Sayı çemberi. Koordinat düzleminde daire

Tarih: Ders1
konu: Koordinat satırında sayı çemberi

Hedefler: Kartezyen ve eğrisel koordinat sistemlerinde sayısal daire modeli kavramını tanıtmak; sayısal dairenin noktalarının Kartezyen koordinatlarını bulma ve zıt eylemi gerçekleştirme becerisini oluşturmak: noktanın Kartezyen koordinatlarını bilmek, sayısal daire üzerindeki sayısal değerini belirlemek.

dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

II. Yeni malzemenin açıklaması.

1. Sayı çemberini Kartezyen koordinat sistemine yerleştirdikten sonra, farklı koordinat çeyreklerinde bulunan sayı çemberinin noktalarının özelliklerini ayrıntılı olarak analiz ediyoruz.

nokta için M sayı çemberi kullanım gösterimi M(T), noktanın eğrisel koordinatından bahsediyorsak M veya giriş M (X;de) bir noktanın Kartezyen koordinatlarına gelince.

2. Sayısal dairenin "iyi" noktalarının Kartezyen koordinatlarını bulma. Yazmaktan hareket etmekle ilgili M(T) İle M (X;de).

3. Sayısal dairenin "kötü" noktalarının koordinatlarının işaretlerini bulmak. Örneğin, M(2) = M (X;de), O X 0; de 0. (okul çocukları, trigonometrik fonksiyonların işaretlerini sayısal bir dairenin dörtte birine göre belirlemeyi öğrenirler.)

1. No. 5.1 (a; b), No. 5.2 (a; b), No. 5.3 (a; b).

Bu görev grubu, sayı çemberindeki "iyi" noktaların Kartezyen koordinatlarını bulma becerisini geliştirmeyi amaçlamaktadır.

Çözüm:

№ 5.1 (A).

2. No. 5.4 (a; b), No. 5.5 (a; b).

Bu görev grubu, bir noktanın eğrisel koordinatlarını Kartezyen koordinatlarıyla bulma becerisini geliştirmeyi amaçlar.

Çözüm:

№ 5.5 (B).

3. Sayı 5.10 (a; b).

Bu alıştırma, "kötü" noktaların Kartezyen koordinatlarını bulma yeteneğini geliştirmeyi amaçlamaktadır.

V. Dersin sonuçları.

Öğrenciler için sorular:

- Model nedir - koordinat düzleminde bir sayı çemberi?

- Sayısal bir daire üzerindeki bir noktanın eğrisel koordinatlarını bilerek, Kartezyen koordinatlarını nasıl bulabilir veya tam tersini nasıl bulabilirim?

Ev ödevi: 5.1 (c; d) - 5.5 (c; d), No. 5.10 (c; d).

Tarih: Ders2
KONU: "Koordinat düzleminde sayısal çember" modelinde problem çözme

Hedefler: sayısal bir daire üzerindeki bir noktanın eğrisel koordinatlarından Kartezyen koordinatlarına hareket etme yeteneğinin oluşumuna devam etmek; koordinatları belirli bir denklemi veya eşitsizliği sağlayan sayısal bir daire üzerindeki noktaları bulma becerisini oluşturmak.

dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

II. sözlü çalışma

1. Sayı çemberindeki noktaların eğrisel ve Kartezyen koordinatlarını adlandırın.

2. Bir daire üzerindeki yayı ve onun analitik gösterimini karşılaştırın.

III. Yeni malzemenin açıklaması.

2. Koordinatları belirli bir denklemi sağlayan sayısal bir daire üzerindeki noktaları bulma.

s'den örnek 2 ve 3'ü ele alalım. ders kitabının 41–42.

Bu "oyunun" önemi açıktır: öğrenciler formun en basit trigonometrik denklemlerini çözmeye hazırlanıyorlar. Konunun özünü anlamak için, öncelikle öğrencilere bu denklemleri sayısal bir daire kullanarak çözmeyi öğretmek gerekir. hazır formüller.

Apsisli bir nokta bulma örneğini ele alırken, öğrencilerin dikkatini iki dizi yanıtı tek bir formülde birleştirme olasılığına çekiyoruz:

3. Sayısal daire üzerinde koordinatları belirli bir eşitsizliği sağlayan noktaları bulma.

s. 4-7 örneklerini ele alalım. ders kitabının 43–44. Bu tür problemleri çözerek, öğrencileri formun trigonometrik eşitsizliklerini çözmeye hazırlıyoruz.

Örnekleri inceledikten sonra, öğrenciler bağımsız olarak formüle edebilirler. algoritma belirtilen türdeki eşitsizliklerin çözümleri:

1) analitik modelden geometrik modele geçiyoruz - bir yay BAY sayı çemberi;

2) analitik kaydın çekirdeğini oluşturun BAY; elde ettiğimiz yay için

3) genel bir kayıt yapın:

IV. Beceri ve yeteneklerin oluşumu.

1. grup. Belirli bir denklemi sağlayan bir koordinata sahip bir sayı çemberi üzerinde bir nokta bulma.

5.6 (a; b) - No. 5.9 (a; b).

Bu alıştırmalar üzerinde çalışma sürecinde, adım adım yürütme üzerinde çalışıyoruz: bir noktanın çekirdeğinin kaydedilmesi, analitik kayıt.

2. grup. Belirli bir eşitsizliği sağlayan bir koordinata sahip bir sayı çemberi üzerindeki noktaları bulma.

5.11 (a; b) - 5.14 (a; b).

Okul çocuklarının bu alıştırmaları yaparken edinmesi gereken ana beceri, arkın analitik kaydının çekirdeğinin derlenmesidir.

V. Bağımsız çalışma.

Seçenek 1

1. Belirli bir sayıya karşılık gelen sayı dairesinde bir noktayı işaretleyin ve Kartezyen koordinatlarını bulun:

2. Sayı çemberinde apsisi verilen noktaları bulun ve sayıların hangileri olduğunu yazın. T Eşleşiyorlar.

3. Sayı dairesi üzerindeki noktaları eşitsizliği sağlayan bir ordinat ile işaretleyin ve çift eşitsizlik kullanarak hangi sayıların hangileri olduğunu yazın. T Eşleşiyorlar.

Seçenek 2

1. Belirli bir sayıya karşılık gelen sayı dairesinde bir noktayı işaretleyin ve Kartezyen koordinatlarını bulun:

2. Sayı çemberinde ordinatı verilen noktaları bulun de= 0.5 ve hangi sayıları yaz T Eşleşiyorlar.

3. Sayı çemberindeki noktaları eşitsizliği sağlayan bir apsisle işaretleyin ve çift eşitsizlik kullanarak yazın. T Eşleşiyorlar.

VI. Ders sonuçları.

Öğrenciler için sorular:

- Bir daire üzerinde apsisi belirli bir denklemi sağlayan bir nokta nasıl bulunur?

Bir daire üzerinde, ordinatı belirli bir denklemi sağlayan bir nokta nasıl bulunur?

- Bir sayı dairesi kullanarak eşitsizlikleri çözmek için algoritmayı adlandırın.

Ev ödevi: 5.6 (c; d) - No. 5.9 (c; d),

5.11 (c; d) - No. 5.14 (c; d).

Sunuların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesabı) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt altyazıları:

Koordinat düzleminde sayı çemberi

Tekrar edelim: Birim çember, yarıçapı 1'e eşit olan sayısal bir çemberdir. R=1 C=2 π + - y x

Sayısal dairenin M noktası t sayısına karşılık geliyorsa, o zaman aynı zamanda t+2 π k formunun numarasına da karşılık gelir, burada k herhangi bir tamsayıdır (k ϵ Z) . M(t) = M(t+2 π k), burada k ϵ Z

Temel düzenler Birinci düzen 0 π y x İkinci düzen y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Noktaya karşılık gelen M noktasının koordinatlarını bulun. 1) 2) x y M P 45° O A

Birinci düzenin ana noktalarının koordinatları 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Noktaya karşılık gelen M noktasının koordinatlarını bulun. 1) 2) 30°

M P Noktaya karşılık gelen M noktasının koordinatlarını bulunuz. 1) 2) 30° x y Ö A B

Simetri özelliğini kullanarak, y x'in katı olan noktaların koordinatlarını buluruz.

İkinci düzenin ana noktalarının koordinatları x y x y y x

Örnek Bir sayı dairesi üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulun. Çözüm: P y x

Örnek Bir sayı dairesinde ordinatlı noktaları bulun Çözüm: y x ​​​​x y x y

Alıştırmalar: Sayısal dairenin noktalarının koordinatlarını bulun: a) , b) . Sayı dairesinde apsisli noktaları bulun.

Anahtar noktalar koordinatları 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Birinci düzenin anahtar noktaları koordinatları x y x y İkinci düzenin anahtar noktaları koordinatları

Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar

Cebir üzerine didaktik materyal ve 10. sınıfta (profil seviyesi) analizin başlangıcı "Koordinat düzleminde sayı çemberi"

Seçenek 1.1.Sayı dairesinde bir nokta bulun: A) -2∏ / 3B) 72. Nokta sayı dairesinin hangi çeyreğine ait 16.3.Hangisini bulun ...

Sayı çemberi noktaları belirli gerçek sayılara karşılık gelen bir birim çemberdir.

Bir birim çember, yarıçapı 1 olan bir çemberdir.

Sayı çemberinin genel görünümü.

1) Yarıçapı ölçü birimi olarak alınır.

2) Yatay ve dikey çaplar sayısal daireyi dörde böler (şekle bakın). Sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyrek olarak adlandırılırlar.

3) Yatay çap AC olarak gösterilir ve A en sağdaki noktadır.
Dikey çap BD olarak belirtilir ve B en yüksek noktadır.
Sırasıyla:

ilk çeyrek AB yayı

ikinci çeyrek - ark BC

üçüncü çeyrek - ark CD'si

dördüncü çeyrek - ark DA

4) Sayı çemberinin başlangıç ​​noktası A noktasıdır.

Sayı dairesi saat yönünde veya saat yönünün tersine sayılabilir.
A noktasından saat yönünün tersine saymaya denir olumlu yön.
A noktasından saat yönünde saymaya denir olumsuz yön.

Koordinat düzleminde sayı çemberi.

Sayısal dairenin yarıçapının merkezi orijine karşılık gelir (0 sayısı).

Yatay çap eksene karşılık gelir X, dikey - eksenler y.

Sayı çemberinin başlangıç ​​noktası A ekseni üzerindedir. X ve koordinatları vardır (1; 0).

DeğerlerX Vey sayısal bir dairenin dörtte biri olarak:

Sayısal dairenin ana değerleri:

Sayı dairesinin ana noktalarının adları ve yerleri:

Sayı çemberinin adları nasıl hatırlanır.

Sayı çemberinin temel adlarını kolayca hatırlamanıza yardımcı olacak birkaç basit kalıp vardır.

Başlamadan önce şunu hatırlayalım: geri sayım pozitif yönde, yani A noktasından (2π) saat yönünün tersine.

1) Koordinat eksenlerindeki uç noktalardan başlayalım.

Başlangıç ​​noktası 2π'dir (eksen üzerinde en sağdaki nokta X 1'e eşittir).

Bildiğiniz gibi 2π bir dairenin çevresidir. Yani dairenin yarısı 1π veya π'dir. eksen Xçemberi ikiye böler. Buna göre eksen üzerinde en soldaki nokta X-1'e eşit π olarak adlandırılır.

Eksen üzerindeki en yüksek nokta de, 1'e eşittir, üst yarım daireyi ikiye böler. Yani yarım daire π ise, yarım dairenin yarısı π/2'dir.

Aynı zamanda π/2 de bir dairenin çeyreğidir. Birinciden üçüncüye kadar bu tür üç çeyrek sayıyoruz - ve eksendeki en alçak noktaya geleceğiz de-1'e eşittir. Ama üç çeyrek içeriyorsa, adı 3π/2'dir.

2) Şimdi diğer noktalara geçelim. Lütfen dikkat: tüm zıt noktalar aynı paya sahiptir - ayrıca bunlar zıt noktalardır ve eksene göredir de ve eksenlerin merkezine göre ve eksene göre X. Bu, puan değerlerini sıkıştırmadan bilmemize yardımcı olacaktır.

Sadece ilk çeyreğin puanlarının değerini hatırlamak gerekir: π / 6, π / 4 ve π / 3. Ve sonra bazı kalıpları "göreceğiz":

- y ekseni hakkında ikinci çeyreğin puanlarında, birinci çeyreğin puanlarının karşısında, paylardaki sayılar paydalardan 1 eksiktir. Örneğin, π/6 noktasını alın. eksene göre zıt nokta de ayrıca paydada 6 ve payda 5 vardır (1 eksik). Yani bu noktanın adı: 5π/6. π/4'ün karşısındaki nokta da paydada 4'e ve payda 3'e sahiptir (4'ten 1 eksik) - yani bu 3π/4 noktasıdır.
π/3'ün karşısındaki nokta da paydada 3 ve payda 1 eksik: 2π/3.

- Koordinat eksenlerinin merkezine göre tersi doğrudur: zıt noktaların paylarındaki sayılar (üçüncü çeyrekte) paydaların değerlerinden 1 fazladır. π/6 noktasını tekrar alın. Merkeze göre karşısındaki nokta da paydada 6'ya sahiptir ve payda sayı 1'dir - yani 7π / 6'dır.

π/4 noktasının karşısındaki noktanın da paydası 4'tür ve paydaki sayı da 1'dir: 5π/4.
π/3 noktasının karşısındaki noktanın da paydası 3'tür ve paydaki sayı da 1'dir: 4π/3.

- Eksen Bağıl X(dördüncü çeyrek) mesele daha zor. Burada paydanın değerine 1'den küçük bir sayı eklemek gerekir - bu toplam, karşı noktanın payının sayısal kısmına eşit olacaktır. Tekrar π/6 ile başlayalım. Paydanın değerine, 6'ya eşit, bu sayıdan 1 eksik olan bir sayı ekleyelim - yani 5. Şunu elde ederiz: 6 + 5 = 11. Dolayısıyla, eksene göre tersi X noktanın paydasında 6 ve payda 11 olacaktır, yani 11π/6.

π/4 noktası. Paydanın değerine 1 eksiğini ekliyoruz: 4 + 3 = 7. Dolayısıyla, eksene göre tersi X noktanın paydasında 4 ve payda 7 vardır, yani 7π/4'tür.
π/3 noktası. Payda 3'tür. 3'e bir sayı eksiltiriz - yani 2. 5 elde ederiz. Dolayısıyla, karşı noktanın payda 5'i vardır - ve bu 5π / 3 noktasıdır.

3) Çeyreklerin orta noktaları için başka bir düzenlilik. Paydalarının 4 olduğu açıktır. Paylara dikkat edelim. İlk çeyreğin ortasındaki pay 1π'dir (ancak 1 yazmak alışılmış bir şey değildir). İkinci çeyreğin ortasındaki pay 3π'dir. Üçüncü çeyreğin ortasındaki pay 5π'dir. Dördüncü çeyreğin ortasındaki pay 7π'dir. Çeyreklerin orta noktalarının paylarında artan sırada ilk dört tek sayı olduğu ortaya çıktı:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Aynı zamanda çok basit. Tüm çeyreklerin ortasında payda 4 olduğundan, tam adlarını zaten biliyoruz: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Sayı çemberinin özellikleri. Sayı doğrusu ile karşılaştırma.

Bildiğiniz gibi sayı doğrusunda her nokta tek bir sayıya karşılık gelir. Örneğin, düz bir çizgi üzerindeki A noktası 3'e eşitse, başka bir sayıya eşit olamaz.

Sayı dairesinde farklıdır çünkü o bir dairedir. Örneğin çemberin A noktasından M noktasına gelmek için düz bir çizgi üzerinde (sadece yayı geçtikten sonra) yapabilir ya da tüm çemberi dolaşıp sonra M noktasına gelebilirsiniz. Çözüm:

M noktası bir t sayısına eşit olsun. Bildiğimiz gibi, bir dairenin çevresi 2π'dir. Dolayısıyla t çemberinin noktasını iki şekilde yazabiliriz: t veya t + 2π. Bunlar eşdeğer değerlerdir.
Yani, t = t + 2π. Tek fark, ilk durumda bir daire çizmeden hemen M noktasına geldiniz ve ikinci durumda bir daire yaptınız, ancak aynı M noktasında sona erdiniz. İki, üç ve iki yüz yapabilirsiniz. daireler. . Daire sayısını harfle gösterirsek k, yeni bir ifade elde ederiz:
t = t + 2π k.

Dolayısıyla formül:

Sayı çemberi denklemi
(ikinci denklem "Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant" bölümündedir):

x2 + y2 = 1

Koordinat düzleminde bir çemberin denklemi

tanım 1 . Sayısal eksen ( sayı doğrusu, koordinat doğrusu) Öküz, O noktasının seçildiği düz bir çizgi olarak adlandırılır. referans noktası (koordinatların orijini)(şek.1), yön

Ö → X

Olarak listelenmiş olumlu yön ve uzunluğu şu şekilde alınan bir segment işaretlenir: uzunluk birimi.

tanım 2 . Uzunluğu uzunluk birimi olarak alınan doğru parçasına ölçek denir.

Sayısal eksenin her noktasının bir gerçek sayı olan bir koordinatı vardır. O noktasının koordinatı sıfıra eşittir. Ox ışını üzerinde bulunan herhangi bir A noktasının koordinatı, OA doğru parçasının uzunluğuna eşittir. Sayısal eksenin rasgele bir A noktasının koordinatı, ışın üzerinde uzanmayan Ox , negatiftir ve mutlak değerde OA segmentinin uzunluğuna eşittir.

tanım 3 . Düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy ikisini karşılıklı aramak dik Ox ve Oy ile sayısal eksenler aynı ölçek Ve ortak köken ayrıca O noktasında, Öküz ışınından 90 ° 'lik bir açıyla Oy ışınına dönüş yönünde gerçekleştirilecek şekilde saat yönünün tersine(İncir. 2).

not . Şekil 2'de gösterilen dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy denir. doğru koordinat sistemi, Farklı sol koordinat sistemleri, burada Ox kirişinin Oy kirişine 90°'lik bir açıyla dönüşü saat yönünde gerçekleştirilir. Bu kılavuzda, biz sadece doğru koordinat sistemlerini göz önünde bulundurunözellikle bahsetmeden.

Düzlemde bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi (Oxy) tanıtırsak, o zaman düzlemin her noktası iki koordinat – apsis Ve düzenlemek, aşağıdaki gibi hesaplanır. A, düzlemin keyfi bir noktası olsun. A noktasından dikmeleri bırakalım AAA 1 ve AAA 2 sırasıyla Ox ve Oy hatlarına (Şek. 3).

tanım 4 . A noktasının apsisi, noktanın koordinatıdır. A 1 Ox sayısal ekseninde, A noktasının ordinatı noktanın koordinatıdır A Sayısal eksen üzerinde 2 Oy .

atama . Bir noktanın koordinatları (apsis ve ordinat) Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde Oxy (Şekil 4) A genellikle gösterilir A(X;y) veya A = (X; y).

not . O Noktası denir Menşei, koordinatları vardır Ö(0 ; 0) .

tanım 5 . Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde Oxy, Ox sayısal eksenine apsis ekseni ve Oy sayısal eksenine ordinat ekseni denir (Şekil 5).

tanım 6 . Her bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi, uçağı 4 çeyreğe böler ( kadranlar), bunların numaralandırması Şekil 5'te gösterilmiştir.

tanım 7 . Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin verildiği bir düzleme denir. koordinat uçağı.

not . Apsis ekseni, koordinat düzleminde denklem ile verilir. y= 0 , y ekseni koordinat düzleminde denklemle verilir X = 0.

Açıklama 1 . İki nokta arasındaki mesafe koordinat uçağı

A 1 (X 1 ;y 1) Ve A 2 (X 2 ;y 2)

hesaplanmış formüle göre

Kanıt . Şekil 6'yı düşünün.

|A 1 A 2 | 2 = = (X 2 -X 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 .

(1)

Buradan,

Q.E.D.

Koordinat düzleminde bir çemberin denklemi

Oxy koordinat düzleminde (Şekil 7) şu noktada ortalanmış R yarıçaplı bir daire düşünün. A 0 (X 0 ;y 0) .

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Koordinat düzleminde sayı çemberi"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

1C'den 10. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9–11. Sınıflar
Geometri problemlerini çözüyoruz. 7-10. sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri

Neyi inceleyeceğiz:
1. Tanım.
2. Sayısal dairenin önemli koordinatları.
3. Sayısal bir dairenin koordinatı nasıl bulunur?
4. Sayısal dairenin ana koordinatlarının tablosu.
5. Problem çözme örnekleri.

Koordinat düzleminde bir sayı dairesinin tanımı

Sayı çemberini koordinat düzlemine yerleştirelim ki çemberin merkezi orijine hizalı olsun ve yarıçapı birim doğrultu olsun. Sayısal daire A'nın başlangıç ​​noktası (1;0) noktasıyla hizalanır.

Sayı dairesinin her noktasının koordinat düzleminde x ve y koordinatları vardır ve:
1) $x > 0$, $y > 0$ için - ilk çeyrekte;
2) $x 0$ ile - ikinci çeyrekte;
3) $x için 4) $x için > 0$, $y
Sayısal dairenin herhangi bir $M(x; y)$ noktası için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: $-1
Sayı çemberinin denklemini hatırlayın: $x^2 + y^2 = 1$.

Şekilde gösterilen sayısal dairenin noktalarının koordinatlarını nasıl bulacağımızı öğrenmek bizim için önemlidir.

$\frac(π)(4)$ noktasının koordinatını bulun

$M(\frac(π)(4))$ noktası, ilk çeyreğin ortasıdır. M noktasından OA doğrusuna dik MP'yi düşürelim ve OMP üçgenini ele alalım AM yayını AB yayının yarısı olduğu için $∠MOP=45°$.
Dolayısıyla OMP üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir ve $OP=MP$, yani M noktasının apsisi ve ordinatı eşittir: $x = y$.
$M(x;y)$ noktasının koordinatları sayı çemberinin denklemini sağladığından, onları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:
$\begin (durumlar) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end(durumlar)$
Bu sistemi çözerek şunu elde ederiz: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Dolayısıyla, $\frac(π)(4)$ sayısına karşılık gelen M noktasının koordinatları $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))(2) olacaktır. );\frac (\sqrt(2)(2))$.
Önceki şekilde sunulan noktaların koordinatları da benzer şekilde hesaplanır.

Sayı daire noktası koordinatları

Örnekleri düşünün

örnek 1
Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(45\frac(π)(4))$.

Çözüm:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Bu nedenle, $45\frac(π)(4)$ sayısı, sayı dairesinin $\frac(5π)(4)$ sayısıyla aynı noktasına karşılık gelir. Tablodaki $\frac(5π)(4)$ noktasının değerine baktığımızda şunu elde ederiz: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Örnek 2
Bir sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(-\frac(37π)(3))$.

Çözüm:

Çünkü $t$ ve $t+2π*k$ sayıları, burada k bir tamsayıdır, sayısal dairenin aynı noktasına karşılık gelir, o zaman:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Dolayısıyla, $-\frac(37π)(3)$ sayısı, sayı dairesinin $–\frac(π)(3)$ sayısı ve –$\frac(π)( sayısı ile aynı noktaya karşılık gelir. 3)$, $\frac(5π)(3)$ ile aynı noktaya karşılık gelir. Tablodaki $\frac(5π)(3)$ noktasının değerine baktığımızda şunu elde ederiz:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Örnek 3
$y =\frac(1)(2)$ ordinatına sahip sayı dairesinde noktalar bulun ve bunların hangi $t$ sayılarına karşılık geldiğini yazın?

Çözüm:
$y =\frac(1)(2)$ doğrusu sayı dairesini M ve P noktalarında kesiyor. M noktası $\frac(π)(6)$ sayısına karşılık geliyor (tablodaki verilerden) . Dolayısıyla, şu biçimdeki herhangi bir sayı: $\frac(π)(6)+2π*k$. P noktası $\frac(5π)(6)$ sayısına ve dolayısıyla $\frac(5π)(6) +2 π*k$ biçimindeki herhangi bir sayıya karşılık gelir.
Bu gibi durumlarda sıklıkla söylendiği gibi, iki dizi değerimiz var:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ ve $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Cevap: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ ve $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Örnek 4
Sayı dairesinde apsisli $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ noktaları bulun ve $t$ hangi sayılara karşılık geldiğini yazın.

Çözüm:

$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ doğrusu sayı çemberini M ve P noktalarında kesiyor. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ eşitsizliği şuna karşılık geliyor: ark PM noktalarına. M noktası $3\frac(π)(4)$ sayısına karşılık gelir (tablodaki verilerden). Dolayısıyla, $-\frac(3π)(4) +2π*k$ biçimindeki herhangi bir sayı. P noktası $-\frac(3π)(4)$ sayısına ve dolayısıyla $-\frac(3π)(4) +2π*k$ biçimindeki herhangi bir sayıya karşılık gelir.

Sonra $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ elde ederiz.

Cevap: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Bağımsız çözüm için görevler

1) Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Sayı çemberinde $y = -\frac(1)(2)$ ordinatına sahip noktaları bulun ve bunların $t$ hangi sayılara karşılık geldiğini yazın.
4) Sayı çemberinde $y ≥ -\frac(1)(2)$ ordinatına sahip noktaları bulun ve bunların $t$ hangi sayılara karşılık geldiğini yazın.
5) Sayı dairesinde apsisli $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ noktalarını bulun ve bunların $t$ hangi sayılara karşılık geldiğini yazın.