Vjerojatnost događaja. Klasična i statistička definicija vjerojatnosti

Glavni koncept teorije vjerojatnosti je koncept slučajnog događaja. Slučajni događaj je događaj koji se može ili ne mora dogoditi ako su ispunjeni određeni uvjeti. Na primjer, pogađanje određenog objekta ili promašaj prilikom pucanja na ovaj objekt iz određenog oružja je slučajni događaj.

Događaj se zove pouzdan, ako se kao rezultat testa nužno dogodi. Nemoguće Poziva se događaj koji se ne može dogoditi kao rezultat testa.

Slučajni događaji se nazivaju nekompatibilan u danom suđenju ako se njih dvoje ne mogu pojaviti zajedno.

Obrazac za slučajne događaje puna grupa, ako se tijekom svakog suđenja bilo tko od njih može pojaviti i niti jedan drugi događaj nespojiv s njima.

Razmotrimo kompletnu skupinu jednako mogućih nekompatibilnih slučajnih događaja. Takve ćemo događaje nazvati ishoda ili elementarnih događaja. Ishod se zove povoljan pojava događaja $A$, ako pojava ovog ishoda povlači za sobom pojavu događaja $A$.

Primjer. Urna sadrži 8 numeriranih kuglica (svaka kuglica ima jedan broj od 1 do 8). Kuglice s brojevima 1, 2, 3 su crvene, a ostale su crne. Pojava kuglice s brojem 1 (ili brojkom 2 ili brojem 3) je događaj koji pogoduje pojavi crvene kuglice. Pojava kuglice s brojem 4 (ili broja 5, 6, 7, 8) je događaj koji pogoduje pojavi crne kuglice.

Vjerojatnost događaja$A$ je omjer broja $m$ ishoda povoljnih za ovaj događaj prema ukupnom broju $n$ svih jednako mogućih nekompatibilnih elementarnih ishoda koji tvore kompletnu grupu $$P(A)=\frac(m)( n). \quad(1)$$

Svojstvo 1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici
Svojstvo 2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Svojstvo 3. Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Dakle, vjerojatnost bilo kojeg događaja zadovoljava dvostruku nejednakost $0 \le P(A) \le 1$ .

Korisni materijali

Online kalkulatori

Veliki broj problema riješenih pomoću formule (1) odnosi se na temu hipergeometrijske vjerojatnosti. Ispod možete pronaći opise popularnih problema i online kalkulatore za njihova rješenja pomoću poveznica:

• Zadatak oko kuglica (u urni je $k$ bijelih i $n$ crnih kuglica, $m$ kuglica je izvučeno...)
• Problem oko dijelova (u kutiji $k$ standardnih i $n$ neispravnih dijelova, $m$ dijelova se vadi...)
• Problem s srećkama (na lutriji ima $k$ dobitnih i $n$ nedobitnih listića, kupuje se $m$ listića...)

Edukativni članci s primjerima

• Kako pronaći vjerojatnost u problemima s bacanjem novčića?

Primjeri rješenja za klasičnu vjerojatnost

Primjer. U urni se nalazi 10 numeriranih kuglica s brojevima od 1 do 10. Jedna kuglica se izvadi. Kolika je vjerojatnost da broj izvučenih kuglica ne bude veći od 10?

Riješenje. Neka događaj A= (Broj izvučenih kuglica ne prelazi 10). Broj slučajeva koji pogoduju nastanku događaja A jednak broju svih mogući slučajevi m=n=10. Stoga, R(A)=1. Događaj I pouzdan.

Primjer. U urni je 10 kuglica: 6 bijelih i 4 crne. Izvađene su dvije lopte. Kolika je vjerojatnost da su obje kuglice bijele?

Riješenje. Možete ukloniti dvije kuglice od deset na sljedeće načine: .
Koliko će puta biti dvije bijele kuglice među te dvije kuglice je .
Tražena vjerojatnost
.

Primjer. U urni je 15 kuglica: 5 bijelih i 10 crnih. Kolika je vjerojatnost izvlačenja plave kuglice iz urne?

Riješenje. Budući da u urni nema plavih kuglica, dakle m=0, n=15. Prema tome, tražena vjerojatnost R=0. Događaj izvlačenja plave kuglice nemoguće.

Primjer. Jedna karta se izvlači iz špila od 36 karata. Koja je vjerojatnost da se karta pojavi u boji srca?

Riješenje. Broj elementarnih ishoda (broj kartica) n=36. Događaj A= (Izgled karte boje srca). Broj slučajeva koji pogoduju nastanku događaja A, m=9. Stoga,
.

vjerojatnost- broj između 0 i 1 koji odražava šanse da će se dogoditi slučajni događaj, gdje je 0 potpuna odsutnost vjerojatnost događanja događaja, a 1 znači da će se dotični događaj sigurno dogoditi.

Vjerojatnost događaja E je broj od do 1.
Zbroj vjerojatnosti događaja koji se međusobno isključuju jednak je 1.

empirijska vjerojatnost- vjerojatnost, koja se izračunava kao relativna učestalost događaja u prošlosti, izdvojena iz analize povijesnih podataka.

Vjerojatnost vrlo rijetkih događaja ne može se izračunati empirijski.

subjektivna vjerojatnost- vjerojatnost koja se temelji na osobnoj subjektivnoj procjeni događaja bez obzira na povijesne podatke. Ulagači koji donose odluke o kupnji i prodaji dionica često djeluju na temelju razmatranja subjektivne vjerojatnosti.

prethodna vjerojatnost -

Šansa je 1 u... (šansa) da će se događaj dogoditi kroz koncept vjerojatnosti. Mogućnost da se događaj dogodi izražava se kroz vjerojatnost na sljedeći način: P/(1-P).

Na primjer, ako je vjerojatnost događaja 0,5, tada je vjerojatnost događaja 1 od 2 jer 0,5/(1-0,5).

Mogućnost da se događaj neće dogoditi izračunava se pomoću formule (1-P)/P

Nedosljedna vjerojatnost- npr. cijena dionica poduzeća A uzima u obzir mogući događaj E 85%, a cijena dionica poduzeća B samo 50%. To se zove nedosljedna vjerojatnost. Prema nizozemskom teoremu o klađenju, nedosljedna vjerojatnost stvara prilike za profit.

Bezuvjetna vjerojatnost je odgovor na pitanje "Koja je vjerojatnost da će se događaj dogoditi?"

Uvjetna vjerojatnost- to je odgovor na pitanje: “Kolika je vjerojatnost događaja A ako se dogodi događaj B.” Uvjetna vjerojatnost se označava kao P(A|B).

Zajednička vjerojatnost- vjerojatnost da će se događaji A i B dogoditi istovremeno. Označava se kao P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Pravilo za zbrajanje vjerojatnosti:

Vjerojatnost da će se dogoditi događaj A ili događaj B je

P (A ili B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ako se događaji A i B međusobno isključuju, tada

P (A ili B) = P(A) + P(B)

Neovisni događaji- događaji A i B su neovisni ako

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

To jest, to je slijed rezultata gdje je vrijednost vjerojatnosti konstantna od jednog događaja do drugog.
Bacanje novčića primjer je takvog događaja - rezultat svakog sljedećeg bacanja ne ovisi o rezultatu prethodnog.

Zavisni događaji- to su događaji kod kojih vjerojatnost nastanka jednog ovisi o vjerojatnosti nastanka drugog.

Pravilo množenja vjerojatnosti nezavisni događaji:
Ako su događaji A i B neovisni, tada

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Pravilo ukupne vjerojatnosti:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S i S" su događaji koji se međusobno isključuju

očekivana vrijednost slučajna varijabla je prosjek mogućih ishoda nasumična varijabla. Za događaj X, očekivanje je označeno kao E(X).

Recimo da imamo 5 vrijednosti međusobno isključivih događaja s određenom vjerojatnošću (na primjer, prihod tvrtke je bio toliki iznos s takvom vjerojatnošću). Očekivana vrijednost je zbroj svih ishoda pomnožen njihovom vjerojatnošću:

Disperzija slučajne varijable je očekivanje kvadratnih odstupanja slučajne varijable od njezinog očekivanja:

s 2 = E( 2 ) (6)

Uvjetna očekivana vrijednost je očekivana vrijednost slučajne varijable X, pod uvjetom da se događaj S već dogodio.

U ekonomiji, kao iu drugim područjima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno imamo posla s događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obujam prodaje proizvoda ovisi o potražnji koja može značajno varirati te o nizu drugih čimbenika koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga pri organizaciji proizvodnje i prodaji morate predvidjeti ishod takvih aktivnosti na temelju ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.

Da bi se na neki način vrednovao predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizirati uvjete u kojima se taj događaj snima.

Poziva se provedba određenih uvjeta ili radnji za identifikaciju predmetnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove slučajan, ako se kao rezultat iskustva može ili ne mora dogoditi.

Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavljuje kao rezultat danog iskustva, i nemoguće, ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snijeg u Moskvi 30. studenog je slučajan događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padaline na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih zadataka u teoriji vjerojatnosti je zadatak određivanja kvantitativne mjere mogućnosti da se događaj dogodi.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnima ako se ne mogu promatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisutnost dva i tri automobila u jednoj trgovini za prodaju u isto vrijeme dva su nespojiva događaja.

Iznos događaji su događaji koji se sastoje od pojave najmanje jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisutnost barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

Posao događaji su događaji koji se sastoje od istodobnog zbivanja svih tih događaja

Događaj koji se sastoji od pojave dviju roba u prodavaonici u isto vrijeme proizvod je događaja: - pojave jednog proizvoda, - pojave drugog proizvoda.

Događaji čine potpunu skupinu događaja ako je barem jedan od njih siguran da će se dogoditi u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za prihvat brodova. U obzir se mogu uzeti tri događaja: - odsutnost brodova na vezovima, - prisutnost jednog broda na jednom od veza, - prisutnost dvaju brodova na dva veza. Ova tri događaja čine cjelovitu skupinu događaja.

Suprotan nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine potpunu skupinu.

Ako je jedan od događaja koji je suprotan označen s , tada se suprotan događaj obično označava s .

Klasične i statističke definicije vjerojatnosti događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (pokusa) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Može postojati ukupno šest osnovnih ishoda na temelju broja bodova na stranama.

Od elementarnih ishoda možete stvoriti složeniji događaj. Dakle, slučaj parnog broja bodova određuju tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka predmetnog događaja je vjerojatnost.

