Odnosi u jednakostraničnom trokutu. Jednakostraničan trokut. Ilustrirani vodič (2019.)

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješan položivši ispit iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

U školskom tečaju geometrije ogromna količina vremena posvećena je proučavanju trokuta. Učenici računaju kutove, grade simetrale i visine, otkrivaju po čemu se oblici međusobno razlikuju te najlakše pronalaze njihovu površinu i opseg. Čini se da to nikako nije korisno u životu, ali ponekad je ipak korisno naučiti, na primjer, kako odrediti je li trokut jednakostraničan ili tup. Kako to učiniti?

Vrste trokuta

Tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji i dužine koje ih spajaju. Čini se da je ova brojka najjednostavnija. Kako mogu izgledati trokuti ako imaju samo tri stranice? Postoji zapravo prilično nekoliko opcija. veliki broj, a neki od njih su dati Posebna pažnja u sklopu školskog tečaja geometrije. Jednakostranični trokut je jednakostraničan, odnosno svi su mu kutovi i stranice jednaki. Ima niz izvanrednih svojstava, o kojima će biti riječi kasnije.

Jednakokračan ima samo dvije jednake stranice, a također je vrlo zanimljiv. U pravokutnom, kao što možete pogoditi, jedan od uglova je ravan ili tup. Međutim, mogu biti i jednakokračni.

Postoji i jedan poseban koji se zove egipatski. Njegove strane su 3, 4 i 5 jedinica. Međutim, ona je pravokutna. Vjeruje se da su ga aktivno koristili egipatski geodeti i arhitekti za izgradnju pravih kutova. Vjeruje se da su uz njegovu pomoć izgrađene poznate piramide.

Pa ipak, svi vrhovi trokuta mogu ležati na jednoj ravnoj liniji. U ovom slučaju, on će se zvati degeneriranim, dok se svi ostali nazivaju nedegeneriranim. Oni su jedan od predmeta proučavanja geometrije.

Trokut je jednakostraničan

Naravno, točne brojke su uvijek od najvećeg interesa. Čine se savršenijima, gracioznijima. Formule za izračunavanje njihovih karakteristika često su jednostavnije i kraće nego za obične brojke. To vrijedi i za trokute. Nije iznenađujuće da im se pri proučavanju geometrije posvećuje velika pozornost: školarci se uče razlikovati pravilne figure od ostalih, a također im se govori o nekim njihovim zanimljivim karakteristikama.

Značajke i svojstva

Kao što ime sugerira, svaka stranica jednakostraničnog trokuta jednaka je drugim dvjema. Osim toga, ima niz značajki, zahvaljujući kojima je moguće utvrditi je li brojka točna ili ne.

Ako se promatra barem jedan od gornjih znakova, tada je trokut jednakostraničan. Za redovnu figuru, sve gore navedene tvrdnje su točne.

Svi trokuti imaju niz izvanrednih svojstava. Prvo, srednja linija, to jest segment koji dijeli dvije strane na pola i paralelan s trećom, jednak je polovici baze. Drugo, zbroj svih kutova ove figure uvijek je jednak 180 stupnjeva. Osim toga, postoji još jedan zanimljiv odnos u trokutima. Da, protiv veća strana leži veći kut i obrnuto. Ali to, naravno, nema nikakve veze s jednakostraničnim trokutom, jer su mu svi kutovi jednaki.

Upisane i opisane kružnice

Često u tečaju geometrije učenici također uče kako oblici mogu međusobno komunicirati. Posebno se proučavaju kružnice upisane u poligone ili opisane oko njih. O čemu se radi?

Upisana kružnica je kružnica kojoj se sve stranice mnogokuta tangiraju. Opisani – onaj koji ima dodirne točke sa svim uglovima. Za svaki trokut uvijek je moguće konstruirati i prvu i drugu kružnicu, ali samo po jednu od svake vrste. Dokazi za ovo dvoje

teoremi se daju u školskom tečaju geometrije.

Osim izračunavanja parametara samih trokuta, neki zadaci uključuju i izračunavanje polumjera tih kružnica. I formule za
jednakostranični trokut izgleda ovako:

gdje je r polumjer upisane kružnice, R polumjer opisane kružnice, a duljina stranice trokuta.

Izračun visine, opsega i površine

Glavni parametri koje školarci računaju tijekom proučavanja geometrije ostaju nepromijenjeni za gotovo sve figure. To su opseg, površina i visina. Radi lakšeg izračuna postoje razne formule.

Dakle, opseg, odnosno duljina svih stranica, izračunava se na sljedeće načine:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, gdje je a stranica pravilnog trokuta, R polumjer opisane kružnice, r upisane.

h = (√ ̅3/2)*a, gdje je a duljina stranice.

Konačno, formula je izvedena iz standarda, odnosno umnoška polovice baze i njezine visine.

S = (√ ̅3/4)*a 2 , gdje je a duljina stranice.

Također, ova vrijednost se može izračunati preko parametara opisane ili upisane kružnice. Za to postoje i posebne formule:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2 , gdje su r i R polumjeri upisane i opisane kružnice.

zgrada

Još jedna zanimljiva vrsta problema, uključujući trokute, povezana je s potrebom crtanja određenog oblika pomoću minimalnog skupa

alati: šestar i ravnalo bez podjela.

Kako biste izgradili pravilan trokut samo s ovim alatima, morate slijediti nekoliko koraka.

1. Potrebno je nacrtati kružnicu bilo kojeg polumjera sa središtem u proizvoljnoj točki A. Mora se primijetiti.
2. Zatim morate nacrtati ravnu liniju kroz ovu točku.
3. Sjecišta kružnice i pravca moraju biti označena kao B i C. Sve konstrukcije moraju biti izvedene s najvećom mogućom točnošću.
4. Zatim morate izgraditi još jedan krug s istim radijusom i središtem u točki C ili luk s odgovarajućim parametrima. Raskrižja će biti označena D i F.
5. Točke B, F, D moraju biti povezane segmentima. Izgrađen je jednakostranični trokut.

Rješavanje takvih problema obično je problem za školarce, ali ova vještina može biti korisna u svakodnevnom životu.

Definicija 7. Jednakokračni trokut je svaki trokut čije su dvije stranice jednake.
Dvije jednake strane nazivaju se bočne, treća - baza.
Definicija 8. Ako su sve tri stranice trokuta jednake, tada se trokut naziva jednakostraničnim trokutom.
To je posebna vrsta jednakokračnog trokuta.
Teorem 18. Visina jednakokračnog trokuta, spuštena na osnovicu, ujedno je i simetrala kuta između jednakih stranica, središta i osi simetrije osnovice.
Dokaz. Spustimo visinu na osnovicu jednakokračnog trokuta. Ona će ga podijeliti na dva jednaka (po kraku i hipotenuzi) pravokutna trokuta. Kutovi A i C su jednaki, a visina također dijeli bazu na pola i bit će os simetrije cijele figure koja se razmatra.
Ovaj se teorem također može formulirati na sljedeći način:
Teorem 18.1. Medijan jednakokračnog trokuta, spušten na osnovicu, ujedno je i simetrala kuta između jednakih stranica, visine i osi simetrije osnovice.
Teorem 18.2. Simetrala jednakokračnog trokuta, spuštena na osnovicu, ujedno je i visina, središnja i os simetrije osnovice.
Teorem 18.3. Os simetrije jednakokračnog trokuta ujedno je i simetrala kuta jednakih stranica, središnje i visine.
Dokaz ovih posljedica također proizlazi iz jednakosti trokuta na koje je jednakokračni trokut podijeljen.

Teorem 19. Kutovi na osnovici jednakokračnog trokuta su jednaki.
Dokaz. Spustimo visinu na osnovicu jednakokračnog trokuta. Ona će ga podijeliti na dva jednaka (po kraku i hipotenuzi) pravokutna trokuta, što znači da su pripadni kutovi jednaki, tj. ∠ A=∠ C
Predznaci jednakokračnog trokuta proizlaze iz teorema 1 i njegovih korola i teorema 2.
Teorem 20. Ako se dva od navedena četiri pravca (visina, središnja, simetrala, os simetrije) podudaraju, tada će trokut biti jednakokračan (što znači da će se sva četiri pravca poklapati).
Teorem 21. Ako su bilo koja dva kuta trokuta jednaka, onda je on jednakokračan.

Dokaz: Slično dokazu izravnog teorema, ali korištenjem drugog kriterija za jednakost trokuta. Težište, središta opisane i upisane kružnice te sjecište visina jednakokračnog trokuta leže na njegovoj osi simetrije, tj. na visokom.
Jednakostranični trokut je jednakokračan za svaki par svojih stranica. S obzirom na jednakost svih njegovih stranica, sva su tri kuta takvog trokuta jednaka. Uzimajući u obzir da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta jednak dvama pravim kutovima, vidimo da je svaki od kutova jednakostraničnog trokuta jednak 60°. Obrnuto, da bismo bili sigurni da su sve stranice trokuta jednake, dovoljno je provjeriti jesu li dva od tri njegova kuta jednaka 60°.
Teorem 22 . U jednakostraničnom trokutu poklapaju se sve značajne točke: težište, središta upisane i opisane kružnice, sjecište visina (koje se naziva ortocentar trokuta).
Teorem 23 . Ako se dvije od navedene četiri točke poklapaju, tada će trokut biti jednakostraničan i, kao rezultat toga, sve četiri navedene točke će se poklapati.
Doista, takav će trokut, prema prethodnom, biti jednakokračan s obzirom na bilo koji par stranica, tj. jednakostraničan. Jednakostranični trokut naziva se i pravokutni trokut. Površina jednakokračnog trokuta jednaka je polovici umnoška kvadrata stranice i sinusa kuta između stranica
Razmotrite ovu formulu za jednakostranični trokut, tada će kut alfa biti 60 stupnjeva. Formula će se tada promijeniti u sljedeće:

Teorem d1 . U jednakokračnom trokutu, središnje strane povučene stranicama su jednake.

Dokaz: Neka je ABC jednakokračni trokut (AC = BC), AK i BL njegove središnje strane. Tada su trokuti AKB i ALB sukladni prema drugom kriteriju jednakosti trokuta. Imaju zajedničku stranicu AB, stranice AL i BK jednake su kao polovice stranica jednakokračnog trokuta, a kutovi LAB i KBA jednaki su kao kutovi na osnovici jednakokračnog trokuta. Budući da su trokuti sukladni, stranice AK i LB su im jednake. Ali AK i LB su središnje strane jednakokračnog trokuta povučene na njegove stranice.
Teorem d2 . U jednakokračnom trokutu simetrale povučene stranicama su jednake.

Dokaz: Neka je ABC jednakokračni trokut (AC = BC), AK i BL njegove simetrale. Trokuti AKB i ALB sukladni su prema drugom kriteriju jednakosti trokuta. Imaju zajedničku stranicu AB, kutovi LAB i KBA jednaki su kao kutovi na osnovici jednakokračnog trokuta, a kutovi LBA i KAB jednaki su polovici kutova na osnovici jednakokračnog trokuta. Kako su trokuti sukladni, njihove stranice AK i LB - simetrale trokuta ABC - su jednake. Teorem je dokazan.
Teorem d3 . U jednakokračnom trokutu visine spuštene na stranice su jednake.

Dokaz: Neka je ABC jednakokračni trokut (AC = BC), AK i BL njegove visine. Tada su kutovi ABL i KAB jednaki jer su kutovi ALB i AKB pravi kutovi, a kutovi LAB i ABK jednaki su kao kutovi na osnovici jednakokračnog trokuta. Dakle, trokuti ALB i AKB su sukladni prema drugom kriteriju jednakosti trokuta: imaju zajedničku stranicu AB, kutovi KAB i LBA su jednaki prema navedenom, a kutovi LAB i KBA jednaki su kao kutovi na osnovici trokuta. jednakokračni trokut. Ako su trokuti jednaki, jednake su im i stranice AK i BL. Q.E.D.