Farklı üslerle logaritmalar nasıl çözülür? Logaritmik ifadeler. örnekler

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Logaritmaların temel özellikleri

Herhangi bir sayı gibi logaritmalar da mümkün olan her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar pek sıradan sayılar olmadığı için, burada logaritma adı verilen kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Aynı tabana sahip iki logaritmayı ele alalım: log bir x ve günlük bir y. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. log a x + log a y = log a (x y);

2. log a x - log a y = log a (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklı ise bu kurallar işlemez!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın - ve bakın:

İfadenin değerini bulun: günlük 6 4 + günlük 6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
günlük 6 4 + günlük 6 9 = günlük 6 (4 9) = günlük 6 36 = 2.

İfadenin değerini bulun: günlük 2 48 - günlük 2 3.

Bazlar aynıdır, fark formülünü kullanırız:
günlük 2 48 - günlük 2 3 = günlük 2 (48: 3) = günlük 2 16 = 4.

İfadenin değerini bulun: günlük 3 135 - günlük 3 5.

Yine, tabanlar aynı, yani elimizde:
günlük 3 135 - günlük 3 5 = günlük 3 (135: 5) = günlük 3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar ortaya çıkıyor. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, bu kontrol - sınavda tüm ciddiyetiyle (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) benzer ifadeler sunulur.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü logaritmanın işaretinden çıkarılabilir. aşağıdaki kurallar:

1. günlük bir x n = N kayıt bir x;

3.

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlenirse tüm bu kurallar mantıklıdır: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

İfadenin değerini bulun: günlük 7 49 6 .

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12

İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve bağımsız değişkeni tam üsler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Sahibiz:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - "üç katlı" bir kesir elde ettiler.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Logaritma nedir?

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak, logaritma konusu karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu kabul edilir. Özellikle - logaritma içeren denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! İnanmıyor musun? İyi. Şimdi, yaklaşık 10 - 20 dakika boyunca:

1. Anlayın logaritma nedir.

2. Bütün bir üstel denklem sınıfını çözmeyi öğrenin. Onları duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritma hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için sadece çarpım tablosunu ve bir sayının nasıl bir kuvvete yükseltildiğini bilmeniz yeterli olacak...

Şüphelendiğini hissediyorum ... Pekala, zaman ayır! Gitmek!

Öncelikle aşağıdaki denklemi aklınızdan çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Herhangi bir sayı gibi logaritmalar da mümkün olan her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar pek sıradan sayılar olmadığı için, burada logaritma adı verilen kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabana sahip iki logaritmayı ele alalım: log A X ve günlük A y. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. kayıt A X+log A y= günlük A (X · y);
2. kayıt A X-log A y= günlük A (X : y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklı ise bu kurallar işlemez!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve görün:

günlük 6 4 + günlük 6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
günlük 6 4 + günlük 6 9 = günlük 6 (4 9) = günlük 6 36 = 2.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 2 48 - log 2 3.

Bazlar aynıdır, fark formülünü kullanırız:
günlük 2 48 - günlük 2 3 = günlük 2 (48: 3) = günlük 2 16 = 4.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 3 135 - log 3 5.

Yine, tabanlar aynı, yani elimizde:
günlük 3 135 - günlük 3 5 = günlük 3 (135: 5) = günlük 3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar ortaya çıkıyor. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, kontrol - sınavda tüm ciddiyetiyle (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) benzer ifadeler sunulur.

Üssü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlenirse tüm bu kurallar mantıklıdır: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 7 49 6 .

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin değerini bulun:

[Şekil yazısı]

Paydanın, tabanı ve bağımsız değişkeni tam üsler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Sahibiz:

[Şekil yazısı]

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını derece şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - "üç katlı" bir kesir elde ettiler.

Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dört, yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevap: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, bunların sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritma günlüğüne izin ver A X. Daha sonra herhangi bir sayı için Cöyle ki C> 0 ve C≠ 1, eşitlik doğrudur:

[Şekil yazısı]

özellikle koyarsak C = X, şunu elde ederiz:

[Şekil yazısı]

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilir", yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller, sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler var. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.

Her iki logaritmanın bağımsız değişkenlerinin tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2log 2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

[Şekil yazısı]

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam güçlerdir. Bunu yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

[Şekil yazısı]

Şimdi kurtulalım ondalık logaritma, yeni bir üsse taşınıyor:

[Şekil yazısı]

Temel logaritmik kimlik

Genellikle çözme sürecinde, bir sayıyı belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil etmek gerekir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, sayı N argümanın üssü olur. Sayı N kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna temel logaritmik özdeşlik denir.

Gerçekten, sayı olursa ne olacak? B güce yükseltmek, böylece B bu ölçüde bir sayı verir A? Bu doğru: bu aynı numara A. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok kişi buna "asılır".

Yeni temel dönüştürme formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen tek olası çözümdür.

Görev. İfadenin değerini bulun:

[Şekil yazısı]

Log 25 64 = log 5 8 - sadece kareyi tabandan ve logaritmanın argümanından çıkardık. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

[Şekil yazısı]

Bilmeyen biri varsa bu sınavdan gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki özdeşlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritma tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. kayıt A A= 1 logaritmik birimdir. Bir kez ve herkes için hatırlayın: herhangi bir tabana göre logaritma A bu tabandan kendisi bire eşittir.
2. kayıt A 1 = 0, logaritmik sıfırdır. Temel A herhangi bir şey olabilir, ancak bağımsız değişken bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü A 0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikler bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Logaritmik ifadeler, örnek çözüm. Bu yazıda logaritma çözme ile ilgili problemleri ele alacağız. Görevler, ifadenin değerini bulma sorusunu gündeme getirir. Unutulmamalıdır ki logaritma kavramı birçok görevde kullanılmaktadır ve anlamını anlamak son derece önemlidir. KULLANIM'a gelince, logaritma denklem çözmede, uygulamalı problemlerde ve ayrıca fonksiyonların incelenmesiyle ilgili görevlerde kullanılır.

Logaritmanın anlamını anlamak için örnekler:

Temel logaritmik kimlik:

Her zaman hatırlamanız gereken logaritmaların özellikleri:

* Çarpımın logaritması, faktörlerin logaritmalarının toplamına eşittir.

* * *

* Bölümün (kesrin) logaritması, çarpanların logaritmalarının farkına eşittir.

* * *

* Derecenin logaritması, üssün çarpımı ile tabanının logaritmasına eşittir.

* * *

*Yeni üsse geçiş

* * *

Daha fazla özellik:

* * *

Logaritmaların hesaplanması, üslerin özelliklerinin kullanılmasıyla yakından ilgilidir.

Bazılarını listeliyoruz:

Bu özelliğin özü, payı paydaya aktarırken ve bunun tersi de, üssün işaretinin tersine değişmesidir. Örneğin:

Bu özelliğin sonucu:

* * *

Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken, taban aynı kalır, ancak üsler çarpılır.

* * *

Gördüğünüz gibi, logaritma kavramı basittir. Asıl mesele, ihtiyaç duyulan şey İyi pratik, bu da belirli bir beceri verir. Kesinlikle formül bilgisi zorunludur. Temel logaritmaları dönüştürme becerisi oluşmamışsa, basit görevleri çözerken kolayca hata yapılabilir.

Pratik yapın, önce matematik dersindeki en basit örnekleri çözün, ardından daha karmaşık olanlara geçin. İleride “çirkin” logaritmaların nasıl çözüldüğünü mutlaka göstereceğim, sınavda böyle logaritmalar olmayacak ama ilgi çekici, kaçırmayın!

Bu kadar! Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteden sosyal ağlarda bahsederseniz minnettar olurum.