Eşkenar üçgende ilişkiler. Eşkenar üçgen. Resimli rehber (2019)

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz. E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler yapmak, veri analizi yapmak ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

"A Alın" video kursu, başarılı bir sınav için gerekli tüm konuları içerir. sınavı geçmek matematikte 60-65 puan. Matematikte Profil KULLANIMININ 1-13 arasındaki tüm görevleri tamamen tamamlayın. Matematikte Temel KULLANIMI geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 arası puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve 13. problemi (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70'ten fazla puandır ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir hümanist onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Hızlı Yollar sınavın çözümleri, tuzakları ve sırları. Bölüm 1'in ilgili tüm görevleri FIPI Bankası görevlerinin analizine tabi tutulmuştur. Kurs, USE-2018 gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilir.

Yüzlerce sınav görevi. Metin problemleri ve olasılık teorisi. Basit ve hatırlaması kolay problem çözme algoritmaları. Geometri. teori, referans malzemesi, her tür KULLANIM görevinin analizi. Stereometri. Çözmek için kurnaz hileler, faydalı hile sayfaları, uzamsal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan trigonometri - görev 13'e. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Sınavın 2. bölümünün karmaşık problemlerini çözmek için temel.

Okul geometri dersinde, üçgenlerin incelenmesine çok fazla zaman ayrılır. Öğrenciler açıları hesaplar, açıortayları ve yükseklikleri oluşturur, şekillerin birbirinden nasıl farklı olduğunu ve alanlarını ve çevrelerini bulmanın en kolay yolunu öğrenirler. Görünüşe göre bu, hayatta hiçbir şekilde yararlı değil, ancak bazen, örneğin bir üçgenin eşkenar veya geniş olduğunu nasıl belirleyeceğinizi öğrenmek yine de yararlıdır. Nasıl yapılır?

üçgen türleri

Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta ve bunları birleştiren doğru parçaları. Görünüşe göre bu rakam en basiti. Sadece üç kenarı varsa, üçgenler nasıl görünebilir? Aslında epeyce seçenek var. çok sayıda ve bazıları verilir Özel dikkat okul geometri dersinin bir parçası olarak. Bir eşkenar üçgen eşkenardır, yani tüm açıları ve kenarları eşittir. Daha sonra tartışılacak olan bir dizi dikkate değer özelliği vardır.

İkizkenarın sadece iki eşit kenarı vardır ve bu da oldukça ilginçtir. Dikdörtgende ve tahmin edebileceğiniz gibi, köşelerden biri sırasıyla düz veya geniştir. Ancak ikizkenar da olabilirler.

Mısırlı denilen özel bir tane de var. Kenarları 3, 4 ve 5 birimdir. Ancak dikdörtgendir. Mısırlı araştırmacılar ve mimarlar tarafından dik açılar oluşturmak için aktif olarak kullanıldığına inanılıyor. Ünlü piramitlerin onun yardımıyla inşa edildiğine inanılıyor.

Yine de bir üçgenin tüm köşeleri tek bir doğru üzerinde olabilir. Bu durumda, dejenere olarak adlandırılırken, diğerlerinin tümü dejenere olmayan olarak adlandırılır. Geometri çalışma konularından biridir.

üçgen eşkenardır

Tabii ki, doğru rakamlar her zaman en büyük ilgiyi çeker. Daha mükemmel, daha zarif görünüyorlar. Özelliklerini hesaplamak için kullanılan formüller genellikle sıradan rakamlardan daha basit ve daha kısadır. Bu aynı zamanda üçgenler için de geçerlidir. Geometri çalışırken onlara çok dikkat edilmesi şaşırtıcı değil: okul çocuklarına normal figürleri diğerlerinden ayırmaları öğretiliyor ve ayrıca onlara bazı ilginç özellikleri anlatılıyor.

Özellikler ve özellikler

Adından da anlaşılacağı gibi, bir eşkenar üçgenin her bir kenarı diğer ikisine eşittir. Ek olarak, şeklin doğru olup olmadığını belirlemenin mümkün olduğu bir dizi özelliğe sahiptir.

Yukarıdaki işaretlerden en az biri gözlenirse, o zaman üçgen eşkenardır. Düzenli bir rakam için, yukarıdaki tüm ifadeler doğrudur.

Tüm üçgenlerin bir dizi dikkate değer özelliği vardır. Birincisi, orta çizgi, yani iki kenarı ikiye bölen ve üçüncüye paralel doğru parçası, tabanın yarısına eşittir. İkincisi, bu şeklin tüm açılarının toplamı her zaman 180 dereceye eşittir. Ayrıca üçgenlerde ilginç bir ilişki daha vardır. evet karşı daha büyük taraf daha büyük açı yatıyor ve bunun tersi de geçerli. Ancak bunun elbette bir eşkenar üçgenle hiçbir ilgisi yoktur çünkü tüm açıları eşittir.

Yazılı ve çevrelenmiş daireler

Genellikle bir geometri dersinde öğrenciler şekillerin birbirleriyle nasıl etkileşime girebileceğini de öğrenirler. Özellikle çokgenlerin içine çizilen veya çevrelerinde tanımlanan çemberler incelenir. Bu ne hakkında?

Yazılı daire, çokgenin tüm kenarlarının teğet olduğu bir dairedir. Açıklanan - tüm köşelerle temas noktaları olan. Her üçgen için, hem birinci hem de ikinci daireleri oluşturmak her zaman mümkündür, ancak her türden yalnızca bir tane. Bu iki delil

teoremler okul geometri dersinde verilir.

Üçgenlerin parametrelerini hesaplamanın yanı sıra, bazı görevler bu dairelerin yarıçaplarını da hesaplamayı içerir. Ve formüller
eşkenar üçgen şöyle görünür:

burada r, çevrelenmiş dairenin yarıçapı, R, çevrelenmiş dairenin yarıçapı, a, üçgenin kenar uzunluğudur.

Yükseklik, çevre ve alan hesabı

Okul çocuklarının geometri çalışırken hesaplamaya dahil oldukları ana parametreler, hemen hemen her şekil için değişmeden kalır. Bunlar çevre, alan ve yüksekliktir. Hesaplama kolaylığı için çeşitli formüller vardır.

Böylece çevre, yani tüm kenarların uzunluğu aşağıdaki şekillerde hesaplanır:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, burada a bir düzgün üçgenin kenarı, R çevrelenmiş çemberin yarıçapı, r çevrelenmiş çemberdir.

h = (√ ̅3/2)*a, burada a kenar uzunluğudur.

Son olarak, formül standarttan, yani tabanın yarısı ile yüksekliğinin çarpımından türetilir.

S = (√ ̅3/4)*a 2 , burada a, kenarın uzunluğudur.

Ayrıca, bu değer, çevrelenmiş veya çevrelenmiş dairenin parametreleri aracılığıyla hesaplanabilir. Bunun için özel formüller de vardır:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2 , burada r ve R sırasıyla çevrelenmiş ve çevrelenmiş çemberlerin yarıçaplarıdır.

Bina

Üçgenler de dahil olmak üzere bir başka ilginç problem türü, minimum bir set kullanarak belirli bir şekil çizme ihtiyacıyla ilgilidir.

araçlar: bir pusula ve bölmesiz bir cetvel.

Sadece bu araçlarla düzgün bir üçgen oluşturmak için birkaç adımı izlemeniz gerekiyor.

1. Herhangi bir yarıçapa sahip ve merkezi keyfi bir A noktasında olan bir daire çizmek gerekir. Not edilmelidir.
2. Ardından, bu noktadan düz bir çizgi çizmeniz gerekir.
3. Daire ve düz çizginin kesişim noktaları B ve C olarak belirtilmelidir. Tüm yapılar mümkün olan en büyük doğrulukla yapılmalıdır.
4. Ardından, aynı yarıçapa ve C noktasında merkeze sahip başka bir daire veya uygun parametrelerle bir yay oluşturmanız gerekir. Kavşaklar D ve F olarak işaretlenecektir.
5. B, F, D noktaları segmentlerle bağlanmalıdır. Bir eşkenar üçgen kuruluyor.

Bu tür sorunları çözmek genellikle okul çocukları için bir sorundur, ancak bu beceri günlük yaşamda yararlı olabilir.

tanım 7. Bir ikizkenar üçgen, iki kenarı birbirine eşit olan herhangi bir üçgendir.
İki eşit taraf yanal, üçüncü - taban olarak adlandırılır.
tanım 8. Bir üçgenin üç kenarı da eşitse bu üçgene eşkenar üçgen denir.
Belirli bir ikizkenar üçgen türüdür.
Teorem 18. Bir ikizkenar üçgenin tabana indirilmiş yüksekliği aynı zamanda eşit kenarlar arasındaki açının, ortancanın ve tabanın simetri ekseninin açıortayıdır.
Kanıt. Yüksekliği bir ikizkenar üçgenin tabanına indirelim. Onu iki eşit (bacak ve hipotenüs boyunca) dik üçgene bölecek. A ve C açıları eşittir ve yükseklik aynı zamanda tabanı ikiye böler ve söz konusu şeklin tamamının simetri ekseni olacaktır.
Bu teorem şu şekilde de formüle edilebilir:
Teorem 18.1. Tabana indirilmiş bir ikizkenar üçgenin ortancası, aynı zamanda tabanın eşit kenarları, yüksekliği ve simetri ekseni arasındaki açının açıortayıdır.
Teorem 18.2. Bir ikizkenar üçgenin tabana indirilmiş açıortayı aynı zamanda tabanın yüksekliği, ortancası ve simetri eksenidir.
Teorem 18.3. Bir ikizkenar üçgenin simetri ekseni aynı zamanda eşit kenarlar, medyan ve yükseklik arasındaki açının açıortayıdır.
Bu sonuçların ispatı, ikizkenar üçgenin bölündüğü üçgenlerin eşitliğinden de çıkar.

Teorem 19. Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar eşittir.
Kanıt. Yüksekliği bir ikizkenar üçgenin tabanına indirelim. Onu iki eşit (bacak ve hipotenüs boyunca) dik açılı üçgene bölecek, yani karşılık gelen açılar eşittir, yani. ∠ A=∠ C
Bir ikizkenar üçgenin işaretleri, Teorem 1'den ve onun sonuçlarından ve Teorem 2'den gelir.
Teorem 20. Belirtilen dört çizgiden ikisi (yükseklik, medyan, açıortay, simetri ekseni) çakışırsa, üçgen ikizkenar olacaktır (bu, dört çizginin hepsinin çakışacağı anlamına gelir).
Teorem 21. Bir üçgenin herhangi iki açısı eşitse, o zaman ikizkenardır.

Kanıt: Doğrudan teoremin ispatına benzer, ancak üçgenlerin eşitliği için ikinci kriteri kullanır. Bir ikizkenar üçgenin ağırlık merkezi, çevrelenmiş ve çizilmiş dairelerin merkezleri ve yüksekliklerinin kesişme noktası - hepsi simetri ekseni üzerindedir, yani yüksekte.
Bir eşkenar üçgen, kenarlarının her bir çifti için ikizkenardır. Tüm kenarlarının eşitliği göz önüne alındığında, böyle bir üçgenin üç açısı da eşittir. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu düşünürsek, bir eşkenar üçgenin iç açılarının her birinin 60° olduğunu görürüz. Tersine, bir üçgenin tüm kenarlarının eşit olduğundan emin olmak için, üç açısından ikisinin 60°'ye eşit olduğunu kontrol etmek yeterlidir.
Teorem 22 . Bir eşkenar üçgende tüm dikkate değer noktalar çakışır: ağırlık merkezi, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri, yüksekliklerin kesişme noktası (üçgenin diklik merkezi olarak adlandırılır).
Teorem 23 . Belirtilen dört noktadan ikisi çakışırsa, üçgen eşkenar olur ve sonuç olarak, belirtilen dört nokta da çakışır.
Aslında, böyle bir üçgen, öncekine göre, herhangi bir kenar çiftine göre ikizkenar olacaktır, yani. eşkenar. Eşkenar üçgene dik üçgen de denir. Bir ikizkenar üçgenin alanı, kenarın karesi ile kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir
Bir eşkenar üçgen için bu formülü düşünün, o zaman alfa açısı 60 derece olacaktır. Formül daha sonra aşağıdaki gibi değişecektir:

Teorem d1 . Bir ikizkenar üçgende, kenarlara çizilen medyanlar eşittir.

Kanıt: ABC bir ikizkenar üçgen (AC = BC), AK ve BL ortancaları olsun. AKB ve ALB üçgenleri ikinci üçgen eşitlik kriterine göre eştir. Ortak bir AB kenarları vardır, AL ve BK kenarları bir ikizkenar üçgenin kenarlarının yarısı kadar eşittir ve LAB ve KBA açıları bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar olarak eşittir. Üçgenler eş olduğundan AK ve LB kenarları eşittir. Ancak AK ve LB, kenarlarına çizilmiş bir ikizkenar üçgenin medyanlarıdır.
Teorem d2 . Bir ikizkenar üçgende, kenarlara çizilen açıortaylar eşittir.

Kanıt: ABC bir ikizkenar üçgen (AC = BC), AK ve BL açıortayları olsun. AKB ve ALB üçgenleri, üçgenlerin eşitliği için ikinci kritere göre eştir. Ortak bir AB kenarları vardır, LAB ve KBA açıları bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar olarak eşittir ve LBA ve KAB açıları bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açıların yarısı kadar eşittir. Üçgenler eş olduğundan, ABC üçgeninin açıortayları olan AK ve LB kenarları eşittir. Teorem kanıtlanmıştır.
teorem d3 . Bir ikizkenar üçgende, kenarlara indirilen yükseklikler eşittir.

Kanıt: ABC bir ikizkenar üçgen (AC = BC), yükseklikleri AK ve BL olsun. ALB ve AKB açıları dik açı olduğundan ve LAB ile ABK açıları bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar kadar eşit olduğundan, ABL ve KAB açıları eşittir. Bu nedenle, ALB ve AKB üçgenleri, üçgenlerin eşitliği için ikinci kritere göre eştir: ortak bir AB kenarlarına sahiptirler, KAB ve LBA açıları yukarıdakine göre eşittir ve LAB ve KBA açıları tabandaki açılar olarak eşittir. bir ikizkenar üçgen. Üçgenler eşitse, AK ve BL kenarları da eşittir. Q.E.D.