Najčešće korištene definicije vjerojatnosti događaja su: klasični I statistički.

Klasična definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom povoljnog ishoda.

Ishod se zove povoljan određenom događaju ako njegova pojava povlači za sobom pojavu ovog događaja.

U gornjem primjeru, predmetni događaj—paran broj bodova na otkotrljanoj strani—ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju general
broj mogućih ishoda. To znači da se ovdje može koristiti klasična definicija vjerojatnosti nekog događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda prema ukupnom broju mogućih ishoda

gdje je vjerojatnost događaja, je broj ishoda koji su povoljni za događaj, je ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se pomoću formule

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerojatnost događaja je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizira (postavlja) s neograničenim povećanjem broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, vjerojatnost događaja se uzima kao relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja.

Iz ovih definicija vjerojatnosti događaja jasno je da je nejednakost uvijek zadovoljena

Za određivanje vjerojatnosti nekog događaja na temelju formule (1.1) često se koriste kombinatoričke formule pomoću kojih se nalazi broj povoljnih ishoda i ukupan broj mogućih ishoda.

Važne bilješke!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u svom pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pozornost na naš navigator za najkorisnije resurse za

Što je vjerojatnost?

Kad bih se prvi put susreo s tim pojmom, ne bih razumio o čemu se radi. Stoga ću pokušati jasno objasniti.

Vjerojatnost je šansa da će se dogoditi događaj koji želimo.

Na primjer, odlučili ste otići kod prijatelja, sjećate se ulaza, pa čak i kata na kojem živi. Ali sam zaboravio broj i lokaciju stana. A sada stojite na stubištu, a ispred vas su vrata među kojima možete birati.

Kolika je šansa (vjerojatnost) da će vam, ako pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj otvoriti vrata? Ima samo stanova, a prijatelj živi samo iza jednog od njih. S jednakim šansama možemo odabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je to šansa?

Vrata, prava vrata. Vjerojatnost pogađanja zvonjenjem na prva vrata: . To jest, jedan put od tri ćete točno pogoditi.

Želimo znati, nakon što jednom nazovemo, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

1. Ti si zvao 1 vrata
2. Ti si zvao 2 vrata
3. Ti si zvao 3 vrata

Sada pogledajmo sve opcije gdje bi prijatelj mogao biti:

A. Iza 1 vrata
b. Iza 2 vrata
V. Iza 3 vrata

Usporedimo sve opcije u obliku tablice. Kvačica označava opcije kada se vaš izbor podudara s lokacijom prijatelja, križić - kada se ne podudara.

Kako ti sve vidiš Može biti opcije lokaciju vašeg prijatelja i vaš izbor na koja ćete vrata nazvati.

A povoljni ishodi za sve . Odnosno, jednom ćete pogoditi tako što ćete jednom pozvoniti na vrata, tj. .

Ovo je vjerojatnost - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor podudara s lokacijom vašeg prijatelja) prema broju mogućih događaja.

Definicija je formula. Vjerojatnost se obično označava s p, dakle:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa ćemo uzeti za – broj povoljnih ishoda, a za – ukupan broj ishoda.

Vjerojatnost se može zapisati kao postotak, potrebno je pomnožiti rezultat s:

Vjerojatno vam je zapela za oko riječ "ishodi". Jer matematičari zovu razne akcije(kod nas je takva radnja zvono na vratima) pokusa, onda se rezultat takvih pokusa obično zove ishod.

Pa, ima povoljnih i nepovoljnih ishoda.

Vratimo se našem primjeru. Recimo, pozvonili smo na jedna vrata, ali su nam se otvorila stranac. Nismo dobro pogodili. Koja je vjerojatnost da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste to mislili, onda je ovo greška. Hajdemo shvatiti.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Nazovite 1 vrata
2) Poziv 2 vrata

Prijatelj, usprkos svemu tome, sigurno stoji iza jedne od njih (uostalom, nije stajao iza ove koju smo zvali):

a) Prijatelj za 1 vrata
b) Prijatelj za 2 vrata

Nacrtajmo tablicu ponovo:

Kao što vidite, postoje samo opcije, od kojih su povoljne. Odnosno, vjerojatnost je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmatrali je primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

I oni se nazivaju ovisni jer utječu na sljedeće radnje. Uostalom, ako se nakon prvog zvona na vratima otvori prijatelj, kolika bi bila vjerojatnost da je on bio iza jednog od druga dva? Točno, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih također mora biti nezavisna? Tako je, događaju se.

Udžbenički primjer je bacanje novčića.

1. Bacite novčić jednom. Koja je vjerojatnost da dobijete glave, na primjer? Tako je – jer postoje sve opcije (bilo heads ili tails, zanemarit ćemo vjerojatnost da novčić stane na njegov rub), ali to samo nama odgovara.
2. Ali došlo je do glave. U redu, bacimo ga ponovno. Koja je vjerojatnost da sada dobijete glave? Ništa se nije promijenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. S koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka dođe do glave barem tisuću puta zaredom. Vjerojatnost da dobijete glave odjednom bit će ista. Uvijek ima opcija, i to povoljnih.

Lako je razlikovati ovisne događaje od neovisnih:

1. Ako se eksperiment izvede jednom (jednom bace novčić, jednom pozvone na vrata itd.), tada su događaji uvijek neovisni.
2. Ako se pokus izvodi više puta (jednom se baci novčić, nekoliko puta pozvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek neovisan. I onda, ako se mijenja broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji ovisni, a ako ne, nezavisni su.

Idemo malo vježbati određivanje vjerojatnosti.

Primjer 1.

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da dobijete glave dvaput zaredom?

Riješenje:

Razmotrimo sve moguće opcije:

1. Orao-orao
2. Glava-rep
3. Repovi-Glave
4. Repovi-repovi

Kao što vidite, postoje samo opcije. Od toga smo samo mi zadovoljni. Odnosno, vjerojatnost:

Ako uvjet jednostavno traži da pronađete vjerojatnost, tada odgovor mora biti dan u obliku decimalnog razlomka. Kad bi bilo navedeno da odgovor treba dati u postotku, tada bismo množili s.

Odgovor:

Primjer 2.

U bombonijeri su sve čokolade zapakirane u isti omot. Međutim, od slatkiša - s orasima, s konjakom, s višnjama, s karamelom i s nugatom.

Kolika je vjerojatnost da uzmete jedan slatkiš i dobijete slatkiš s orasima? Dajte svoj odgovor u postocima.

Riješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, ako uzmete jedan slatkiš, to će biti jedan od onih koji su dostupni u kutiji.

Koliko povoljnih ishoda?

Jer u kutiji su samo čokolade s orasima.

Odgovor:

Primjer 3.

U kutiji od balona. od kojih su bijele i crne.

1. Kolika je vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice?
2. Dodali smo još crnih kuglica u kutiju. Kolika je sada vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice?

Riješenje:

a) U kutiji su samo kuglice. Od njih su bijeli.

Vjerojatnost je:

b) Sada je više loptica u kutiji. A bijelih je ostalo taman toliko - .

Odgovor:

Ukupna vjerojatnost

Vjerojatnost svih mogućih događaja jednaka je ().

Recimo da se u kutiji nalaze crvene i zelene kuglice. Kolika je vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice

Zelena kugla:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbroj svih mogućih događaja jednak je (). Razumijevanje ove točke pomoći će vam u rješavanju mnogih problema.

Primjer 4.

U kutiji se nalaze markeri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerojatnost da NE nacrtate crveni marker?

Riješenje:

Izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleni, plavi, žuti ili crni.

Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerojatnosti da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja

Već znate što su nezavisni događaji.

Što ako trebate pronaći vjerojatnost da će se dva (ili više) neovisna događaja dogoditi u nizu?

Recimo da želimo znati koja je vjerojatnost da ćemo, ako jednom bacimo novčić, dvaput vidjeti glavu?

Već smo razmotrili - .

Što ako jednom bacimo novčić? Kolika je vjerojatnost da vidite orla dva puta zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

1. Orao-orao-orao
2. Glava-glava-rep
3. Glava-rep-glava
4. Glava-rep-rep
5. Repovi-glave-glave
6. Repovi-glave-repovi
7. Repovi-repovi-glave
8. Rep-rep-rep

Ne znam za vas, ali ja sam nekoliko puta pogriješio prilikom sastavljanja ovog popisa. Wow! I jedina opcija (prva) nam odgovara.

Za 5 bacanja možete sami napraviti popis mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako marljivi kao ti.

Stoga su prvo uočili, a zatim i dokazali da se vjerojatnost određenog niza neovisnih događaja svaki put smanjuje za vjerojatnost jednog događaja.

Drugim riječima,

Pogledajmo primjer istog nesretnog novčića.

Vjerojatnost dobivanja glave u izazovu? . Sada bacamo novčić jednom.

Koja je vjerojatnost dobivanja glava u nizu?

Ovo pravilo ne funkcionira samo ako se od nas traži da pronađemo vjerojatnost da će se isti događaj dogoditi nekoliko puta zaredom.

Kad bismo htjeli pronaći niz REPOVI-GLAVE-REPOVI za uzastopna bacanja, učinili bismo isto.

Vjerojatnost dobivanja repova je , glava - .

Vjerojatnost dobivanja niza REPOVI-GLAVE-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti izradom tablice.

Pravilo za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Pa stani! Nova definicija.

Hajdemo shvatiti. Uzmimo naš izlizani novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

1. Orao-orao-orao
2. Glava-glava-rep
3. Glava-rep-glava
4. Glava-rep-rep
5. Repovi-glave-glave
6. Repovi-glave-repovi
7. Repovi-repovi-glave
8. Rep-rep-rep

Dakle, nekompatibilni događaji su određeni, zadani slijed događaja. - to su nespojivi događaji.

Ako želimo odrediti kolika je vjerojatnost dvaju (ili više) nekompatibilnih događaja, tada zbrajamo vjerojatnosti tih događaja.

Morate razumjeti da su "glave" ili "reške" dva neovisna događaja.

Ako želimo odrediti vjerojatnost pojavljivanja niza (ili bilo kojeg drugog), tada koristimo pravilo množenja vjerojatnosti.
Kolika je vjerojatnost da ćete dobiti glave u prvom bacanju, a repove u drugom i trećem bacanju?

