Lineer denklem sisteminin tanımı ve çözümü. Lineer denklem sistemlerine örnekler: çözüm yöntemi

sistem denir bağlantı, veya çözülebilir en az bir çözümü varsa. sistem denir uyumsuz, veya çözünmez eğer çözümleri yoksa.

Kesin, belirsiz SLAE.

Bir SLAE'nin bir çözümü varsa ve benzersizse, buna denir. belirli ve çözüm benzersiz değilse, o zaman belirsiz.

MATRİS DENKLEMLERİ

Matrisler sistemi kısaca yazmayı mümkün kılar lineer denklemler. Üç bilinmeyenli 3 denklemli bir sistem verilsin:

Sistemin matrisini düşünün ve bilinmeyen ve serbest üyelerin matris sütunları

ürünü bulalım

şunlar. çarpım sonucunda bu sistemin denklemlerinin sol taraflarını elde ederiz. Daha sonra matris eşitliği tanımı kullanılarak bu sistem şu şekilde yazılabilir:

veya daha kısa A∙X=B.

Burada matrisler A ve B bilinir ve matris X Bilinmeyen. Bulunması gerekiyor çünkü. elemanları bu sistemin çözümüdür. Bu denklem denir matris denklemi.

Matris determinantı sıfırdan farklı olsun | A| ≠ 0. Daha sonra matris denklemi aşağıdaki gibi çözülür. Soldaki denklemin her iki tarafını matrisle çarpın A-1, matrisin tersi A: . Çünkü A-1A = E ve E∙X=X, daha sonra formdaki matris denkleminin çözümünü elde ederiz. X = A-1B .

Ters matris yalnızca kare matrisler için bulunabileceğinden, matris yönteminin yalnızca aşağıdaki sistemleri çözebileceğini unutmayın. denklemlerin sayısı bilinmeyenlerin sayısıyla aynı.

Cramer formülleri

Cramer'in yöntemi, art arda bulmamızdır. ana sistem tanımlayıcısı, yani A matrisinin determinantı: D = det (a i j) ve n yardımcı belirleyiciler i-inci sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle D determinantından elde edilen D i (i= ).

Cramer'in formülleri şuna benzer: D × x i = D i (i = ).

Bu, sistem uyumluluğu sorusuna kapsamlı bir cevap veren Cramer kuralını ima eder: Sistemin ana belirleyicisi sıfırdan farklıysa, sistem şu formüllerle belirlenen benzersiz bir çözüme sahiptir: x i = D i / D.

D sisteminin ana belirleyicisi ve tüm yardımcı belirleyiciler D i = 0 (i= ) ise, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Sistemin ana determinantı D = 0 ise ve en az bir yardımcı determinant sıfırdan farklı ise sistem tutarsızdır.

Teorem (Cramer kuralı): Sistemin determinantı Δ ≠ 0 ise, söz konusu sistemin bir ve sadece bir çözümü vardır ve

Kanıt: Öyleyse, üç bilinmeyenli 3 denklemli bir sistem düşünün. Sistemin 1. denklemini cebirsel tamamlayıcı ile çarpın 11 eleman 11, 2. denklem - açık A21 ve 3. - açık 31:

Bu denklemleri ekleyelim:

Parantezlerin her birini ve bu denklemin sağ tarafını düşünün. 1. sütunun elemanları açısından determinantın açılımına ilişkin teoreme göre.

Benzer şekilde, ve gösterilebilir.

Son olarak, bunu görmek kolaydır

Böylece eşitliği elde ederiz: . Sonuç olarak, .

Eşitlikler ve benzer şekilde türetilir, buradan teoremin iddiası gelir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir lineer denklem sistemi, ancak ve ancak sistem matrisinin sıralaması, artırılmış matrisin sıralamasına eşitse tutarlıdır.

Kanıt:İki aşamaya ayrılır.

1. Sistemin bir çözümü olmasına izin verin. Bunu gösterelim.

Sayı kümesi olsun sistemin çözümüdür. Matrisin -th sütunu ile belirtin, . O halde, yani serbest terimler sütunu, matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimidir. İzin vermek . farz edelim ki . Daha sonra tarafından . Temel minörde seçiyoruz. Onun düzeni var. Serbest üyeler sütunu bu minörden geçmelidir, aksi takdirde matrisin temel minörü olacaktır. Minör serbest terimler sütunu, matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimidir. Determinantın özelliklerinden dolayı, serbest terimler sütunu sütunu ile değiştirilerek minörden elde edilen determinant nerededir. Sütun küçük M'den geçerse, içinde iki özdeş sütun olacaktır ve bu nedenle . Sütun minörden geçmediyse, matrisin r + 1 mertebesindeki minörden sadece sütunların sırasına göre farklı olacaktır. O zamandan beri . Bu nedenle, bir baz minör tanımına aykırıdır. Dolayısıyla, varsayımı yanlıştır.

2. İzin ver. Sistemin bir çözümü olduğunu gösterelim. Çünkü o zaman matrisin temel minörü matrisin temel minörüdür. Sütunların minörden geçmesine izin verin . Daha sonra, bir matristeki temel minör teoremine göre, serbest terimler sütunu, belirtilen sütunların doğrusal bir birleşimidir:

(1)

, , , ayarlıyoruz ve kalan bilinmeyenleri sıfıra eşitliyoruz. Daha sonra elde ettiğimiz bu değerler için

Eşitlik nedeniyle (1) . Son eşitlik, sayı kümesinin sistemin çözümüdür. Çözümün varlığı kanıtlanmıştır.

Yukarıda tartışılan sistemde ve sistem tutarlıdır. Sistemde , ve sistem tutarsız.

Not: Kronecker-Capelli teoremi, bir sistemin tutarlı olup olmadığını belirlemeyi mümkün kılsa da, oldukça nadiren kullanılır, özellikle teorik çalışmalar. Bunun nedeni, bir matrisin rankı bulunurken yapılan hesaplamaların, sisteme çözüm bulunurken yapılan hesaplamalarla temelde aynı olmasıdır. Bu nedenle, genellikle ve bulmak yerine, sisteme bir çözüm aranır. Eğer bulunabilirse, sistemin tutarlı olduğunu öğrenir ve aynı anda çözümünü elde ederiz. Bir çözüm bulunamazsa, sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız.

Rastgele bir lineer denklem sistemine çözüm bulmak için algoritma (Gauss yöntemi)

Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemi verilsin. Tutarlıysa genel çözümünü bulması veya tutarsızlığını tespit etmesi gerekir. Bu bölümde sunulacak yöntem, determinantı hesaplama yöntemine ve bir matrisin rankını bulma yöntemine yakındır. Önerilen algoritma denir Gauss yöntemi veya bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi.

Sistemin artırılmış matrisini yazalım

Aşağıdaki işlemleri matrislerle elemanter işlemler olarak adlandırırız:

1. çizgilerin permütasyonu;

2. bir dizgiyi sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;

3. Bir sayı ile çarpılan başka bir dize ile bir dize eklenmesi.

Bir denklem sistemini çözerken, determinantı hesaplamanın ve dereceyi bulmanın aksine, sütunlarla çalışılamayacağını unutmayın. Bir temel işlem gerçekleştirerek elde edilen matristen denklem sistemi geri yüklenirse, yeni sistem orijinal sisteme eşdeğer olacaktır.

Algoritmanın amacı, matrise bir dizi temel işlem uygulayarak, belki de ilki hariç her satırın sıfırlarla başlamasını ve her bir sonraki ilk sıfır olmayan öğeye kadar olan sıfırların sayısını sağlamaktır. satır öncekinden daha büyüktür.

Algoritmanın adımı aşağıdaki gibidir. Matristeki ilk sıfır olmayan sütunu bulun. Sayı içeren bir sütun olsun. İçinde sıfır olmayan bir eleman buluyoruz ve bu elemanla olan satırı ilk satırla değiştiriyoruz. Ek notasyon biriktirmemek için, matriste böyle bir satır değişikliğinin zaten yapıldığını, yani . Sonra ikinci satıra sayı ile çarpılan ilk satırı, üçüncü satıra sayı ile çarpılan ilk satırı vb. ekleriz. Sonuç olarak, matrisi elde ederiz.

(İlk boş sütunlar genellikle eksiktir.)

Matris, tüm öğelerin sıfıra eşit olduğu k numaralı bir satıra sahipse ve , algoritmanın yürütülmesini durdurur ve sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız. Aslında, genişletilmiş matristen denklemler sistemini geri yüklersek, -inci denklemin forma sahip olacağını elde ederiz.

Bu denklem herhangi bir sayı kümesini tatmin etmiyor .

Matris şu şekilde yazılabilir:

Matris ile ilgili olarak, algoritmanın açıklanan adımını gerçekleştiriyoruz. matrisi al

nerede , . Bu matris tekrar şu şekilde yazılabilir:

ve algoritmanın yukarıdaki adımı tekrar matrise uygulanır.

Bir sonraki adımın yürütülmesinden sonra yeni indirgenmiş matris yalnızca sıfırlardan oluşuyorsa veya tüm satırlar tükenirse işlem durur. Sistemin uyumsuzluğu hakkındaki sonucun, süreci daha da erken durdurabileceğini unutmayın.

Matrisi küçültmeseydik, sonunda formun bir matrisine gelirdik.

Ardından, Gauss yönteminin sözde ters geçişi gerçekleştirilir. Matrise dayanarak, bir denklem sistemi oluşturuyoruz. Sol tarafta, bilinmeyenleri, her satırdaki ilk sıfır olmayan öğelere karşılık gelen sayılarla, yani . Dikkat, bu. Kalan bilinmeyenler sağ tarafa aktarılır. Sağ taraftaki bilinmeyenlerin birer sabit nicelik olduğu düşünülürse, sol taraftaki bilinmeyenleri onlara göre ifade etmek kolaydır.

Şimdi sağ taraftaki bilinmeyenlere rastgele değerler vererek ve sol taraftaki değişkenlerin değerlerini hesaplayarak orijinal Ax=b sistemine çeşitli çözümler bulacağız. Genel çözümü yazmak için sağ taraftaki bilinmeyenleri herhangi bir sırayla harflerle belirtmek gerekir. sıfır katsayılar nedeniyle sağ tarafta açıkça yazılmayan bilinmeyenler dahil ve daha sonra bilinmeyenler sütunu, her öğenin keyfi değerlerin doğrusal bir birleşimi olduğu bir sütun olarak yazılabilir. (özellikle, yalnızca keyfi bir değer ). Bu girdi sistemin genel çözümü olacaktır.

Sistem homojen ise, homojen sistemin genel çözümünü elde ederiz. Genel çözüm sütununun her bir elemanında alınan katsayılar, temel çözümler sisteminden ilk çözümü, ikinci çözümdeki katsayıları vb. oluşturacaktır.

Yöntem 2: Homojen bir sistemin temel çözüm sistemi başka bir yolla elde edilebilir. Bunu yapmak için, sağ tarafa aktarılan bir değişkene 1 değeri ve geri kalanı - sıfırlar atanmalıdır. Sol taraftaki değişkenlerin değerlerini hesaplayarak temel sistemden bir çözüm elde ederiz. Sağ taraftaki diğer değişkene 1 değerini, diğerlerine sıfır değerini atayarak, temel sistemden ikinci çözümü elde ederiz, vb.

Tanım: sistem ortak olarak adlandırılır th, en az bir çözümü varsa ve tutarsızsa - aksi takdirde, yani sistemin hiçbir çözümü olmadığı durumda. Bir sistemin çözümünün olup olmadığı sorusu sadece denklem sayısı ve bilinmeyen sayısı oranı ile bağlantılı değildir. Örneğin, iki bilinmeyenli üç denklemli bir sistem

bir çözümü vardır ve hatta sonsuz sayıda çözümü vardır, ancak üç bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemdir.

……. … ……

Bir m 1 x 1 + … + bir mn x n = 0

Bu sistem, önemsiz bir çözümü olduğu için her zaman tutarlıdır x 1 =…=x n =0

Önemsiz çözümlerin var olması için gerekli ve yeterlidir

koşullar r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

Th SLAE çözümleri seti, doğrusal bir boyut (n-r) alanı oluşturur. Bu, çözümünün bir sayı ile çarpımının yanı sıra sonlu sayıda çözümünün toplamı ve doğrusal kombinasyonunun bu sistemin çözümleri olduğu anlamına gelir. Herhangi bir SLAE'nin lineer çözüm uzayı, Rn uzayının bir alt uzayıdır.

Bir SLAE'nin (çözüm uzayında bir temel olan) herhangi bir (n-r) lineer bağımsız çözüm kümesine denir. temel çözüm kümesi (FSR).

х 1 ,…,х r temel bilinmeyenler, х r +1 ,…,х n serbest bilinmeyenler olsun. Serbest değişkenlere sırasıyla aşağıdaki değerleri veriyoruz:

……. … ……

Bir m 1 x 1 + … + bir mn x n = 0

R n (n bilinmeyenlerin sayısıdır) ve dims=k=n-r'de bir alt uzay olan lineer bir S uzayı (çözümler uzayı) oluşturur, burada r sistemin derecesidir. (x (1) ,…, x (k) ) çözüm uzayındaki temel, temel çözümler sistemi olarak adlandırılır ve genel çözüm forma sahiptir:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

örnek 1. Sistemin genel bir çözümünü ve bazı özel çözümlerini bulun

Çözüm hesap makinesi ile yap. Genişletilmiş ve ana matrisleri yazıyoruz:

Ana matris A noktalı bir çizgi ile ayrılmıştır.Sistemin denklemlerindeki terimlerin olası permütasyonlarını akılda tutarak, bilinmeyen sistemleri yukarıdan yazıyoruz. Genişletilmiş matrisin sırasını belirlerken, aynı anda ana matrisin sırasını buluruz. B matrisinde, birinci ve ikinci sütunlar orantılıdır. İki orantılı sütundan yalnızca biri temel minöre düşebilir, bu yüzden örneğin ilk sütunu zıt işaretli kesikli çizginin ötesine taşıyalım. Sistem için bu, terimlerin x 1'den denklemlerin sağ tarafına aktarılması anlamına gelir.

Matrisi üçgen bir forma getiriyoruz. Sadece satırlarla çalışacağız, çünkü sistem için bir matris satırını sıfır olmayan bir sayı ile çarpıp başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek anlamına gelir, bu da çözümü değiştirmez sistemin. İlk satırla çalışma: matrisin ilk satırını (-3) ile çarpın ve sırayla ikinci ve üçüncü satırlara ekleyin. Sonra ilk satırı (-2) ile çarpıyoruz ve dördüncü satıra ekliyoruz.

İkinci ve üçüncü satırlar orantılıdır, bu nedenle bunlardan biri, örneğin ikincisi çizilebilir. Bu, üçüncü denklemin bir sonucu olduğu için sistemin ikinci denkleminin silinmesine eşdeğerdir.

Şimdi ikinci satırla çalışıyoruz: (-1) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin.

Noktalı bir çizgi ile daire içine alınmış küçük en yüksek mertebe(olası minörlerden) ve sıfırdan farklıdır (ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir) ve bu minör hem ana matrise hem de genişletilmiş matrise aittir, dolayısıyla rangA = rangB = 3 .
Küçük temeldir. Bilinmeyen x 2, x 3, x 4 için katsayıları içerir; bu, bilinmeyen x 2, x 3, x 4'ün bağımlı olduğu ve x 1, x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.
Matrisi dönüştürüyoruz, sadece temel minör solda kalıyor (yukarıdaki çözüm algoritmasının 4. noktasına karşılık geliyor).

Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve forma sahiptir.

Bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemiyle şunları buluyoruz:
, ,

x 2, x 3, x 4 ile serbest x 1 ve x 5 arasındaki bağımlı değişkenleri ifade eden bağıntılarımız var, yani genel bir çözüm bulduk:

Serbest bilinmeyenlere keyfi değerler vererek, herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. İki özel çözüm bulalım:
1) x 1 = x 5 = 0, sonra x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3 olsun;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, sonra x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 koyun.
Böylece iki çözüm bulduk: (0.1, -3,3,0) - bir çözüm, (1.4, -7.7, -1) - başka bir çözüm.

Örnek 2. Uyumluluğu araştırın, sistemin genel ve bir özel çözümünü bulun

Çözüm. Birinci denklemde bir birim olacak şekilde birinci ve ikinci denklemleri yeniden düzenleyelim ve B matrisini yazalım.

İlk satırda çalışan dördüncü sütunda sıfırlar alıyoruz:

Şimdi ikinci satırı kullanarak üçüncü sütundaki sıfırları alın:

Üçüncü ve dördüncü satırlar orantılıdır, bu nedenle sıra değiştirilmeden bunlardan birinin üstü çizilebilir:
Üçüncü satırı (-2) ile çarpın ve dördüncüye ekleyin:

Ana ve genişletilmiş matrislerin ranklarının 4 olduğunu ve rankın bilinmeyenlerin sayısıyla çakıştığını görüyoruz, bu nedenle sistemin benzersiz bir çözümü var:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Örnek 3. Sistemi uyumluluk açısından inceleyin ve varsa bir çözüm bulun.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz.

İlk iki denklemi, sol üst köşede 1 olacak şekilde yeniden düzenleyin:
İlk satırı (-1) ile çarparak üçüncüye ekliyoruz:

İkinci satırı (-2) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin:

Ana matris, sıra bulunduğunda üstü çizilen sıfırlardan oluşan bir satır aldığından ve son satır genişletilmiş matriste kaldığından, yani r B > r A olduğundan sistem tutarsızdır.

Egzersiz yapmak. Bu denklem sistemini uyumluluk açısından araştırın ve matris hesabı yoluyla çözün.
Çözüm

Örnek. Bir lineer denklem sisteminin uyumluluğunu kanıtlayın ve bunu iki şekilde çözün: 1) Gauss yöntemi ile; 2) Cramer yöntemi. (cevabı şu şekilde girin: x1,x2,x3)
Çözüm :doc :doc :xls
Cevap: 2,-1,3.

Örnek. Bir lineer denklem sistemi verilmiştir. Uyumluluğunu kanıtlayın. Sistemin genel bir çözümünü ve bir özel çözümü bulun.
Çözüm
Cevap: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Egzersiz yapmak. Her sistem için genel ve özel çözümler bulun.
Çözüm. Bu sistemi Kronecker-Capelli teoremini kullanarak inceliyoruz.
Genişletilmiş ve ana matrisleri yazıyoruz:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x2x 3x4x5

Burada A matrisi kalın yazı tipindedir.
Matrisi üçgen bir forma getiriyoruz. Sadece satırlarla çalışacağız, çünkü sistem için bir matris satırını sıfır olmayan bir sayı ile çarpıp başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek anlamına gelir, bu da çözümü değiştirmez sistemin.
1. satırı (3) ile çarpın. 2. satırı (-1) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyelim:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

2. satırı (2) ile çarpın. 3. satırı (-3) ile çarpın. 3. satırı 2. satıra ekleyelim:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

2. satırı (-1) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyelim:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Seçilen minör en yüksek mertebeye sahiptir (olası tüm minörler arasında) ve sıfırdan farklıdır (karşılıklı diyagonal üzerindeki elemanların çarpımına eşittir) ve bu minör hem ana matrise hem de genişletilmiş matrise aittir, bu nedenle çaldı (A) = rang(B) = 3 Ana matrisin sırası, genişletilmiş olanın sırasına eşit olduğundan, o zaman sistem işbirlikçidir.
Bu minör temeldir. Bilinmeyen x 1, x 2, x 3 için katsayıları içerir; bu, bilinmeyen x 1, x 2, x 3'ün bağımlı (temel) ve x 4, x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.
Solda sadece temel minör bırakarak matrisi dönüştürüyoruz.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x2x 3 x4x5
Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekildedir:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemiyle şunları buluyoruz:
x 1, x 2, x 3'ten serbest x 4, x 5'e kadar bağımlı değişkenleri ifade eden bağıntılarımız var, yani bulduk ortak karar:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
belirsiz, çünkü birden fazla çözümü vardır.

Egzersiz yapmak. Denklem sistemini çözün.
Cevap:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Serbest bilinmeyenlere keyfi değerler vererek, herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. sistem belirsiz

Uyumluluk için bir lineer yaş denklemleri sistemini (SLAE) araştırmak, bu sistemin çözümleri olup olmadığını bulmak anlamına gelir. Peki, çözümler varsa, kaç tanesini belirtin.

"Lineer cebirsel denklemler sistemi. Temel terimler. Matris notasyonu" konusundan bilgilere ihtiyacımız olacak. Özellikle, sistemin matrisi ve sistemin genişletilmiş matrisi gibi kavramlara ihtiyaç vardır, çünkü Kronecker-Capelli teoreminin formülasyonu bunlara dayanmaktadır. Her zamanki gibi, sistemin matrisi $A$ harfi ile ve sistemin genişletilmiş matrisi $\widetilde(A)$ harfi ile gösterilecektir.

Kronecker-Capelli teoremi

Bir lineer cebirsel denklem sistemi, ancak ve ancak sistemin matrisinin sırası, sistemin genişletilmiş matrisinin sırasına eşitse, yani tutarlıdır. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Bir sistemin en az bir çözümü varsa eklem denildiğini hatırlatmama izin verin. Kronecker-Capelli teoremi şunu söyler: eğer $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ise, o zaman bir çözüm vardır; $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ise, bu SLAE'nin çözümü yoktur (tutarsızdır). Bu çözümlerin sayısı ile ilgili sorunun cevabı Kronecker-Capelli teoreminin bir sonucu olarak verilmektedir. Sonuç ifadesi, verilen SLAE'deki değişkenlerin sayısına eşit olan $n$ harfini kullanır.

Kronecker-Capelli teoreminin sonucu

  1. $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ise, SLAE tutarsızdır (çözüm yoktur).
  2. $\rang A=\rang\widetilde(A) ise< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
  3. $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ ise, SLAE kesindir (tam olarak bir çözümü vardır).

Formüle edilmiş teoremin ve sonucunun, SLAE'nin çözümünün nasıl bulunacağını göstermediğine dikkat edin. Onların yardımıyla, yalnızca bu çözümlerin var olup olmadığını ve varsa kaç tane olduğunu öğrenebilirsiniz.

Örnek 1

SLAE'yi keşfedin $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned) )\right.$ tutarlılık için SLAE tutarlıysa, çözüm sayısını belirtin.

Belirli bir SLAE'nin çözümlerinin varlığını bulmak için Kronecker-Capelli teoremini kullanırız. $A$ sisteminin matrisine ve $\widetilde(A)$ sisteminin genişletilmiş matrisine ihtiyacımız var, bunları yazıyoruz:

$$ A=\left(\begin(dizi) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(dizi) \sağ);\; \widetilde(A)=\left(\begin(dizi) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(dizi)\sağ). $$

$\rang A$ ve $\rang\widetilde(A)$ bulmamız gerekiyor. Bunu yapmanın birçok yolu vardır, bunlardan bazıları Matrix Rank bölümünde listelenmiştir. Genellikle, bu tür sistemleri incelemek için iki yöntem kullanılır: "Tanıma göre bir matrisin sırasının hesaplanması" veya "Bir matrisin sırasının temel dönüşümler yöntemiyle hesaplanması".

Yöntem numarası 1. Tanıma göre rütbelerin hesaplanması.

Tanıma göre, rank, matrisin küçüklerinin en yüksek mertebesidir ve aralarında sıfır dışında en az bir tane bulunur. Genellikle, çalışma birinci dereceden küçüklerle başlar, ancak burada $A$ matrisinin üçüncü dereceden küçüklerinin hesaplanmasına hemen devam etmek daha uygundur. Üçüncü mertebeden minör elemanları, incelenen matrisin üç satırı ve üç sütununun kesişim noktasındadır. $A$ matrisi yalnızca 3 satır ve 3 sütun içerdiğinden, $A$ matrisinin üçüncü dereceden küçük değeri, $A$ matrisinin determinantıdır, yani. $\DeltaA$. Determinantı hesaplamak için, "İkinci ve üçüncü dereceden determinantları hesaplamak için formüller" konusundan 2 numaralı formülü uygularız:

$$ \Delta A=\sol| \begin(dizi) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(dizi) \right|=-21. $$

Yani, $A$ matrisinin sıfıra eşit olmayan üçüncü dereceden bir küçüğü var. 4 sıra ve 4 sütun gerektirdiğinden ve $A$ matrisinin yalnızca 3 satırı ve 3 sütunu olduğundan 4. dereceden bir minör oluşturulamaz. Dolayısıyla, aralarında en az bir sıfır olmayan bir tane bulunan $A$ matrisinin en yüksek küçük mertebesi 3'e eşittir. Bu nedenle, $\rang A=3$.

Ayrıca $\rang\widetilde(A)$ bulmamız gerekiyor. $\widetilde(A)$ matrisinin yapısına bakalım. $\widetilde(A)$ matrisindeki satıra kadar $A$ matrisinin öğeleri var ve $\Delta A\neq 0$ olduğunu bulduk. Bu nedenle, $\widetilde(A)$ matrisinde sıfıra eşit olmayan üçüncü dereceden bir minör vardır. $\widetilde(A)$ matrisinin dördüncü dereceden küçüklerini oluşturamayız, bu nedenle şu sonuca varırız: $\rang\widetilde(A)=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarlıdır, yani. bir çözümü vardır (en az bir). Çözüm sayısını belirtmek için, SLAE'mizin 3 bilinmeyen içerdiğini dikkate alıyoruz: $x_1$, $x_2$ ve $x_3$. Bilinmeyenlerin sayısı $n=3$ olduğundan, şu sonuca varırız: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, bu nedenle, Kronecker-Capelli teoreminin doğal sonucuna göre, sistem kesindir, yani. benzersiz bir çözümü var.

Sorun çözüldü. dezavantajları ve avantajları nelerdir Bu taraftan? İlk önce, profesyoneller hakkında konuşalım. İlk olarak, sadece bir determinant bulmamız gerekiyordu. Bundan sonra, çözüm sayısı hakkında hemen bir sonuca vardık. Genellikle, standart tipik hesaplamalarda, üç bilinmeyen içeren ve tek bir çözümü olan denklem sistemleri verilir. Bu tür sistemler için Bu methodçok uygun, çünkü önceden bir çözüm olduğunu biliyoruz (aksi takdirde tipik bir hesaplamada örnek olmazdı). Şunlar. bize sadece çoğu sorunun bir çözümü olduğunu göstermek kalıyor. hızlı yol. İkinci olarak, sistem matris determinantının hesaplanan değeri (yani $\Delta A$) daha sonra kullanışlı olacaktır: verilen sistemi Cramer yöntemini kullanarak veya ters matrisi kullanarak çözmeye başladığımızda.

Ancak, tanım gereği, sistem matrisi $A$ dikdörtgen ise, sıralamayı hesaplama yöntemi istenmez. Bu durumda, aşağıda tartışılacak olan ikinci yöntemi uygulamak daha iyidir. Ayrıca, $\Delta A=0$ ise, verilen homojen olmayan SLAE için çözüm sayısı hakkında bir şey söyleyemeyiz. Belki SLAE'nin sonsuz sayıda çözümü vardır veya belki de hiçbiri yoktur. $\Delta A=0$ ise gereklidir ek araştırma, ki bu genellikle hantaldır.

Söylenenleri özetleyerek, sistem matrisi kare olan SLAE'ler için ilk yöntemin iyi olduğunu not ediyorum. Aynı zamanda, SLAE'nin kendisi üç veya dört bilinmeyen içerir ve standart standart hesaplamalardan veya kontrol çalışmalarından alınır.

Yöntem numarası 2. Temel dönüşümler yöntemiyle sıralamanın hesaplanması.

Bu yöntem ilgili konuda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. $\widetilde(A)$ matrisinin rankını hesaplayacağız. Neden $\widetilde(A)$ matrisleri var da $A$ değil? Mesele şu ki, $A$ matrisi $\widetilde(A)$ matrisinin bir parçası, yani $\widetilde(A)$ matrisinin rankını hesaplayarak aynı anda $A$ matrisinin rankını bulacağız. .

\begin(hizalanmış) &\widetilde(A) =\left(\begin(dizi) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(dizi) \sağ) \rightarrow \left|\text(birinci ve ikinci satırları değiştir)\sağ| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(dizi) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (dizi) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(dizi) \sağ) \begin(dizi) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(dizi)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(dizi) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(dizi) \sağ) \end(hizalı)

$\widetilde(A)$ matrisini yamuk biçimine indirdik. Ortaya çıkan matrisin ana köşegeninde $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( dizi) \right)$ sıfır olmayan üç öğe içerir: -1, 3 ve -7. Sonuç: $\widetilde(A)$ matrisinin rankı 3'tür, yani. $\rank\widetilde(A)=3$. $\widetilde(A)$ matrisinin elemanları ile dönüşümler yaparak, satırdan önce yer alan $A$ matrisinin elemanlarını aynı anda dönüştürdük. $A$ matrisi de yamuktur: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Sonuç: $A$ matrisinin rankı da 3'e eşittir, yani. $\derece A=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarlıdır, yani. bir çözümü var. Çözüm sayısını belirtmek için, SLAE'mizin 3 bilinmeyen içerdiğini dikkate alıyoruz: $x_1$, $x_2$ ve $x_3$. Bilinmeyenlerin sayısı $n=3$ olduğundan, şu sonuca varırız: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, bu nedenle, Kronecker-Capelli teoreminin doğal sonucuna göre, sistem tanımlanır, yani. benzersiz bir çözümü var.

İkinci yöntemin avantajları nelerdir? Ana avantajı çok yönlülüğüdür. Sistemin matrisinin kare olup olmaması bizim için önemli değil. Ek olarak, Gauss yönteminin ileri dönüşümlerini fiilen gerçekleştirdik. Sadece birkaç adım kaldı ve bu SLAE'nin çözümünü alabiliriz. Dürüst olmak gerekirse, ikinci yolu birinciden daha çok seviyorum ama seçim bir zevk meselesi.

Cevap: Verilen SLAE tutarlı ve tanımlıdır.

Örnek #2

SLAE'yi keşfedin $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(hizalanmış) \right.$ tutarlılık için.

Sistem matrisinin sıralarını ve sistemin genişletilmiş matrisini temel dönüşümler yöntemiyle bulacağız. Genişletilmiş sistem matrisi: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(dizi) \sağ)$. Sistemin artırılmış matrisini dönüştürerek gerekli sıraları bulalım:

Sistemin genişletilmiş matrisi kademeli bir forma indirgenir. Matris kademeli bir forma indirgenirse, sırası sıfır olmayan satırların sayısına eşittir. Bu nedenle, $\rank A=3$. $A$ matrisi (çizgiye kadar) yamuk biçimine indirgenir ve rankı 2'ye eşittir, $\rang A=2$.

$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ olduğundan, Kronecker-Capelli teoremine göre sistem tutarsızdır (yani, çözümü yoktur).

Cevap: Sistem tutarsız.

Örnek 3

SLAE'yi keşfedin $ \left\( \begin(hizalanmış) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(hizalanmış) \right.$ uyumluluk için.

Genişletilmiş sistem matrisi: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(dizi)\sağ)$. Bu matrisin birinci ve ikinci satırlarını, ilk satırın ilk elemanı bir olacak şekilde değiştirin: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(dizi) \sağ)$.

Sistemin genişletilmiş matrisini ve sistemin matrisini yamuk bir forma indirdik. Sistemin genişletilmiş matrisinin rankı üçe, sistemin matrisinin rankı da üçe eşittir. Sistem $n=5$ bilinmeyenler içerdiğinden, yani. $\rang\widetilde(A)=\sıra A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли bu sistem belirsizdir, yani sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap: sistem belirsizdir.

İkinci bölümde, genellikle yüksek matematikte standart hesaplamalara veya testlere dahil edilen örnekleri analiz edeceğiz: içerdiği parametrelerin değerlerine bağlı olarak uyumluluk çalışması ve SLAE çözümü.

  • Sistemler m lineer denklemler n Bilinmeyen.
    Lineer denklem sistemini çözme böyle bir sayı kümesidir ( x 1 , x 2 , …, xn), sistemin denklemlerinin her birine ikame edilerek, doğru eşitlik elde edilir.
    nerede a ij , ben = 1, …, m; j = 1, …, n sistemin katsayılarıdır;
    ben , ben = 1, …, m- ücretsiz üyeler;
    x j , j = 1, …, n- Bilinmeyen.
    Yukarıdaki sistem matris formunda yazılabilir: bir X = B,




    nerede ( A|B) sistemin ana matrisidir;
    A- sistemin genişletilmiş matrisi;
    X- bilinmeyenler sütunu;
    Bücretsiz üyelerden oluşan bir sütundur.
    matris ise B bir boş matris ∅ değilse, bu lineer denklem sistemine homojen olmayan denir.
    matris ise B= ∅, o zaman bu lineer denklem sistemine homojen denir. Homojen bir sistem her zaman sıfır (önemsiz) bir çözüme sahiptir: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
    Lineer denklemlerin ortak sistemiçözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
    Tutarsız lineer denklem sistemiçözümü olmayan lineer denklemler sistemidir.
    Belirli lineer denklemler sistemi benzersiz bir çözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
    Belirsiz lineer denklem sistemi sonsuz sayıda çözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
  • n bilinmeyenli n lineer denklem sistemleri
    Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşitse, matris karedir. Matris determinantı, lineer denklemler sisteminin ana determinantı olarak adlandırılır ve Δ sembolü ile gösterilir.
    Cramer yöntemi sistemleri çözmek için n lineer denklemler n Bilinmeyen.
    Cramer kuralı.
    Bir lineer denklem sisteminin ana belirleyicisi sıfıra eşit değilse, sistem tutarlı ve tanımlanmıştır ve tek çözüm Cramer formülleri kullanılarak hesaplanır:
    burada Δ i, sistemin ana determinantından Δ değiştirilerek elde edilen determinantlardır. i inci sütundan ücretsiz üyeler sütununa. .
  • n bilinmeyenli m lineer denklem sistemleri
    Kronecker-Cappelli teoremi.


    Bu lineer denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin matrisinin rankının, sistemin genişletilmiş matrisinin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, sıra(Α) = sıra(Α|B).
    Eğer bir çaldı(Α) ≠ çaldı(Α|B), o zaman sistemin açıkça hiçbir çözümü yoktur.
    Eğer sıra(Α) = sıra(Α|B), o zaman iki durum mümkündür:
    1) çaldı(Α) = n(bilinmeyenlerin sayısına) - çözüm benzersizdir ve Cramer formülleriyle elde edilebilir;
    2) rütbe (Α)< n - sonsuz sayıda çözüm vardır.
  • Gauss yöntemi lineer denklem sistemlerini çözmek için


    Artırılmış matrisi oluşturalım ( A|B) bilinmeyen ve sağ taraflarda verilen katsayılar sisteminin.
    Gauss yöntemi veya bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemi, artırılmış matrisin azaltılmasından oluşur ( A|B) satırları üzerinde çapraz bir forma (üst üçgen bir forma) temel dönüşümlerin yardımıyla. Denklem sistemine dönersek, tüm bilinmeyenler belirlenir.
    Dizelerdeki temel dönüşümler şunları içerir:
    1) iki satırın değiştirilmesi;
    2) bir dizgiyi 0'dan farklı bir sayı ile çarpmak;
    3) isteğe bağlı bir sayı ile çarpılan başka bir dize eklemek;
    4) boş bir dize atmak.
    Köşegen bir forma indirgenmiş genişletilmiş bir matris, lineer sistem, verilene eşdeğer, çözümü zorluklara neden olmaz. .
  • Homojen lineer denklemler sistemi.
    Homojen sistem şu şekildedir:

    matris denklemine karşılık gelir bir X = 0.
    1) Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır, çünkü r(A) = r(A|B), her zaman sıfır bir çözüm vardır (0, 0, …, 0).
    2) Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r = r(A)< n , Δ = 0'a eşdeğerdir.
    3) Eğer r< n , sonra Δ = 0, o zaman serbest bilinmeyenler var c 1 , c 2 , …, c n-r, sistemin önemsiz olmayan çözümleri vardır ve bunlardan sonsuz sayıda vardır.
    4) Genel çözüm X de r< n matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:
    X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
    çözümler nerede X 1 , X 2 , …, X n-r temel bir çözüm sistemi oluşturur.
    5) Temel çözümler sistemi, homojen sistemin genel çözümünden elde edilebilir:

    ,
    parametrelerin değerlerini sırayla (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1) olarak kabul edersek.
    Çözümlerin temel sistemi açısından genel çözümün ayrıştırılması temel sisteme ait çözümlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak genel çözümün bir kaydıdır.
    teorem. Bir lineer homojen denklemler sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü olması için Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.
    Dolayısıyla, determinant Δ ≠ 0 ise, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.
    Δ ≠ 0 ise, lineer homojen denklemler sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.
    teorem. Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r(A)< n .
    Kanıt:
    1) r daha fazla olamaz n(matris sıralaması sütun veya satır sayısını geçmez);
    2) r< n , çünkü eğer r=n, daha sonra sistemin ana belirleyicisi Δ ≠ 0 ve Cramer'in formüllerine göre benzersiz bir önemsiz çözüm var x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, bu durumla çelişir. Anlamına geliyor, r(A)< n .
    Sonuçlar. Homojen bir sistem için n lineer denklemler n bilinmeyenlerin sıfır olmayan bir çözümü varsa, Δ = 0 olması gerekli ve yeterlidir.

nerede x* - homojen olmayan sistemin (2) çözümlerinden biri (örneğin (4)), (E−A + A) matrisin çekirdeğini (sıfır alanı) oluşturur A.

Matrisin iskeletsel bir ayrışmasını yapalım (E−A + A):

E−A + A=Q S

nerede Q n×n−r- sıra matrisi (Q)=n−r, S n−r×n-sıra matrisi (S)=n−r.

O halde (13) aşağıdaki biçimde yazılabilir:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

nerede k=Sz.

Yani, genel çözüm prosedürü sözde kullanarak lineer denklem sistemi ters matris aşağıdaki biçimde sunulabilir:

  1. Sözde ters matrisi hesaplayın A + .
  2. Homojen olmayan lineer denklem sisteminin belirli bir çözümünü hesaplıyoruz (2): x*=A + b.
  3. Sistemin uyumluluğunu kontrol ediyoruz. Bunun için hesaplıyoruz AA + b. Eğer bir AA + b≠b, o zaman sistem tutarsız. Aksi takdirde işleme devam ederiz.
  4. vyssylyaem E-A+A.
  5. İskelet ayrıştırma yapmak E−A + A=Q·S.
  6. Çözüm Oluşturma

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

Bir lineer denklem sistemini çevrimiçi çözme

Çevrimiçi hesap makinesi, ayrıntılı açıklamalarla bir doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü bulmanızı sağlar.

Paylaşmak: