Dove x e dove y in coordinate. Cos'è un sistema di coordinate? Applicazione dei sistemi di coordinate in geodesia

Se sei in un punto zero e stai pensando a quante unità di distanza hai bisogno per andare dritto e poi dritto a destra per arrivare a qualche altro punto, allora stai già usando un sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano. E se il punto è sopra il piano su cui ti trovi e ai tuoi calcoli viene aggiunta l'ascesa al punto lungo le scale rigorosamente verso l'alto anche di un certo numero di unità di distanza, allora stai già utilizzando un sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio.

Viene chiamato un sistema ordinato di due o tre assi intersecantisi perpendicolari tra loro con un'origine comune (origine) e un'unità di lunghezza comune sistema di coordinate cartesiane rettangolari .

Il nome del matematico francese Rene Descartes (1596-1662) è principalmente associato a un tale sistema di coordinate in cui viene misurata un'unità di lunghezza comune su tutti gli assi e gli assi sono diritti. Oltre al rettangolare, c'è comune sistema di coordinate cartesiane (sistema di coordinate affini). Può anche includere assi non necessariamente perpendicolari. Se gli assi sono perpendicolari, il sistema di coordinate è rettangolare.

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano ha due assi sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio - tre assi. Ogni punto su un piano o nello spazio è determinato da un insieme ordinato di coordinate - numeri in accordo con l'unità di lunghezza del sistema di coordinate.

Si noti che, come segue dalla definizione, esiste un sistema di coordinate cartesiane su una linea retta, cioè in una dimensione. L'introduzione delle coordinate cartesiane su una retta è uno dei modi in cui a qualsiasi punto di una retta viene assegnato un numero reale ben definito, cioè una coordinata.

Il metodo delle coordinate, sorto nelle opere di René Descartes, ha segnato una ristrutturazione rivoluzionaria di tutta la matematica. È diventato possibile interpretare equazioni (o disuguaglianze) algebriche sotto forma di immagini geometriche (grafici) e, al contrario, cercare una soluzione a problemi geometrici utilizzando formule analitiche, sistemi di equazioni. Sì, disuguaglianza z.z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy e situato sopra questo piano di 3 unità.

Con l'ausilio del sistema di coordinate cartesiane, l'appartenenza di un punto ad una data curva corrisponde al fatto che i numeri X e si soddisfare qualche equazione. Quindi, le coordinate di un punto di un cerchio centrato in un dato punto ( un; b) soddisfano l'equazione (X - un)² + ( si - b)² = R² .

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano

Due assi perpendicolari su un piano con un'origine comune e la stessa forma dell'unità di scala Sistema di coordinate cartesiane nel piano . Uno di questi assi è chiamato l'asse Bue, o asse x , l'altro - l'asse Ehi, o asse y . Questi assi sono anche chiamati assi coordinati. Denotare con MX e Msi rispettivamente la proiezione di un punto arbitrario M sull'asse Bue e Ehi. Come ottenere le proiezioni? Passa attraverso il punto M Bue. Questa linea interseca l'asse Bue al punto MX. Passa attraverso il punto M retta perpendicolare all'asse Ehi. Questa linea interseca l'asse Ehi al punto Msi. Questo è mostrato nella figura sottostante.

X e si punti M chiameremo rispettivamente le grandezze dei segmenti orientati OMX e OMsi. I valori di questi segmenti direzionali sono calcolati rispettivamente come X = X0 - 0 e si = si0 - 0 . coordinate cartesiane X e si punti M ascissa e ordinato . Il fatto che il punto M ha le coordinate X e si, è indicato come segue: M(X, si) .

Gli assi delle coordinate dividono il piano in quattro quadrante , la cui numerazione è riportata nella figura sottostante. Indica anche la disposizione dei segni per le coordinate dei punti, a seconda della loro posizione in uno o in un altro quadrante.

Oltre alle coordinate rettangolari cartesiane nel piano, viene spesso considerato anche il sistema di coordinate polari. Informazioni sul metodo di transizione da un sistema di coordinate a un altro - nella lezione sistema di coordinate polari .

Sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio

Le coordinate cartesiane nello spazio sono introdotte in completa analogia con le coordinate cartesiane su un piano.

Tre assi reciprocamente perpendicolari nello spazio (assi coordinati) con un'origine comune O e la stessa forma di unità di scala Sistema di coordinate cartesiane rettangolari nello spazio .

Uno di questi assi è chiamato l'asse Bue, o asse x , l'altro - l'asse Ehi, o asse y , terzo asse Oncia, o asse applicato . Permettere MX, Msi Mz.z- proiezioni di un punto arbitrario M spazi sull'asse Bue , Ehi e Oncia rispettivamente.

Passa attraverso il punto M BueBue al punto MX. Passa attraverso il punto M piano perpendicolare all'asse Ehi. Questo piano interseca l'asse Ehi al punto Msi. Passa attraverso il punto M piano perpendicolare all'asse Oncia. Questo piano interseca l'asse Oncia al punto Mz.z.

Coordinate rettangolari cartesiane X , si e z.z punti M chiameremo rispettivamente le grandezze dei segmenti orientati OMX, OMsi e OMz.z. I valori di questi segmenti direzionali sono calcolati rispettivamente come X = X0 - 0 , si = si0 - 0 e z.z = z.z0 - 0 .

coordinate cartesiane X , si e z.z punti M sono nominati di conseguenza ascissa , ordinato e applique .

Presi a coppie, gli assi delle coordinate si trovano nei piani delle coordinate xOy , yOz e zOx .

Problemi sui punti nel sistema di coordinate cartesiane

Esempio 1

UN(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse x.

Decisione. Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse x si trova sull'asse x stesso, cioè sull'asse Bue, e quindi ha un'ascissa uguale all'ascissa del punto stesso, e un'ordinata (coordinata sull'asse Ehi, che l'asse x interseca nel punto 0), uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di questi punti sull'asse x:

UNx(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Esempio 2 I punti sono dati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse y.

Decisione. Come risulta dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse y si trova sull'asse y stesso, cioè sull'asse Ehi, e quindi ha un'ordinata uguale all'ordinata del punto stesso, e un'ascissa (la coordinata sull'asse Bue, che l'asse y interseca nel punto 0), uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di questi punti sull'asse y:

UNsi(0; 2);

Bsi (0; 1);

Csi(0;-2).

Esempio 3 I punti sono dati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Bue .

Bue Bue Bue, avrà la stessa ascissa del punto dato, e l'ordinata uguale in valore assoluto all'ordinata del punto dato, e di segno opposto ad essa. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici a questi punti attorno all'asse Bue :

UN"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Esempio 4 Determina in quali quadranti (quarti, figura con quadranti - alla fine del paragrafo "Sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano") può essere posizionato il punto M(X; si) , Se

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − si = 0 ;

4) X + si = 0 ;

5) X + si > 0 ;

6) X + si < 0 ;

7) X − si > 0 ;

8) X − si < 0 .

Esempio 5 I punti sono dati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(un; b) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici a questi punti attorno all'asse Ehi .

Continuiamo a risolvere i problemi insieme

Esempio 6 I punti sono dati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Trova le coordinate dei punti simmetrici a questi punti attorno all'asse Ehi .

Decisione. Ruota di 180 gradi attorno all'asse Ehi segmento di linea diretto da un asse Ehi fino a questo punto. Nella figura, dove sono indicati i quadranti del piano, si vede che il punto simmetrico a quello dato rispetto all'asse Ehi, avrà la stessa ordinata del punto dato, e un'ascissa uguale in valore assoluto all'ascissa del punto dato, e di segno opposto ad essa. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici a questi punti attorno all'asse Ehi :

UN"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Esempio 7 I punti sono dati nel sistema di coordinate cartesiane sul piano

UN(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Trova le coordinate dei punti che sono simmetrici a questi punti rispetto all'origine.

Decisione. Ruotiamo di 180 gradi attorno all'origine del segmento orientato andando dall'origine al punto dato. Nella figura, dove sono indicati i quadranti del piano, vediamo che un punto simmetrico ad un dato rispetto all'origine delle coordinate avrà un'ascissa e un'ordinata uguali in valore assoluto all'ascissa e all'ordinata del punto dato , ma di segno opposto a loro. Quindi otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici a questi punti rispetto all'origine:

UN"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Esempio 8

UN(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Trova le coordinate delle proiezioni di questi punti:

1) in aereo Oxy ;

2) all'aereo Oxz ;

3) all'aereo Oyz ;

4) sull'asse delle ascisse;

5) sull'asse y;

6) sull'asse dell'applique.

1) Proiezione di un punto su un piano Oxy situato su questo piano stesso, e quindi ha un'ascissa e un'ordinata uguali all'ascissa e all'ordinata del punto dato, e un'applicata uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oxy :

UNxy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Proiezione di un punto su un piano Oxz situato su questo piano stesso, e quindi ha un'ascissa e un'applicata uguali all'ascissa e all'applicata del punto dato, e un'ordinata uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oxz :

UNxz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Proiezione di un punto su un piano Oyz situato su questo piano stesso, e quindi ha un'ordinata e un'applicata uguali all'ordinata e all'applicata di un dato punto, e un'ascissa uguale a zero. Quindi otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti Oyz :

UNzz (0; 3; 5);

Bzz (0; 2; 1);

Czz(0;-3;0).

4) Come segue dalla parte teorica di questa lezione, la proiezione di un punto sull'asse x si trova sull'asse x stesso, cioè sull'asse Bue, e quindi ha un'ascissa uguale all'ascissa del punto stesso, e l'ordinata e l'applicata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ordinata e dell'applicata intersecano l'ascissa nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse x:

UNx(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) La proiezione di un punto sull'asse y si trova sull'asse y stesso, cioè sull'asse Ehi, e quindi ha un'ordinata uguale all'ordinata del punto stesso, e l'ascissa e l'applicata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi dell'ascissa e dell'applicata intersecano l'asse delle ordinate nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse y:

UNy(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) La proiezione di un punto sull'asse dell'applicata si trova sull'asse dell'applicata stesso, cioè sull'asse Oncia, e quindi ha un'applicata uguale all'applicata del punto stesso, e l'ascissa e l'ordinata della proiezione sono uguali a zero (poiché gli assi delle ascisse e delle ordinate intersecano l'asse dell'applicata nel punto 0). Otteniamo le seguenti coordinate delle proiezioni di questi punti sull'asse applicato:

UNz(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Esempio 9 I punti sono dati nel sistema di coordinate cartesiane nello spazio

UN(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Trova le coordinate dei punti che sono simmetrici a questi punti rispetto a:

1) aereo Oxy ;

2) aereo Oxz ;

3) aereo Oyz ;

4) asse delle ascisse;

5) asse y;

6) asse dell'applique;

7) l'origine delle coordinate.

1) "Avanzare" il punto sull'altro lato dell'asse Oxy Oxy, avrà un'ascissa e un'ordinata uguali all'ascissa e all'ordinata del punto dato, e un'applicata uguale in grandezza all'applicata del punto dato, ma di segno opposto ad essa. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Oxy :

UN"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Avanzare" il punto sull'altro lato dell'asse Oxz per la stessa distanza. Secondo la figura che mostra lo spazio delle coordinate, vediamo che il punto è simmetrico a quello dato rispetto all'asse Oxz, avrà un'ascissa e un'applicata uguali all'ascissa e all'applicata del punto dato, e un'ordinata uguale in grandezza all'ordinata del punto dato, ma di segno opposto ad essa. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Oxz :

UN"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Avanzare" il punto sull'altro lato dell'asse Oyz per la stessa distanza. Secondo la figura che mostra lo spazio delle coordinate, vediamo che il punto è simmetrico a quello dato rispetto all'asse Oyz, avrà un'ordinata e un'applicata uguali all'ordinata e un'applicata del punto dato, e un'ascissa uguale in grandezza all'ascissa del punto dato, ma di segno opposto. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati rispetto al piano Oyz :

UN"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Per analogia con i punti simmetrici sul piano e i punti nello spazio simmetrici ai dati rispetto ai piani, notiamo che nel caso di simmetria attorno a qualche asse del sistema di coordinate cartesiane nello spazio, la coordinata sull'asse attorno alla quale è impostata la simmetria manterrà il suo segno e le coordinate sugli altri due assi saranno le stesse in valore assoluto delle coordinate del punto dato, ma opposte nel segno.

4) L'ascissa manterrà il suo segno, mentre l'ordinata e l'applicata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto ai dati sull'asse x:

UN"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) L'ordinata manterrà il suo segno, mentre l'ascissa e l'applicata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici rispetto ai dati sull'asse y:

UN"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) L'applicata manterrà il suo segno e l'ascissa e l'ordinata cambieranno segno. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati sull'asse applicato:

UN"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Per analogia con la simmetria nel caso di punti su un piano, nel caso di simmetria rispetto all'origine, tutte le coordinate di un punto simmetrico a un dato saranno uguali in valore assoluto alle coordinate di un dato punto, ma opposte in segno a loro. Quindi, otteniamo le seguenti coordinate di punti che sono simmetrici ai dati rispetto all'origine.


Per impostare un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, è necessario selezionare diverse linee reciprocamente perpendicolari, chiamate assi. Il punto di intersezione degli assi O si chiama origine.

Su ciascun asse è necessario impostare una direzione positiva e selezionare un'unità di scala. Le coordinate del punto P sono considerate positive o negative, a seconda del semiasse su cui cade la proiezione del punto P.

Riso. 2

Coordinate rettangolari cartesiane del punto P in superficie Due linee mutuamente perpendicolari - assi coordinati o, che è lo stesso, proiezioni del raggio vettore r P punta su Due

Quando si parla di un sistema di coordinate bidimensionale, l'asse orizzontale è chiamato asse ascissa(Asse del bue), asse verticale - asse ordinato(asse Oy). Le direzioni positive vengono scelte sull'asse Ox - a destra, sull'asse Oy - in alto. Le coordinate x e y sono chiamate rispettivamente ascissa e ordinata del punto.

La notazione P(a,b) significa che il punto P sul piano ha l'ascissa a e l'ordinata b.

Coordinate rettangolari cartesiane punti p nello spazio 3D sono chiamate prese con un certo segno della distanza (espressa in unità di scala) di questo punto a tre piani coordinati reciprocamente perpendicolari o, che è lo stesso, proiezioni del raggio vettore r P punta su tre assi coordinati reciprocamente perpendicolari.

A seconda della posizione relativa delle direzioni positive degli assi coordinati, sinistra e Giusto sistemi di coordinate.

Riso. 3a
 Riso. 3b

Di norma, usa il giusto sistema di coordinate. Vengono scelte direzioni positive: sull'asse del Bue - verso l'osservatore; sull'asse Oy - a destra; sull'asse di Oz - su. Le coordinate x, y, z sono chiamate rispettivamente ascissa, ordinata e applicata.

Le superfici coordinate per le quali una delle coordinate rimane costante sono piani paralleli ai piani delle coordinate e le linee coordinate lungo le quali cambia solo una coordinata sono linee rette parallele agli assi delle coordinate. Le superfici delle coordinate si intersecano lungo le linee delle coordinate.

Scrivere P(a,b,c) significa che il punto Q ha ascissa a, ordinata b e applicata c.

Prendiamo un percorso logico diretto, senza essere distratti da molti moderni termini scientifici internazionali e nazionali. Il sistema di coordinate può essere rappresentato come un certo sistema di riferimento orientato sul piano in due direzioni e nello spazio in tre. Se ricordiamo il sistema matematico, allora è rappresentato da due direzioni reciprocamente perpendicolari, che hanno i nomi degli assi delle ascisse (X) e delle ordinate (Y). Sono orientati rispettivamente nelle direzioni orizzontale e verticale. L'intersezione di queste linee è l'origine con valori zero in valore assoluto. E la posizione dei punti sul piano è determinata utilizzando due coordinate X e Y. In geodesia, l'orientamento degli assi sul piano è diverso dalla matematica. Il sistema planare rettangolare è definito dall'asse X in posizione verticale (direzione nord) e dall'asse Y in posizione orizzontale (direzione est).

Classificazione dei sistemi di coordinate

In geodesia, tutti i sistemi di coordinate possono essere rappresentati come due gruppi:

  • rettangolare rettilineo
  • polare

In entrambi i gruppi si distinguono sia sistemi piani (bidimensionali) che spaziali (tridimensionali).

I sistemi rettangolari rettangolari includono la proiezione cilindrica di Gauss-Kruger, il riferimento individuale e i sistemi di coordinate locali.

I sistemi polari includono sistemi geografici, astronomici e geodetici, geocentrici e topocentrici.

Sistema di coordinate geografiche

La superficie chiusa del contorno esterno della Terra è rappresentata da una forma geometrica sferoide. Gli archi sulla superficie della palla possono essere presi come le principali direzioni di orientamento su di essa. Su una rappresentazione semplificata di un modello ridotto del nostro pianeta sotto forma di un globo (la figura della terra), puoi vedere visivamente le linee di riferimento accettate sotto forma del meridiano di Greenwich e della linea equatoriale.

In questo esempio, è il sistema spaziale di coordinate geografiche generalmente accettato in tutto il mondo. Introduce i concetti di longitudine e latitudine. Avendo unità di misura in gradi, rappresentano un valore angolare. Molti hanno familiarità con le loro definizioni. Va ricordato che la longitudine geografica di un determinato punto rappresenta l'angolo tra due piani passanti per il meridiano zero (Greenwich) e il meridiano della località da determinare. Sotto la latitudine geografica di un punto, viene preso l'angolo formato tra il filo a piombo (o normale) ad esso e il piano dell'equatore.

I concetti di sistemi di coordinate astronomiche e geodetiche e loro differenze

Il sistema geografico combina convenzionalmente i sistemi astronomico e geodetico. Per capire quali differenze esistono ancora, prestare attenzione alle definizioni delle coordinate geodetiche e astronomiche (longitudine, latitudine, altezza). Nel sistema astronomico, la latitudine è considerata come l'angolo tra il piano equatoriale e il filo a piombo nel punto di definizione. E la forma stessa della Terra in essa è considerata come un geoide condizionale, matematicamente approssimativamente equiparato a una sfera. Nel sistema geodetico, la latitudine è formata dalla normale alla superficie dell'ellissoide terrestre in un punto particolare e dal piano dell'equatore. Le terze coordinate in questi sistemi danno l'idea finale delle loro differenze. L'altezza astronomica (ortometrica) è l'elevazione lungo il filo a piombo tra l'altezza effettiva e un punto sulla superficie del geoide di livello. L'altezza geodetica è la distanza normale dalla superficie dell'ellissoide al punto di calcolo.

Sistema di coordinate rettangolari del piano di Gauss-Krüger

Ogni sistema di coordinate ha la sua applicazione teorica scientifica e pratica economica, sia a livello globale che regionale. In alcuni casi specifici è possibile utilizzare sistemi di coordinate di riferimento, locali e condizionali, ma che, attraverso calcoli e calcoli matematici, possono comunque essere combinati tra loro.

Il sistema di coordinate piane rettangolari geodetiche è una proiezione delle singole zone di sei gradi dell'ellissoide. Inscrivendo questa figura all'interno di un cilindro posizionato orizzontalmente, ciascuna zona viene proiettata separatamente sulla superficie cilindrica interna. Le zone di tale sferoide sono delimitate da meridiani con un passo di sei gradi. Quando viene schierato su un aereo, si ottiene una proiezione, che prende il nome dagli scienziati tedeschi che l'hanno sviluppata Gauss-Kruger. In questo modo di proiezione, gli angoli tra tutte le direzioni mantengono le loro grandezze. Pertanto, a volte è anche chiamato equiangolare. L'asse delle ascisse nella zona passa attraverso il centro, attraverso il meridiano assiale condizionale (asse X) e l'asse delle ordinate lungo la linea dell'equatore (asse Y). La lunghezza delle linee lungo il meridiano assiale viene trasmessa senza distorsioni e lungo la linea equatoriale con distorsione ai bordi della zona.

Sistema di coordinate polari

Oltre al sistema di coordinate rettangolari sopra descritto, va segnalata la presenza e l'utilizzo di un sistema di coordinate polari piane nella risoluzione di problemi geodetici. Per la direzione di riferimento iniziale, utilizza l'asse della direzione settentrionale (polare), da cui il nome. Per determinare la posizione dei punti sul piano, vengono utilizzati l'angolo polare (direzionale) e il raggio vettore (distanza orizzontale) dal punto. Ricordiamo che l'angolo direzionale è l'angolo misurato dalla direzione originale (settentrionale) a quella determinata. Il raggio vettore è espresso nella definizione di una distanza orizzontale. Le misurazioni geodetiche dell'angolo verticale e della distanza inclinata vengono aggiunte al sistema polare spaziale per determinare la posizione 3D dei punti. Questo metodo è utilizzato quasi quotidianamente nei livellamenti trigonometrici, nei rilievi topografici e per lo sviluppo di reti geodetiche.

Sistemi di coordinate geocentriche e topocentriche

I sistemi di coordinate geocentriche e topocentriche dei satelliti sono parzialmente disposti secondo lo stesso metodo polare, con la sola differenza che gli assi principali dello spazio tridimensionale (X, Y, Z) hanno origini e direzioni diverse. Nel sistema geocentrico, l'origine delle coordinate è il centro di massa della Terra. L'asse X è diretto lungo il meridiano di Greenwich verso l'equatore. L'asse Y è posto in una posizione rettangolare ad est di X. L'asse Z ha inizialmente una direzione polare lungo l'asse minore dell'ellissoide. Le sue coordinate sono:

  • nel piano equatoriale l'ascensione retta geocentrica del satellite
  • nel piano meridiano la declinazione geocentrica del satellite
  • vettore raggio geocentrico è la distanza dal centro di gravità terrestre al satellite.

Quando si osserva il movimento dei satelliti da un punto di appoggio sulla superficie terrestre, viene utilizzato un sistema topocentrico, i cui assi di coordinate sono paralleli agli assi del sistema geocentrico e il punto di osservazione è considerato il suo inizio. Coordinate in un tale sistema:

  • satellite topocentrico di ascensione retta
  • declinazione topocentrica del satellite
  • vettore del raggio topocentrico del satellite
  • vettore del raggio geocentrico nel punto di osservazione.

I moderni sistemi di riferimento globale satellitare WGS-84, PZ-90 includono non solo le coordinate, ma anche altri parametri e caratteristiche importanti per le misurazioni geodetiche, le osservazioni e la navigazione. Questi includono geodetica e altre costanti:

  • date geodetiche originali
  • dati dell'ellissoide terrestre
  • modello geoide
  • modello del campo gravitazionale
  • valori della costante gravitazionale
  • valore della velocità della luce e altri.

Ogni persona moderna deve sapere cos'è un sistema di coordinate. Ogni giorno incontriamo tali sistemi, senza nemmeno pensare a cosa siano. Una volta a scuola, abbiamo imparato i concetti di base, sappiamo approssimativamente che c'è un asse x, un asse y e un punto di riferimento uguale a zero. In effetti, tutto è molto più complicato, ci sono diverse varietà di sistemi di coordinate. Nell'articolo considereremo ciascuno di essi in dettaglio e forniremo anche una descrizione dettagliata di dove e perché vengono utilizzati.

Definizione e portata

Un sistema di coordinate è un insieme di definizioni che specifica la posizione di un corpo o di un punto utilizzando numeri o altri simboli. L'insieme di numeri che determinano la posizione di un particolare punto è chiamato le coordinate di questo punto. I sistemi di coordinate sono utilizzati in molte aree della scienza, ad esempio in matematica, le coordinate sono una raccolta di numeri associati a punti in una mappa di un atlante predeterminato. In geometria, le coordinate sono quantità che determinano la posizione di un punto nello spazio e su un piano. In geografia, le coordinate indicano latitudine, longitudine e altitudine al di sopra del livello generale del mare, dell'oceano o di altri valori noti. In astronomia le coordinate sono grandezze che permettono di determinare la posizione di una stella, come la declinazione e l'ascensione retta. Questo non è un elenco completo di dove vengono utilizzati i sistemi di coordinate. Se pensi che questi concetti siano lontani dalle persone che non sono interessate alla scienza, allora credi che nella vita di tutti i giorni siano molto più comuni di quanto pensi. Prendi almeno una mappa della città, perché non hai un sistema di coordinate?

Dopo aver affrontato la definizione, diamo un'occhiata a quali tipi di sistemi di coordinate esistono e cosa sono.

Sistema di coordinate zonali

Questo sistema di coordinate viene utilizzato principalmente per vari rilievi orizzontali e per la preparazione di piani del terreno affidabili. Si basa sulla proiezione trasversale-cilindrica conforme di Gauss. In questa proiezione, l'intera superficie del geoide terrestre è divisa dai meridiani in zone di 6 gradi e numerate dal 1° al 60° a est del meridiano di Greenwich. In questo caso, il meridiano medio di questa zona a 6 carboni è chiamato assiale. È consuetudine combinarlo con la superficie interna del cilindro e considerarlo l'asse delle ascisse. Per evitare valori negativi delle ordinate (y), l'ordinata sul meridiano assiale (punto di riferimento iniziale) non viene presa come zero, ma come 500 km, cioè viene spostata di 500 km verso ovest. Prima dell'ordinata deve essere indicato il numero della zona.

Sistema di coordinate di Gauss-Kruger

Questo sistema di coordinate si basa sulla proiezione proposta dal famoso scienziato tedesco Gauss e sviluppata per l'uso in geodesia da Kruger. L'essenza di questa proiezione è che la sfera terrestre è condizionatamente divisa dai meridiani in zone di sei gradi. Le zone sono numerate dal meridiano di Greenwich da ovest a est. Conoscendo il numero della zona, puoi facilmente determinare il meridiano medio, chiamato meridiano assiale, usando la formula Z = 60(n) - 3, dove (n) è il numero della zona. Per ogni zona viene realizzata un'immagine piana proiettandola sulla superficie laterale di un cilindro il cui asse è perpendicolare all'asse terrestre. Questo cilindro viene quindi distribuito passo dopo passo sull'aereo. L'equatore e il meridiano centrale sono rappresentati come linee rette. L'asse delle ascisse in ciascuna zona è il meridiano assiale e l'equatore funge da asse delle ordinate. Il punto di riferimento iniziale è il punto di intersezione dell'equatore e del meridiano assiale. Le ascisse si contano a nord dell'equatore solo con il segno più ea sud dell'equatore solo con il segno meno.

Sistema di coordinate polari sul piano

Questo è un sistema di coordinate bidimensionale, ogni punto in cui è definito sul piano da due numeri: il raggio polare e l'angolo polare. Il sistema di coordinate polari è utile quando le relazioni tra i punti sono più facili da rappresentare come angoli e raggi. Il sistema di coordinate polari è definito da un raggio chiamato asse polare o zero. Il punto da cui emerge questo raggio è chiamato polo o origine. Un punto arbitrario sul piano è determinato solo da due coordinate polari: angolare e radiale. La coordinata radiale è uguale alla distanza dal punto all'origine del sistema di coordinate. La coordinata angolare è uguale all'angolo di cui è necessario ruotare l'asse polare in senso antiorario per arrivare al punto.

Sistema di coordinate rettangolare

Cos'è un sistema di coordinate rettangolari, probabilmente lo saprai dal banco di scuola, ma comunque, ricordiamolo ancora una volta. Un sistema di coordinate rettangolari è un tale sistema rettilineo in cui gli assi si trovano nello spazio o su un piano e sono reciprocamente perpendicolari tra loro. Questo è il sistema di coordinate più semplice e più comunemente usato. Può essere generalizzato direttamente e piuttosto facilmente a spazi di qualsiasi dimensione, il che contribuisce anche alla sua più ampia applicazione. La posizione di un punto sul piano è determinata da due coordinate: x e y, rispettivamente, c'è un asse delle ascisse e delle ordinate.

Sistema di coordinate cartesiano

Spiegando cos'è un sistema di coordinate cartesiane, prima di tutto, bisogna dire che questo è un caso speciale di un sistema di coordinate rettangolari, in cui le stesse scale sono impostate lungo gli assi. In matematica, viene spesso considerato il sistema di coordinate cartesiane bidimensionale o tridimensionale. Le coordinate sono denotate dalle lettere latine x, y, z e sono chiamate rispettivamente ascissa, ordinata e applicata. L'asse delle coordinate (OX) è generalmente chiamato asse delle ascisse, l'asse (OY) è l'asse y e l'asse (OZ) è l'asse applicato.

Ora sai cos'è un sistema di coordinate, cosa sono e dove vengono utilizzati.

Sistema di coordinate rettangolare- un sistema di coordinate rettilineo con assi reciprocamente perpendicolari su un piano o nello spazio. Il sistema di coordinate più semplice e quindi più comunemente utilizzato. Si generalizza molto facilmente e direttamente a spazi di qualsiasi dimensione, il che contribuisce anche alla sua ampia applicazione.

Termini correlati: cartesiano di solito chiamato un sistema di coordinate rettangolari con la stessa scala lungo gli assi (dal nome di René Descartes), e comune sistema di coordinate cartesianeè chiamato un sistema affine di coordinate (non rettangolare).

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    Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è formato da due assi di coordinate reciprocamente perpendicolari e O (\displaystyle O), che si chiama origine delle coordinate, ogni asse ha una direzione positiva.

    Posizione del punto UN (\ displaystyle A) sul piano è determinato da due coordinate x (\displaystyle x) e y (\displaystyle y). Coordinata x (\displaystyle x) uguale alla lunghezza del segmento OB (\displaystyle OB), coordinare y (\displaystyle y)- lunghezza del segmento OC (\displaystyle OC) OB (\displaystyle OB) e OC (\displaystyle OC) definito da linee tracciate da un punto UN (\ displaystyle A) parallela agli assi Y ′ Y (\displaystyle Y"Y) e X ′ X (\displaystyle X"X) rispettivamente.

    Con questa coordinata x (\displaystyle x) B (\displaystyle B) giace sulla trave (e non sulla trave BUE (\displaystyle BUE), come in figura). Coordinata y (\displaystyle y) viene assegnato un segno meno se il punto C (\ displaystyle C) giace sulla trave. In questo modo, O X ′ (\ displaystyle OX ") e O Y ′ (\ displaystyle OY ") sono le direzioni negative degli assi delle coordinate (ogni asse delle coordinate è trattato come un asse numerico).

    Asse x (\displaystyle x) chiamato l'asse x e l'asse y (\displaystyle y)- l'asse y. Coordinata x (\displaystyle x) chiamata ascissa punti UN (\ displaystyle A), coordinare y (\displaystyle y) - ordinato punti UN (\ displaystyle A).

    UN (x, y) (\displaystyle A(x,\;y)) UN = (x, y) (\displaystyle A=(x,\;y))

    oppure indicare l'appartenenza delle coordinate ad un punto specifico utilizzando l'indice:

    x UN , x B (\displaystyle x_(A),x_(B))

    Sistema di coordinate rettangolari nello spazio(in questo paragrafo intendiamo spazio tridimensionale, spazi più multidimensionali - vedi sotto) è formato da tre assi coordinati reciprocamente perpendicolari BUE (\displaystyle BUE), O Y (\ Displaystyle OY) e OZ (\displaystyle OZ). Gli assi delle coordinate si intersecano in un punto O (\displaystyle O), che si chiama origine, su ciascun asse viene selezionata la direzione positiva indicata dalle frecce, e l'unità di misura dei segmenti sugli assi. Le unità sono generalmente (non necessariamente) le stesse per tutti gli assi. BUE (\displaystyle BUE)- asse ascissa, O Y (\ Displaystyle OY)- asse ordinata, OZ (\displaystyle OZ)- asse applicato.

    Posizione del punto UN (\ displaystyle A) nello spazio è determinato da tre coordinate x (\displaystyle x), y (\displaystyle y) e z (\displaystyle z). Coordinata x (\displaystyle x) uguale alla lunghezza del segmento OB (\displaystyle OB), coordinare y (\displaystyle y)- lunghezza del segmento OC (\displaystyle OC), coordinare z (\displaystyle z)- lunghezza del segmento OD (\displaystyle OD) nelle unità di misura selezionate. Segmenti OB (\displaystyle OB), OC (\displaystyle OC) e OD (\displaystyle OD) sono definiti da piani tracciati da un punto UN (\ displaystyle A) parallele ai piani Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ) e X O Y (\displaystyle XOY) rispettivamente.

    Coordinata x (\displaystyle x) detta ascissa del punto UN (\ displaystyle A), coordinare y (\displaystyle y)- punto di ordinata UN (\ displaystyle A), coordinare z (\displaystyle z)- punto applicato UN (\ displaystyle A).

    Simbolicamente si scrive così:

    UN (x, y, z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) UN = (x, y, z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))

    o associare un record di coordinate a un punto specifico utilizzando un indice:

    x UN , y UN , z UN (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))

    Ogni asse è considerato come una linea numerica, cioè ha una direzione positiva e valori di coordinate negativi sono assegnati ai punti che giacciono sul raggio negativo (la distanza è presa con un segno meno). Cioè, se, ad esempio, il punto B (\displaystyle B) non giacere come nella figura - sulla trave BUE (\displaystyle BUE), e sulla sua continuazione nella direzione opposta rispetto al punto O (\displaystyle O)(sulla parte negativa dell'asse BUE (\displaystyle BUE)), poi l'ascissa x (\displaystyle x) punti UN (\ displaystyle A) sarebbe negativo (meno la distanza OB (\displaystyle OB)). Analogamente per gli altri due assi.

    Tutti i sistemi di coordinate rettangolari nello spazio tridimensionale sono divisi in due classi: diritti(anche termini usati positivo, standard) e sinistra. Di solito, per impostazione predefinita, tentano di utilizzare sistemi di coordinate destrorsi e, quando vengono visualizzati graficamente, li collocano anche, se possibile, in una delle numerose posizioni abituali (tradizionali). (La figura 2 mostra il sistema di coordinate destro). I sistemi di coordinate destro e sinistro non possono essere combinati mediante rotazioni in modo che gli assi corrispondenti (e le loro direzioni) coincidano. È possibile determinare a quale classe appartiene un particolare sistema di coordinate utilizzando la regola della mano destra, la regola della vite, ecc. (la direzione positiva degli assi viene scelta in modo che quando l'asse viene ruotato BUE (\displaystyle BUE) in senso antiorario di 90° la sua direzione positiva coincideva con la direzione positiva dell'asse O Y (\ Displaystyle OY), se questa rotazione viene osservata dal lato della direzione positiva dell'asse OZ (\displaystyle OZ)).

    Sistema di coordinate rettangolari nello spazio multidimensionale

    Un sistema di coordinate rettangolari può anche essere utilizzato in uno spazio di qualsiasi dimensione finita nello stesso modo in cui si fa per uno spazio tridimensionale. Il numero di assi coordinati in questo caso è uguale alla dimensione dello spazio (in questa sezione lo indicheremo n).

    Le coordinate sono solitamente indicate non da lettere diverse, ma dalla stessa lettera con un indice numerico. Molto spesso è:

    x 1 , x 2 , x 3 , … x n . (\ displaystyle x_ (1), x_ (2), x_ (3), \ punti x_ (n).)

    Per designare un arbitrario io La coordinata di questo set utilizza un indice di lettere:

    e spesso la designazione x io , (\displaystyle x_(i),) utilizzare e per indicare l'intero insieme, implicando che l'indice attraversa l'intero insieme di valori: io = 1 , 2 , 3 , ... n (\ displaystyle i = 1,2,3, \ punti n).

    In qualsiasi dimensione dello spazio, i sistemi di coordinate rettangolari sono divisi in due classi, destra e sinistra (o positiva e negativa). Per gli spazi multidimensionali, uno dei sistemi di coordinate è arbitrariamente (condizionatamente) chiamato destra, e il resto risulta essere destro o sinistro, a seconda che abbiano o meno lo stesso orientamento.

    Coordinate vettoriali rettangolari

    Per definire rettangolare coordinate vettoriali(applicabile per rappresentare vettori di qualsiasi dimensione), possiamo procedere dal fatto che le coordinate del vettore (segmento orientato), il cui inizio è all'origine, coincidono con le coordinate della sua fine.

    Per i vettori (segmenti orientati) la cui origine non coincide con l'origine, le coordinate rettangolari possono essere determinate in due modi:

    1. Il vettore può essere spostato in modo che la sua origine coincida con l'origine). Quindi le sue coordinate sono determinate nel modo descritto all'inizio del paragrafo: le coordinate di un vettore spostato in modo che la sua origine coincida con l'origine sono le coordinate della sua fine.
    2. Invece, puoi semplicemente sottrarre dalle coordinate della fine del vettore (segmento orientato) le coordinate del suo inizio.
    • Per coordinate rettangolari, il concetto di coordinata vettoriale coincide con il concetto di proiezione ortogonale di un vettore sulla direzione dell'asse delle coordinate corrispondenti.

    In coordinate rettangolari, tutte le operazioni sui vettori sono scritte in modo molto semplice:

    • Addizione e moltiplicazione per uno scalare:
    un + b = (un 1 + b 1 , un 2 + b 2 , un 3 + b 3 , ... , un n + b n) (\ Displaystyle \ mathbf (a) + \ mathbf (b) = (a_ (1) + b_(1),a_(2)+b_(2),a_(3)+b_(3),\punti ,a_(n)+b_(n))) (a + b) io = un io + b io , (\ Displaystyle (\ mathbf (a) + \ mathbf (b)) _ (i) = a_ (i) + b_ (i),) c un = (c un 1 , c un 2 , c un 3 , ... , c un n) (\displaystyle c\ \mathbf (a) =(c\ a_(1),c\ a_(2),c\ a_(3),\ punti ,c\ a_(n))) (c un) io = c un io . (\ Displaystyle (c \ \ mathbf (a)) _ (i) = c \ a_ (i).) e quindi la sottrazione e la divisione: un - b = (un 1 - b 1 , un 2 - b 2 , un 3 - b 3 , ... , un n - b n ) (\ Displaystyle \ mathbf (a) - \ mathbf (b) = (a_ (1) - b_(1),a_(2)-b_(2),a_(3)-b_(3),\punti ,a_(n)-b_(n))) (a - b) io = un io - b io, (\ Displaystyle (\ mathbf (a) - \ mathbf (b)) _ (i) = a_ (i) -b_ (i),) un λ = (un 1 λ , un 2 λ , un 3 λ , ... , un n λ) (\displaystyle (\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))=(\Big ()(\frac (a_ (1))(\lambda )),(\frac (a_(2))(\lambda )),(\frac (a_(3))(\lambda )),\dots ,(\frac (a_(n ))(\lambda ))(\Big))) (un λ) io = un io λ . (\displaystyle (\Big ()(\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda )).)

    (Questo vale per qualsiasi dimensione n e anche, insieme alle coordinate rettangolari, per le coordinate oblique).

    un ⋅ b = un 1 b 1 + un 2 b 2 + un 3 b 3 + ⋯ + un n b n (\ Displaystyle \ mathbf (a) \ cdot \ mathbf (b) = a_ (1) b_ (1) + a_ (2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\punti +a_(n)b_(n)) un ⋅ b = ∑ io = 1 n un io b io , (\ Displaystyle \ mathbf (a) \ cdot \ mathbf (b) = \ sum \ limiti _ (i = 1) ^ (n) a_ (i) b_ (i),)

    (Solo in coordinate rettangolari con scala unitaria su tutti gli assi).

    • Attraverso il prodotto scalare, puoi calcolare la lunghezza del vettore
    | un | = un ⋅ un (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a)))) e l'angolo tra i vettori ∠ (a , b) = a r c c o S un ⋅ b | un | ⋅ | b | (\displaystyle \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b) )(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |)))
    • e k (\displaystyle \mathbf (k) ) e X (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (x)), e y (\ Displaystyle \ mathbf (e) _ (y)) e e z (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (z)).

      Simboli freccia ( io → (\ displaystyle (\ vec (i))), j → (\displaystyle (\vec (j))) e k → (\displaystyle (\vec (k))) o e → x (\displaystyle (\vec(e))_(x)), e → y (\displaystyle (\vec(e))_(y)) e e → z (\displaystyle (\vec(e))_(z))) o altri secondo il modo usuale di designare i vettori in una o nell'altra letteratura.

      In questo caso, nel caso di un sistema di coordinate destro, valgono le seguenti formule con prodotti vettoriali di vettori:

      Per dimensioni superiori a 3 (o per il caso generale in cui la dimensione può essere qualsiasi) è comune che i vettori unitari utilizzino invece la notazione con indici numerici, molto spesso questo

      e 1 , e 2 , e 3 , ... e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( e) _(n),)

      dove n- dimensione dello spazio.

      Un vettore di qualsiasi dimensione viene scomposto in base alla base (le coordinate fungono da coefficienti di espansione):

      un = un 1 e 1 + un 2 e 2 + un 3 e 3 + ⋯ + un n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( e) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\punti +a_(n)\mathbf (e) _(n)) un = ∑ io = 1 n un io e io , (\ Displaystyle \ mathbf (a) = \ sum \ limiti _ (i = 1) ^ (n) a_ (i) \ mathbf (e) _ (i),) Pierre Fermat, tuttavia, le sue opere furono pubblicate per la prima volta dopo la sua morte. Descartes e Fermat usarono il metodo delle coordinate solo sul piano.

      Il metodo delle coordinate per lo spazio tridimensionale fu applicato per la prima volta da Leonhard Euler già nel XVIII secolo. L'uso di orts risale a quanto pare

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