Teoria dei limiti- una delle sezioni dell'analisi matematica, che si può padroneggiare, altre difficilmente calcolano i limiti. La questione della ricerca dei limiti è abbastanza generale, poiché esistono dozzine di trucchi soluzioni limite vari tipi. Gli stessi limiti possono essere trovati sia con la regola de L'Hopital che senza di essa. Succede che il programma in una serie di funzioni infinitesimali ti permetta di ottenere rapidamente il risultato desiderato. Esistono una serie di trucchi e trucchi che ti consentono di trovare il limite di una funzione di qualsiasi complessità. In questo articolo cercheremo di comprendere i principali tipi di limiti che si incontrano più spesso nella pratica. Non daremo qui la teoria e la definizione del limite, ci sono molte risorse su Internet dove questo viene masticato. Quindi facciamo calcoli pratici, è qui che inizi "Non lo so! Non so come! Non ci è stato insegnato!"

Calcolo dei limiti con il metodo della sostituzione

Esempio 1 Trova il limite di una funzione
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Soluzione: In teoria, esempi di questo tipo sono calcolati con la solita sostituzione

Il limite è il 18/11.
Non c'è nulla di complicato e saggio entro tali limiti: hanno sostituito il valore, calcolato, annotato il limite in risposta. Tuttavia, sulla base di tali limiti, a tutti viene insegnato che, prima di tutto, bisogna sostituire un valore nella funzione. Inoltre, i limiti complicano, introducono il concetto di infinito, incertezza e simili.

Limite con incertezza di tipo infinito diviso infinito. Metodi di divulgazione dell'incertezza

Esempio 2 Trova il limite di una funzione
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinito).
Soluzione: è dato un limite della forma polinomio diviso per un polinomio e la variabile tende all'infinito

Una semplice sostituzione del valore a cui la variabile dovrebbe trovare i limiti non aiuta, otteniamo un'incertezza della forma infinito diviso infinito.
Teoria dei limiti del vaso L'algoritmo per calcolare il limite consiste nel trovare il massimo grado di "x" nel numeratore o nel denominatore. Successivamente, il numeratore e il denominatore vengono semplificati su di esso e viene trovato il limite della funzione

Poiché il valore tende a zero quando la variabile va all'infinito, vengono trascurati o scritti nell'espressione finale come zeri

Immediatamente dalla pratica, puoi ottenere due conclusioni che sono un suggerimento nei calcoli. Se la variabile tende all'infinito e il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore, allora il limite è uguale all'infinito. Altrimenti, se il polinomio al denominatore è di ordine superiore rispetto al numeratore, il limite è zero.
La formula del limite può essere scritta come

Se abbiamo una funzione della forma di un registro ordinario senza frazioni, il suo limite è uguale all'infinito

Il prossimo tipo di limiti riguarda il comportamento delle funzioni vicine allo zero.

Esempio 3 Trova il limite di una funzione
Limite((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluzione: qui non è necessario eliminare il moltiplicatore iniziale del polinomio. Esattamente il contrario, è necessario trovare la più piccola potenza del numeratore e del denominatore e calcolare il limite

x^2 valore; x tendono a zero quando la variabile tende a zero Pertanto, vengono trascurati, quindi otteniamo

che il limite è 2,5.

Ora sai come trovare il limite di una funzione una specie di polinomio diviso per un polinomio se la variabile tende all'infinito oa 0. Ma questa è solo una piccola e facile parte degli esempi. Da materiale successivo Imparerai come scoprire le incertezze dei limiti di una funzione.

Limite con incertezza di tipo 0/0 e metodi per il suo calcolo

Subito tutti ricordano la regola secondo la quale non si può dividere per zero. Tuttavia, la teoria dei limiti in questo contesto significa funzioni infinitesimali.
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi per illustrare.

Esempio 4 Trova il limite di una funzione
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Soluzione: quando sostituiamo il valore della variabile x = -1 nel denominatore, otteniamo zero, otteniamo lo stesso nel numeratore. Quindi abbiamo incertezza della forma 0/0.
È facile affrontare tale incertezza: è necessario fattorizzare il polinomio, o meglio, selezionare un fattore che trasforma la funzione in zero.

Dopo la scomposizione, il limite della funzione può essere scritto come

Questa è l'intera tecnica per calcolare il limite di una funzione. Facciamo lo stesso se c'è un limite della forma di un polinomio diviso per un polinomio.

Esempio 5 Trova il limite di una funzione
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluzione: mostra la sostituzione diretta
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
cosa abbiamo incertezza di tipo 0/0.
Dividi i polinomi per il fattore che introduce la singolarità


Ci sono insegnanti che insegnano che i polinomi del 2° ordine, cioè il tipo di "equazioni quadratiche", dovrebbero essere risolti attraverso il discriminante. Ma pratica reale mostra che è più lungo e più complicato, quindi elimina le funzionalità all'interno dell'algoritmo specificato. Pertanto, scriviamo la funzione sotto forma di fattori semplici e calcoliamo nel limite

Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato nel calcolare tali limiti. Sai come dividere i polinomi al momento dello studio dei limiti, almeno secondo il programma, dovresti già passare.
Tra i compiti per incertezza di tipo 0/0 ci sono quelli in cui è necessario applicare le formule di moltiplicazione abbreviata. Ma se non li conosci, dividendo il polinomio per il monomio, puoi ottenere la formula desiderata.

Esempio 6 Trova il limite di una funzione
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Soluzione: abbiamo un'incertezza di tipo 0/0 . Al numeratore usiamo la formula per la moltiplicazione abbreviata

e calcolare il limite desiderato

Metodo di rivelazione dell'incertezza mediante moltiplicazione per il coniugato

Il metodo viene applicato ai limiti in cui le funzioni irrazionali generano incertezza. Il numeratore o denominatore si azzera nel punto di calcolo e non si sa come trovare il confine.

Esempio 7 Trova il limite di una funzione
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluzione: Rappresentiamo la variabile nella formula del limite

Quando sostituiamo, otteniamo un'incertezza di tipo 0/0.
Secondo la teoria dei limiti, lo schema per aggirare questa singolarità consiste nel moltiplicare un'espressione irrazionale per il suo coniugato. Per mantenere invariata l'espressione, il denominatore deve essere diviso per lo stesso valore

Con la regola della differenza dei quadrati, semplifichiamo il numeratore e calcoliamo il limite della funzione

Semplifichiamo i termini che creano una singolarità nel limite ed eseguiamo la sostituzione

Esempio 8 Trova il limite di una funzione
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Soluzione: la sostituzione diretta mostra che il limite ha una singolarità della forma 0/0.

Espandere, moltiplicare e dividere per il coniugato al numeratore

Scrivi la differenza dei quadrati

Semplifichiamo i termini che introducono una singolarità e troviamo il limite della funzione

Esempio 9 Trova il limite di una funzione
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluzione: sostituisci il due nella formula

Ottenere incertezza 0/0.
Il denominatore deve essere moltiplicato per l'espressione coniugata e nel numeratore risolvere equazione quadrata o fattorizzare, tenendo conto della singolarità. Poiché è noto che 2 è una radice, la seconda radice viene trovata dal teorema di Vieta

Quindi, scriviamo il numeratore nella forma

e metti il ​​limite

Dopo aver ridotto la differenza dei quadrati, eliminiamo le caratteristiche del numeratore e del denominatore

Nel modo sopra, puoi eliminare la singolarità in molti esempi e l'applicazione dovrebbe essere notata ovunque dove la data differenza delle radici diventa zero durante la sostituzione. Altri tipi di limiti riguardano funzioni esponenziali, funzioni infinitesime, logaritmi, limiti singolari e altre tecniche. Ma puoi leggere di questo negli articoli qui sotto sui limiti.

Concetti di limiti di successioni e funzioni. Quando è necessario trovare il limite di una successione, si scrive come segue: lim xn=a. In una tale sequenza di successioni, xn tende ad a, ed n tende ad infinito. Una sequenza è solitamente rappresentata come una serie, ad esempio:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Le sequenze si dividono in ascendenti e discendenti. Per esempio:
xn=n^2 - sequenza crescente
yn=1/n - sequenza
Quindi, ad esempio, il limite della sequenza xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x→∞
Questo limite è zero perché n→∞ e la successione 1/n^2 tende a zero.

Di solito variabile x tende a un limite finito a, inoltre, x si avvicina costantemente ad a, e il valore di a è costante. Questo si scrive così: limx = a, mentre n può anche tendere sia a zero che a infinito. Esistono infinite funzioni, per esse il limite tende all'infinito. In altri casi, quando, ad esempio, la funzione di rallentamento del treno, è possibile per un limite tendente a zero.
I limiti hanno una serie di proprietà. Di norma, qualsiasi funzione ha un solo limite. Questa è la proprietà principale del limite. Altri sono elencati di seguito:
* Il limite di somma è pari alla somma dei limiti:
lim(x+y)=limx+lim
* Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti:
lim(xy)=limx*lim
* Il limite del quoziente è pari al quoziente dei limiti:
lim(x/y)=limx/lim y
* Il fattore costante viene tolto dal segno limite:
lim(Cx)=Climx
Data una funzione 1 /x dove x →∞, il suo limite è zero. Se x→0, allora il limite di tale funzione è uguale a ∞.
Per le funzioni trigonometriche esistono di queste regole. Poiché la funzione sin x tende sempre a uno quando si avvicina allo zero, l'identità vale per essa:
peccato lim x/x=1

In una serie di funzioni, quando si calcolano i limiti di cui sorge l'incertezza, una situazione in cui il limite non può essere calcolato. L'unica via d'uscita da questa situazione è L'Hopital. Esistono due tipi di incertezza:
* incertezza della forma 0/0
* incertezza della forma ∞/∞
Ad esempio, dato un limite della seguente forma: lim f(x)/l(x), inoltre, f(x0)=l(x0)=0. In questo caso, c'è un'incertezza della forma 0/0. Per risolvere tale problema, entrambe le funzioni vengono differenziate, dopodiché viene trovato il limite del risultato. Per incertezze della forma 0/0, il limite è:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (per x→0)
La stessa regola vale per incertezze del tipo ∞/∞. Ma in questo caso vale la seguente uguaglianza: f(x)=l(x)=∞
Usando la regola L'Hospital, puoi trovare i valori di eventuali limiti in cui compaiono incertezze. Condizione obbligatoria per

volume - l'assenza di errori nella ricerca di derivati. Quindi, ad esempio, la derivata della funzione (x^2)" è uguale a 2x. Da ciò possiamo concludere che:
f"(x)=nx^(n-1)

Membro della sequenza.

Il numero a si dice limite della successione (xn) se per ogni ε>0 esiste un numero n=n(ε) a partire dal quale |xn-a |

Esempio 2. Dimostrare che nell'esempio 1 il numero a=1 non è il limite della successione dell'esempio precedente. Soluzione. Semplifica nuovamente il termine comune della sequenza. Prendi ε=1 (questo è un qualsiasi numero >

I problemi di calcolo diretto del limite di una successione sono piuttosto monotoni. Tutti contengono rapporti di polinomi rispetto a n o espressioni rispetto a questi polinomi. Quando inizi a risolvere, togli dalle parentesi (segno radicale) il componente situato nell'anziano. Supponiamo che per il numeratore dell'espressione originale questo porti alla comparsa del fattore a^p, e per il denominatore b^q. Ovviamente tutti i restanti termini hanno la forma C / (n-k) e tendono a zero quando n>

Il primo modo per calcolare il limite di una sequenza si basa sulla sua definizione. È vero, va ricordato che non fornisce modi per cercare direttamente il limite, ma consente solo di dimostrare che un numero a è (o non è) un limite Esempio 1. Dimostra che la sequenza (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) ha limite a=3 Soluzione. Procedi applicando la definizione in ordine inverso. Cioè, da destra a sinistra. Innanzitutto controlla se è possibile semplificare la formula per xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2) Si consideri la disuguaglianza |(3n+1)/(n+2)-3|0 si può trovare qualsiasi numero naturale nε maggiore di -2+5/ε.

Esempio 2. Dimostrare che nell'esempio 1 il numero a=1 non è il limite della successione dell'esempio precedente. Soluzione. Semplifica nuovamente il termine comune della sequenza. Prendi ε=1 (questo è un qualsiasi numero > 0) Scrivi la disuguaglianza finale della definizione generale |(3n+1)/(n+2)-1|

I problemi di calcolo diretto del limite di una successione sono piuttosto monotoni. Tutti contengono rapporti di polinomi rispetto a n o espressioni rispetto a questi polinomi. Quando inizi a risolvere, togli dalle parentesi (segno radicale) il componente situato nell'anziano. Supponiamo che per il numeratore dell'espressione originale questo porti alla comparsa del fattore a^p, e per il denominatore b^q. Ovviamente tutti i restanti termini hanno la forma С/(n-k) e tendono a zero per n>k (n tende all'infinito). Quindi scrivi la risposta: 0 se pq.

Indichiamo un modo non tradizionale di trovare il limite di una successione e somme infinite. Useremo sequenze funzionali (i loro membri di funzione definiti su qualche intervallo (a,b)).Esempio 3. Trova la somma della forma 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Soluzione. Qualsiasi numero a^0=1. Metti 1=exp(0) e considera la sequenza di funzioni (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Suggerimento 2: in quale ordine dovresti guardare i film Marvel Avengers?

L'universo Marvel è basato sui fumetti Marvel, ma non tutti gli adattamenti dei fumetti fanno parte dell'MCU. Include solo filmati prodotti da o in associazione con i Marvel Studios. L'universo cinematografico Marvel è diviso in fasi, ogni film ha il suo posto al suo interno. Tuttavia, serie TV e cortometraggi, essendo parte dell'universo, nella cronologia possono essere tra le fasi. Quelli. potrebbero non appartenere a parti specifiche dell'MCU.

Le serie Netflix e abc sono diverse dall'universo Marvel. L'MCU ha due caratteristiche:

• ogni film ha la sua storia;
• la trama globale si sposta da un film all'altro, di conseguenza, ognuno di loro fa avanzare questa trama.

Le serie del canale abc sono collegate alla trama globale dell'universo cinematografico, ma non avanzano, ma lo completano. Le serie Netflix sono storie completamente indipendenti, con una propria trama e un proprio mondo globale.

Nel corso degli anni, l'Universo Marvel è cresciuto e continua ad espandersi. Pertanto, è difficile per una persona impreparata affrontare la cronologia dei suoi film, perché non tutti capiscono che non puoi guardare Iron Man 3 subito dopo Iron Man 2. E per capire è necessario studiare la cronologia, che comprende tre fasi.

Prima fase:

1. Il film "Iron Man", 2008. Questa immagine pone le basi e il tono generale per i seguenti adattamenti cinematografici, la sua azione si svolge nel 2010.
2. Film l'incredibile hulk 2008. In questo adattamento cinematografico, gli spettatori capiscono che le storie di due diversi eroi si svolgono nello stesso universo, dal momento che sia Iron Man che The Incredible Hulk menzionano S.H.I.E.L.D., il programma dei super soldati, il logo di StarkIndusries, ecc. Il film è ambientato nel 2011. L'immagine non continua la storia del film "Hulk" nel 2003.
3. Il film "Iron Man 2", 2010. Questa storia è una sorta di seme per i Vendicatori, introduce la Vedova Nera nella trama, fornisce molti prerequisiti per progetti futuri e parla dei nuovi problemi che Tony Stark ha dovuto affrontare un anno dopo la prima parte di Iron Man.
4. Film Thor 2011. Questa è anche una preparazione per i Vendicatori e l'obiettivo principale dell'immagine è presentare allo spettatore Thor e Loki. La storia si svolge in parallelo con la storia di The Incredible Hulk e Iron Man 2.
5. Il film "Il primo vendicatore", 2011. Racconta di Capitan America, il primo supereroe della Terra, che, come Hulk, è apparso grazie al siero del "super soldato". La prima e l'ultima scena del film si svolgono nel 2011 e l'azione principale si svolge tra il 1943 e il 1945. Il Tesseract, una delle sei Gemme dell'Infinito, appare nel film, e viene rivelato che il "padre" di SHIELD era l'SNR (Strategic Science Reserve).
6. Cortometraggio "Consulente", 2011. Questo spiega la scena finale de L'incredibile Hulk.
7. Cortometraggio "Un incidente divertente sulla strada per il martello di Thor", 2011.
8. Film I Vendicatori, 2012. La storia si svolge nel 2012, quando S.H.I.E.L.D. per salvare il mondo annuncia una "raccolta generale".

Seconda fase:

1. Il film "Iron Man 3", 2013. L'azione si svolge nell'inverno del 2012, quando Tony Stark torna a casa dopo la Battaglia di New York, ma è tormentato dagli incubi. Non riesce a dormire e dedica il suo tempo alla creazione di nuovi costumi.
2. La serie "Agenti di SHIELD", 2013.
3. Thor 2: Il mondo oscuro, 2013. Il film racconta come Thor tornò a casa e scoprì che tutti e nove i mondi erano precipitati nel caos. E su come Thor ha messo le cose in ordine.
4. Cortometraggio "Lunga vita al re", 2014. Questa è una storia su Trevor Slettery che si svolge dopo gli eventi di Iron Man 3.
5. Capitan America: Un'altra guerra, film del 2014. Questa è una storia su Capitan America, che non può tornare a casa, quindi cerca un nuovo lavoro e diventa un agente dello S.H.I.E.L.D., lavorando in squadra con la Vedova Nera. Il film si guarda meglio tra i 16 ei 17 episodi di Agents of SHIELD.
6. Film guardiani della galassia 2014. Devi guardare dopo la prima stagione della serie "Agents of S.H.I.E.L.D." Questa è la storia di criminali extraterrestri che hanno formato una squadra per impedire al più pericoloso criminale Ronan di ottenere la Gemma dell'Infinito.
7. La serie "Agents of SHIELD", seconda stagione, 2014.
8. La serie "Agente Carter", 2016. Questa è la storia di come Peggy Carter e il maggiordomo Edwin Jarvis aiutano Howard Stark a riconquistare il suo buon nome.
9. Film Avengers: L'era di Ultron 2015. In questo film, i Vendicatori tornano insieme per salvare il mondo, ma questa volta sono diventati una squadra a tutti gli effetti. È meglio guardare tra i 19 ei 20 episodi della seconda stagione di "Agents of SHIELD".
10. Il film "Uomo formica", 2015. Guarda dopo la seconda stagione della serie "Agents of S.H.I.E.L.D."

Terza fase:

1. Il film "Il primo vendicatore: confronto", 2016. Dopo il Trattato di Sokovia, i Vendicatori sono tenuti a obbedire al governo, ma questo li divide in due campi: chi è a favore della registrazione e chi è contrario.

Questi sono tutti film già usciti. Ma non tutta la storia. Nella terza fase sono previsti altri 14 film, quindi la quarta fase.

Articolo correlato

Soluzione limiti delle funzioni online. Trova il valore limite di una funzione o sequenza funzionale in un punto, calcola limitante valore della funzione all'infinito. determinare la convergenza di una serie di numeri e molto altro si può fare grazie al ns Servizio Online- . Ti permettiamo di trovare i limiti delle funzioni online in modo rapido e preciso. Inserisci tu stesso la variabile della funzione e il limite a cui aspira, il nostro servizio fa tutti i calcoli per te, dando una risposta precisa e semplice. E per trovare il limite onlineè possibile inserire sia serie numeriche che funzioni analitiche contenenti costanti in un'espressione letterale. In questo caso, il limite della funzione trovata conterrà queste costanti come argomenti costanti nell'espressione. Il nostro servizio risolve qualsiasi complesso problema di reperimento limiti in linea, è sufficiente specificare la funzione e il punto in cui è necessario calcolare limite di funzione. Informatica limiti in linea, Puoi usare vari metodi e le regole per la loro soluzione, confrontando il risultato con soluzione limite online su www.site, che porterà al completamento con successo dell'attività: eviterai i tuoi errori e errori di battitura. Oppure puoi fidarti completamente di noi e utilizzare il nostro risultato nel tuo lavoro, senza spendere sforzi e tempo extra per calcoli indipendenti del limite della funzione. Consentiamo l'inserimento di valori limite come l'infinito. È necessario inserire un termine comune della sequenza numerica e www.sito calcolerà il valore limite in linea a più o meno infinito.

Uno dei concetti di base dell'analisi matematica è limite di funzione e limite di sequenza in un punto e all'infinito, è importante essere in grado di risolvere correttamente limiti. Con il nostro servizio non sarà difficile. Si sta prendendo una decisione limiti in linea in pochi secondi, la risposta è precisa e completa. Lo studio del calcolo inizia con passaggio al limite, limiti sono usati in quasi tutte le sezioni di matematica superiore, quindi è utile avere un server a portata di mano per limitare le soluzioni online che è il sito.

I limiti danno molti problemi a tutti gli studenti di matematica. Per risolvere il limite, a volte devi usare molti trucchi e scegliere tra una varietà di soluzioni esattamente quella adatta per un particolare esempio.

In questo articolo non ti aiuteremo a comprendere i limiti delle tue capacità oa comprendere i limiti del controllo, ma proveremo a rispondere alla domanda: come comprendere i limiti nella matematica superiore? La comprensione arriva con l'esperienza, quindi allo stesso tempo forniremo alcuni esempi dettagliati di risoluzione dei limiti con spiegazioni.

Il concetto di limite in matematica

La prima domanda è: qual è il limite e il limite di cosa? Possiamo parlare dei limiti delle successioni numeriche e delle funzioni. Siamo interessati al concetto di limite di una funzione, poiché è con loro che gli studenti incontrano più spesso. Ma prima, di più definizione generale limite:

Diciamo che c'è qualche variabile. Se questo valore nel processo di cambiamento si avvicina indefinitamente un certo numero un , poi un è il limite di questo valore.

Per una funzione definita in un certo intervallo f(x)=y il limite è il numero UN , a cui tende la funzione quando X tendente a un certo punto un . Punto un appartiene all'intervallo su cui è definita la funzione.

Sembra ingombrante, ma è scritto molto semplicemente:

Lim- dall'inglese limite- limite.

C'è anche una spiegazione geometrica per la definizione del limite, ma qui non entreremo nella teoria, poiché siamo più interessati al lato pratico che a quello teorico della questione. Quando lo diciamo X tende a un certo valore, ciò significa che la variabile non assume il valore di un numero, ma si avvicina infinitamente ad esso.

Portiamo esempio specifico. La sfida è trovare il limite.

Per risolvere questo esempio, sostituiamo il valore x=3 in una funzione. Noi abbiamo:

A proposito, se sei interessato, leggi un articolo separato su questo argomento.

Negli esempi X può tendere a qualsiasi valore. Può essere qualsiasi numero o infinito. Ecco un esempio quando X tende all'infinito:

È intuitivamente chiaro che maggiore è il numero al denominatore, minore sarà il valore assunto dalla funzione. Quindi, con una crescita illimitata X significato 1/x diminuirà e si avvicinerà allo zero.

Come puoi vedere, per risolvere il limite, devi solo sostituire il valore a cui aspirare nella funzione X . Tuttavia, questo è il caso più semplice. Spesso trovare il limite non è così scontato. Entro i limiti ci sono incertezze di tipo 0/0 o infinito/infinito . Cosa fare in questi casi? Usa trucchi!

Incertezze dentro

Incertezza della forma infinito/infinito

Lascia che ci sia un limite:

Se proviamo a sostituire l'infinito nella funzione, otterremo infinito sia al numeratore che al denominatore. In generale, vale la pena dire che c'è un certo elemento artistico nel risolvere tali incertezze: bisogna notare come una funzione può essere trasformata in modo tale che l'incertezza scompaia. Nel nostro caso, dividiamo numeratore e denominatore per X in laurea magistrale. Cosa accadrà?

Dall'esempio già considerato sopra, sappiamo che i termini contenenti x al denominatore tenderanno a zero. Allora la soluzione al limite è:

Per scoprire le ambiguità di tipo infinito/infinito dividere il numeratore e il denominatore per X al massimo grado.

A proposito! Per i nostri lettori ora c'è uno sconto del 10% su

Un altro tipo di incertezza: 0/0

Come sempre, sostituzione nella funzione valore x=-1 dà 0 al numeratore e al denominatore. Guarda un po' più da vicino e noterai che abbiamo un'equazione quadratica al numeratore. Troviamo le radici e scriviamo:

Riduciamo e otteniamo:

Quindi, se incontri ambiguità di tipo 0/0 - Fattorizzare il numeratore e il denominatore.

Per facilitare la risoluzione degli esempi, ecco una tabella con i limiti di alcune funzioni:

La regola di L'Hopital all'interno

Un altro potente modo per eliminare entrambi i tipi di incertezza. Qual è l'essenza del metodo?

Se c'è incertezza nel limite, prendiamo la derivata del numeratore e del denominatore finché l'incertezza non scompare.

Visivamente, la regola di L'Hopital si presenta così:

Punto importante : il limite, in cui le derivate del numeratore e del denominatore sono invece del numeratore e del denominatore, deve esistere.

E ora un esempio reale:

C'è una tipica incertezza 0/0 . Prendi le derivate del numeratore e del denominatore:

Voilà, l'incertezza viene eliminata in modo rapido ed elegante.

Speriamo che tu possa mettere in pratica queste informazioni e trovare la risposta alla domanda "come risolvere i limiti in matematica superiore". Se è necessario calcolare il limite di una sequenza o il limite di una funzione in un punto e non c'è tempo per questo lavoro dalla parola "assolutamente", fare riferimento a per una soluzione rapida e dettagliata.