Ali ako želimo znati kolika je vjerojatnost dobivanja jedne od nekoliko sekvenci, na primjer, kada se glave pojave točno jednom, tj. opcije i onda moramo zbrojiti vjerojatnosti ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti zbrajanjem vjerojatnosti pojavljivanja svakog niza:

Dakle, dodajemo vjerojatnosti kada želimo odrediti vjerojatnost određenih, nekonzistentnih, nizova događaja.

Postoji odlično pravilo koje će vam pomoći da se ne zabunite kada množiti, a kada zbrajati:

Vratimo se na primjer gdje smo jednom bacili novčić i željeli znati kolika je vjerojatnost da jednom vidimo glave.
Što ce se dogoditi?

Trebalo bi ispasti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) ILI (repovi I repovi I glave).
Ovako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5.

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narančasta, žuta i crna. Kolika je vjerojatnost crtanja crvenom ili zelenom olovkom?

Riješenje:

Primjer 6.

Ako se kocka baci dvaput, koja je vjerojatnost da dobijete ukupno 8?

Riješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerojatnost dobivanja jednog (bilo kojeg) lica je .

Izračunavamo vjerojatnost:

Trening.

Mislim da sada razumijete kada trebate izračunati vjerojatnosti, kada ih zbrojiti, a kada pomnožiti. Nije li? Idemo malo vježbati.

Zadaci:

Idemo uzeti špil karata, u kojem karte uključuju pik, herc, 13 trefa i 13 karo. Od do As svake boje.

1. Kolika je vjerojatnost izvlačenja trefova u nizu (prvu izvučenu kartu vraćamo u špil i miješamo)?
2. Koja je vjerojatnost izvlačenja crne karte (pik ili tref)?
3. Koja je vjerojatnost izvlačenja slike (jaket, dama, kralj ili as)?
4. Kolika je vjerojatnost izvlačenja dviju sličica u nizu (prvu izvučenu kartu uklanjamo iz špila)?
5. Kolika je vjerojatnost da ćete, uzimajući dvije karte, sakupiti kombinaciju - (jack, dama ili kralj) i nije bitan redoslijed izvlačenja karata.

odgovori:

Ako ste sami uspjeli riješiti sve probleme, onda ste super! Sada ćete rješavati probleme teorije vjerojatnosti na Jedinstvenom državnom ispitu kao ludi!

TEORIJA VJEROJATNOSTI. PROSJEČNA RAZINA

Pogledajmo primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znate li? To je ono što zovu kocka s brojevima na stranama. Koliko lica, toliko brojeva: od do koliko? Prije.

Dakle, bacamo kocku i želimo da se pojavi ili. I shvaćamo.

U teoriji vjerojatnosti kažu što se dogodilo povoljan događaj(ne brkati s uspješnim).

Ako se dogodi, događaj će također biti povoljan. Ukupno se mogu dogoditi samo dva povoljna događaja.

Koliko je nepovoljnih? Budući da postoji ukupno mogućih događaja, to znači da su nepovoljni događaji (ovo je ako ili ispada).

Definicija:

Vjerojatnost je omjer broja povoljnih događaja prema broju svih mogućih događaja. Odnosno, vjerojatnost pokazuje koji je udio svih mogućih događaja povoljan.

Označava vjerojatnost latinično pismo(očigledno iz engleska riječ probability – vjerojatnost).

Uobičajeno je mjeriti vjerojatnost kao postotak (vidi temu). Da biste to učinili, vrijednost vjerojatnosti mora se pomnožiti s. U primjeru s kockom, vjerojatnost.

I u postocima: .

Primjeri (odlučite sami):

1. Koja je vjerojatnost da dobijete glave prilikom bacanja novčića? Koja je vjerojatnost slijetanja glava?
2. Kolika je vjerojatnost dobivanja parnog broja prilikom bacanja kocke? Koji je čudan?
3. U kutiji jednostavne, plave i crvene olovke. Nasumično izvlačimo jednu olovku. Koja je vjerojatnost da dobijete jednostavan?

rješenja:

1. Koliko opcija postoji? Glava i rep - samo dvije. Koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerojatnost

   Isto je i s repovima: .

2. Ukupno opcija: (koliko stranica ima kocka, toliko različitih opcija). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi:).
   Vjerojatnost. Naravno, isto je i s neparnim brojevima.
3. Ukupno: . Povoljno: . Vjerojatnost: .

Ukupna vjerojatnost

Sve olovke u kutiji su zelene. Kolika je vjerojatnost crtanja crvenom olovkom? Nema šanse: vjerojatnost (uostalom, povoljni događaji -).

Takav se događaj naziva nemogućim.

Kolika je vjerojatnost da nacrtate zelenu olovku? Povoljnih događaja ima točno onoliko koliko ima i ukupnih događaja (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerojatnost je jednaka ili.

Takav se događaj naziva pouzdanim.

Ako se u kutiji nalaze zelene i crvene olovke, kolika je vjerojatnost da ćete nacrtati zelenu ili crvenu? Opet opet. Primijetimo ovo: vjerojatnost izvlačenja zelene je jednaka, a crvena je jednaka.

U zbroju, te su vjerojatnosti potpuno jednake. To je, zbroj vjerojatnosti svih mogućih događaja jednak je ili.

Primjer:

U kutiji s olovkama su plava, crvena, zelena, obična, žuta, a ostale su narančaste. Kolika je vjerojatnost da ne nacrtate zeleno?

Riješenje:

Sjećamo se da se sve vjerojatnosti zbrajaju. I vjerojatnost da dobijete zeleno je jednaka. To znači da je vjerojatnost da ne nacrtate zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerojatnosti da će se događaj dogoditi.

Neovisni događaji i pravilo množenja

Jednom bacite novčić i želite da oba puta ispadne glava. Koja je vjerojatnost za to?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Glave-Glave, Repovi-Glave, Glave-Repovi, Repovi-Repovi. Što drugo?

Ukupne mogućnosti. Od njih nam samo jedan odgovara: Eagle-Eagle. Ukupno je vjerojatnost jednaka.

Fino. Sada bacimo novčić jednom. Izračunajte sami. Dogodilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerojatnost smanjuje za pola. Opće pravilo nazvao pravilo množenja:

Vjerojatnosti neovisnih događaja se mijenjaju.

Što su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne ovise jedni o drugima. Na primjer, kada bacamo novčić nekoliko puta, svaki put dolazi novo bacanje čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. Isto tako lako možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Još primjera:

1. Kocka se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da će se pojaviti oba puta?
2. Novčić se baca jednom. Kolika je vjerojatnost da će prvi put biti u korist, a zatim dva puta u suprotnosti?
3. Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerojatnost da zbroj brojeva na njima bude jednak?

odgovori:

1. Događaji su neovisni, što znači da pravilo množenja radi: .
2. Vjerojatnost glava je jednaka. Vjerojatnost repova je ista. Pomnožiti:
3. 12 se može dobiti samo ako se bace dvije -ki: .

Nespojivi događaji i pravilo zbrajanja

Događaji koji se međusobno nadopunjuju do pune vjerojatnosti nazivaju se nekompatibilnima. Kao što ime sugerira, ne mogu se dogoditi istovremeno. Na primjer, ako bacimo novčić, može ispasti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji s olovkama su plava, crvena, zelena, obična, žuta, a ostale su narančaste. Kolika je vjerojatnost da nacrtate zeleno ili crveno?

Riješenje .

Vjerojatnost da nacrtate zelenu olovku je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji u svim: zeleno + crveno. To znači da je vjerojatnost izvlačenja zelene ili crvene jednaka.

Ista se vjerojatnost može prikazati u ovom obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: zbrajaju se vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Problemi mješovitog tipa

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da će rezultati bacanja biti drugačiji?

Riješenje .

To znači da ako je prvi rezultat glava, drugi mora biti rep, i obrnuto. Ispada da postoje dva para nezavisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje množiti, a gdje zbrajati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte opisati što će se dogoditi pomoću veznika "I" ili "ILI". Na primjer, u ovom slučaju:

Trebalo bi se pojaviti (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Gdje je veznik "i" bit će množenje, a gdje je "ili" bit će zbrajanje:

Pokušajte sami:

1. Kolika je vjerojatnost da će novčić oba puta pasti na istu stranu ako se baci dvaput?
2. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerojatnost da dobijete zbroj bodova?

rješenja:

Još jedan primjer:

Bacite novčić jednom. Koja je vjerojatnost da će se glave pojaviti barem jednom?

Riješenje:

TEORIJA VJEROJATNOSTI. UKRATKO O GLAVNOM

Vjerojatnost je omjer broja povoljnih događaja prema broju svih mogućih događaja.

Neovisni događaji

Dva su događaja neovisna ako pojava jednog ne mijenja vjerojatnost da će se drugi dogoditi.

Ukupna vjerojatnost

Vjerojatnost svih mogućih događaja jednaka je ().

Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerojatnosti da će se događaj dogoditi.

Pravilo množenja vjerojatnosti neovisnih događaja

Vjerojatnost određenog niza neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog događaja

Nespojivi događaji

Nekompatibilni događaji su oni koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Niz nekompatibilnih događaja čini cjelovitu skupinu događaja.

Zbrajaju se vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Nakon što smo opisali što bi se trebalo dogoditi, veznicima “I” ili “ILI” umjesto “I” stavljamo znak množenja, a umjesto “ILI” stavljamo znak zbrajanja.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na budžet na budžet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što je pred njima puno više otvorenog više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, nađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Sve se na svijetu događa deterministički ili slučajno...
Aristotel

Vjerojatnost: Osnovna pravila

Teorija vjerojatnosti izračunava vjerojatnosti raznih događaja. Temelj teorije vjerojatnosti je koncept slučajnog događaja.

Na primjer, bacite novčić, on nasumično padne na glavu ili rep. Ne znate unaprijed na koju će stranu novčić stati. Sklapate ugovor o osiguranju; ne znate unaprijed hoće li se izvršiti plaćanja.

U aktuarskim izračunima morate moći procijeniti vjerojatnost različitih događaja, stoga teorija vjerojatnosti igra ključnu ulogu. Nijedna druga grana matematike ne može se baviti vjerojatnostima događaja.

Pogledajmo pobliže bacanje novčića. Postoje 2 međusobno isključiva ishoda: ispada grb ili ispadaju repovi. Ishod bacanja je slučajan, jer promatrač ne može analizirati i uzeti u obzir sve čimbenike koji utječu na rezultat. Kolika je vjerojatnost da grb ispadne? Većina će odgovoriti ½, ali zašto?

Neka bude formalno A ukazuje na gubitak grba. Neka se novčić baca n jednom. Zatim vjerojatnost događaja A može se definirati kao udio onih bacanja koja rezultiraju grbom:

Gdje n ukupan broj bacanja, n(A) broj grbova pada.

Relacija (1) naziva se frekvencija događanja A u dugom nizu testova.

Ispada da je u raznim serijama testova odgovarajuća učestalost općenito n klastere oko neke konstantne vrijednosti GODIŠNJE). Ova količina se zove vjerojatnost događaja A a označava se slovom R- skraćenica od engleske riječi vjerojatnost – vjerojatnost.

Formalno imamo:

(2)

Ovaj zakon se zove zakon velikih brojeva.

Ako je novčić pošten (simetričan), tada je vjerojatnost dobivanja grba jednaka vjerojatnosti dobivanja glava i jednaka je ½.

Neka A I U neki događaji, na primjer, je li se dogodio osigurani slučaj ili ne. Unija dva događaja je događaj koji se sastoji od izvršenja događaja A, događaji U, ili oba događaja zajedno. Sjecište dva događaja A I U naziva događaj koji se sastoji u provedbi kao događaj A, i događaji U.

Osnovna pravila Računica vjerojatnosti događaja je sljedeća:

1. Vjerojatnost bilo kojeg događaja je između nule i jedan:

2. Neka su A i B dva događaja, tada:

Ona glasi ovako: vjerojatnost da se dva događaja spoje jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja minus vjerojatnost da se događaji presijecaju. Ako su događaji nekompatibilni ili se ne preklapaju, tada je vjerojatnost kombinacije (zbroja) dvaju događaja jednaka zbroju vjerojatnosti. Ovaj zakon se zove zakon dodatak vjerojatnosti.

Za neki događaj kažemo da je pouzdan ako mu je vjerojatnost jednaka 1. Pri analizi određenih pojava postavlja se pitanje kako pojava događaja utječe na U po nastanku događaja A. Da biste to učinili, unesite uvjetna vjerojatnost :

(4)

Ona glasi ovako: vjerojatnost pojave A s obzirom na to U jednaka je vjerojatnosti presjeka A I U, podijeljeno s vjerojatnošću događaja U.
Formula (4) pretpostavlja da je vjerojatnost događaja U Iznad nule.

Formula (4) se također može napisati kao:

(5)

Ovo je formula množenje vjerojatnosti.

Također se naziva i uvjetna vjerojatnost a posteriori vjerojatnost događaja A- vjerojatnost pojave A nakon napada U.

U tom slučaju se sama vjerojatnost naziva apriorno vjerojatnost. Ima ih još nekoliko važne formule, koji se intenzivno koriste u aktuarskim proračunima.

Formula ukupne vjerojatnosti

Pretpostavimo da se provodi eksperiment čiji se uvjeti mogu unaprijed odrediti međusobno međusobno isključive pretpostavke (hipoteze):

Pretpostavljamo da ili postoji hipoteza, ili...ili. Vjerojatnosti ovih hipoteza su poznate i jednake:

Tada formula vrijedi puna vjerojatnosti :

(6)

Vjerojatnost događanja događaja A jednak zbroju umnožaka vjerojatnosti pojavljivanja A za svaku hipotezu o vjerojatnosti ove hipoteze.

Bayesova formula

Bayesova formula omogućuje ponovno izračunavanje vjerojatnosti hipoteza u svjetlu novih informacija koje pruža rezultat A.

Bayesova formula je u određenom smislu inverzna formula ukupne vjerojatnosti.

Razmotrite sljedeći praktični problem.

Problem 1

Pretpostavimo da je došlo do pada zrakoplova i stručnjaci su zauzeti istraživanjem uzroka. 4 razloga zašto je došlo do katastrofe unaprijed su poznata: ili uzrok, ili, ili, ili. Prema dostupnim statistikama, ovi razlozi imaju sljedeće vjerojatnosti:

Prilikom ispitivanja mjesta nesreće pronađeni su tragovi paljenja goriva; prema statistikama, vjerojatnost ovog događaja iz jednog ili drugog razloga je sljedeća:

Pitanje: koji je najvjerojatniji uzrok katastrofe?

Izračunajmo vjerojatnosti uzroka u uvjetima nastanka događaja A.

Iz ovoga se vidi da je prvi razlog najvjerojatniji, jer je njegova vjerojatnost najveća.

Problem 2

Zamislite avion koji slijeće na aerodrom.

Prilikom slijetanja, vremenski uvjeti mogu biti sljedeći: nema niskih oblaka (), prisutni su niski oblaci (). U prvom slučaju, vjerojatnost sigurnog slijetanja je P1. U drugom slučaju - P2. Jasno je da P1>P2.

Uređaji koji omogućuju slijepo slijetanje imaju vjerojatnost nesmetanog rada R. Ako je oblačnost niska, a instrumenti za slijepo slijetanje nisu uspjeli, vjerojatnost uspješnog slijetanja je veća P3, i P3<Р2 . Poznato je da je za određeno uzletište udio dana u godini s malom naoblakom jednak .

Odredite vjerojatnost sigurnog slijetanja aviona.

Moramo pronaći vjerojatnost.

Postoje dvije mogućnosti koje se međusobno isključuju: uređaji za slijepo slijetanje rade, uređaji za slijepo slijetanje su otkazali, tako da imamo:

Dakle, prema formuli ukupne vjerojatnosti:

Problem 3

Osiguravajuće društvo nudi životno osiguranje. 10% osiguranika ove tvrtke su pušači. Ako osiguranik ne puši, vjerojatnost njegove smrti tijekom godine je 0,01. Ako je pušač, tada je ta vjerojatnost 0,05.

Koliki je udio pušača među umrlim osiguranicima tijekom godine?

Mogući odgovori: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.

Riješenje

Upisujemo događaje:

Uvjet problema znači da

Osim toga, budući da događaji tvore potpunu skupinu upareno nekompatibilnih događaja, tada .
Vjerojatnost koja nas zanima je .

Koristeći Bayesovu formulu, imamo:

stoga je ispravna opcija ( U).

Problem 4

Osiguravajuće društvo prodaje ugovore o životnom osiguranju u tri kategorije: standardno, povlašteno i ultrapovlašteno.

50% svih osiguranika su standardni, 40% povlašteni i 10% ultrapovlašteni.

Vjerojatnost smrti unutar godine dana za standardnog osiguranika je 0,010, za povlaštenog 0,005, a za ultrapovlaštenog 0,001.

Kolika je vjerojatnost da je umrli osiguranik ultrapovlašten?

Riješenje

Uzmimo u obzir sljedeće događaje:

Što se tiče ovih događaja, vjerojatnost koja nas zanima je . Po stanju:

Budući da događaji , tvore potpunu skupinu upareno nekompatibilnih događaja, korištenjem Bayesove formule imamo:

Slučajne varijable i njihove karakteristike

Neka to bude neka slučajna varijabla, na primjer, šteta od požara ili iznos plaćanja osiguranja.
Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira funkcija raspodjele.

Definicija. Funkcija nazvao distribucijska funkcija nasumična varijabla ξ .

Definicija. Ako postoji funkcija takva da za proizvoljne a učinjeno

onda kažu da je slučajna varijabla ξ Ima funkcija gustoće vjerojatnosti f(x).

Definicija. Neka . Za kontinuiranu funkciju raspodjele F teorijski α-kvantil naziva se rješenje jednadžbe.

Ovo rješenje možda nije jedino.

Kvantilna razina ½ nazivaju teoretskim medijan , razine kvantila ¼ I ¾ -donji i gornji kvartil odnosno.

U aktuarskim primjenama igra važnu ulogu Čebiševljeva nejednakost:

na bilo kojem

Simbol matematičkog očekivanja.

Ona glasi ovako: vjerojatnost da je modul veći ili jednak matematičkom očekivanju modula podijeljenom s .

Životni vijek kao slučajna varijabla

Neizvjesnost trenutka smrti glavni je faktor rizika u životnom osiguranju.

O trenutku smrti pojedinca ne može se reći ništa određeno. Međutim, ako imamo posla s velikom homogenom skupinom ljudi i ne zanima nas sudbina pojedinih ljudi iz te skupine, tada smo u okvirima teorije vjerojatnosti kao znanosti o masovnim slučajnim pojavama koje imaju svojstvo stabilnosti frekvencije. .

Odnosno, možemo govoriti o životnom vijeku kao slučajnoj varijabli T.

Funkcija preživljavanja

Teorija vjerojatnosti opisuje stohastičku prirodu bilo koje slučajne varijable T distribucijska funkcija F(x), koja se definira kao vjerojatnost da slučajna varijabla T manje od broja x:

.

U aktuarskoj matematici lijepo je raditi ne s distribucijskom funkcijom, već s dodatnom distribucijskom funkcijom . Što se tiče dugovječnosti, to je vjerojatnost da će osoba doživjeti starost x godine.

nazvao funkcija preživljavanja(funkcija preživljavanja):

Funkcija preživljavanja ima sljedeća svojstva:

Životne tablice obično pretpostavljaju da ih ima dobna granica (ograničavanje dobi) (obično godine) i, prema tome, na x>.

Kada se smrtnost opisuje analitičkim zakonima, obično se pretpostavlja da je životni vijek neograničen, ali su vrsta i parametri zakona odabrani tako da je vjerojatnost života nakon određene dobi zanemariva.

Funkcija preživljavanja ima jednostavno statističko značenje.

Recimo da promatramo skupinu novorođenčadi (obično), koju promatramo i možemo zabilježiti trenutke njihove smrti.

Označimo broj živih predstavnika ove skupine u dobi s . Zatim:

.

Simbol E ovdje i dolje se koristi za označavanje matematičkog očekivanja.

Dakle, funkcija preživljavanja jednaka je prosječnom udjelu onih koji prežive do starenja iz neke fiksne skupine novorođenčadi.

U aktuarskoj matematici često se ne radi s funkcijom preživljavanja, već s upravo uvedenom vrijednošću (fiksiranje početne veličine grupe).

Funkcija preživljavanja može se rekonstruirati iz gustoće:

Karakteristike životnog vijeka

S praktičnog gledišta važne su sljedeće karakteristike:

1 . Prosjek doživotno

,
2 . Disperzija doživotno

,
Gdje
,