mjerne jedinice stupnjeva, oni predstavljaju kutnu vrijednost. Mnogi su upoznati s njihovim definicijama. Treba podsjetiti da zemljopisna dužina određene točke predstavlja kut između dvije ravnine koje prolaze kroz nulti (Greenwich) meridijan i meridijan na mjestu koje se određuje. Pod zemljopisnom širinom točke uzima se kut formiran između viska (ili normale) na nju i ravnine ekvatora.

Pojmovi astronomskih i geodetskih koordinatnih sustava i njihove razlike

Geografski sustav konvencionalno kombinira astronomski i geodetski sustav. Kako biste razumjeli koje razlike još postoje, obratite pozornost na definicije geodetskih i astronomskih koordinata (geografska dužina, širina, visina). U astronomskom sustavu zemljopisna širina se smatra kutom između ekvatorijalne ravnine i viska u točki definiranja. I sam oblik Zemlje u njemu se smatra uvjetnim geoidom, matematički približno izjednačenim s kuglom. U geodetskom sustavu zemljopisnu širinu oblikuje normala na površinu zemljinog elipsoida u određenoj točki i ravnina ekvatora. Treće koordinate u tim sustavima daju konačnu ideju o njihovim razlikama. Astronomska (ortometrijska) visina je nadmorska visina duž olovne linije između stvarne visine i točke na površini geoida razine. Geodetska visina je normalna udaljenost od površine elipsoida do točke izračuna.

Gauss-Krügerov ravninski pravokutni koordinatni sustav

Svaki koordinatni sustav ima svoju teorijsku znanstvenu i praktičnu gospodarsku primjenu, kako globalno tako i regionalno. U nekim specifičnim slučajevima moguće je koristiti referentne, lokalne i uvjetne koordinatne sustave, ali koji se kroz matematičke proračune i proračune ipak mogu međusobno kombinirati.

Geodetski pravokutni ravninski koordinatni sustav je projekcija pojedinačnih zona od šest stupnjeva elipsoida. Upisivanjem ovog lika u vodoravno smješteni cilindar svaka se zona posebno projicira na unutarnju cilindričnu površinu. Zone takvog sferoida ograničene su meridijanima s korakom od šest stupnjeva. Kada se postavi na avion, dobiva se projekcija koja je dobila ime po njemačkim znanstvenicima koji su je razvili Gauss-Kruger. Kod ovog načina projekcije, kutovi između bilo kojih pravaca zadržavaju svoje veličine. Stoga se ponekad naziva i jednakokutnim. Os apscise u zoni prolazi kroz središte, kroz uvjetni aksijalni meridijan (X os), a os ordinate duž linije ekvatora (Y os). Duljina linija duž aksijalnog meridijana prenosi se bez izobličenja, a duž ekvatorijalne linije s izobličenjem do rubova zone.

Polarni koordinatni sustav

Osim gore opisanog pravokutnog koordinatnog sustava, treba istaknuti prisutnost i korištenje ravnog polarnog koordinatnog sustava u rješavanju geodetskih problema. Za početni referentni smjer koristi os sjevernog (polarnog) smjera, otuda i naziv. Za određivanje položaja točaka na ravnini koriste se polarni (direkcijski) kut i radijus vektor (horizontalna udaljenost) do točke. Podsjetimo da je direkcijski kut kut mjeren od izvornog (sjevernog) pravca do utvrđenog. Radijus vektor se izražava u definiciji horizontalne udaljenosti. Geodetska mjerenja okomitog kuta i nagibne udaljenosti dodaju se prostornom polarnom sustavu za određivanje 3D položaja točaka. Ova metoda se gotovo svakodnevno koristi u trigonometrijskom nivelmanu, topografskim izmjerama i za izradu geodetskih mreža.

Geocentrični i topocentrični koordinatni sustavi

Satelitski geocentrični i topocentrični koordinatni sustavi djelomično su raspoređeni po istoj polarnoj metodi, s tom razlikom što glavne osi trodimenzionalnog prostora (X, Y, Z) imaju različita ishodišta i smjerove. U geocentričnom sustavu ishodište koordinata je središte mase Zemlje. Os X je usmjerena duž Greenwičkog meridijana prema ekvatoru. Y-os postavljena je u pravokutni položaj istočno od X. Z-os u početku ima polarni smjer duž male osi elipsoida. Njegove koordinate su:

  • u ekvatorijalnoj ravnini geocentrična rektascenzija satelita
  • u meridijanskoj ravnini geocentrična deklinacija satelita
  • geocentrični radijus vektor je udaljenost od Zemljinog težišta do satelita.

Pri promatranju kretanja satelita sa stajališta na zemljinoj površini koristi se topocentrični sustav čije su koordinatne osi paralelne s osima geocentričnog sustava, a točka promatranja se smatra njegovim početkom. Koordinate u takvom sustavu:

  • topocentrični rektascenzijski satelit
  • topocentrična satelitska deklinacija
  • topocentrični radijus vektor satelita
  • geocentrični radijus vektor na točki promatranja.

Suvremeni satelitski globalni referentni sustavi WGS-84, PZ-90 uključuju ne samo koordinate, već i druge parametre i karakteristike važne za geodetska mjerenja, opažanja i navigaciju. To uključuje geodetske i druge konstante:

  • izvorni geodetski datumi
  • podaci o zemaljskom elipsoidu
  • model geoida
  • model gravitacijskog polja
  • vrijednosti gravitacijske konstante
  • vrijednost brzine svjetlosti i dr.

Svaka moderna osoba mora znati što je koordinatni sustav. Svakodnevno se susrećemo s takvim sustavima, a da uopće ne razmišljamo o čemu se radi. U školi smo naučili osnovne pojmove, otprilike znamo da postoji x-os, y-os i referentna točka jednaka nuli. Zapravo, sve je mnogo kompliciranije, postoji nekoliko varijanti koordinatnih sustava. U članku ćemo detaljno razmotriti svaki od njih, a također ćemo detaljno opisati gdje i zašto se koriste.

Definicija i opseg

Koordinatni sustav je skup definicija koje određuju položaj tijela ili točke pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuju položaj određene točke naziva se koordinatama te točke. Koordinatni sustavi koriste se u mnogim područjima znanosti, na primjer, u matematici, koordinate su skup brojeva koji su povezani s točkama na nekoj karti unaprijed određenog atlasa. U geometriji, koordinate su veličine koje određuju položaj točke u prostoru i na ravnini. U zemljopisu, koordinate označavaju zemljopisnu širinu, dužinu i nadmorsku visinu iznad opće razine mora, oceana ili druge poznate vrijednosti. U astronomiji, koordinate su veličine koje omogućuju određivanje položaja zvijezde, kao što su deklinacija i rektascenzija. Ovo nije potpuni popis gdje se koriste koordinatni sustavi. Ako mislite da su ovi koncepti daleko od ljudi koji nisu zainteresirani za znanost, vjerujte da su u svakodnevnom životu mnogo češći nego što mislite. Uzmi barem kartu grada, zašto nemaš koordinatni sustav?

Nakon što smo se pozabavili definicijom, pogledajmo koje vrste koordinatnih sustava postoje i što su.

Zonski koordinatni sustav

Ovaj koordinatni sustav koristi se uglavnom za razna horizontalna snimanja i izradu pouzdanih planova terena. Temelji se na konformnoj poprečno-cilindričnoj Gaussovoj projekciji. U ovoj projekciji, cijela površina zemljinog geoida podijeljena je meridijanima u zone od 6 stupnjeva i označena brojevima od 1. do 60. istočno od Greenwich meridijana. U ovom slučaju, prosječni meridijan ove 6-ugljene zone naziva se aksijalni. Uobičajeno je kombinirati ga s unutarnjom površinom cilindra i smatrati ga osi apscise. Kako bi se izbjegle negativne vrijednosti ordinata (y), ordinata na aksijalnom meridijanu (početna referentna točka) ne uzima se kao nula, već kao 500 km, odnosno pomiče se 500 km prema zapadu. Prije ordinate mora biti naznačen broj zone.

Gauss-Krugerov koordinatni sustav

Ovaj koordinatni sustav temelji se na projekciji koju je predložio poznati njemački znanstvenik Gauss, a za korištenje u geodeziji razvio Kruger. Suština ove projekcije je da je zemljina sfera uvjetno podijeljena meridijanima u zone od šest stupnjeva. Zone su numerirane od griničkog meridijana od zapada prema istoku. Poznavajući broj zone, možete lako odrediti srednji meridijan, koji se naziva aksijalni meridijan, koristeći formulu Z = 60(n) - 3, gdje je (n) broj zone. Za svaku zonu izrađuje se ravna slika projiciranjem na bočnu plohu valjka čija je os okomita na zemljinu os. Ovaj cilindar se zatim korak po korak postavlja na ravninu. Ekvator i središnji meridijan prikazani su ravnim linijama. Os apscisa u svakoj zoni je aksijalni meridijan, a ekvator djeluje kao os ordinata. Početna referentna točka je točka sjecišta ekvatora i aksijalnog meridijana. Apscise se računaju sjeverno od ekvatora samo s predznakom plus, a južno od ekvatora samo s predznakom minus.

Polarni koordinatni sustav u ravnini

Ovo je dvodimenzionalni koordinatni sustav u kojem je svaka točka definirana na ravnini s dva broja - polarnim radijusom i polarnim kutom. Polarni koordinatni sustav koristan je kada je odnose između točaka lakše prikazati kao kutove i radijuse. Polarni koordinatni sustav određen je zrakom koja se naziva polarna ili nulta os. Točka iz koje ta zraka izlazi naziva se pol ili ishodište. Proizvoljna točka na ravnini određena je samo s dvije polarne koordinate: kutnom i radijalnom. Radijalna koordinata jednaka je udaljenosti od točke do ishodišta koordinatnog sustava. Kutna koordinata jednaka je kutu za koji je potrebno zakrenuti polarnu os u smjeru suprotnom od kazaljke na satu da bi se došla do točke.

Pravokutni koordinatni sustav

Što je pravokutni koordinatni sustav, vjerojatno znate iz školske klupe, ali ipak, prisjetimo se još jednom. Pravokutni koordinatni sustav je takav pravocrtni sustav u kojem se osi nalaze u prostoru ili na ravnini i međusobno su okomite. Ovo je najjednostavniji i najčešće korišteni koordinatni sustav. Može se izravno i prilično lako generalizirati na prostore bilo koje dimenzije, što također pridonosi njegovoj najširoj primjeni. Položaj točke na ravnini određen je dvjema koordinatama - x i y, odnosno postoji os apscisa i ordinata.

Kartezijev koordinatni sustav

Objašnjavajući što je kartezijanski koordinatni sustav, prije svega, mora se reći da je ovo poseban slučaj pravokutnog koordinatnog sustava, u kojem su iste ljestvice postavljene duž osi. U matematici se najčešće razmatra dvodimenzionalni ili trodimenzionalni Kartezijev koordinatni sustav. Koordinate se označavaju latiničnim slovima x, y, z i nazivaju se apscisa, ordinata i aplikata. Koordinatna os (OX) obično se naziva os apscisa, os (OY) je os y, a os (OZ) je os apliciranja.

Sada znate što je koordinatni sustav, što su i gdje se koriste.

Pravokutni koordinatni sustav- pravocrtni koordinatni sustav s međusobno okomitim osima na ravninu ili u prostoru. Najjednostavniji i stoga najčešće korišteni koordinatni sustav. Vrlo se lako i izravno generalizira na prostore bilo koje dimenzije, što također pridonosi njegovoj širokoj primjeni.

Povezani pojmovi: kartezijanski obično se naziva pravokutni koordinatni sustav s istim mjerilom duž osi (nazvan po René Descartesu), i zajednički kartezijev koordinatni sustav naziva se afinim sustavom koordinata (ne pravokutnim).

Enciklopedijski YouTube

  • 1 / 5

    Pravokutni koordinatni sustav na ravnini tvore dvije međusobno okomite koordinatne osi i O (\displaystyle O), koji se naziva ishodište koordinata, svaka os ima pozitivan smjer.

    Položaj točke A (\displaystyle A) na ravnini određuju dvije koordinate x (\displaystyle x) i y (\displaystyle y). Koordinirati x (\displaystyle x) jednaka duljini segmenta O B (\displaystyle OB), Koordinirati y (\displaystyle y)- duljina segmenta O C (\displaystyle OC) O B (\displaystyle OB) i O C (\displaystyle OC) definiran linijama povučenim iz točke A (\displaystyle A) paralelno s osima Y ′ Y (\displaystyle Y"Y) i X ′ X (\displaystyle X"X) odnosno.

    S ovom koordinatom x (\displaystyle x) B (\displaystyle B) leži na gredi (a ne na gredi OX (\displaystyle OX), kao na slici). Koordinirati y (\displaystyle y) znak minus se dodjeljuje ako je točka C (\displaystyle C) leži na gredi. Na ovaj način, O X′ (\displaystyle OX") i O Y′ (\displaystyle OY") su negativni smjerovi koordinatnih osi (svaka koordinatna os se tretira kao numerička os).

    Os x (\displaystyle x) naziva se x-os, i os y (\displaystyle y)- y-os. Koordinirati x (\displaystyle x) nazvao apscisa bodova A (\displaystyle A), Koordinirati y (\displaystyle y) - ordinata bodova A (\displaystyle A).

    A (x , y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x , y) (\displaystyle A=(x,\;y))

    ili označiti pripadnost koordinata određenoj točki pomoću indeksa:

    x A , x B (\displaystyle x_(A),x_(B))

    Pravokutni koordinatni sustav u prostoru(u ovom odlomku mislimo na trodimenzionalni prostor, više višedimenzionalnih prostora - vidi dolje) čine tri međusobno okomite koordinatne osi OX (\displaystyle OX), O Y (\displaystyle OY) i OZ (\displaystyle OZ). Koordinatne osi sijeku se u točki O (\displaystyle O), koji se naziva ishodištem, na svakoj osi odabire se pozitivan smjer označen strelicama i mjerna jedinica odsječaka na osi. Jedinice su obično (ne nužno) iste za sve osi. OX (\displaystyle OX)- os apscisa, O Y (\displaystyle OY)- ordinata osi, OZ (\displaystyle OZ)- primjena osi.

    Položaj točke A (\displaystyle A) u prostoru određuju tri koordinate x (\displaystyle x), y (\displaystyle y) i z (\displaystyle z). Koordinirati x (\displaystyle x) jednaka duljini segmenta O B (\displaystyle OB), Koordinirati y (\displaystyle y)- duljina segmenta O C (\displaystyle OC), Koordinirati z (\displaystyle z)- duljina segmenta OD (\displaystyle OD) u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti O B (\displaystyle OB), O C (\displaystyle OC) i OD (\displaystyle OD) definiraju ravnine povučene iz točke A (\displaystyle A) paralelno s ravninama Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ) i X O Y (\displaystyle XOY) odnosno.

    Koordinirati x (\displaystyle x) naziva se apscisa točke A (\displaystyle A), Koordinirati y (\displaystyle y)- ordinatna točka A (\displaystyle A), Koordinirati z (\displaystyle z)- nanesite točku A (\displaystyle A).

    Simbolički je napisano ovako:

    A (x, y, z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x, y, z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))

    ili vežite koordinatni zapis za određenu točku pomoću indeksa:

    x A , y A , z A (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))

    Svaka se os smatra numeričkom linijom, tj. ima pozitivan smjer, a negativne vrijednosti koordinata dodijeljene su točkama koje leže na negativnoj zraci (udaljenost se uzima s znakom minus). To jest, ako je npr. točka B (\displaystyle B) položiti ne kao na slici - na gredu OX (\displaystyle OX), a na njegovom nastavku u suprotnom smjeru od točke O (\displaystyle O)(na negativnom dijelu osi OX (\displaystyle OX)), zatim apscisa x (\displaystyle x) bodova A (\displaystyle A) bila bi negativna (minus udaljenost O B (\displaystyle OB)). Slično za druge dvije osi.

    Svi pravokutni koordinatni sustavi u trodimenzionalnom prostoru dijele se u dvije klase - prava(također se koriste izrazi pozitivan, standard) i lijevo. Obično se prema zadanim postavkama trude koristiti desne koordinatne sustave, a kada se grafički prikazuju, postavljaju ih, ako je moguće, i na jedan od nekoliko uobičajenih (tradicionalnih) položaja. (Slika 2 prikazuje desni koordinatni sustav). Desni i lijevi koordinatni sustav ne mogu se kombinirati rotacijama tako da se odgovarajuće osi (i njihovi pravci) podudaraju. Kojoj klasi pripada pojedini koordinatni sustav moguće je odrediti pomoću pravila desne ruke, pravila vijka itd. (pozitivni smjer osi se bira tako da se pri rotaciji osi OX (\displaystyle OX) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90° njegov pozitivni smjer poklapao se s pozitivnim smjerom osi O Y (\displaystyle OY), ako se ta rotacija promatra sa strane pozitivnog smjera osi OZ (\displaystyle OZ)).

    Pravokutni koordinatni sustav u višedimenzionalnom prostoru

    Pravokutni koordinatni sustav također se može koristiti u prostoru bilo koje konačne dimenzije na isti način kao što je to učinjeno za trodimenzionalni prostor. Broj koordinatnih osi u ovom slučaju jednak je dimenziji prostora (u ovom odjeljku ćemo ga označavati n).

    Koordinate se obično ne označavaju različitim slovima, već istim slovom s numeričkim indeksom. Najčešće je to:

    x 1 , x 2 , x 3 , … x n . (\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\točke x_(n).)

    Za označavanje proizvoljnog ja koordinata iz ovog skupa koristi slovni indeks:

    a često i oznaka x i , (\displaystyle x_(i),) koristite i za označavanje cijelog skupa, implicirajući da indeks prolazi kroz cijeli skup vrijednosti: i = 1 , 2 , 3 , … n (\displaystyle i=1,2,3,\točke n).

    U bilo kojoj dimenziji prostora, pravokutni koordinatni sustavi dijele se u dvije klase, desni i lijevi (ili pozitivni i negativni). Za višedimenzionalne prostore jedan od koordinatnih sustava se proizvoljno (uvjetno) naziva desnim, a ostali se ispostavljaju desnim ili lijevim, ovisno o tome imaju li istu orijentaciju ili ne.

    Pravokutne vektorske koordinate

    Za definiranje pravokutnog vektorske koordinate(primjenjivo za predstavljanje vektora bilo koje dimenzije), možemo poći od činjenice da se koordinate vektora (usmjerenog segmenta), čiji je početak u ishodištu, podudaraju s koordinatama njegovog kraja.

    Za vektore (usmjerene segmente) čije se ishodište ne poklapa s ishodištem, pravokutne koordinate mogu se odrediti na jedan od dva načina:

    1. Vektor se može pomaknuti tako da mu se ishodište poklopi s ishodištem). Tada se njegove koordinate određuju na način opisan na početku odlomka: koordinate vektora pomaknutog tako da mu se ishodište poklapa s ishodištem su koordinate njegovog kraja.
    2. Umjesto toga, možete jednostavno oduzeti koordinate kraja vektora (usmjerenog segmenta) koordinate njegovog početka.
    • Za pravokutne koordinate pojam vektorske koordinate podudara se s pojmom ortogonalne projekcije vektora na smjer odgovarajuće koordinatne osi.

    U pravokutnim koordinatama sve operacije na vektorima zapisuju se vrlo jednostavno:

    • Zbrajanje i množenje skalarom:
    a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , … , a n + b n) (\displaystyle \mathbf (a) +\mathbf (b) =(a_(1)+ b_(1),a_(2)+b_(2),a_(3)+b_(3),\točkice ,a_(n)+b_(n))) (a + b) i = a i + b i , (\displaystyle (\mathbf (a) +\mathbf (b))_(i)=a_(i)+b_(i),) c a = (c a 1 , c a 2 , c a 3 , … , c a n) (\displaystyle c\ \mathbf (a) =(c\ a_(1),c\ a_(2),c\ a_(3),\ točkice ,c\ a_(n))) (c a) i = c a i . (\displaystyle (c\ \mathbf (a))_(i)=c\ a_(i).) a time i oduzimanje i dijeljenje: a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 , … , a n − b n) (\displaystyle \mathbf (a) -\mathbf (b) =(a_(1)- b_(1),a_(2)-b_(2),a_(3)-b_(3),\točkice ,a_(n)-b_(n))) (a − b) i = a i − b i , (\displaystyle (\mathbf (a) -\mathbf (b))_(i)=a_(i)-b_(i),) a λ = (a 1 λ , a 2 λ , a 3 λ , … , a n λ) (\displaystyle (\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))=(\Big ()(\frac (a_ (1))(\lambda )),(\frac (a_(2))(\lambda )),(\frac (a_(3))(\lambda )),\točkice ,(\frac (a_(n) ))(\lambda ))(\Big))) (a λ) i = a i λ . (\displaystyle (\Big ()(\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda )).)

    (Ovo vrijedi za bilo koju dimenziju n pa čak, uz pravokutne koordinate, i za kose koordinate).

    a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\točkice +a_(n)b_(n)) a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i , (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i),)

    (Samo u pravokutnim koordinatama s jediničnim mjerilom na svim osima).

    • Pomoću skalarnog produkta možete izračunati duljinu vektora
    | a | = a ⋅ a (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a) ))) a kut između vektora ∠ (a , b) = a r c c o s a ⋅ b | a | ⋅ | b | (\displaystyle \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b) )(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |)))
    • i k (\displaystyle \mathbf (k) ) e x (\displaystyle \mathbf (e) _(x)), e y (\displaystyle \mathbf (e) _(y)) i e z (\displaystyle \mathbf (e) _(z)).

      Simboli strelica ( i → (\displaystyle (\vec (i))), j → (\displaystyle (\vec (j))) i k → (\displaystyle (\vec (k))) ili e → x (\displaystyle (\vec(e))_(x)), e → y (\displaystyle (\vec(e))_(y)) i e → z (\displaystyle (\vec(e))_(z))) ili drugi u skladu s uobičajenim načinom označavanja vektora u jednoj ili drugoj literaturi.

      U ovom slučaju, u slučaju desnog koordinatnog sustava, vrijede sljedeće formule s vektorom proizvodom vektora:

      Za dimenzije veće od 3 (ili za opći slučaj kada dimenzija može biti bilo koja) uobičajeno je da jedinični vektori umjesto toga koriste notaciju s numeričkim indeksima, prilično često ovo

      e 1 , e 2 , e 3 , … e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( e) _(n),)

      gdje n- dimenzija prostora.

      Vektor bilo koje dimenzije rastavlja se prema bazi (koordinate služe kao koeficijenti proširenja):

      a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( e) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\točkice +a_(n)\mathbf (e) _(n)) a = ∑ i = 1 n a i e i , (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i),) Pierre Fermat, međutim, njegova su djela prvi put objavljena nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo u ravnini.

      Metodu koordinata za trodimenzionalni prostor prvi je primijenio Leonhard Euler već u 18. stoljeću. Upotreba orts očito seže do

Udio: