Koordinatlarda nerede x ve nerede y. Koordinat sistemi nedir? Koordinat sistemlerinin jeodezide uygulanması

Eğer bir sıfır noktasındaysanız ve başka bir noktaya ulaşmak için kaç birim mesafeyi dümdüz gitmeniz gerektiğini düşünüyorsanız, o zaman zaten uçakta bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi kullanıyorsunuz demektir. Ve nokta, üzerinde durduğunuz düzlemin üzerindeyse ve merdivenler boyunca noktaya kesinlikle yukarı doğru belirli sayıda mesafe birimiyle tırmanma hesaplamalarınıza eklenirse, o zaman zaten dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi kullanıyorsunuz demektir. boşlukta.

Ortak bir orijine (orijine) ve ortak bir uzunluk birimine sahip birbirine dik kesişen iki veya üç eksenden oluşan düzenli bir sisteme denir. dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi .

Fransız matematikçi Rene Descartes'ın (1596-1662) adı, öncelikle tüm eksenlerde ortak bir uzunluk biriminin ölçüldüğü ve eksenlerin düz olduğu böyle bir koordinat sistemiyle ilişkilendirilir. Dikdörtgenin yanı sıra, ortak Kartezyen koordinat sistemi (afin koordinat sistemi). Aynı zamanda dikey olması gerekmeyen eksenleri de içerebilir. Eksenler dik ise koordinat sistemi dikdörtgendir.

Düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi iki ekseni var uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi - üç eksen. Bir düzlemdeki veya uzaydaki her nokta, sıralı bir koordinat seti tarafından belirlenir - koordinat sisteminin birim uzunluğuna göre sayılar.

Tanımdan da anlaşılacağı gibi, düz bir çizgi üzerinde, yani tek boyutta bir Kartezyen koordinat sistemi vardır. Düz bir çizgi üzerinde Kartezyen koordinatların tanıtılması, düz bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktaya iyi tanımlanmış bir gerçek sayı, yani bir koordinat atanmasının yollarından biridir.

René Descartes'ın eserlerinde ortaya çıkan koordinat yöntemi, tüm matematiğin devrim niteliğinde bir yeniden yapılandırılmasına işaret ediyordu. Cebirsel denklemleri (veya eşitsizlikleri) geometrik görüntüler (grafikler) biçiminde yorumlamak ve tersine analitik formüller, denklem sistemleri kullanarak geometrik problemlere çözüm aramak mümkün hale geldi. Evet, eşitsizlik z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ve bu düzlemin üzerinde 3 birim yer almaktadır.

Kartezyen koordinat sistemi yardımıyla, bir noktanın belirli bir eğriye ait olması, sayıların x ve y bazı denklemleri tatmin eder. Böylece, belirli bir noktada merkezli bir dairenin bir noktasının koordinatları ( a; b) denklemi sağlar (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi

Ortak bir orijine ve aynı ölçek birimi formuna sahip bir düzlemde iki dikey eksen Uçakta kartezyen koordinat sistemi . Bu eksenlerden birine eksen denir. Öküz, veya x ekseni , diğer - eksen Oy, veya y ekseni . Bu eksenlere koordinat eksenleri de denir. ile göster Mx ve My sırasıyla keyfi bir noktanın izdüşümü M aks üzerinde Öküz ve Oy. Projeksiyonlar nasıl alınır? Noktadan geç M Öküz. Bu çizgi ekseni kesiyor Öküz noktada Mx. Noktadan geç M eksene dik düz çizgi Oy. Bu çizgi ekseni kesiyor Oy noktada My. Bu, aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

x ve y puan M sırasıyla yönlendirilmiş bölümlerin büyüklüklerini arayacağız omx ve omy. Bu yönlü segmentlerin değerleri sırasıyla şu şekilde hesaplanır: x = x0 - 0 ve y = y0 - 0 . Kartezyen koordinatları x ve y puan M apsis ve düzenlemek . Gerçek şu ki, nokta M koordinatları var x ve y, aşağıdaki gibi gösterilir: M(x, y) .

Koordinat eksenleri düzlemi dörde böler. kadran , numaralandırması aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Ayrıca, bir veya başka bir kadrandaki konumlarına bağlı olarak, noktaların koordinatları için işaretlerin düzenini gösterir.

Düzlemde Kartezyen dikdörtgen koordinatlara ek olarak, kutupsal koordinat sistemi de sıklıkla dikkate alınır. Bir koordinat sisteminden diğerine geçiş yöntemi hakkında - derste kutupsal koordinat sistemi .

Uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi

Uzaydaki Kartezyen koordinatlar, bir düzlemdeki Kartezyen koordinatlarla tam bir analoji içinde tanıtılır.

Ortak bir orijine sahip uzayda karşılıklı olarak dik üç eksen (koordinat eksenleri) Ö ve aynı ölçek birimi formu Uzayda kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi .

Bu eksenlerden birine eksen denir. Öküz, veya x ekseni , diğer - eksen Oy, veya y ekseni , üçüncü eksen Öz, veya ekseni uygula . İzin vermek Mx, My Mz- keyfi bir noktanın projeksiyonları M eksendeki boşluklar Öküz , Oy ve Öz sırasıyla.

Noktadan geç M ÖküzÖküz noktada Mx. Noktadan geç M eksene dik düzlem Oy. Bu düzlem ekseni kesiyor Oy noktada My. Noktadan geç M eksene dik düzlem Öz. Bu düzlem ekseni kesiyor Öz noktada Mz.

Kartezyen dikdörtgen koordinatlar x , y ve z puan M sırasıyla yönlendirilmiş bölümlerin büyüklüklerini arayacağız omx, omy ve omz. Bu yönlü segmentlerin değerleri sırasıyla şu şekilde hesaplanır: x = x0 - 0 , y = y0 - 0 ve z = z0 - 0 .

Kartezyen koordinatları x , y ve z puan M buna göre adlandırılır apsis , düzenlemek ve aplike .

Çiftler halinde alındığında, koordinat eksenleri koordinat düzlemlerinde bulunur xOy , yOz ve zOx .

Kartezyen koordinat sistemindeki noktalarla ilgili problemler

örnek 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Bu noktaların x ekseni üzerindeki izdüşümlerinin koordinatlarını bulun.

Karar. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın x eksenine izdüşümü x ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Öküz, ve bu nedenle noktanın kendisinin apsisine eşit bir apsise ve bir ordinata (eksen üzerindeki koordinat) sahiptir. Oy x ekseninin 0 noktasında kesiştiği) sıfıra eşittir. Böylece x ekseni üzerindeki bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Örnek 2 Noktalar uçakta Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Bu noktaların izdüşümlerinin y ekseni üzerindeki koordinatlarını bulun.

Karar. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın y eksenine izdüşümü y ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Oy, ve bu nedenle noktanın kendisinin ordinatına eşit bir ordinata ve bir apsise (eksen üzerindeki koordinat) sahiptir. Öküz y ekseninin 0 noktasında kesiştiği) sıfıra eşittir. Böylece y ekseninde bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Örnek 3 Noktalar uçakta Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Öküz .

Öküz Öküz Öküz, verilen nokta ile aynı apsise sahip olacak ve ordinat verilen noktanın ordinatına mutlak değer olarak eşit ve onun işaretinin tersi olacaktır. Böylece, eksen etrafında bu noktalara simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Öküz :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Örnek 4 Noktanın hangi kadranlarda (çeyrekler, kadranlı şekil - "Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi" paragrafının sonunda) bulunabileceğini belirleyin M(x; y) , Eğer

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Örnek 5 Noktalar uçakta Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Eksen etrafındaki bu noktalara simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun Oy .

Sorunları birlikte çözmeye devam ediyoruz

Örnek 6 Noktalar uçakta Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Eksen etrafındaki bu noktalara simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun Oy .

Karar. Eksen etrafında 180 derece döndür Oy bir eksenden yönlendirilmiş çizgi parçası Oy bu noktaya kadar. Düzlemin kadranlarının gösterildiği şekilde, verilen eksene göre verilen noktanın simetrik olduğunu görüyoruz. Oy, verilen nokta ile aynı ordinata ve verilen noktanın apsisine mutlak değerde eşit ve onun işaretinin karşısında bir apsise sahip olacaktır. Böylece, eksen etrafında bu noktalara simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Örnek 7 Noktalar uçakta Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Bu noktalara orijine göre simetrik olan noktaların koordinatlarını bulunuz.

Karar. Orijinden verilen noktaya giden yönlendirilmiş segmentin orijini etrafında 180 derece dönüyoruz. Düzlemin kadranlarının gösterildiği şekilde, koordinatların orijinine göre belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın, verilen noktanın apsisine ve ordinatına mutlak değer olarak eşit bir apsis ve ordinata sahip olacağını görüyoruz. , ancak onlara karşı işaret. Böylece, orijine göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Örnek 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Bu noktaların izdüşümlerinin koordinatlarını bulun:

1) uçakta Oksijen ;

2) uçağa Oxz ;

3) uçağa Oyz ;

4) apsis ekseninde;

5) y ekseni üzerinde;

6) aplike ekseninde.

1) Bir noktanın bir düzleme izdüşümü Oksijen bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle verilen noktanın apsisine ve ordinatına eşit bir apsise ve ordinata ve sıfıra eşit bir aplikeye sahiptir. Böylece, bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oksijen :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Bir noktanın bir düzleme izdüşümü Oxz bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle apsise ve verilen noktanın apsisine ve aplikasyonuna ve sıfıra eşit bir ordinata sahiptir. Böylece, bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Bir noktanın bir düzleme izdüşümü Oyz bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle belirli bir noktanın ordinatına ve aplicate'ine eşit bir ordinata ve aplicate'e ve sıfıra eşit bir apsise sahiptir. Böylece, bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz. Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi bir noktanın x eksenine izdüşümü x ekseninin kendisinde yani eksen üzerinde yer almaktadır. Öküz, ve bu nedenle noktanın kendisinin apsisine eşit bir apsise sahiptir ve izdüşümün ordinatı ve aplikatı sıfıra eşittir (çünkü ordinat ve aplikasyon eksenleri apsisi 0 noktasında keser). Bu noktaların x ekseni üzerindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Bir noktanın y ekseni üzerindeki izdüşümü, y ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Oy, ve bu nedenle noktanın kendisinin ordinatına eşit bir ordinata sahiptir ve izdüşümün apsisi ve aplikatı sıfıra eşittir (çünkü apsis ve aplikasyon eksenleri ordinat eksenini 0 noktasında keser). Bu noktaların y ekseni üzerindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Uygulanan eksen üzerindeki bir noktanın izdüşümü, uygulanan eksenin kendisinde, yani eksen üzerinde bulunur. Öz, ve bu nedenle, noktanın kendisinin uygulamasına eşit bir uygulaması vardır ve izdüşümün apsisi ve ordinatı sıfıra eşittir (çünkü apsis ve ordinat eksenleri uygulama eksenini 0 noktasında keser). Uygulama ekseninde bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Örnek 9 Noktalar uzayda Kartezyen koordinat sisteminde verilir.

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Aşağıdakilere göre bu noktalara simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun:

1) uçak Oksijen ;

2) uçak Oxz ;

3) uçak Oyz ;

4) apsis ekseni;

5) y ekseni;

6) aplike ekseni;

7) koordinatların orijini.

1) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "İlerlet" Oksijen Oksijen, bir apsise ve verilen noktanın apsisine ve ordinatına eşit bir ordinata ve verilen noktanın aplikasyonuna büyüklük olarak eşit, ancak ona işaret olarak zıt bir aplikata sahip olacaktır. Böylece, uçağa göre verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Oksijen :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "İlerlet" Oxz aynı mesafe için. Koordinat uzayını gösteren şekle göre, eksene göre verilen noktanın simetrik olduğunu görüyoruz. Oxz, bir apsise sahip olacak ve apsise eşit olacak ve verilen noktanın aplikasyonuna ve verilen noktanın ordinatına büyüklük olarak eşit, ancak onun işaretine zıt bir ordinata sahip olacaktır. Böylece, uçağa göre verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "İlerlet" Oyz aynı mesafe için. Koordinat uzayını gösteren şekle göre, eksene göre verilen noktanın simetrik olduğunu görüyoruz. Oyz, bir ordinata ve verilen noktanın ordinatına ve aplikasyonuna eşit bir apsise ve verilen noktanın apsisine büyüklük olarak eşit, ancak onun işaretinin karşısında bir apsise sahip olacaktır. Böylece, uçağa göre verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Düzlemdeki simetrik noktalarla ve düzlemlere göre verilere göre simetrik uzaydaki noktalarla benzetme yaparak, uzayda Kartezyen koordinat sisteminin bazı eksenleri hakkında simetri durumunda, simetrinin ayarlandığı eksendeki koordinatın olduğunu not ediyoruz. işaretini koruyacak ve diğer iki eksendeki koordinatlar, verilen noktanın koordinatlarıyla mutlak değerde aynı, ancak işarette zıt olacaktır.

4) Apsis burcunu korurken, ordinat ve aplikasyon burç değiştirecektir. Böylece, x ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinat burcunu korurken, apsis ve apsis burcu değiştirecektir. Böylece, y ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Başvuru sahibi burcunu koruyacak, apsis ve ordinat burç değiştirecektir. Böylece, uygulama ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Düzlemdeki noktalarda simetriye benzeterek, orijine göre simetri durumunda, belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın tüm koordinatları, mutlak değer olarak belirli bir noktanın koordinatlarına eşit, ancak zıt olacaktır. onlara imza at. Böylece, orijine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz.


Bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi ayarlamak için, eksen adı verilen karşılıklı olarak dik birkaç çizgi seçmeniz gerekir. O eksenlerinin kesişme noktasına orijin denir.

Her eksende pozitif bir yön belirlemeniz ve bir ölçek birimi seçmeniz gerekir. P noktasının koordinatları, P noktasının izdüşümünün hangi yarı eksene düştüğüne bağlı olarak pozitif veya negatif olarak kabul edilir.

Pirinç. 2

P noktasının kartezyen dikdörtgen koordinatları yüzeyde 2 karşılıklı dik çizgiler - koordinat eksenleri veya aynı olan yarıçap vektörünün izdüşümleri r P noktaları 2

İki boyutlu bir koordinat sisteminden bahsederken yatay eksene eksen denir. apsis(Öküz ekseni), dikey eksen - eksen düzenlemek(Oy ekseni). Pozitif yönler Öküz ekseninde - sağa, Oy ekseninde - yukarı seçilir. X ve y koordinatları sırasıyla noktanın apsisi ve ordinatı olarak adlandırılır.

P(a,b) gösterimi, düzlemdeki P noktasının apsisi a ve ordinatı b olduğu anlamına gelir.

Kartezyen dikdörtgen koordinatlar P noktaları 3 boyutlu uzayda Bu noktanın belirli bir uzaklık işaretiyle (ölçek birimlerinde ifade edilir) alındığı denir. üç karşılıklı dik koordinat düzlemleri veya aynı olan yarıçap vektörünün izdüşümleri r P noktaları üç karşılıklı dik koordinat eksenleri.

Koordinat eksenlerinin pozitif yönlerinin göreli konumuna bağlı olarak, ayrıldı ve sağ koordinat sistemleri.

Pirinç. 3 A
 Pirinç. 3b

Kural olarak, doğru koordinat sistemini kullanın. Pozitif yönler seçilir: Öküz ekseninde - gözlemciye doğru; Oy ekseninde - sağa; Oz ekseninde - yukarı. x, y, z koordinatları sırasıyla apsis, ordinat ve aplicate olarak adlandırılır.

Koordinatlardan birinin sabit kaldığı koordinat yüzeyleri, koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerdir ve yalnızca bir koordinat değişikliğinin olduğu koordinat çizgileri, koordinat eksenlerine paralel düz çizgilerdir. Koordinat yüzeyleri koordinat çizgileri boyunca kesişir.

P(a,b,c) yazmak, Q noktasının apsis a, ordinat b ve uygulama c'ye sahip olduğu anlamına gelir.

Pek çok modern uluslararası ve yerli bilimsel terim tarafından dikkatimiz dağılmadan doğrudan mantıksal bir yol izleyelim. Koordinat sistemi, düzlemde iki yönde ve uzayda üç yönde yönlendirilmiş belirli bir referans sistemi olarak tasvir edilebilir. Matematiksel sistemi hatırlarsak, o zaman apsis (X) ve ordinat (Y) eksenlerinin adlarına sahip karşılıklı olarak dik iki yön ile temsil edilir. Sırasıyla yatay ve dikey yönlerde yönlendirilirler. Bu çizgilerin kesiştiği nokta, mutlak değerde sıfır değerleri olan orijindir. Noktaların düzlem üzerindeki konumu ise X ve Y olmak üzere iki koordinat kullanılarak belirlenir. Jeodezide eksenlerin düzlem üzerindeki yönü matematikten farklıdır. Düzlemsel dikdörtgen sistem, dikey konumdaki (kuzey yönü) X ekseni ve yatay konumdaki (doğu yönü) Y ekseni tarafından tanımlanır.

Koordinat sistemlerinin sınıflandırılması

Jeodezide, tüm koordinat sistemleri iki grup olarak temsil edilebilir:

  • doğrusal dikdörtgen
  • kutup

Her iki grupta da hem düz (iki boyutlu) hem de mekansal (üç boyutlu) sistemler ayırt edilir.

Dikdörtgen dikdörtgen sistemler arasında Gauss-Kruger silindirik projeksiyon, bireysel referans ve yerel koordinat sistemleri bulunur.

Kutup sistemleri coğrafi, astronomik ve jeodezik, yer merkezli ve toposentrik sistemleri içerir.

Coğrafi koordinat sistemi

Dünyanın dış konturunun kapalı yüzeyi, küresel bir geometrik şekil ile temsil edilir. Topun yüzeyindeki yaylar, üzerindeki ana yönlendirme yönleri olarak alınabilir. Gezegenimizin küçültülmüş bir modelinin bir küre (dünya figürü) şeklinde basitleştirilmiş bir temsilinde, kabul edilen referans çizgilerini Greenwich meridyeni ve ekvator çizgisi şeklinde görsel olarak görebilirsiniz.

Bu örnekte, dünya çapında genel olarak kabul edilen coğrafi koordinatların mekansal sistemidir. Boylam ve enlem kavramlarını tanıtır. Derece ölçü birimlerine sahip oldukları için açısal bir değeri temsil ederler. Birçoğu tanımlarına aşinadır. Belirli bir noktanın coğrafi boylamının, belirlenen konumdaki sıfır (Greenwich) meridyeni ile meridyeni geçen iki düzlem arasındaki açıyı temsil ettiği hatırlanmalıdır. Bir noktanın coğrafi enlemi altında, çekül çizgisi (veya normali) ile ekvator düzlemi arasında oluşan açı alınır.

Astronomik ve jeodezik koordinat sistemleri kavramları ve farklılıkları

Coğrafi sistem geleneksel olarak astronomik ve jeodezik sistemleri birleştirir. Hala hangi farklılıkların var olduğunu anlamak için jeodezik ve astronomik koordinatların (boylam, enlem, yükseklik) tanımlarına dikkat edin. Astronomik sistemde enlem, tanım noktasında ekvator düzlemi ile çekül arasındaki açı olarak kabul edilir. Ve içindeki Dünya'nın şekli, matematiksel olarak yaklaşık olarak bir küreye eşit olan koşullu bir jeoid olarak kabul edilir. Jeodezik sistemde enlem, dünyanın belirli bir noktasındaki elipsoid yüzeyinin normali ve ekvator düzlemi tarafından oluşturulur. Bu sistemlerdeki üçüncü koordinatlar, farklılıkları hakkında nihai fikir verir. Astronomik (ortometrik) yükseklik, gerçek yükseklik ile seviye jeoidinin yüzeyindeki bir nokta arasındaki çekül çizgisi boyunca yüksekliktir. Jeodezik yükseklik, elipsoid yüzeyden hesaplama noktasına olan normal mesafedir.

Gauss-Krüger Düzlem Dikdörtgen Koordinat Sistemi

Her koordinat sisteminin hem küresel hem de bölgesel olarak kendi teorik bilimsel ve pratik ekonomik uygulaması vardır. Bazı özel durumlarda, referans, yerel ve koşullu koordinat sistemlerini kullanmak mümkündür, ancak bunlar matematiksel hesaplamalar ve hesaplamalar yoluyla yine de birbirleriyle birleştirilebilir.

Jeodezik dikdörtgen düzlemsel koordinat sistemi, elipsoidin altı derecelik bölgelerinin bir izdüşümüdür. Bu şekil yatay olarak yerleştirilmiş bir silindirin içine işlenerek, her bölge ayrı ayrı iç silindirik yüzeye yansıtılır. Böyle bir sferoidin bölgeleri, altı derecelik bir adımla meridyenlerle sınırlıdır. Bir uçağa yerleştirildiğinde, onu geliştiren Alman bilim adamlarının Gauss-Kruger adını taşıyan bir projeksiyon elde edilir. Bu izdüşüm biçiminde, herhangi bir yön arasındaki açılar büyüklüklerini korur. Bu nedenle bazen eşit açılı olarak da adlandırılır. Bölgedeki apsis ekseni merkezden, koşullu eksenel meridyenden (X ekseni) ve ordinat ekseni ekvator çizgisi boyunca (Y ekseni) geçer. Eksenel meridyen boyunca çizgilerin uzunluğu bozulma olmadan ve ekvator çizgisi boyunca bozulma ile bölgenin kenarlarına iletilir.

Kutupsal koordinat sistemi

Yukarıda açıklanan dikdörtgen koordinat sistemine ek olarak, jeodezik problemlerin çözümünde bir düzlem kutupsal koordinat sisteminin varlığına ve kullanımına dikkat edilmelidir. İlk referans yönü için, kuzey (kutup) yönünün eksenini kullanır, dolayısıyla adı. Düzlemdeki noktaların yerini belirlemek için kutupsal (yönlü) açı ve noktaya olan yarıçap vektörü (yatay mesafe) kullanılır. Yön açısının, orijinal (kuzey) yönden belirlenene ölçülen açı olduğunu hatırlayın. Yarıçap vektörü, yatay mesafe tanımında ifade edilir. Noktaların 3B konumunu belirlemek için dikey açı ve eğim mesafesinin jeodezik ölçümleri uzamsal kutup sistemine eklenir. Bu yöntem, trigonometrik tesviye, topografik araştırmalar ve jeodezik ağların geliştirilmesi için neredeyse her gün kullanılmaktadır.

Yermerkezli ve toposentrik koordinat sistemleri

Uydu jeosentrik ve toposentrik koordinat sistemleri, üç boyutlu uzayın (X, Y, Z) ana eksenlerinin farklı kökenlere ve yönlere sahip olması tek farkıyla, kısmen aynı kutupsal yönteme göre düzenlenmiştir. Yermerkezli sistemde, koordinatların orijini Dünya'nın kütle merkezidir. X ekseni, Greenwich meridyeni boyunca ekvatora doğru yönlendirilir. Y ekseni, X'in doğusunda dikdörtgen bir konuma yerleştirilmiştir. Z ekseni başlangıçta elipsoidin küçük ekseni boyunca kutupsal bir yöne sahiptir. Koordinatları:

  • ekvator düzleminde uydunun jeosantrik sağ yükselişi
  • meridyen düzleminde uydunun yermerkezli sapması
  • jeosentrik yarıçap vektörü, Dünya'nın ağırlık merkezinden uyduya olan mesafedir.

Uyduların hareketini dünya yüzeyindeki bir noktadan gözlemlerken, koordinat eksenleri jeosantrik sistemin eksenlerine paralel olan bir toposentrik sistem kullanılır ve gözlem noktası onun başlangıcı olarak kabul edilir. Böyle bir sistemdeki koordinatlar:

  • toposentrik sağ yükseliş uydusu
  • toposentrik uydu sapması
  • uydunun toposentrik yarıçap vektörü
  • gözlem noktasında yermerkezli yarıçap vektörü.

Modern uydu küresel referans sistemleri WGS-84, PZ-90, yalnızca koordinatları değil, aynı zamanda jeodezik ölçümler, gözlemler ve navigasyon için önemli olan diğer parametreleri ve özellikleri de içerir. Bunlar jeodezik ve diğer sabitleri içerir:

  • orijinal jeodezik tarihler
  • dünya elipsoid verileri
  • jeoid modeli
  • yerçekimi alan modeli
  • yerçekimi sabitinin değerleri
  • ışık hızının değeri ve diğerleri.

Her modern insan bir koordinat sisteminin ne olduğunu bilmelidir. Her gün ne olduklarını düşünmeden bu tür sistemlerle karşılaşıyoruz. Okuldayken temel kavramları öğrendik, kabaca bir x ekseni, bir y ekseni ve sıfıra eşit bir referans noktası olduğunu biliyoruz. Aslında, her şey çok daha karmaşık, birkaç çeşit koordinat sistemi var. Makalede her birini ayrıntılı olarak ele alacağız ve ayrıca nerede ve neden kullanıldıklarına dair ayrıntılı bir açıklama yapacağız.

tanım ve kapsam

Bir koordinat sistemi, sayıları veya diğer sembolleri kullanarak bir cismin veya noktanın konumunu belirten bir dizi tanımdır. Belirli bir noktanın yerini belirleyen sayılar kümesine bu noktanın koordinatları denir. Koordinat sistemleri bilimin pek çok alanında kullanılır, örneğin matematikte, koordinatlar önceden belirlenmiş bir atlas haritasındaki noktalarla ilişkilendirilen bir sayılar topluluğudur. Geometride koordinatlar, uzayda ve düzlemde bir noktanın konumunu belirleyen niceliklerdir. Coğrafyada koordinatlar enlem, boylam ve denizin, okyanusun veya diğer bilinen değerlerin genel seviyesinin üzerindeki yüksekliği ifade eder. Astronomide koordinatlar, bir yıldızın konumunu belirlemeyi mümkün kılan sapma ve dik açı gibi niceliklerdir. Bu, koordinat sistemlerinin kullanıldığı yerlerin tam listesi değildir. Bu kavramların bilimle ilgilenmeyen insanlara uzak olduğunu düşünüyorsanız, o zaman günlük yaşamda düşündüğünüzden çok daha yaygın olduklarına inanın. En azından şehrin bir haritasını alın, neden bir koordinat sisteminiz yok?

Tanımı ele aldıktan sonra, ne tür koordinat sistemlerinin var olduğuna ve bunların ne olduğuna bakalım.

bölgesel koordinat sistemi

Bu koordinat sistemi esas olarak çeşitli yatay araştırmalar ve güvenilir arazi planlarının hazırlanması için kullanılır. Gauss'un uyumlu enine silindirik izdüşümüne dayanır. Bu projeksiyonda, dünyanın jeoidinin tüm yüzeyi meridyenlerle 6 derecelik bölgelere bölünür ve Greenwich meridyeninin doğusunda 1'den 60'a kadar numaralandırılır. Bu durumda, bu 6-kömür bölgesinin ortalama meridyeni eksenel olarak adlandırılır. Bunu silindirin iç yüzeyi ile birleştirmek ve apsis ekseni olarak kabul etmek gelenekseldir. Ordinatların (y) negatif değerlerinden kaçınmak için eksen meridyeni (başlangıç ​​referans noktası) üzerindeki ordinat sıfır olarak değil 500 km olarak alınır yani 500 km batıya kaydırılır. Ordinattan önce bölge numarası belirtilmelidir.

Gauss-Kruger koordinat sistemi

Bu koordinat sistemi, ünlü Alman bilim adamı Gauss'un önerdiği projeksiyona dayanmaktadır ve Kruger tarafından jeodezide kullanılmak üzere geliştirilmiştir. Bu projeksiyonun özü, dünya küresinin meridyenler tarafından şartlı olarak altı derecelik bölgelere bölünmesidir. Bölgeler Greenwich meridyeninden batıdan doğuya doğru numaralandırılmıştır. Bölge numarasını bilerek, Z = 60(n) - 3 formülünü kullanarak eksenel meridyen adı verilen orta meridyeni kolayca belirleyebilirsiniz, burada (n) bölge numarasıdır. Her bölge için, ekseni dünya eksenine dik olan bir silindirin yan yüzeyine yansıtılarak düz bir görüntü elde edilir. Bu silindir daha sonra uçağa adım adım yerleştirilir. Ekvator ve merkez meridyen düz çizgiler olarak gösterilmiştir. Her bölgedeki apsis ekseni eksenel meridyendir ve ekvator, ordinat ekseni olarak işlev görür. Başlangıç ​​referans noktası, ekvator ile eksen meridyeninin kesişme noktasıdır. Apsisler, ekvatorun kuzeyinde yalnızca artı işaretiyle ve ekvatorun güneyinde yalnızca eksi işaretiyle sayılır.

Uçakta kutupsal koordinat sistemi

Bu, her noktanın düzlemde iki sayı ile tanımlandığı iki boyutlu bir koordinat sistemidir - kutup yarıçapı ve kutup açısı. Kutupsal koordinat sistemi, noktalar arasındaki ilişkilerin açılar ve yarıçaplar olarak temsil edilmesinin daha kolay olduğu durumlarda kullanışlıdır. Kutupsal koordinat sistemi, kutupsal veya sıfır ekseni adı verilen bir ışınla tanımlanır. Bu ışının çıktığı noktaya kutup veya orijin denir. Düzlemdeki rastgele bir nokta yalnızca iki kutupsal koordinat tarafından belirlenir: açısal ve radyal. Radyal koordinat, noktadan koordinat sisteminin orijinine olan mesafeye eşittir. Açısal koordinat, noktaya ulaşmak için kutup eksenini saat yönünün tersine döndürmenin gerekli olduğu açıya eşittir.

Dikdörtgen koordinat sistemi

Dikdörtgen koordinat sistemi nedir, muhtemelen okul sıralarından biliyorsunuzdur, ama yine de bir kez daha hatırlayalım. Dikdörtgen bir koordinat sistemi, eksenlerin uzayda veya bir düzlemde bulunduğu ve karşılıklı olarak birbirine dik olduğu doğrusal bir sistemdir. Bu, en basit ve en sık kullanılan koordinat sistemidir. Herhangi bir boyuttaki mekanlara doğrudan ve oldukça kolay bir şekilde genelleştirilebilir, bu da en geniş uygulamasına katkıda bulunur. Düzlemdeki bir noktanın konumu iki koordinat tarafından belirlenir - sırasıyla x ve y, bir apsis ve ordinat ekseni vardır.

Kartezyen koordinat sistemi

Bir Kartezyen koordinat sisteminin ne olduğunu açıklamak için, öncelikle bunun, eksenler boyunca aynı ölçeklerin ayarlandığı bir dikdörtgen koordinat sisteminin özel bir durumu olduğu söylenmelidir. Matematikte, çoğunlukla iki boyutlu veya üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemi dikkate alınır. Koordinatlar Latin harfleri x, y, z ile gösterilir ve sırasıyla apsis, ordinat ve aplikasyon olarak adlandırılır. Koordinat ekseni (OX) genellikle apsis ekseni olarak adlandırılır, (OY) ekseni y eksenidir ve (OZ) ekseni ilgili eksendir.

Artık bir koordinat sisteminin ne olduğunu, ne olduklarını ve nerede kullanıldıklarını biliyorsunuz.

Dikdörtgen koordinat sistemi- bir düzlemde veya uzayda karşılıklı olarak dik eksenlere sahip doğrusal bir koordinat sistemi. En basit ve bu nedenle en sık kullanılan koordinat sistemi. Geniş uygulamasına da katkıda bulunan herhangi bir boyuttaki mekanlara çok kolay ve doğrudan genelleme yapar.

İlgili terimler: Kartezyen genellikle eksenler boyunca aynı ölçeğe sahip dikdörtgen bir koordinat sistemi olarak adlandırılır (adını René Descartes'tan alır) ve ortak Kartezyen koordinat sistemi koordinatların afin sistemi olarak adlandırılır (dikdörtgen değil).

Ansiklopedik YouTube

  • 1 / 5

    Bir düzlemdeki dikdörtgen bir koordinat sistemi, karşılıklı olarak dik iki koordinat ekseninden oluşur ve O (\ displaystyle O) koordinatların orijini olarak adlandırılan , her eksenin pozitif bir yönü vardır.

    Nokta konumu A (\görüntü stili A) uçakta iki koordinat tarafından belirlenir x (\görüntü stili x) ve y (\displaystyle y). Koordinat x (\görüntü stili x) segmentin uzunluğuna eşit OB (\displaystyle OB), koordinat y (\displaystyle y)- segment uzunluğu OC (\displaystyle OC) OB (\displaystyle OB) ve OC (\displaystyle OC) bir noktadan çizilen çizgilerle tanımlanır A (\görüntü stili A) eksenlere paralel Y ′ Y (\displaystyle Y"Y) ve X' X (\displaystyle X"X) sırasıyla.

    Bu koordinat ile x (\görüntü stili x) B (\görüntü stili B) kiriş üzerinde yatıyor (kiriş üzerinde değil ÖKÜZ (\displaystyle ÖKÜZ), şekildeki gibi). Koordinat y (\displaystyle y) nokta ise bir eksi işareti atanır C (\görüntü stili C) kiriş üzerinde yatıyor. Böylece, O X' (\displaystyle OX") ve O Y' (\displaystyle OY") koordinat eksenlerinin negatif yönleridir (her koordinat ekseni sayısal bir eksen olarak ele alınır).

    eksen x (\görüntü stili x) x ekseni denir ve eksen y (\displaystyle y)- y ekseni. Koordinat x (\görüntü stili x) isminde apsis puan A (\görüntü stili A), koordinat y (\displaystyle y) - düzenlemek puan A (\görüntü stili A).

    A (x , y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x , y) (\displaystyle A=(x,\;y))

    veya dizini kullanarak koordinatların belirli bir noktaya ait olduğunu belirtin:

    x A , x B (\displaystyle x_(A),x_(B))

    Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi(bu paragrafta üç boyutlu uzayı, daha çok boyutlu uzayları kastediyoruz - aşağıya bakın) karşılıklı olarak dik üç koordinat ekseninden oluşur ÖKÜZ (\displaystyle ÖKÜZ), O Y (\displaystyle OY) ve OZ (\displaystyle OZ). Koordinat eksenleri bir noktada kesişir O (\ displaystyle O) orijin olarak adlandırılan, her eksende oklarla gösterilen pozitif yön ve eksenlerde segmentlerin ölçü birimi seçilir. Birimler genellikle (mutlaka değil) tüm eksenler için aynıdır. ÖKÜZ (\displaystyle ÖKÜZ)- eksen apsis, O Y (\displaystyle OY)- eksen ordinatı, OZ (\displaystyle OZ)- eksen uygulama.

    Nokta konumu A (\görüntü stili A) uzayda üç koordinat tarafından belirlenir x (\görüntü stili x), y (\displaystyle y) ve z (\görüntü stili z). Koordinat x (\görüntü stili x) segmentin uzunluğuna eşit OB (\displaystyle OB), koordinat y (\displaystyle y)- segment uzunluğu OC (\displaystyle OC), koordinat z (\görüntü stili z)- segment uzunluğu OD (\displaystyle OD) seçilen ölçü birimlerinde. Segmentler OB (\displaystyle OB), OC (\displaystyle OC) ve OD (\displaystyle OD) bir noktadan çizilen düzlemlerle tanımlanır A (\görüntü stili A) düzlemlere paralel Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ) ve X ÖY (\displaystyle XOY) sırasıyla.

    Koordinat x (\görüntü stili x) noktanın apsisi denir A (\görüntü stili A), koordinat y (\displaystyle y)- ordinat noktası A (\görüntü stili A), koordinat z (\görüntü stili z)- uygulama noktası A (\görüntü stili A).

    Sembolik olarak şöyle yazılır:

    A (x , y , z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x , y , z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))

    veya bir dizin kullanarak bir koordinat kaydını belirli bir noktaya bağlayın:

    x A , y A , z A (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))

    Her eksen sayısal bir çizgi olarak kabul edilir, yani pozitif bir yönü vardır ve negatif ışın üzerinde yatan noktalara negatif koordinat değerleri atanır (mesafe eksi işaretiyle alınır). Yani, örneğin, nokta B (\görüntü stili B)şekildeki gibi değil - kirişin üzerine koyun ÖKÜZ (\displaystyle ÖKÜZ) ve noktadan ters yönde devam etmesi üzerine O (\ displaystyle O)(eksenin negatif kısmında ÖKÜZ (\displaystyle ÖKÜZ)), ardından apsis x (\görüntü stili x) puan A (\görüntü stili A) negatif olur (eksi mesafe OB (\displaystyle OB)). Benzer şekilde diğer iki eksen için.

    Üç boyutlu uzaydaki tüm dikdörtgen koordinat sistemleri iki sınıfa ayrılır - Haklar(ayrıca kullanılan terimler pozitif, standart) ve ayrıldı. Genellikle, varsayılan olarak, sağ elli koordinat sistemlerini kullanmaya çalışırlar ve grafik olarak görüntülendiklerinde, mümkünse, birkaç olağan (geleneksel) konumdan birine yerleştirirler. (Şekil 2 sağ koordinat sistemini göstermektedir). Sağ ve sol koordinat sistemleri, karşılık gelen eksenler (ve yönleri) çakışacak şekilde dönüşlerle birleştirilemez. Belirli bir koordinat sisteminin hangi sınıfa ait olduğunu sağ el kuralı, vida kuralı vb. kullanarak belirlemek mümkündür (eksenlerin pozitif yönü, eksen döndürüldüğünde ÖKÜZ (\displaystyle ÖKÜZ) saat yönünün tersine 90° pozitif yönü, eksenin pozitif yönü ile çakıştı O Y (\displaystyle OY), eğer bu dönme eksenin pozitif yönü tarafından gözlemleniyorsa OZ (\displaystyle OZ)).

    Çok boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sistemi

    Dikdörtgen bir koordinat sistemi, herhangi bir sonlu boyuta sahip bir uzayda, üç boyutlu bir uzay için yapıldığı gibi kullanılabilir. Bu durumda koordinat eksenlerinin sayısı, alanın  boyutuna eşittir (bu bölümde bunu n).

    Koordinatlar genellikle farklı harflerle değil, aynı harfle sayısal bir indeksle gösterilir. Çoğu zaman:

    x 1 , x 2 , x 3 , … x n . (\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\dots x_(n).)

    Keyfi atamak için i bu kümenin inci koordinatı bir harf dizini kullanır:

    ve genellikle atama x ben , (\displaystyle x_(i)) dizinin tüm değer kümesi boyunca çalıştığını ima ederek tüm kümeyi belirtmek için ve kullanın: i = 1 , 2 , 3 , … n (\displaystyle i=1,2,3,\dots n).

    Uzayın herhangi bir boyutunda, dikdörtgen koordinat sistemleri sağ ve sol (veya pozitif ve negatif) olmak üzere iki sınıfa ayrılır. Çok boyutlu uzaylar için, koordinat sistemlerinden biri keyfi olarak (şartlı olarak) sağ olarak adlandırılır ve geri kalanı, aynı yönelime sahip olup olmamalarına bağlı olarak sağ veya sol olur.

    Dikdörtgen vektör koordinatları

    Dikdörtgen tanımlamak için vektör koordinatları(herhangi bir boyuttaki vektörleri temsil etmek için geçerlidir), başlangıcı orijinde olan vektörün (yönlendirilmiş segment) koordinatlarının sonunun koordinatlarıyla çakıştığı gerçeğinden devam edebiliriz.

    Orijini, orijini ile çakışmayan vektörler (yönlendirilmiş parçalar) için, dikdörtgen koordinatlar iki yoldan biriyle belirlenebilir:

    1. Vektör, orijini orijine denk gelecek şekilde hareket ettirilebilir). Daha sonra koordinatları, paragrafın başında açıklanan şekilde belirlenir: orijini orijine denk gelecek şekilde hareket ettirilen bir vektörün koordinatları, sonunun koordinatlarıdır.
    2. Bunun yerine, vektörün (yönlendirilmiş segment) sonunun koordinatlarından başlangıcının koordinatlarını çıkarabilirsiniz.
    • Dikdörtgen koordinatlar için, bir vektör koordinat kavramı, bir vektörün karşılık gelen koordinat ekseninin yönüne ortogonal izdüşüm kavramıyla çakışır.

    Dikdörtgen koordinatlarda, vektörler üzerindeki tüm işlemler çok basit bir şekilde yazılır:

    • Bir skalerle toplama ve çarpma:
    a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , … , a n + b n) (\displaystyle \mathbf (a) +\mathbf (b) =(a_(1)+ b_(1),a_(2)+b_(2),a_(3)+b_(3),\dots ,a_(n)+b_(n))) (a + b) ben = a ben + b ben , (\displaystyle (\mathbf (a) +\mathbf (b))_(i)=a_(i)+b_(i),) c a = (c a 1 , c a 2 , c a 3 , … , c a n) (\displaystyle c\ \mathbf (a) =(c\ a_(1),c\ a_(2),c\ a_(3),\ noktalar ,c\ a_(n))) (c a) ben = c a ben . (\displaystyle (c\ \mathbf (a))_(i)=c\ a_(i).) ve dolayısıyla çıkarma ve bölme: a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 , … , a n − b n) (\displaystyle \mathbf (a) -\mathbf (b) =(a_(1)- b_(1),a_(2)-b_(2),a_(3)-b_(3),\dots ,a_(n)-b_(n))) (a − b) ben = a ben − b ben , (\displaystyle (\mathbf (a) -\mathbf (b))_(i)=a_(i)-b_(i),) a λ = (a 1 λ , a 2 λ , a 3 λ , … , a n λ) (\displaystyle (\frac (\mathbf (a) )(\lambda))=(\Big ()(\frac (a_) (1)(\lambda )),(\frac (a_(2))(\lambda )),(\frac (a_(3))(\lambda ))\dots ,(\frac (a_(n) )(\lambda )(\Büyük))) (bir λ) ben = bir ben λ . (\displaystyle (\Big()(\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda ))).

    (Bu her boyut için geçerlidir. n ve hatta eğik koordinatlar için dikdörtgen koordinatlarla birlikte).

    a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\noktalar +a_(n)b_(n)) a ⋅ b = ∑ ben = 1 n a ben b ben , (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\toplam \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i),)

    (Yalnızca tüm eksenlerde birim ölçekli dikdörtgen koordinatlarda).

    • Skaler çarpım sayesinde vektörün uzunluğunu hesaplayabilirsiniz.
    | bir | = a ⋅ a (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a) ))) ve vektörler arasındaki açı ∠ (a , b) = bir r c c Ö s bir ⋅ b | bir | ⋅ | b | (\displaystyle \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b) )(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |)))
    • ve k (\displaystyle \mathbf (k)) e x (\displaystyle \mathbf (e) _(x)), e y (\displaystyle \mathbf (e) _(y)) ve e z (\displaystyle \mathbf (e) _(z)).

      Ok sembolleri ( ben → (\displaystyle (\vec (i))), j → (\displaystyle (\vec (j))) ve k → (\displaystyle (\vec (k))) veya e → x (\displaystyle (\vec(e))_(x)), e → y (\displaystyle (\vec(e))_(y)) ve e → z (\displaystyle (\vec(e))_(z))) veya diğerleri, bir veya başka bir literatürde vektörleri belirlemenin olağan yoluna göre.

      Bu durumda, doğru koordinat sistemi durumunda, vektörlerin vektör çarpımları ile aşağıdaki formüller geçerlidir:

      3'ten büyük boyutlar için (veya boyutun herhangi bir boyut olabileceği genel durum için), birim vektörlerin bunun yerine sayısal indeksli gösterimi kullanması yaygın bir durumdur, oldukça sık olarak bu

      e 1 , e 2 , e 3 , … e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( e) _(n),)

      nerede n- uzayın boyutu.

      Herhangi bir boyuttaki bir vektör, temele göre ayrıştırılır (koordinatlar genişleme katsayıları olarak işlev görür):

      a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( e) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\dots +a_(n)\mathbf (e) _(n)) a = ∑ ben = 1 n a ben e ben , (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i),) Pierre Fermat ise eserleri ilk olarak ölümünden sonra yayınlandı. Descartes ve Fermat koordinat yöntemini sadece düzlemde kullandılar.

      Üç boyutlu uzay için koordinat yöntemi ilk olarak 18. yüzyılda Leonhard Euler tarafından uygulandı. Ortların kullanımı görünüşe göre geri dönüyor

Paylaş: