Tutarlı ve tutarsız doğrusal cebirsel sistemler. Doğrusal denklem sistemlerini çözme. uyumsuz sistemler Genel çözümü olan sistemler. Özel Çözümler

örnek 1. Sistemin genel bir çözümünü ve bazı özel çözümlerini bulun

Karar bir hesap makinesi ile yapın. Genişletilmiş ve ana matrisleri yazıyoruz:

A ana matrisi noktalı bir çizgi ile ayrılmıştır. Yukarıdan, sistem denklemlerindeki terimlerin olası permütasyonlarını göz önünde bulundurarak bilinmeyen sistemleri yazıyoruz. Genişletilmiş matrisin sırasını belirlerken, aynı anda ana matrisin sırasını da buluruz. B matrisinde birinci ve ikinci sütunlar orantılıdır. İki orantılı sütundan yalnızca biri temel minöre düşebilir, bu nedenle örneğin ilk sütunu ters işaretli kesikli çizginin ötesine taşıyalım. Sistem için bu, terimlerin x 1'den denklemlerin sağ tarafına aktarılması anlamına gelir.

Matrisi üçgen forma getiriyoruz. Sistem için bir matris satırını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpıp başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek anlamına geldiğinden, sistemin çözümünü değiştirmediği için sadece satırlarla çalışacağız. . Birinci satırla çalışma: matrisin ilk satırını (-3) ile çarpın ve sırayla ikinci ve üçüncü satırlara ekleyin. Daha sonra ilk satırı (-2) ile çarparak dördüncü satıra ekliyoruz.

İkinci ve üçüncü çizgiler orantılıdır, bu nedenle bunlardan birinin, örneğin ikincisinin üzeri çizilebilir. Bu, üçüncü denklemin bir sonucu olduğu için sistemin ikinci denkleminin silinmesine eşdeğerdir.

Şimdi ikinci satırla çalışıyoruz: (-1) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin.

Kesikli minör en yüksek mertebeye sahiptir (tüm olası minörler arasında) ve sıfır değildir (ana köşegendeki öğelerin çarpımına eşittir) ve bu minör hem ana matrise hem de genişletilmiş matrise aittir, dolayısıyla rangA = çaldıB = 3 .
Küçük temeldir. Bilinmeyen x 2, x 3, x 4 için katsayıları içerir, yani bilinmeyen x 2, x 3, x 4 bağımlıdır ve x 1, x 5 serbesttir.
Solda yalnızca temel minörü bırakarak matrisi dönüştürüyoruz (bu, yukarıdaki çözüm algoritmasının 4. noktasına karşılık gelir).

Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekildedir:

Bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemiyle şunu buluruz:
, ,

x 2, x 3, x 4'ten serbest x 1 ve x 5'e kadar bağımlı değişkenleri ifade eden ilişkilerimiz var, yani genel bir çözüm bulduk:

Serbest bilinmeyenlere keyfi değerler vererek, herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. İki özel çözüm bulalım:
1) x 1 = x 5 = 0, sonra x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3 olsun;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, ardından x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 koyun.
Böylece iki çözüm bulduk: (0.1, -3,3,0) - bir çözüm, (1.4, -7.7, -1) - başka bir çözüm.

Örnek 2. Uyumluluğu araştırın, sistemin genel ve bir özel çözümünü bulun

Karar. Birinci ve ikinci denklemleri birinci denklemde bir birim olacak şekilde yeniden düzenleyelim ve B matrisini yazalım.

İlk satırda çalışan dördüncü sütunda sıfırlar alıyoruz:

Şimdi ikinci satırı kullanarak üçüncü sütundaki sıfırları alın:

Üçüncü ve dördüncü sıralar orantılıdır, dolayısıyla sıralamayı değiştirmeden birinin üzeri çizilebilir:
Üçüncü satırı (-2) ile çarpın ve dördüncüye ekleyin:

Ana ve genişletilmiş matrislerin ranklarının 4 olduğunu ve rankın bilinmeyen sayısı ile çakıştığını görüyoruz, bu nedenle sistemin benzersiz bir çözümü var:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Örnek 3. Sistemi uyumluluk açısından inceleyin ve varsa bir çözüm bulun.

Karar. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz.

İlk iki denklemi, sol üst köşede 1 olacak şekilde yeniden düzenleyin:
İlk satırı (-1) ile çarparak üçüncüye ekliyoruz:

İkinci satırı (-2) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin:

Ana matris, sıra bulunduğunda üstü çizilen sıfırlardan oluşan bir satır aldığından ve son satır genişletilmiş matriste kaldığından, yani r B > r A olduğundan sistem tutarsızdır.

Görev. Bu denklem sisteminin uyumluluğunu araştırın ve matris hesabı yoluyla çözün.
Karar

Örnek vermek. Sistem uyumluluğunu kanıtlayın lineer denklemler ve iki şekilde çözün: 1) Gauss yöntemiyle; 2) Cramer'in yöntemi. (cevabı şu biçimde girin: x1,x2,x3)
Çözüm :doc :doc :xls
Cevap: 2,-1,3.

Örnek vermek. Bir doğrusal denklem sistemi verilmiştir. Uyumluluğunu kanıtlayın. Sistemin genel bir çözümünü ve belirli bir çözümünü bulun.
Karar
Cevap: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Görev. Her sistem için genel ve özel çözümler bulun.
Karar. Bu sistemi Kronecker-Capelli teoremini kullanarak inceliyoruz.
Genişletilmiş ve ana matrisleri yazıyoruz:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x2x 3x4x5

Burada A matrisi kalın yazı tipindedir.
Matrisi üçgen forma getiriyoruz. Sistem için bir matris satırını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpıp başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek anlamına geldiğinden, sistemin çözümünü değiştirmediği için sadece satırlarla çalışacağız. .
1. satırı (3) ile çarpın. 2. satırı (-1) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyelim:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

2. satırı (2) ile çarpın. 3. satırı (-3) ile çarpın. 3. satırı 2. satıra ekleyelim:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

2. satırı (-1) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyelim:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Seçilen minör (mümkün minörler arasında) en yüksek mertebeye sahiptir ve sıfırdan farklıdır (ters köşegendeki elemanların çarpımına eşittir) ve bu minör hem ana matrise hem de genişletilmiş matrise aittir, dolayısıyla rang( A) = rang(B) = 3 Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşit olduğundan, o zaman sistem işbirliğine dayalıdır.
Bu minör temeldir. Bilinmeyen x 1, x 2, x 3 için katsayıları içerir; bu, bilinmeyen x 1, x 2, x 3'ün bağımlı (temel) ve x 4, x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.
Solda sadece temel minörü bırakarak matrisi dönüştürüyoruz.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x2x 3 x4x5
Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekildedir:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemiyle şunu buluruz:
x 1, x 2, x 3'ten serbest x 4, x 5'e kadar bağımlı değişkenleri ifade eden ilişkilerimiz var, yani şunu bulduk ortak karar:
x3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
belirsiz, çünkü birden fazla çözümü vardır.

Görev. Denklem sistemini çözün.
Cevap:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Serbest bilinmeyenlere keyfi değerler vererek, herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. sistem belirsiz


Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözmek, hiç şüphesiz doğrusal cebir dersinin en önemli konusudur. Matematiğin tüm dallarından çok sayıda problem, lineer denklem sistemlerini çözmeye indirgenmiştir. Bu faktörler, bu makalenin oluşturulmasının nedenini açıklar. Makalenin materyali, yardımı ile yapabileceğiniz şekilde seçilmiş ve yapılandırılmıştır.

  • doğrusal cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
  • seçilen yöntemin teorisini incelemek,
  • tipik örneklerin ve problemlerin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alarak lineer denklem sisteminizi çözün.

Makalenin malzemesinin kısa açıklaması.

Önce hepsini verelim gerekli tanımlar, kavramlar ve notasyonu tanıtın.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve benzersiz bir çözümü olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. İlk olarak, Cramer yöntemine odaklanalım, ikinci olarak, bu tür denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak, Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için kesinlikle birkaç SLAE'yi çeşitli şekillerde çözeceğiz.

Bundan sonra, lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmeye geçiyoruz. Genel görünüm Denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısıyla çakışmadığı veya sistemin ana matrisinin dejenere olduğu. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememizi sağlayan Kronecker-Capelli teoremini formüle ediyoruz. Bir matrisin temel minör kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (uyumlulukları durumunda) analiz edelim. Gauss yöntemini de ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak açıklayacağız.

Doğrusal cebirsel denklemlerin homojen ve homojen olmayan sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde durduğunuzdan emin olun. Temel çözüm sistemi kavramını verelim ve SLAE'nin genel çözümünün temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.

Sonuç olarak, çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemlerin yanı sıra doğrusal olanlara indirgenmiş denklem sistemlerini ele alıyoruz.

Sayfa gezintisi.

Tanımlar, kavramlar, adlandırmalar.

Formun n bilinmeyen değişkenli (p, n'ye eşit olabilir) p lineer cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.

Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya karmaşık sayılar), - serbest üyeler (ayrıca gerçek veya karmaşık sayılar).

Bu SLAE biçimine denir koordinat.

AT matris formu bu denklem sistemi şu forma sahiptir,
nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerin matris sütunu, - serbest üyelerin matris sütunu.

A matrisine (n + 1)-inci sütun olarak serbest terimlerin matris sütununu eklersek, o zaman sözde matrisi elde ederiz. genişletilmiş matris lineer denklem sistemleri. Genellikle, artırılmış matris T harfi ile gösterilir ve serbest üyeler sütunu, sütunların geri kalanından dikey bir çizgi ile ayrılır, yani,

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözerek sistemin tüm denklemlerini kimliklere dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin bir dizi değeri denir. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir kimliğe dönüşür.

Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri.

Denklem sisteminin çözümü yoksa denir. uyumsuz.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa, buna SLAE denir. belirli; birden fazla çözüm varsa, o zaman - belirsiz.

Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , ardından sistem çağrılır homojen, aksi halde - heterojen.

Doğrusal cebirsel denklemlerin temel sistemlerinin çözümü.

Sistem denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, bu tür SLAE'leri arayacağız temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.

Bu tür SLAE'leri lisede öğrenmeye başladık. Onları çözerken, bir denklem aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve onu kalan denklemlerde yerine koyduk, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve onu diğer denklemlerde yerine koyduk, vb. Veya toplama yöntemini kullandılar, yani bazı bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Esasen Gauss yönteminin modifikasyonları oldukları için bu yöntemler üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Lineer denklemlerin temel sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Onları sıralayalım.

Lineer denklem sistemlerinin Cramer yöntemi ile çözülmesi.

Lineer cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerekiyor.

denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .

Izin vermek sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve değiştirilerek A'dan elde edilen matrislerin belirleyicileridir. 1., 2., …, n. sırasıyla ücretsiz üyeler sütununa sütun:

Böyle bir gösterimle, bilinmeyen değişkenler Cramer'in yönteminin formülleriyle şu şekilde hesaplanır: . Lineer cebirsel denklem sisteminin çözümü Cramer yöntemiyle bu şekilde bulunur.

Örnek vermek.

Cramer yöntemi .

Karar.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: . Determinantını hesaplayın (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan, sistemin Cramer yöntemiyle bulunabilecek tek bir çözümü vardır.

Gerekli belirleyicileri oluşturun ve hesaplayın (determinant, A matrisindeki birinci sütunu bir serbest üye sütunu ile değiştirerek elde edilir, determinant - ikinci sütunu bir serbest üyeler sütunu ile değiştirerek, - A matrisinin üçüncü sütununu bir serbest üyeler sütunu ile değiştirerek elde edilir. ):

Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma :

Cevap:

Cramer yönteminin ana dezavantajı (eğer bir dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistem denklemlerinin sayısı üçten fazla olduğunda belirleyicileri hesaplamanın karmaşıklığıdır.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemiyle çözme (ters matris kullanarak).

Doğrusal cebirsel denklemler sistemi, A matrisinin n'ye n boyutuna sahip olduğu ve determinantının sıfır olmadığı matris formunda verilsin.

olduğundan, o zaman A matrisi terslenebilir, yani var ters matris. Eşitliğin her iki tarafını da soldaki ile çarparsak, bilinmeyen değişkenlerin sütun matrisini bulmak için bir formül elde ederiz. Böylece doğrusal cebirsel denklemler sisteminin matris yöntemiyle çözümünü elde ettik.

Örnek vermek.

Doğrusal Denklem Sistemini Çöz matris yöntemi.

Karar.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazalım:

Çünkü

o zaman SLAE matris yöntemiyle çözülebilir. Ters matris kullanılarak, bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlarının cebirsel tümleyenlerinden oluşan bir matris kullanarak bir ters matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın):

Hesaplamaya devam ediyor - ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisi ücretsiz üyelerin matris sütununda (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

veya başka bir gösterimde x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lineer cebirsel denklem sistemlerine matris yöntemiyle çözüm bulmadaki ana sorun, özellikle üçüncü mertebeden daha yüksek kare matrisler için ters matrisi bulmanın karmaşıklığıdır.

Lineer denklem sistemlerini Gauss yöntemi ile çözme.

n bilinmeyen değişkenli n lineer denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin art arda dışlanmasından oluşur: ilk olarak, x 1, ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkarılır, ardından x 2, üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır ve yalnızca bilinmeyen değişkene kadar böyle devam eder. x n son denklemde kalır. Bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için sistemin denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri çalıştırması tamamlandıktan sonra son denklemden x n bulunur, bu değer kullanılarak sondan bir önceki denklemden x n-1 hesaplanır ve böylece birinci denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birinci denklemine geçerken bilinmeyen değişkenleri hesaplama işlemine denir. ters Gauss yöntemi.

Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için algoritmayı kısaca açıklayalım.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için , olduğunu varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i, ikincisinden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkarıyoruz. Bunu yapmak için, ile çarpılan ilk denklemi sistemin ikinci denklemine ekleyin, birinci ile çarpılan denklemi üçüncü denkleme ekleyin ve bu şekilde devam ederek, birinci ile çarpılan denklemi n'inci denkleme ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

burada bir .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade etsek ve çıkan ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca gelirdik. Böylece, x 1 değişkeni, ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında tutulur.

Daha sonra, benzer şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca elde edilen sistemin şekilde işaretlenmiş olan bir kısmı ile

Bunu yapmak için, sistemin üçüncü denklemine ikinci çarpımını ekleyin, dördüncü denkleme ikinci çarpımını ekleyin ve bu şekilde devam ederek, n'inci denkleme ikinci çarpımını ekleyin. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

burada bir . Böylece, x 2 değişkeni, üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında tutulur.

Daha sonra, sistemin şekilde işaretlenmiş kısmı ile benzer şekilde hareket ederken bilinmeyen x 3'ün ortadan kaldırılmasına geçiyoruz.

Bu nedenle, sistem şu şekli alana kadar Gauss yönteminin doğrudan seyrine devam ediyoruz:

Bu andan itibaren, Gauss yönteminin ters seyrine başlıyoruz: x n'yi son denklemden şu şekilde hesaplıyoruz, elde edilen x n değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluyoruz ve bu şekilde devam ederek, ilk denklemden x 1'i buluyoruz. denklem.

Örnek vermek.

Doğrusal Denklem Sistemini Çöz Gauss yöntemi.

Karar.

Bilinmeyen değişken x 1'i sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemin her iki kısmına da birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleriz:

Şimdi, x 2'yi sol ve sağ kısımlarına ikinci denklemin sol ve sağ kısımlarını ekleyerek üçüncü denklemden çıkarıyoruz ve şu şekilde çarpıyoruz:

Bunun üzerine Gauss yönteminin ileri gidişi tamamlanır, tersine gidişe başlarız.

Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluruz:

İkinci denklemden elde ederiz.

İlk denklemden kalan bilinmeyen değişkeni buluyoruz ve bu, Gauss yönteminin ters seyrini tamamlıyor.

Cevap:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

Genel durumda, p sisteminin denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:

Bu tür SLAE'lerin çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade, ana matrisi kare ve dejenere olan denklem sistemleri için de geçerlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir lineer denklem sistemine bir çözüm bulmadan önce, uyumluluğunu belirlemek gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman uyumlu değil sorusunun cevabı, Kronecker-Capelli teoremi:
n bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin ana matrisinin rankının genişletilmiş matrisin rankına, yani Rank( A)=Sıra(T) .

Örnek olarak bir lineer denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Cappelli teoreminin uygulamasını ele alalım.

Örnek vermek.

Doğrusal denklem sisteminin sahip olup olmadığını öğrenin çözümler.

Karar.

. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden minör sıfırdan farklı Onu çevreleyen üçüncü dereceden küçüklerin üzerinden geçelim:

Tüm sınırdaki üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin sırası ikidir.

Buna karşılık, artırılmış matrisin sıralaması üçüncü dereceden minör olduğu için üçe eşittir

sıfırdan farklı

Böylece, Rang(A) , bu nedenle, Kronecker-Capelli teoremine göre, orijinal lineer denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Çözüm sistemi yok.

Böylece, Kronecker-Capelli teoremini kullanarak sistemin tutarsızlığını kurmayı öğrendik.

Ancak, uyumluluğu sağlanmışsa SLAE'nin çözümü nasıl bulunur?

Bunu yapmak için, bir matrisin temel minör kavramına ve bir matrisin rankı teoremine ihtiyacımız var.

Küçük en yüksek sipariş sıfır olmayan A matrisine denir temel.

Temel minör tanımından, sırasının matrisin sırasına eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin üçüncü dereceden küçüklerinin tümü sıfıra eşittir, çünkü bu matrisin üçüncü satırının öğeleri, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen öğelerinin toplamıdır.

İkinci mertebeden aşağıdaki minörler, sıfır olmadıkları için temeldir

reşit olmayanlar sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.

Matris rank teoremi.

n'ye göre p mertebesinden bir matrisin rankı r ise, matrisin satırlarının (ve sütunlarının) seçilen minör temeli oluşturmayan tüm öğeleri, satırların (ve sütunların) karşılık gelen öğeleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. ) temel minörü oluşturan.

Matris rank teoremi bize ne verir?

Kronecker-Capelli teoremi ile sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir temel minörünü seçeriz (düzeni r'ye eşittir) ve olmayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız. seçilen temel minörü oluşturur. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan (matriks sıra teoremine göre, bunlar kalan denklemlerin doğrusal bir kombinasyonudur) orijinaline eşdeğer olacaktır.

Sonuç olarak, sistemin aşırı denklemleri atıldıktan sonra iki durum mümkündür.

    Ortaya çıkan sistemdeki denklem sayısı r, bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile bulunabilir.

    Örnek vermek.

    .

    Karar.

    Sistemin ana matrisinin sıralaması ikinci mertebeden küçük olduğu için ikiye eşittir sıfırdan farklı Genişletilmiş matris sıralaması ayrıca ikiye eşittir, çünkü üçüncü mertebenin tek küçüğü sıfıra eşittir

    ve yukarıda ele alınan ikinci mertebenin minörü sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan, orijinal lineer denklem sisteminin uyumluluğu ileri sürülebilir.

    Temel minör olarak alıyoruz . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:

    Sistemin üçüncü denklemi, temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle onu matris rank teoremine dayalı olarak sistemden çıkarırız:

    Böylece lineer cebirsel denklemlerin temel bir sistemini elde etmiş olduk. Cramer yöntemiyle çözelim:

    Cevap:

    x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

    Ortaya çıkan SLAE'deki denklem sayısı r, bilinmeyen değişken sayısından n daha az ise, o zaman temel minörü oluşturan terimleri denklemlerin sol kısımlarında bırakır ve kalan terimleri denklemlerin sağ kısımlarına aktarırız. ters işaretli sistemin.

    Denklemlerin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tane vardır) denir. ana.

    Sağ tarafta sona eren bilinmeyen değişkenler (n - r tane var) olarak adlandırılır. Bedava.

    Şimdi, serbest bilinmeyen değişkenlerin rasgele değerler alabileceğini, r ana bilinmeyen değişkenlerin ise serbest bilinmeyen değişkenler cinsinden benzersiz bir şekilde ifade edileceğini varsayıyoruz. İfadeleri, ortaya çıkan SLAE'yi Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile çözerek bulunabilir.

    Bir örnek alalım.

    Örnek vermek.

    Doğrusal Cebirsel Denklem Sistemini Çöz .

    Karar.

    Sistemin ana matrisinin sırasını bulun sınırdaki küçükler yöntemiyle. 1 1 = 1'i sıfır olmayan birinci dereceden minör olarak alalım. Bu minörü çevreleyen sıfır olmayan ikinci dereceden bir minörü aramaya başlayalım:

    Böylece ikinci mertebeden sıfır olmayan bir minör bulduk. Üçüncü dereceden sıfır olmayan bir minör aramaya başlayalım:

    Böylece, ana matrisin sıralaması üçtür. Artırılmış matrisin rankı da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.

    Üçüncü mertebeden bulunan sıfır olmayan minör temel olarak alınacaktır.

    Netlik için, minör temeli oluşturan unsurları gösteriyoruz:

    Temel minöre katılan terimleri sistemin denklemlerinin sol tarafında bırakıp geri kalanını buradan aktarıyoruz. zıt işaretler sağ tarafa:

    Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler veriyoruz, yani , keyfi sayılar nerede. Bu durumda, SLAE şu şekli alır:

    Elde edilen doğrusal cebirsel denklemlerin temel sistemini Cramer yöntemiyle çözüyoruz:

    Sonuç olarak, .

    Cevapta, ücretsiz bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

    Cevap:

    Keyfi sayılar nerede.

Özetle.

Genel bir formun doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için önce Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu buluruz. Ana matrisin sıralaması, genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit değilse, sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız.

Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşitse, o zaman temel minörü seçeriz ve seçilen temel minörün oluşumuna katılmayan sistemin denklemlerini atarız.

Alt tabanın sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulunabilen benzersiz bir çözümü vardır.

Eğer minör tabanın sırası bilinmeyen değişken sayısından az ise, sistem denklemlerinin sol tarafında asıl bilinmeyen değişkenli terimleri bırakıp sağ tarafa kalan terimleri aktarıp keyfi değerler atayacağız ​​ücretsiz bilinmeyen değişkenlere. Ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminden, ana bilinmeyen değişkenleri Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile buluruz.

Genel formun doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi.

Gauss yöntemini kullanarak, herhangi bir türden doğrusal cebirsel denklem sistemlerini, uyumluluk için ön araştırmaları olmadan çözebiliriz. Bilinmeyen değişkenlerin art arda elenmesi süreci, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de tutarsızlığı hakkında bir sonuca varmayı mümkün kılar ve bir çözüm varsa onu bulmayı mümkün kılar.

Hesaplamalı çalışma açısından Gauss yöntemi tercih edilir.

Onu izle Detaylı Açıklama ve genel formun doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesindeki örnekleri analiz etti.

Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel sistemlerin genel çözümünün kaydedilmesi.

Bu bölümde, sonsuz sayıda çözümü olan doğrusal cebirsel denklemlerin birleşik homojen ve homojen olmayan sistemlerine odaklanacağız.

Önce homojen sistemleri ele alalım.

Temel karar sistemi n bilinmeyen değişkenli p doğrusal cebirsel denklemlerin homojen bir sistemi, bu sistemin (n - r) doğrusal olarak bağımsız çözümlerinden oluşan bir kümedir; burada r, sistemin ana matrisinin temel minör mertebesidir.

Homojen bir SLAE'nin doğrusal olarak bağımsız çözümlerini X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) olarak belirtirsek, n ​​boyutlu matris sütunlarıdır 1 ile ), daha sonra bu homojen sistemin genel çözümü, keyfi sabit katsayılar С 1 , С 2 , …, С (n-r), yani, temel çözüm sisteminin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.

Lineer cebirsel denklemlerin (oroslau) homojen bir sisteminin genel çözümü terimi ne anlama gelir?

Anlamı basit: formül, orijinal SLAE'ye olası tüm çözümleri belirtir, başka bir deyişle, formüle göre C 1 , C2 , ..., C (n-r) rasgele sabitlerinin herhangi bir değer kümesini alır. orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini elde edecektir.

Böylece, temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini olarak ayarlayabiliriz.

Homojen bir SLAE için temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal lineer denklem sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenler içeren tüm terimleri ters işaretli sistemin denklemlerinin sağ tarafına aktarıyoruz. Serbest bilinmeyen değişkenlere 1,0,0,…,0 değerlerini verelim ve ortaya çıkan temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemiyle çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayalım. Böylece, temel sistemin ilk çözümü olan X (1) elde edilecektir. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X(2) elde ederiz. Vb. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0,0,…,0,1 değerlerini verirsek ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak, X(n-r) elde ederiz. Homojen SLAE'nin temel çözüm sistemi bu şekilde oluşturulacak ve genel çözümü şeklinde yazılabilecektir.

Lineer cebirsel denklemlerin homojen olmayan sistemleri için genel çözüm şu şekilde temsil edilir:

Örneklere bakalım.

Örnek vermek.

Lineer cebirsel denklemlerin homojen bir sisteminin temel çözüm sistemini ve genel çözümünü bulun .

Karar.

Homojen doğrusal denklem sistemlerinin ana matrisinin sırası her zaman genişletilmiş matrisin sırasına eşittir. Minörleri saçaklama yöntemiyle ana matrisin rankını bulalım. Birinci mertebeden sıfır olmayan bir minör olarak, sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci mertebenin sınırdaki sıfır olmayan minörünü bulun:

İkinci dereceden sıfırdan farklı bir minör bulunur. Sıfır olmayan bir tane bulmak için onu çevreleyen üçüncü dereceden küçükleri gözden geçirelim:

Üçüncü dereceden tüm çevreleyen küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikidir. Temel minörü ele alalım. Netlik için, sistemin onu oluşturan öğelerini not ediyoruz:

Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi, temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:

Ana bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarında bırakıyoruz ve serbest bilinmeyenleri içeren terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:

Orijinal homojen doğrusal denklem sistemine temel bir çözüm sistemi oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi iki çözümden oluşur, çünkü orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerir ve temel minör sırası ikidir. X'i (1) bulmak için, ücretsiz bilinmeyen değişkenlere x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 değerlerini veriyoruz, ardından denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.

sistem denir eklem yeri, veya çözülebilir en az bir çözümü varsa. sistem denir uyumsuz, veya çözünmez eğer çözümü yoksa.

Kesin, belirsiz SLAE.

Bir SLAE'nin bir çözümü varsa ve benzersizse, buna SLAE denir. belirli ve çözüm benzersiz değilse, o zaman belirsiz.

MATRİS DENKLEMLERİ

Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmayı mümkün kılar. Üç bilinmeyenli 3 denklemli bir sistem verilsin:

Sistemin matrisini düşünün ve bilinmeyen ve serbest üyelerin matris sütunları

ürünü bulalım

şunlar. çarpım sonucunda bu sistemin denklemlerinin sol taraflarını elde ederiz. Daha sonra, matris eşitliğinin tanımını kullanarak, bu sistem şu şekilde yazılabilir:

veya daha kısa A∙X=B.

burada matrisler A ve B biliniyor ve matris X Bilinmeyen. Bulunması gerekiyor çünkü. elemanları bu sistemin çözümüdür. Bu denklem denir matris denklemi.

Matris determinantı sıfırdan farklı olsun | A| ≠ 0. Daha sonra matris denklemi aşağıdaki gibi çözülür. Soldaki denklemin her iki tarafını da matrisle çarp A-1, matrisin tersi A: . Çünkü Bir -1 Bir = E ve e∙X=X, sonra matris denkleminin çözümünü formda elde ederiz. X = A -1 B .

Ters matris yalnızca kare matrisler için bulunabileceğinden, matris yönteminin yalnızca aşağıdaki sistemleri çözebileceğini unutmayın. denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşittir.

Cramer formülleri

Cramer'in yöntemi, art arda bulmamızdır. ana sistem tanımlayıcısı, yani A matrisinin determinantı: D = det (a ben j) ve n yardımcı belirleyici D i (i= ), bunlar i'inci sütunu bir serbest üyeler sütunuyla değiştirerek D determinantından elde edilir.

Cramer'in formülleri şuna benzer: D × x ben = D ben (i = ).

Bundan, sistemin uyumluluğu sorusuna ayrıntılı bir cevap veren Cramer kuralı gelir: sistemin ana belirleyicisi sıfır değilse, o zaman sistemin aşağıdaki formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır: x i = D i / D.

D sisteminin ana determinantı ve tüm yardımcı determinantlar D ben = 0 (i= ) ise, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Sistemin ana determinantı D = 0 ve en az bir yardımcı determinant sıfırdan farklı ise sistem tutarsızdır.

Teorem (Cramer kuralı): Sistemin determinantı Δ ≠ 0 ise, incelenen sistemin bir ve yalnızca bir çözümü vardır ve

Kanıt: O halde, üç bilinmeyenli 3 denklemli bir sistem düşünün. Sistemin 1. denklemini cebirsel tümleyenle çarpın bir 11 eleman 11, 2. denklem - açık A21 ve 3. - üzerinde 31:

Bu denklemleri ekleyelim:

Parantezlerin her birini ve bu denklemin sağ tarafını düşünün. Teoreme göre determinantın 1. kolonun elemanları cinsinden açılımı.

Benzer şekilde, ve olduğu gösterilebilir.

Son olarak, bunu görmek kolay

Böylece eşitliği elde ederiz: . Sonuç olarak, .

Eşitlikler ve benzer şekilde türetilir, buradan teoremin iddiası gelir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir lineer denklem sistemi tutarlıdır, ancak ve ancak sistemin matrisinin rankı artırılmış matrisin rankına eşitse.

Kanıt:İki aşamaya ayrılır.

1. Sistemin bir çözümü olsun. Bunu gösterelim.

sayı kümesi olsun sistemin çözümüdür. Matrisin -inci sütunu ile göster , . O zaman, yani, serbest terimler sütunu, matrisin sütunlarının doğrusal bir kombinasyonudur. İzin vermek . Hadi öyleymiş gibi yapalım . Sonra tarafından . Temel minörde seçiyoruz. Düzeni var. Serbest üyelerin sütunu bu minörden geçmelidir, aksi takdirde matrisin temel minörü olacaktır. Küçük serbest terimler sütunu, matrisin sütunlarının doğrusal bir kombinasyonudur. Determinantın özelliklerinden dolayı, serbest terimler sütununun sütunla değiştirilmesiyle minörden elde edilen determinant nerede? Sütun küçük M'den geçerse, o zaman , iki özdeş sütun olacak ve bu nedenle . Sütun minörden geçmediyse, matrisin r + 1 mertebesinden minörden yalnızca sütunların sırasına göre farklılık gösterecektir. O zamandan beri . Bu nedenle, temel minör tanımıyla çelişir. Dolayısıyla, varsayımı yanlıştır.

2. bırak . Sistemin bir çözümü olduğunu gösterelim. Madem, o zaman matrisin taban minörü matrisin taban minörüdür. Sütunların minörden geçmesine izin verin . Daha sonra, bir matristeki temel küçük teorem uyarınca, serbest terimler sütunu, belirtilen sütunların doğrusal bir kombinasyonudur:

(1)

, , , , olarak ayarlıyoruz ve kalan bilinmeyenleri sıfıra eşitliyoruz. Sonra elde ettiğimiz bu değerler için

Eşitlik sayesinde (1) . Son eşitlik, sayı kümesinin sistemin çözümüdür. Çözümün varlığı kanıtlanmıştır.

Yukarıda tartışılan sistemde ve sistem tutarlıdır. Sistemde , ve sistem tutarsızdır.

Not: Kronecker-Capelli teoremi bir sistemin tutarlı olup olmadığını belirlemeyi mümkün kılsa da, oldukça nadiren kullanılır, özellikle de teorik çalışmalar. Bunun nedeni, bir matrisin rankı bulunurken yapılan hesaplamaların, sisteme çözüm bulunurken yapılan hesaplamalarla temelde aynı olmasıdır. Bu nedenle, genellikle ve bulmak yerine, sistem için bir çözüm aranır. Bulunabilirse, sistemin tutarlı olduğunu öğrenir ve aynı anda çözümünü elde ederiz. Bir çözüm bulunamazsa, sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız.

Rastgele bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmak için algoritma (Gauss yöntemi)

Bilinmeyenleri olan bir lineer denklem sistemi verilsin. Tutarlıysa genel çözümünün bulunması veya tutarsızlığının saptanması gerekir. Bu bölümde sunulacak yöntem, determinantı hesaplama yöntemine ve bir matrisin sırasını bulma yöntemine yakındır. Önerilen algoritma denir Gauss yöntemi veya bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi.

Sistemin artırılmış matrisini yazalım.

Aşağıdaki işlemleri matrislerle temel işlemler olarak adlandırıyoruz:

1. satırların permütasyonu;

2. bir diziyi sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;

3. bir sayı ile çarpılmış başka bir dizi ile bir dizenin eklenmesi.

Bir denklem sistemini çözerken, determinantı hesaplamanın ve mertebeyi bulmanın aksine, sütunlarla işlem yapılamayacağını unutmayın. Denklem sistemi, temel bir işlem gerçekleştirilerek elde edilen matristen geri yüklenirse, yeni sistem orijinaline eşdeğer olacaktır.

Algoritmanın amacı, matrise bir dizi temel işlem uygulayarak, belki de ilki hariç her satırın sıfırlarla başlamasını ve sonraki her satırda ilk sıfır olmayan öğeye kadar sıfır sayısının olmasını sağlamaktır. satır öncekinden daha büyük.

Algoritmanın adımı aşağıdaki gibidir. Matristeki ilk sıfır olmayan sütunu bulun. numaralı bir sütun olsun. İçinde sıfır olmayan bir eleman buluyoruz ve bu eleman ile satırı ilk satırla değiştiriyoruz. Ek notasyonu yığmamak için, matriste böyle bir satır değişikliğinin zaten yapıldığını, yani . Daha sonra ikinci satıra sayı ile çarpılan birinci satırı ekleriz, üçüncü satıra sayı ile çarpılan birinci satırı ekleriz, vb. Sonuç olarak, matrisi elde ederiz.

(İlk boş sütunlar genellikle eksiktir.)

Matris, tüm elemanların sıfıra eşit olduğu k numaralı bir satıra sahipse ve , algoritmanın yürütülmesini durdurur ve sistemin tutarsız olduğu sonucuna varırız. Aslında, denklem sistemini genişletilmiş matristen geri yükleyerek, -inci denklemin şu şekilde olacağını elde ederiz:

Bu denklem herhangi bir sayı kümesini tatmin etmiyor .

Matris şu şekilde yazılabilir:

Matris ile ilgili olarak, algoritmanın açıklanan adımını gerçekleştiriyoruz. matrisi al

nerede , . Bu matris tekrar şu şekilde yazılabilir:

ve algoritmanın yukarıdaki adımı tekrar matrise uygulanır.

Bir sonraki adımın yürütülmesinden sonra yeni indirgenmiş matris yalnızca sıfırlardan oluşuyorsa veya tüm satırlar tükenirse işlem durur. Sistemin uyumsuzluğuyla ilgili sonucun süreci daha erken durdurabileceğini unutmayın.

Matrisi indirgemeseydik, sonunda formdaki bir matrise gelirdik.

Ardından, Gauss yönteminin sözde ters geçişi gerçekleştirilir. Matrise dayanarak, bir denklem sistemi oluşturuyoruz. Sol tarafta, bilinmeyenleri her satırdaki ilk sıfır olmayan öğelere karşılık gelen sayılarla, yani . Dikkat edin, bu . Kalan bilinmeyenler sağ tarafa aktarılır. Sağ taraftaki bilinmeyenleri sabit nicelikler olarak düşünürsek, sol taraftaki bilinmeyenleri onlar cinsinden ifade etmek kolaydır.

Şimdi sağ taraftaki bilinmeyenlere keyfi değerler vererek ve sol taraftaki değişkenlerin değerlerini hesaplayarak orijinal Ax=b sistemine çeşitli çözümler bulacağız. Genel çözümü yazmak için sağ taraftaki bilinmeyenleri herhangi bir sırayla harflerle göstermek gerekir. , sıfır katsayılar nedeniyle sağ tarafa açıkça yazılmayan bilinmeyenler dahil ve ardından bilinmeyenler sütunu, her öğenin keyfi değerlerin doğrusal bir kombinasyonu olduğu bir sütun olarak yazılabilir. (özellikle, yalnızca keyfi bir değer ). Bu girdi sistemin genel çözümü olacaktır.

Sistem homojen ise, homojen sistemin genel çözümünü elde ederiz. Genel çözüm sütununun her bir elemanında alınan katsayıları, temel çözümler sisteminden ilk çözümü, katsayıları, ikinci çözümü vb.

Yöntem 2: Homojen bir sistemin temel çözüm sistemi başka bir şekilde elde edilebilir. Bunu yapmak için, sağ tarafa aktarılan bir değişkene 1 değeri ve geri kalanı - sıfır atanmalıdır. Sol taraftaki değişkenlerin değerlerini hesaplayarak temel sistemden bir çözüm elde ediyoruz. Sağ taraftaki diğer değişkene 1 değerini, diğerlerine sıfır atayarak temel sistemden ikinci çözümü elde ederiz ve bu böyle devam eder.

Tanım: sistem ortak olarak adlandırılır th, eğer en az bir çözümü varsa ve tutarsızsa - aksi halde, yani sistemin çözümü olmadığı durumda. Bir sistemin çözümü var mı yok mu sorusu sadece denklem sayısı ile bilinmeyen sayısı arasındaki oran ile bağlantılı değildir. Örneğin, iki bilinmeyenli üç denklemli bir sistem

bir çözümü vardır ve hatta sonsuz sayıda çözümü vardır, ancak üç bilinmeyenli iki denklem sistemidir.

……. … ……

Bir m 1 x 1 + … + bir mn x n = 0

Önemsiz bir çözümü olduğu için bu sistem her zaman tutarlıdır x 1 =…=x n =0

Önemsiz olmayan çözümlerin var olması için gerekli ve yeterlidir:

koşullar r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

inci SLAE çözümleri kümesi, doğrusal bir boyut uzayı (n-r) oluşturur. Bu, çözümünün bir sayı ile çarpımının yanı sıra sonlu sayıda çözümünün toplamı ve doğrusal kombinasyonunun bu sistemin çözümleri olduğu anlamına gelir. Herhangi bir SLAE'nin lineer çözüm uzayı, Rn uzayının bir alt uzayıdır.

Bir SLAE'nin (çözüm uzayında bir temel olan) herhangi bir (n-r) doğrusal olarak bağımsız çözümleri kümesine denir. temel çözüm kümesi (FSR).

х 1 ,…,х r temel bilinmeyenler, х r +1 ,…,х n serbest bilinmeyenler olsun. Sırasıyla serbest değişkenlere şu değerleri veriyoruz:

……. … ……

Bir m 1 x 1 + … + bir mn x n = 0

R n'de (n bilinmeyenlerin sayısıdır) bir alt uzay olan S doğrusal uzayını (çözümler uzayı) ve r'nin sistemin sıralaması olduğu dims=k=n-r'yi oluşturur. Çözüm uzayındaki (x (1) ,…, x (k) ) tabana temel çözüm sistemi denir ve genel çözüm forma sahiptir:

X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R

Denklem sistemleri, ekonomik endüstride çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretim yönetimi ve planlaması, lojistik rotalar (nakliye problemi) veya ekipman yerleşimi problemlerini çözerken.

Denklem sistemleri sadece matematik alanında değil fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır.

Bir doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklem için kullanılan bir terimdir. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya dizinin var olmadığını kanıtladığı böyle bir sayı dizisi.

Doğrusal Denklem

ax+by=c şeklindeki denklemlere lineer denir. X, y gösterimleri, değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Denklemi grafiğini çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.

Doğrusal denklem sistemlerinin türleri

En basitleri, X ve Y olmak üzere iki değişkenli lineer denklem sistemlerinin örnekleridir.

F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlardır ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.

Denklem sistemini çözme - sistemin gerçek bir eşitlik haline geldiği bu tür değerleri (x, y) bulmak veya x ve y'nin uygun değerlerinin olmadığını belirlemek anlamına gelir.

Nokta koordinatları olarak yazılan bir çift değere (x, y), doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.

Sistemlerin tek ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.

Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. "Eşittir" işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem homojen değildir.

Değişken sayısı ikiden çok olabilir, o zaman üç veya daha fazla değişkenli bir lineer denklem sistemi örneğinden bahsetmeliyiz.

Sistemlerle karşı karşıya kalan okul çocukları, denklem sayısının mutlaka bilinmeyenlerin sayısıyla çakışması gerektiğini varsayar, ancak bu böyle değildir. Sistemdeki denklem sayısı değişkenlere bağlı değildir, keyfi olarak çok sayıda olabilir.

Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler

Bu tür sistemleri çözmenin genel bir analitik yolu yoktur, tüm yöntemler sayısal çözümlere dayalıdır. Matematik okul dersi, permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemi, Gauss yöntemiyle çözüm gibi ayrıntılı olarak açıklar.

Çözme yöntemlerinin öğretilmesindeki ana görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Asıl mesele, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi uygulama ilkelerini anlamaktır.

Programın 7. sınıfı doğrusal denklem sistemlerinin örneklerini çözme ortaokul oldukça basit ve ayrıntılı olarak açıklanmış. Matematikle ilgili herhangi bir ders kitabında bu bölüme yeterince dikkat edilir. Lineer denklem sistemleri örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözümü, yüksek öğretim kurumlarının ilk kurslarında daha ayrıntılı olarak incelenir.

Yerine koyma yöntemiyle sistemlerin çözümü

İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikincisi aracılığıyla ifade etmeyi amaçlar. İfade, kalan denklemde ikame edilir, ardından tek değişkenli forma indirgenir. İşlem, sistemdeki bilinmeyen sayısına bağlı olarak tekrarlanır.

Yerine koyma yöntemiyle 7. sınıf lineer denklem sistemine bir örnek verelim:

Örnekten de görülebileceği gibi, x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Ortaya çıkan ifade, sistemin 2. denkleminde X yerine ikame edilerek 2. denklemde bir değişken Y elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Karar bu örnek zorluk çıkarmaz ve Y değerini almanızı sağlar.Son adım alınan değerleri kontrol etmektir.

Bir lineer denklem sistemi örneğini yerine koyma yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkenin ikinci bilinmeyen cinsinden ifadesi, sonraki hesaplamalar için çok külfetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda, ikame çözümü de pratik değildir.

Bir lineer homojen olmayan denklem sistemi örneğinin çözümü:

Cebirsel toplama kullanarak çözüm

Toplama yöntemi ile sistemlere çözüm aranırken terim terim toplama ve denklemlerin çeşitli sayılarla çarpma işlemleri gerçekleştirilir. Matematiksel işlemlerin nihai amacı, tek değişkenli bir denklemdir.

uygulamalar için Bu method uygulama ve gözlem gerektirir. Değişken sayısı 3 veya daha fazla olan bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.

Çözüm eylem algoritması:

  1. Denklemin her iki tarafını da bir sayı ile çarp. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1 olması gerekir.
  2. Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
  3. Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde yerine koyun.

Yeni bir değişken tanıtarak çözüm yöntemi

Sistemin ikiden fazla denklem için bir çözüm bulması gerekiyorsa yeni bir değişken tanıtılabilir, bilinmeyen sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.

Yöntem, yeni bir değişken getirerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem girilen bilinmeyene göre çözülür ve elde edilen değer orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.

Yeni bir t değişkeni ekleyerek, sistemin 1. denklemini standart bir kare üçlü terime indirgemenin mümkün olduğu örnekten görülebilir. Ayırımcıyı bularak bir polinomu çözebilirsiniz.

İyi bilinen formülü kullanarak ayırıcının değerini bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen ayırıcıdır, b, a, c polinomun çarpanlarıdır. AT verilen örnek a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Ayırıcı sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, eğer ayırıcı Sıfırdan daha az, o zaman tek bir çözüm vardır: x= -b / 2*a.

Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemi ile bulunur.

Sistemleri çözmek için görsel bir yöntem

3 denklemli sistemler için uygundur. Yöntem, sistemde yer alan her bir denklemin grafiklerinin koordinat ekseni üzerinde çizilmesinden oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.

Grafik yöntemin bir dizi nüansı vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğini ele alalım.

Örnekten de görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. x değerlerine göre, y değerleri bulundu: 3 ve 0. Koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar grafik üzerinde işaretlendi ve bir çizgi ile bağlandı.

Adımlar ikinci denklem için tekrarlanmalıdır. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.

AT aşağıdaki örnek 0.5x-y+2=0 ve 0.5x-y-1=0 doğrusal denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulmak gerekir.

Örnekten de görülebileceği gibi, grafikler paralel olduğundan ve tüm uzunlukları boyunca kesişmediğinden sistemin çözümü yoktur.

Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir, ancak inşa edildiğinde çözümlerinin farklı olduğu aşikar hale gelir. Unutulmamalıdır ki sistemin bir çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir, her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.

Matrix ve çeşitleri

Matrisler, bir doğrusal denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Tabloya matris denir. özel çeşit sayılarla dolu. n*m, n - satıra ve m - sütuna sahiptir.

Sütun ve satır sayısı eşit olduğunda bir matris karedir. Bir matris vektörü, sonsuz sayıda satır içeren tek sütunlu bir matristir. Köşegenlerden biri boyunca birimleri ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise kimlik denir.

Ters bir matris, orijinal olanın bir birim bire dönüştüğü çarpıldığında, böyle bir matris yalnızca orijinal kare olan için var olan bir matristir.

Bir denklem sistemini matrise dönüştürmek için kurallar

Denklem sistemleri ile ilgili olarak, denklemlerin katsayıları ve serbest üyeleri matrisin numarası olarak yazılır, bir denklem matrisin bir satırıdır.

Satırın en az bir elemanı sıfıra eşit değilse, bir matris satırı sıfır olmayan olarak adlandırılır. Bu nedenle, denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklılık gösteriyorsa, eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.

Matrisin sütunları kesinlikle değişkenlere karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabileceği anlamına gelir, örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikinci sütunda.

Bir matrisi çarparken, tüm matris elemanları art arda bir sayı ile çarpılır.

Ters matrisi bulma seçenekleri

Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matristir ve |K| - matris determinantı. |K| sıfıra eşit olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.

Determinant, ikiye-iki bir matris için kolayca hesaplanır, sadece elemanları birbirleriyle çapraz olarak çarpmak gerekir. "Üçe üç" seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formülü vardır. 3 + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya elemanların sütun ve satır numaralarının çarpımda tekrar etmemesi için her satırdan ve her sütundan bir eleman almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.

Doğrusal denklem sistemleri örneklerinin matris yöntemiyle çözümü

Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, sistemleri çözerken hantal notasyonları azaltmayı mümkün kılar. büyük miktar değişkenler ve denklemler.

Örnekte bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir vektördür x n değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.

Gauss yöntemi ile sistemlerin çözümü

Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemiyle birlikte incelenir ve sistemlere çözüm bulma işlemine Gauss-Cramer çözme yöntemi denir. Bu yöntemler, çok sayıda lineer denklem içeren sistemlerin değişkenlerini bulmak için kullanılır.

Gauss yöntemi, ikame ve cebirsel toplama çözümlerine çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde, 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss çözümü kullanılır. Yöntemin amacı, sistemi ters yamuk şekline getirmektir. Cebirsel dönüşümler ve ikamelerle, sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem, sırasıyla 2 bilinmeyenli ve 3 ve 4 - 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.

Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde ardışık olarak yer değiştirmesine indirgenir.

7. sınıf okul ders kitaplarında, bir Gauss çözümü örneği şu şekilde açıklanmaktadır:

Örnekten de görülebileceği gibi, adım (3)'te 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7 olmak üzere iki denklem elde edilmiştir. Denklemlerden herhangi birinin çözümü, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.

Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinal denkleme eşdeğer olacağını belirtmektedir.

Gauss yöntemini öğrencilerin anlaması zordur lise, ama en çok biridir ilginç yollar matematik ve fizik derslerinde ileri çalışma programına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmek.

Hesaplamaları kaydetme kolaylığı için, aşağıdakileri yapmak gelenekseldir:

Denklem katsayıları ve serbest terimler, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. denklemin sol tarafını sağ taraftan ayırır. Romen rakamları, sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.

Önce çalışacakları matrisi, ardından satırlardan biriyle gerçekleştirilen tüm eylemleri yazarlar. Ortaya çıkan matris "ok" işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemleri yapmaya devam eder.

Sonuç olarak, köşegenlerden birinin 1 olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin tek bir forma indirgendiği bir matris elde edilmelidir. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.

Bu gösterim daha az zahmetlidir ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmamasını sağlar.

Herhangi bir çözüm yönteminin ücretsiz olarak uygulanması, özen ve belirli bir miktar deneyim gerektirecektir. Tüm yöntemler uygulanmaz. Çözüm bulmanın bazı yolları, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri öğrenme amacıyla mevcuttur.

  • Sistemler m doğrusal denklemler n Bilinmeyen.
    Lineer denklem sistemini çözme böyle bir sayı kümesidir ( x 1 , x 2 , …, x n), sistemin denklemlerinin her birinde hangisinin yerine konursa, doğru eşitlik elde edilir.
    nerede a ij , ben = 1, …, m; j = 1, …, n sistemin katsayılarıdır;
    b ben , ben = 1, …, m- ücretsiz üyeler;
    x j , j = 1, …, n- Bilinmeyen.
    Yukarıdaki sistem matris formunda yazılabilir: X = B,




    nerede ( A|B) sistemin ana matrisidir;
    A— sistemin genişletilmiş matrisi;
    X— bilinmeyenler sütunu;
    Bücretsiz üyelerden oluşan bir sütundur.
    eğer matris B bir boş matris ∅ değildir, o zaman bu sistem lineer denklemlere homojen olmayan denir.
    eğer matris B= ∅, o zaman bu doğrusal denklem sistemine homojen denir. Homojen bir sistemin her zaman sıfır (önemsiz) bir çözümü vardır: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
    Lineer denklemlerin ortak sistemi bir çözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
    Tutarsız lineer denklem sistemiçözümü olmayan bir lineer denklem sistemidir.
    Belirli lineer denklem sistemi benzersiz bir çözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
    Lineer denklemlerin belirsiz sistemi sonsuz sayıda çözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
  • n bilinmeyenli n lineer denklem sistemleri
    Bilinmeyenlerin sayısı denklem sayısına eşitse, matris karedir. Matris determinantı, lineer denklem sisteminin ana determinantı olarak adlandırılır ve Δ sembolü ile gösterilir.
    Cramer yöntemi sistemleri çözmek için n doğrusal denklemler n Bilinmeyen.
    Cramer'in kuralı.
    Bir doğrusal denklem sisteminin ana determinantı sıfıra eşit değilse, sistem tutarlıdır ve tanımlanmıştır ve tek çözüm Cramer formülleri kullanılarak hesaplanır:
    burada Δ i, sistemin ana belirleyicisinden Δ değiştirilerek elde edilen belirleyicilerdir. i inci sütundan ücretsiz üyeler sütununa. .
  • n bilinmeyenli m lineer denklem sistemleri
    Kronecker-Cappelli teoremi.


    Bu lineer denklem sisteminin tutarlı olabilmesi için sistemin matrisinin rankının sistemin genişletilmiş matrisinin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, sıra(Α) = sıra(Α|B).
    Eğer çaldı(Α) ≠ çaldı(Α|B), o zaman sistemin açıkça çözümü yoktur.
    Eğer sıra(Α) = sıra(Α|B), o zaman iki durum mümkündür:
    1) çaldı(Α) = n(bilinmeyenlerin sayısına göre) - çözüm benzersizdir ve Cramer'in formülleriyle elde edilebilir;
    2) sıra(Α)< n − sonsuz sayıda çözüm vardır.
  • Gauss yöntemi lineer denklem sistemlerini çözmek için


    Artırılmış matrisi oluşturalım ( A|B) bilinmeyen ve sağ taraflarda verilen katsayılar sisteminin.
    Gauss yöntemi veya bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemi, artırılmış matrisin ( A|B) sıraları üzerinden köşegen bir forma (üst üçgen forma) temel dönüşümlerin yardımıyla. Denklem sistemine dönersek, tüm bilinmeyenler belirlenir.
    Dizelerdeki temel dönüşümler şunları içerir:
    1) iki satırı değiştirmek;
    2) bir diziyi 0'dan farklı bir sayı ile çarpmak;
    3) diziye rastgele bir sayı ile çarpılmış başka bir dizi eklemek;
    4) boş bir dizenin atılması.
    Köşegen bir forma indirgenmiş genişletilmiş bir matris şuna karşılık gelir: lineer sistem, çözümü zorluklara neden olmayan verilene eşdeğer. .
  • Homojen lineer denklem sistemi.
    Homojen sistem şu şekildedir:

    matris denklemine karşılık gelir X = 0.
    1) Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır, çünkü r(A) = r(A|B), her zaman sıfır çözüm vardır (0, 0, …, 0).
    2) Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözümü olması için gerekli ve yeterlidir: r = r(A)< n Δ = 0'a eşdeğerdir.
    3) eğer r< n , o zaman Δ = 0, o zaman serbest bilinmeyenler var c 1 , c 2 , …, c n-r, sistemin önemsiz olmayan çözümleri vardır ve bunlardan sonsuz sayıda vardır.
    4) Genel çözüm X de r< n matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:
    X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
    çözümler nerede X 1 , X 2 , …, X n-r temel bir çözüm sistemi oluşturur.
    5) Homojen sistemin genel çözümünden temel çözüm sistemi elde edilebilir:

    ,
    parametrelerin değerlerini sırasıyla (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) olarak kabul edersek.
    Genel çözümün temel çözüm sistemi cinsinden ayrıştırılması temel sisteme ait çözümlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak genel çözümün bir kaydıdır.
    teorem. Bir doğrusal homojen denklem sisteminin sıfır olmayan bir çözüme sahip olması için Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.
    Dolayısıyla, determinant Δ ≠ 0 ise, o zaman sistemin tek bir çözümü vardır.
    Δ ≠ 0 ise, lineer homojen denklemler sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.
    teorem. Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözümü olması için gerekli ve yeterlidir. r(A)< n .
    Kanıt:
    1) r daha fazla olamaz n(matris sıralaması sütun veya satır sayısını geçmez);
    2) r< n , çünkü Eğer r=n, o zaman sistemin ana belirleyicisi Δ ≠ 0 ve Cramer'in formüllerine göre benzersiz bir önemsiz çözüm var x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, bu koşulla çelişir. Anlamına geliyor, r(A)< n .
    Sonuçlar. Homojen bir sistem için n doğrusal denklemler n bilinmeyenlerin sıfır olmayan bir çözümü vardır, Δ = 0 olması gerekli ve yeterlidir.
Paylaşmak: