أين س وأين ص في الإحداثيات. ما هو نظام الاحداثيات؟ تطبيق نظم الإحداثيات في الجيوديسيا

إذا كنت في نقطة الصفر وكنت تفكر في عدد وحدات المسافة التي تحتاجها للمضي قدمًا مباشرة ثم مباشرة إلى اليمين للوصول إلى نقطة أخرى ، فأنت تستخدم بالفعل نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على المستوى. وإذا كانت النقطة فوق المستوى الذي تقف عليه ، وتم إضافة الصعود إلى النقطة على طول الدرج بدقة إلى الأعلى أيضًا بعدد معين من وحدات المسافة إلى حساباتك ، فأنت تستخدم بالفعل نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل في الفضاء.

يسمى النظام المرتب من محورين أو ثلاثة محاور متقاطعة متعامدة مع بعضها البعض مع أصل مشترك (أصل) ووحدة طول مشتركة نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل .

يرتبط اسم عالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت (1596-1662) بشكل أساسي بنظام إحداثيات كهذا حيث تُقاس وحدة طول مشتركة على جميع المحاور وتكون المحاور مستقيمة. بالإضافة إلى المستطيل ، هناك نظام الإحداثيات الديكارتية المشترك (نظام إحداثيات أفيني). قد لا يشمل بالضرورة محاور عمودية. إذا كانت المحاور متعامدة ، يكون نظام الإحداثيات مستطيلاً.

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على المستوى له محورين نظام إحداثيات ديكارتية مستطيل الشكل في الفضاء - ثلاثة محاور. يتم تحديد كل نقطة على مستوى أو في الفضاء من خلال مجموعة مرتبة من الإحداثيات - أرقام وفقًا لطول الوحدة في نظام الإحداثيات.

لاحظ أنه ، كما يلي من التعريف ، يوجد نظام إحداثيات ديكارتي على خط مستقيم ، أي في بُعد واحد. يعد إدخال الإحداثيات الديكارتية على خط مستقيم إحدى الطرق التي يتم بها تعيين رقم حقيقي محدد جيدًا لأي نقطة على خط مستقيم ، أي إحداثيات.

كانت طريقة الإحداثيات ، التي نشأت في أعمال رينيه ديكارت ، بمثابة إعادة هيكلة ثورية لجميع الرياضيات. أصبح من الممكن تفسير المعادلات الجبرية (أو عدم المساواة) في شكل صور هندسية (رسوم بيانية) ، وعلى العكس من ذلك ، البحث عن حل للمسائل الهندسية باستخدام الصيغ التحليلية وأنظمة المعادلات. نعم ، عدم المساواة ض < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyوتقع فوق هذا المستوى بمقدار 3 وحدات.

بمساعدة نظام الإحداثيات الديكارتية ، فإن انتماء نقطة إلى منحنى معين يتوافق مع حقيقة أن الأرقام xو ذإرضاء بعض المعادلات. إذن ، إحداثيات نقطة دائرة متمركزة عند نقطة معينة ( أ; ب) تفي بالمعادلة (x - أ)² + ( ذ - ب)² = ص² .

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على المستوى

محورين متعامدين على مستوى له أصل مشترك ونفس شكل وحدة القياس نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى . أحد هذه المحاور يسمى المحور ثور، أو المحور السيني ، والآخر - المحور أوي، أو المحور ص . تسمى هذه المحاور أيضًا محاور الإحداثيات. للدلالة به مxو مذعلى التوالي إسقاط نقطة تعسفية معلى المحور ثورو أوي. كيف تحصل على التوقعات؟ تمر عبر النقطة م ثور. يتقاطع هذا الخط مع المحور ثورفي هذه النقطة مx. تمر عبر النقطة مخط مستقيم عمودي على المحور أوي. يتقاطع هذا الخط مع المحور أويفي هذه النقطة مذ. هذا هو مبين في الشكل أدناه.

xو ذنقاط مسوف ندعو على التوالي مقادير المقاطع الموجهة OMxو OMذ. يتم حساب قيم هذه المقاطع الاتجاهية على التوالي x = x0 - 0 و ذ = ذ0 - 0 . الإحداثيات الديكارتية xو ذنقاط م الإحداثي السيني و تنسيق . حقيقة أن النقطة مإحداثيات xو ذ، على النحو التالي: م(x, ذ) .

محاور الإحداثيات تقسم الطائرة إلى أربعة رباعي ، التي يظهر ترقيمها في الشكل أدناه. يشير أيضًا إلى ترتيب العلامات لإحداثيات النقاط ، اعتمادًا على موقعها في ربع أو آخر.

بالإضافة إلى الإحداثيات المستطيلة الديكارتية في المستوى ، غالبًا ما يتم أيضًا النظر في نظام الإحداثيات القطبية. حول طريقة الانتقال من نظام إحداثيات إلى آخر - في الدرس نظام الإحداثيات القطبية .

نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل في الفضاء

يتم تقديم الإحداثيات الديكارتية في الفضاء في تشابه كامل مع الإحداثيات الديكارتية على متن طائرة.

ثلاثة محاور متعامدة بشكل متبادل في الفضاء (محاور تنسيق) بأصل مشترك اونفس شكل وحدة المقياس نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي في الفضاء .

أحد هذه المحاور يسمى المحور ثور، أو المحور السيني ، والآخر - المحور أوي، أو المحور ص الثالث - المحور أوز، أو تطبيق المحور . يترك مx, مذ مض- إسقاطات نقطة تعسفية ممسافات على المحور ثور , أويو أوزعلى التوالى.

تمر عبر النقطة م ثورثورفي هذه النقطة مx. تمر عبر النقطة ممستوى عمودي على المحور أوي. هذا المستوى يتقاطع مع المحور أويفي هذه النقطة مذ. تمر عبر النقطة ممستوى عمودي على المحور أوز. هذا المستوى يتقاطع مع المحور أوزفي هذه النقطة مض.

إحداثيات مستطيلة ديكارتية x , ذو ضنقاط مسوف ندعو على التوالي مقادير المقاطع الموجهة OMx, OMذو OMض. يتم حساب قيم هذه المقاطع الاتجاهية على التوالي x = x0 - 0 , ذ = ذ0 - 0 و ض = ض0 - 0 .

الإحداثيات الديكارتية x , ذو ضنقاط موفقًا لذلك الإحداثي السيني , تنسيق و زين .

عند أخذها في أزواج ، توجد محاور الإحداثيات في مستويات الإحداثيات xOy , yOzو zOx .

مشاكل حول النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية

مثال 1

أ(2; -3) ;

ب(3; -1) ;

ج(-5; 1) .

أوجد إحداثيات إسقاط هذه النقاط على المحور x.

قرار. كما يلي من الجزء النظري من هذا الدرس ، يقع إسقاط نقطة على المحور x على المحور x نفسه ، أي المحور ثور، وبالتالي يكون له حدودي يساوي حد السيني للنقطة نفسها ، وإحداثية (تنسيق على المحور أوي، الذي يتقاطع فيه المحور x عند النقطة 0) ، يساوي صفرًا. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لهذه النقاط على المحور x:

أس (2 ؛ 0);

بس (3 ؛ 0);

جس (-5 ؛ 0).

مثال 2يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-3; 2) ;

ب(-5; 1) ;

ج(3; -2) .

أوجد إحداثيات إسقاطات هذه النقاط على المحور ص.

قرار. على النحو التالي من الجزء النظري من هذا الدرس ، فإن إسقاط نقطة على المحور ص يقع على المحور ص نفسه ، أي المحور أوي، وبالتالي يحتوي على إحداثيات مساوية لإحداثيات النقطة نفسها ، والإحداثيات (الإحداثي على المحور ثور، الذي يتقاطع فيه المحور y عند النقطة 0) ، يساوي صفرًا. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لهذه النقاط على المحور y:

أص (0 ؛ 2);

بص (0 ؛ 1);

جص (0 ؛ -2).

مثال 3يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(2; 3) ;

ب(-3; 2) ;

ج(-1; -1) .

ثور .

ثور ثور ثور، سيكون لها نفس الحد الفاصل للنقطة المعينة ، والإحداثيات مساوية في القيمة المطلقة لإحداثيات النقطة المعينة ، والعكس في الإشارة إليها. إذن نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط حول المحور ثور :

أ"(2; -3) ;

ب"(-3; -2) ;

ج "(-1; 1) .

مثال 4تحديد الأرباع (الأرباع ، الشكل مع الأرباع - في نهاية الفقرة "نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيلة على المستوى") يمكن تحديد موقع النقطة م(x; ذ) ، لو

1) س ص > 0 ;

2) س ص < 0 ;

3) x − ذ = 0 ;

4) x + ذ = 0 ;

5) x + ذ > 0 ;

6) x + ذ < 0 ;

7) x − ذ > 0 ;

8) x − ذ < 0 .

مثال 5يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-2; 5) ;

ب(3; -5) ;

ج(أ; ب) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط حول المحور أوي .

نواصل حل المشاكل معا

مثال 6يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(-1; 2) ;

ب(3; -1) ;

ج(-2; -2) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط حول المحور أوي .

قرار. استدارة 180 درجة حول المحور أويقطعة خطية موجهة من محور أويحتى هذه النقطة. في الشكل ، حيث تتم الإشارة إلى أرباع المستوى ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور أوي، سيكون لها نفس إحداثيات النقطة المعينة ، وقيمة الإحداثي السيني تساوي في القيمة المطلقة للإحداثيات للنقطة المعينة ، والعكس في الإشارة إليها. إذن نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط حول المحور أوي :

أ"(1; 2) ;

ب"(-3; -1) ;

ج "(2; -2) .

مثال 7يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية على المستوى

أ(3; 3) ;

ب(2; -4) ;

ج(-2; 1) .

أوجد إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط بالنسبة إلى الأصل.

قرار. نحن ندير 180 درجة حول أصل المقطع الموجه من الأصل إلى النقطة المعطاة. في الشكل ، حيث تتم الإشارة إلى أرباع المستوى ، نرى أن النقطة المتناظرة مع نقطة معينة فيما يتعلق بأصل الإحداثيات سيكون لها إحداثيات وإحداثيات متساوية في القيمة المطلقة للإحداثيات وتنسيق النقطة المعطاة ، ولكن العكس في تسجيل الدخول لهم. لذلك نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع هذه النقاط بالنسبة إلى الأصل:

أ"(-3; -3) ;

ب"(-2; 4) ;

ج(2; -1) .

المثال 8

أ(4; 3; 5) ;

ب(-3; 2; 1) ;

ج(2; -3; 0) .

ابحث عن إحداثيات إسقاطات هذه النقاط:

1) على متن طائرة أوكسي ;

2) إلى الطائرة Oxz ;

3) إلى الطائرة عوز ;

4) على المحور السيني ؛

5) على المحور ص ؛

6) على محور زين.

1) إسقاط نقطة على مستو أوكسيتقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي لها إحداثية وإحداثية مساوية للإحداثيات والإحداثيات للنقطة المعينة ، وتطبيق يساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط أوكسي :

أس ص (4 ؛ 3 ؛ 0);

بس ص (-3 ؛ 2 ؛ 0);

جس ص (2 ؛ -3 ؛ 0).

2) إسقاط نقطة على مستو Oxzيقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي لديه حدودي ويطبق مساويًا لحدود الحد الأقصى ويطبق على النقطة المعينة ، والإحداثيات تساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط Oxz :

أxz (4 ؛ 0 ؛ 5);

بxz (-3 ؛ 0 ؛ 1);

جxz (2 ؛ 0 ؛ 0).

3) إسقاط نقطة على مستو عوزتقع على هذا المستوى نفسه ، وبالتالي لها إحداثية وتطبيق مساوٍ للإحداثيات وتطبيق نقطة معينة ، وقيمة الإحداثيّة تساوي الصفر. إذن نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط عوز :

أyz (0 ؛ 3 ؛ 5);

بyz (0 ؛ 2 ؛ 1);

جyz (0 ؛ -3 ؛ 0).

4) كما يلي من الجزء النظري من هذا الدرس ، يقع إسقاط نقطة على المحور السيني على المحور السيني نفسه ، أي المحور ثور، وبالتالي يكون له حدودي يساوي حد السيني للنقطة نفسها ، والإحداثيات وتطبيق الإسقاط تساوي الصفر (لأن المحاور التنسيقية والتطبيقية تتقاطع مع الإحداثي عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على المحور x:

أس (4 ؛ 0 ؛ 0);

بس (-3 ؛ 0 ؛ 0);

جس (2 ؛ 0 ؛ 0).

5) يقع إسقاط نقطة على المحور الصادي على المحور الصادي نفسه ، أي المحور أوي، وبالتالي يحتوي على إحداثيات مساوية لإحداثيات النقطة نفسها ، ويكون الحد الأقصى للإسقاط وتطبيقه مساويًا للصفر (نظرًا لأن المحور الاحداثي والمحاور المطبقة يتقاطعان مع المحور الإحداثي عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على المحور الصادي:

أص (0 ؛ 3 ؛ 0);

بص (0 ؛ 2 ؛ 0);

جص (0 ؛ -3 ؛ 0).

6) يقع إسقاط نقطة على محور التطبيق على محور التطبيق نفسه ، أي المحور أوز، وبالتالي يحتوي على تطبيق مساوٍ لتطبيق النقطة نفسها ، والإحداثيات والإحداثيات للإسقاط تساوي الصفر (نظرًا لأن المحورين الإحداثي والإحداثيات يتقاطعان مع المحور المطبق عند النقطة 0). نحصل على الإحداثيات التالية لإسقاطات هذه النقاط على محور التطبيق:

أض (0 ؛ 0 ؛ 5);

بض (0 ؛ 0 ؛ 1);

جض (0 ؛ 0 ؛ 0).

المثال 9يتم إعطاء النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء

أ(2; 3; 1) ;

ب(5; -3; 2) ;

ج(-3; 2; -1) .

ابحث عن إحداثيات النقاط المتماثلة مع هذه النقاط فيما يتعلق بـ:

1) الطائرة أوكسي ;

2) الطائرة Oxz ;

3) الطائرة عوز ;

4) محور الحد الأقصى.

5) المحور ص.

6) محور زين.

7) أصل الإحداثيات.

1) "تقدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور أوكسي أوكسي، سيكون لها إحداثي وإحداثية مساوية للإحداثيات والإحداثيات للنقطة المعينة ، وتطبيق مساوٍ من حيث الحجم لتطبيق النقطة المعينة ، ولكن العكس في التوقيع عليها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى أوكسي :

أ"(2; 3; -1) ;

ب"(5; -3; -2) ;

ج "(-3; 2; 1) .

2) "تقدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور Oxzلنفس المسافة. وفقًا للشكل الذي يعرض مساحة الإحداثيات ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور Oxz، سيكون لها إحداثية وتطبق مساويًا للإحداثيات وتطبق النقطة المعينة ، وإحداثية مساوية في الحجم لإحداثيات النقطة المعينة ، ولكن العكس في التوقيع عليها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى Oxz :

أ"(2; -3; 1) ;

ب"(5; 3; 2) ;

ج "(-3; -2; -1) .

3) "تقدم" النقطة على الجانب الآخر من المحور عوزلنفس المسافة. وفقًا للشكل الذي يعرض مساحة الإحداثيات ، نرى أن النقطة متناظرة مع النقطة المعطاة فيما يتعلق بالمحور عوز، سيكون لها إحداثي وتطبيق يساوي الإحداثي وتطبيق من النقطة المعينة ، وقيمة الإحداثي تساوي في الحجم حدود النقطة المعينة ، ولكن العكس في التوقيع عليها. إذن ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات بالنسبة للمستوى عوز :

أ"(-2; 3; 1) ;

ب"(-5; -3; 2) ;

ج "(3; 2; -1) .

عن طريق القياس مع النقاط المتماثلة على المستوى والنقاط في الفضاء المتناظرة مع البيانات فيما يتعلق بالمستويات ، نلاحظ أنه في حالة التناظر حول بعض محاور نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء ، فإن الإحداثيات على المحور الذي تم تعيين التناظر حوله ستحتفظ بعلامتها ، وستكون الإحداثيات الموجودة على المحورين الآخرين هي نفسها في القيمة المطلقة لإحداثيات النقطة المعينة ، ولكن عكسها في الإشارة.

4) سيحتفظ الإحداثي السيني بعلامته ، بينما سيغير الإحداثي والتطبيق العلامات. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتناظرة مع البيانات حول المحور x:

أ"(2; -3; -1) ;

ب"(5; 3; -2) ;

ج "(-3; -2; 1) .

5) سيحتفظ الإحداثي بعلامته ، بينما سيتغير الإحداثي والإحداثي. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات حول المحور y:

أ"(-2; 3; -1) ;

ب"(-5; -3; -2) ;

ج "(3; 2; 1) .

6) سيحتفظ الطالب بعلامته ، وسيغير الإحداثي والإحداثي اللافتات. لذلك ، نحصل على الإحداثيات التالية للنقاط المتماثلة مع البيانات حول المحور المطبق:

أ"(-2; -3; 1) ;

ب"(-5; 3; 2) ;

ج "(3; -2; -1) .

7) عن طريق القياس مع التناظر في حالة النقاط على المستوى ، في حالة التناظر حول الأصل ، ستكون جميع إحداثيات نقطة متناظرة مع نقطة معينة مساوية في القيمة المطلقة لإحداثيات نقطة معينة ، ولكن عكس ذلك تسجيل الدخول لهم. إذن ، نحصل على إحداثيات النقاط التالية المتماثلة مع البيانات بالنسبة إلى الأصل.

لتعيين نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، تحتاج إلى تحديد عدة خطوط متعامدة بشكل متبادل ، تسمى المحاور. نقطة تقاطع محاور O تسمى الأصل.

في كل محور ، تحتاج إلى تحديد اتجاه إيجابي وتحديد وحدة قياس. تعتبر إحداثيات النقطة P موجبة أو سلبية ، اعتمادًا على نصف المحور الذي يقع عليه إسقاط النقطة P.

إحداثيات مستطيلة ديكارتية للنقطة P. على السطح اثنينخطوط متعامدة بشكل متبادل - تنسيق المحاور أو ، وهي نفسها ، إسقاطات متجه نصف القطر صنقاط ف اثنين

عندما نتحدث عن نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، فإن المحور الأفقي يسمى المحور الإحداثي السيني(محور الثور) ، المحور الرأسي - المحور تنسيق(محور أوي). يتم اختيار الاتجاهات الإيجابية على محور الثور - إلى اليمين ، على محور Oy - لأعلى. يُطلق على إحداثيات x و y اسم إحداثيات النقطة وإحداثياتها ، على التوالي.

يعني الترميز P (a ، b) أن النقطة P على المستوى لها الإحداثي a والإحداثية b.

إحداثيات مستطيلة ديكارتيةنقاط ص في مساحة ثلاثية الأبعادتسمى مأخوذة بعلامة معينة للمسافة (معبرًا عنها بوحدات المقياس) من هذه النقطة إلى ثلاثةمستويات إحداثيات متعامدة بشكل متبادل أو ، وهي نفسها ، إسقاطات متجه نصف القطر صنقاط ف ثلاثةمحاور تنسيق متعامدة بشكل متبادل.

اعتمادًا على الموضع النسبي للاتجاهات الإيجابية لمحاور الإحداثيات ، اليسارو حقنظم الإحداثيات.

أرز. 3 أ	أرز. 3 ب

كقاعدة عامة ، استخدم نظام الإحداثيات الصحيح. يتم اختيار الاتجاهات الإيجابية: على محور الثور - نحو المراقب ؛ على محور Oy - إلى اليمين ؛ على محور أوز - لأعلى. الإحداثيات x و y و z تسمى الإحداثي والإحداثيات والتطبيق على التوالي.

الأسطح المنسقة التي يظل أحد الإحداثيات لها ثابتًا هي مستويات موازية لمستويات الإحداثيات ، وتنسيق الخطوط التي يتغير إحداثيها واحد فقط وهي خطوط مستقيمة موازية لمحاور الإحداثيات. تتقاطع أسطح الإحداثيات على طول خطوط الإحداثيات.

تعني الكتابة P (a ، b ، c) أن النقطة Q بها الإحداثي a ، الإحداثي b وتطبيق c.

لنأخذ مسارًا منطقيًا مباشرًا ، دون تشتيت انتباهنا بالعديد من المصطلحات العلمية الدولية والمحلية الحديثة. يمكن تصوير نظام الإحداثيات على أنه نظام مرجعي معين موجه على المستوى في اتجاهين ، وفي الفضاء في ثلاثة اتجاهات. إذا تذكرنا النظام الرياضي ، فسيتم تمثيله من خلال اتجاهين متعامدين بشكل متبادل ، لهما أسماء المحاور (X) والإحداثيات (Y). هم موجهون في الاتجاهين الأفقي والعمودي ، على التوالي. تقاطع هذه الخطوط هو الأصل مع قيم صفرية في القيمة المطلقة. ويتم تحديد موقع النقاط على المستوى باستخدام إحداثيين X و Y. في الجيوديسيا ، يختلف اتجاه المحاور على المستوى عن الرياضيات. يتم تعريف النظام المستطيل المستوي بواسطة المحور X في الوضع الرأسي (اتجاه الشمال) والمحور Y في الوضع الأفقي (اتجاه الشرق).

تصنيف أنظمة الإحداثيات

في الجيوديسيا ، يمكن تمثيل جميع أنظمة الإحداثيات كمجموعتين:

• مستطيل الشكل
• قطبي

في كلا المجموعتين ، يتم تمييز كل من الأنظمة المسطحة (ثنائية الأبعاد) والمكانية (ثلاثية الأبعاد).

تشمل الأنظمة المستطيلة المستطيلة الإسقاط الأسطواني Gauss-Kruger والمرجع الفردي وأنظمة الإحداثيات المحلية.

تشمل الأنظمة القطبية أنظمة جغرافية وفلكية وجيوديسية ومركزية الأرض وأنظمة مركزية.

نظام الإحداثيات الجغرافي

يتم تمثيل السطح المغلق للمحيط الخارجي للأرض بشكل هندسي كروي. يمكن اعتبار الأقواس الموجودة على سطح الكرة بمثابة اتجاهات الاتجاه الرئيسية عليها. في تمثيل مبسط لنموذج مصغر لكوكبنا في شكل كرة أرضية (شكل الأرض) ، يمكنك أن ترى بصريًا الخطوط المرجعية المقبولة في شكل خط الزوال غرينتش وخط الاستواء.

في هذا المثال ، هو النظام المكاني للإحداثيات الجغرافية المقبول عمومًا في جميع أنحاء العالم. يقدم مفاهيم خطوط الطول والعرض. بوجود وحدات قياس درجة ، فإنها تمثل قيمة زاوية. كثيرون على دراية بتعريفاتهم. يجب أن نتذكر أن خط الطول الجغرافي لنقطة معينة يمثل الزاوية بين مستويين يمران عبر خط الزوال صفر (غرينتش) وخط الزوال في الموقع الذي يتم تحديده. تحت خط العرض الجغرافي لنقطة ، يتم أخذ الزاوية المتكونة بين خط راسيا (أو عادي) لها ومستوى خط الاستواء.

مفاهيم أنظمة الإحداثيات الفلكية والجيوديسية واختلافها

يجمع النظام الجغرافي تقليديًا بين الأنظمة الفلكية والجيوديسية. لفهم الاختلافات التي لا تزال موجودة ، انتبه إلى تعريفات الإحداثيات الجيوديسية والفلكية (خطوط الطول والعرض والارتفاع). في النظام الفلكي ، يعتبر خط العرض الزاوية بين المستوى الاستوائي والخط الراقي عند نقطة التحديد. ويعتبر شكل الأرض ذاته بمثابة جيود شرطي ، ويعادل رياضيا تقريبا الكرة. في النظام الجيوديسي ، يتكون خط العرض من الخط الطبيعي إلى سطح الأرض الإهليلجية عند نقطة معينة وعلى مستوى خط الاستواء. تعطي الإحداثيات الثالثة في هذه الأنظمة الفكرة النهائية لاختلافاتهم. الارتفاع الفلكي (التقويمي) هو الارتفاع على طول الخط الشاقولي بين الارتفاع الفعلي ونقطة على سطح المستوى الجيود. الارتفاع الجيوديسي هو المسافة العادية من السطح الإهليلجي إلى نقطة الحساب.

نظام الإحداثيات المستطيلة للطائرة Gauss-Krüger

لكل نظام إحداثيات تطبيقه الاقتصادي النظري العلمي والعملي ، على الصعيدين العالمي والإقليمي. في بعض الحالات المحددة ، من الممكن استخدام أنظمة الإحداثيات المرجعية والمحلية والشرطية ، ولكن من خلال الحسابات والحسابات الرياضية ، لا يزال من الممكن دمجها مع بعضها البعض.

نظام الإحداثيات المستطيلة الجيوديسية هو إسقاط للمناطق الفردية ذات الست درجات من الشكل الإهليلجي. من خلال كتابة هذا الشكل داخل أسطوانة موجودة أفقيًا ، يتم عرض كل منطقة بشكل منفصل على السطح الأسطواني الداخلي. مناطق مثل هذا الشكل الكروي محدودة بخطوط الطول بخطوة ست درجات. عند نشرها على متن طائرة ، يتم الحصول على إسقاط ، والذي سمي على اسم العلماء الألمان الذين قاموا بتطويره Gauss-Kruger. في طريقة الإسقاط هذه ، تحتفظ الزوايا بين أي اتجاه بمقاديرها. لذلك ، يطلق عليه أحيانًا اسم متساوي الزوايا. يمر محور الإحداثي في ​​المنطقة عبر المركز ، عبر خط الزوال المحوري الشرطي (المحور X) ، والمحور الإحداثي على طول خط الاستواء (المحور ص). ينتقل طول الخطوط على طول خط الزوال المحوري دون تشويه ، وعلى طول الخط الاستوائي مع تشويه لحواف المنطقة.

نظام الإحداثيات القطبية

بالإضافة إلى نظام الإحداثيات المستطيل الموصوف أعلاه ، يجب ملاحظة وجود واستخدام نظام إحداثيات قطبية مستوية في حل المشكلات الجيوديسية. بالنسبة للاتجاه المرجعي الأولي ، فإنه يستخدم محور الاتجاه الشمالي (القطبي) ، ومن هنا جاء الاسم. لتحديد موقع النقاط على المستوى ، يتم استخدام الزاوية القطبية (الاتجاهية) ومتجه نصف القطر (المسافة الأفقية) إلى النقطة. تذكر أن زاوية الاتجاه هي الزاوية المقاسة من الاتجاه الأصلي (الشمالي) إلى الاتجاه المحدد. يتم التعبير عن متجه نصف القطر في تعريف المسافة الأفقية. تتم إضافة القياسات الجيوديسية للزاوية الرأسية ومسافة الميل إلى النظام القطبي المكاني لتحديد موضع النقاط ثلاثي الأبعاد. تُستخدم هذه الطريقة يوميًا تقريبًا في التسوية المثلثية والمسوحات الطبوغرافية وتطوير الشبكات الجيوديسية.

أنظمة إحداثيات مركزية الأرض و مركزية الأرض

يتم ترتيب أنظمة إحداثيات مركزية الأرض والقمر بشكل جزئي وفقًا لنفس الطريقة القطبية ، مع الاختلاف الوحيد في أن المحاور الرئيسية للفضاء ثلاثي الأبعاد (X ، Y ، Z) لها أصول واتجاهات مختلفة. في نظام مركزية الأرض ، أصل الإحداثيات هو مركز كتلة الأرض. يتم توجيه المحور X على طول خط زوال غرينتش باتجاه خط الاستواء. يتم وضع المحور Y في وضع مستطيل إلى الشرق من X. للمحور Z اتجاه قطبي في البداية على طول المحور الصغير للقطع الناقص. إحداثياتها هي:

• في المستوى الاستوائي ، الصعود الأيمن لمركز الأرض للقمر الصناعي
• في مستوى خط الطول ، الانحراف عن مركزية الأرض للقمر الصناعي
• متجه نصف قطر مركزية الأرض هو المسافة من مركز جاذبية الأرض إلى القمر الصناعي.

عند مراقبة حركة الأقمار الصناعية من نقطة الوقوف على سطح الأرض ، يتم استخدام نظام مركزي مركزي ، تكون محاور الإحداثيات موازية لمحاور نظام مركزية الأرض ، وتعتبر نقطة المراقبة هي بدايته. الإحداثيات في مثل هذا النظام:

• قمر صناعي مركزي علوي
• انحراف القمر الصناعي مركزية السطح
• متجه نصف قطر مركزي للقمر الصناعي
• متجه نصف قطر مركزية الأرض عند نقطة المراقبة.

لا تشمل الأنظمة المرجعية العالمية للأقمار الصناعية الحديثة WGS-84 و PZ-90 الإحداثيات فحسب ، بل تشمل أيضًا معلمات وخصائص أخرى مهمة للقياسات الجيوديسية ، والرصدات والملاحة. وتشمل هذه الثوابت الجيوديسية وغيرها من الثوابت:

• التواريخ الجيوديسية الأصلية
• بيانات الأرض الإهليلجية
• نموذج الجيود
• نموذج مجال الجاذبية
• قيم ثابت الجاذبية
• قيمة سرعة الضوء وغيرها.

يجب أن يعرف كل شخص حديث ما هو نظام الإحداثيات. كل يوم نواجه مثل هذه الأنظمة ، دون حتى التفكير في ماهيتها. بمجرد وصولنا إلى المدرسة ، تعلمنا المفاهيم الأساسية ، ونعلم تقريبًا أن هناك محور س ، ومحور ص ، ونقطة مرجعية تساوي الصفر. في الواقع ، كل شيء أكثر تعقيدًا ، فهناك عدة أنواع من أنظمة الإحداثيات. في المقالة سننظر في كل منها بالتفصيل ، ونقدم أيضًا وصفًا تفصيليًا لمكان ولماذا يتم استخدامها.

التعريف والنطاق

نظام الإحداثيات هو مجموعة من التعريفات التي تحدد موضع الجسم أو النقطة باستخدام أرقام أو رموز أخرى. تسمى مجموعة الأرقام التي تحدد موقع نقطة معينة إحداثيات هذه النقطة. تُستخدم أنظمة الإحداثيات في العديد من مجالات العلوم ، على سبيل المثال ، في الرياضيات ، الإحداثيات عبارة عن مجموعة من الأرقام المرتبطة بنقاط في بعض الخرائط لأطلس محدد مسبقًا. في الهندسة ، الإحداثيات عبارة عن كميات تحدد موقع نقطة في الفضاء وعلى مستوى. في الجغرافيا ، تشير الإحداثيات إلى خطوط الطول والعرض والارتفاع فوق المستوى العام للبحر أو المحيط أو أي قيمة أخرى معروفة. في علم الفلك ، الإحداثيات هي الكميات التي تجعل من الممكن تحديد موقع النجم ، مثل الانحراف والصعود الصحيح. هذه ليست قائمة كاملة بأماكن استخدام أنظمة الإحداثيات. إذا كنت تعتقد أن هذه المفاهيم بعيدة كل البعد عن الأشخاص غير المهتمين بالعلوم ، فحينئذٍ تعتقد أنها أكثر شيوعًا في الحياة اليومية مما تعتقد. خذ خريطة للمدينة على الأقل ، فلماذا لا يوجد لديك نظام إحداثيات؟

بعد التعامل مع التعريف ، دعنا نلقي نظرة على أنواع أنظمة الإحداثيات الموجودة وما هي.

نظام إحداثيات المنطقة

يستخدم نظام الإحداثيات هذا بشكل أساسي في عمليات المسح الأفقية المختلفة وإعداد خطط تضاريس موثوقة. يعتمد على الإسقاط المستعرض الأسطواني المطابق لغاوس. في هذا الإسقاط ، يتم تقسيم سطح الأرض الجيود بالكامل بواسطة خطوط الطول إلى مناطق 6 درجات ومرقمة من 1 إلى 60 إلى الشرق من خط الطول غرينتش. في هذه الحالة ، يسمى متوسط ​​خط الطول لهذه المنطقة المكونة من 6 فحم محوري. من المعتاد دمجه مع السطح الداخلي للأسطوانة واعتباره محور الإحداثيات. من أجل تجنب القيم السالبة للإحداثيات (y) ، لا يتم أخذ الإحداثي على خط الطول المحوري (نقطة مرجعية أولية) على أنه صفر ، ولكن على أنه 500 كم ، أي أنه يتم نقله 500 كم إلى الغرب. قبل الإحداثي ، يجب الإشارة إلى رقم المنطقة.

نظام إحداثيات Gauss-Kruger

يعتمد نظام الإحداثيات هذا على الإسقاط الذي اقترحه العالم الألماني الشهير غاوس ، وتم تطويره للاستخدام في الجيوديسيا بواسطة كروجر. جوهر هذا الإسقاط هو أن كرة الأرض مقسمة شرطيًا بواسطة خطوط الطول إلى مناطق من ست درجات. تم ترقيم المناطق من خط الطول غرينتش من الغرب إلى الشرق. بمعرفة رقم المنطقة ، يمكنك بسهولة تحديد خط الزوال الأوسط ، المسمى خط الزوال المحوري ، باستخدام الصيغة Z = 60 (n) - 3 ، حيث (n) هو رقم المنطقة. لكل منطقة ، يتم عمل صورة مسطحة عن طريق إسقاطها على السطح الجانبي لأسطوانة ، يكون محورها متعامدًا على محور الأرض. يتم بعد ذلك نشر هذه الأسطوانة خطوة بخطوة على الطائرة. يظهر خط الاستواء وخط الزوال المركزي كخطوط مستقيمة. محور الإحداثي في ​​كل منطقة هو خط الزوال المحوري ، ويعمل خط الاستواء كمحور إحداثي. نقطة البداية المرجعية هي نقطة تقاطع خط الاستواء وخط الزوال المحوري. يتم حساب الأبسيسات شمال خط الاستواء فقط بعلامة زائد وجنوب خط الاستواء فقط بعلامة ناقص.

نظام الإحداثيات القطبية على المستوى

هذا نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، كل نقطة يتم تعريفها على المستوى برقمين - نصف القطر القطبي والزاوية القطبية. يكون نظام الإحداثيات القطبية مفيدًا عندما يكون من السهل تمثيل العلاقات بين النقاط كزوايا وأنصاف أقطار. يتم تعريف نظام الإحداثيات القطبية بواسطة شعاع يسمى المحور القطبي أو المحور الصفري. تسمى النقطة التي يخرج منها هذا الشعاع بالقطب أو الأصل. يتم تحديد نقطة عشوائية على المستوى بإحداثيتين قطبيتين فقط: الزاوي والشعاعي. الإحداثي الشعاعي يساوي المسافة من النقطة إلى أصل نظام الإحداثيات. الإحداثي الزاوي يساوي الزاوية التي يلزم بها تدوير المحور القطبي عكس اتجاه عقارب الساعة للوصول إلى النقطة.

نظام إحداثيات مستطيل

ما هو نظام إحداثيات مستطيل ، ربما تعرفه من مقاعد المدرسة ، لكن مع ذلك ، دعنا نتذكر مرة أخرى. نظام الإحداثيات المستطيل هو نظام مستقيم توجد فيه المحاور في الفضاء أو على مستوى وتكون متعامدة بشكل متبادل مع بعضها البعض. هذا هو أبسط نظام إحداثيات وأكثرها استخدامًا. يمكن تعميمه بشكل مباشر وسهل على المساحات بأي بُعد ، مما يساهم أيضًا في أوسع تطبيق له. يتم تحديد موضع النقطة على المستوى بواسطة إحداثيات - x و y ، على التوالي ، هناك محور الاحداثي والإحداثيات.

نظام الإحداثيات الديكارتية

شرح ماهية نظام الإحداثيات الديكارتية ، أولاً وقبل كل شيء ، يجب أن يقال أن هذه حالة خاصة لنظام إحداثيات مستطيل ، حيث يتم تعيين نفس المقاييس على طول المحاور. في الرياضيات ، غالبًا ما يتم النظر في نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد. تتم الإشارة إلى الإحداثيات بالأحرف اللاتينية x و y و z وتسمى الإحداثي السيني والإحداثيات والتطبيق على التوالي. عادة ما يطلق على محور الإحداثيات (OX) محور الإحداثي ، والمحور (OY) هو المحور الصادي ، والمحور (OZ) هو المحور المطبق.

الآن أنت تعرف ما هو نظام الإحداثيات ، وما هي وأين يتم استخدامها.

نظام إحداثيات مستطيل- نظام إحداثيات مستقيم مع محاور عمودية متبادلة على مستوى أو في الفضاء. أبسط نظام إحداثيات وبالتالي الأكثر استخدامًا. إنه يعمم بسهولة شديدة وبشكل مباشر على المساحات من أي بعد ، مما يساهم أيضًا في تطبيقه الواسع.

المصطلحات ذات الصلة: ديكارتيعادة ما يسمى نظام إحداثيات مستطيل بنفس المقياس على طول المحاور (سمي على اسم رينيه ديكارت) ، و نظام الإحداثيات الديكارتية المشتركيسمى نظام الإحداثيات الأفيني (وليس المستطيل).

موسوعي يوتيوب

• 1 / 5

  يتكون نظام الإحداثيات المستطيل على مستوى من محورين إحداثيات متعامدين بشكل متبادل و O (displaystyle O)وهو ما يسمى أصل الإحداثيات ، فلكل محور اتجاه إيجابي.

  موضع النقطة أ (displaystyle A)على المستوى يتم تحديد إحداثيات اثنين س (displaystyle x)و ذ (displaystyle y). تنسيق س (displaystyle x)يساوي طول المقطع O B (displaystyle OB)تنسيق ذ (displaystyle y)- طول القطعة O C (displaystyle OC) O B (displaystyle OB)و O C (displaystyle OC)محددة بخطوط مرسومة من نقطة أ (displaystyle A)بالتوازي مع المحاور Y ′ Y (\ displaystyle Y "Y)و X ′ X (\ displaystyle X "X)على التوالى.

  مع هذا التنسيق س (displaystyle x) ب (displaystyle B)تقع على الشعاع (وليس على الشعاع OX (displaystyle OX)، كما في الشكل). تنسيق ذ (displaystyle y)يتم تعيين علامة الطرح إذا كانت النقطة ج (displaystyle C)تقع على الشعاع. في هذا الطريق، O X ′ (displaystyle OX ")و O Y ′ (\ displaystyle OY ")هي الاتجاهات السلبية لمحاور الإحداثيات (يتم التعامل مع كل محور إحداثيات كمحور رقمي).

  محور س (displaystyle x)يسمى المحور السيني والمحور ذ (displaystyle y)- المحور الصادي. تنسيق س (displaystyle x)مسمي الإحداثي السيني نقاط أ (displaystyle A)تنسيق ذ (displaystyle y) - تنسيق نقاط أ (displaystyle A).

  A (x، y) (\ displaystyle A (x، \؛ y)) A = (x، y) (\ displaystyle A = (x، \؛ y))

  أو الإشارة إلى انتماء الإحداثيات إلى نقطة معينة باستخدام الفهرس:

  س أ ، س ب (displaystyle x_ (A) ، x_ (B))

  نظام إحداثيات مستطيل الشكل في الفضاء(في هذه الفقرة نعني الفضاء ثلاثي الأبعاد ، المزيد من المساحات متعددة الأبعاد - انظر أدناه) يتكون من ثلاثة محاور إحداثيات متعامدة بشكل متبادل OX (displaystyle OX), يا Y (displaystyle OY)و أوز (displaystyle OZ). تتقاطع محاور الإحداثيات عند نقطة ما O (displaystyle O)، وهو ما يسمى الأصل ، يتم تحديد الاتجاه الإيجابي الذي تشير إليه الأسهم على كل محور ، ووحدة قياس المقاطع الموجودة على المحاور. الوحدات عادة (ليس بالضرورة) هي نفسها لجميع المحاور. OX (displaystyle OX)- المحور السيني ، يا Y (displaystyle OY)- تنسيق المحور ، أوز (displaystyle OZ)- تطبيق المحور.

  موضع النقطة أ (displaystyle A)في الفضاء من خلال ثلاثة إحداثيات س (displaystyle x), ذ (displaystyle y)و ض (displaystyle z). تنسيق س (displaystyle x)يساوي طول المقطع O B (displaystyle OB)تنسيق ذ (displaystyle y)- طول القطعة O C (displaystyle OC)تنسيق ض (displaystyle z)- طول القطعة OD (displaystyle OD)في وحدات القياس المختارة. شرائح O B (displaystyle OB), O C (displaystyle OC)و OD (displaystyle OD)يتم تحديدها بواسطة طائرات مرسومة من نقطة أ (displaystyle A)بالتوازي مع الطائرات Y O Z (displaystyle YOZ), X O Z (displaystyle XOZ)و X O Y (displaystyle XOY)على التوالى.

  تنسيق س (displaystyle x)تسمى حدود النقطة أ (displaystyle A)تنسيق ذ (displaystyle y)- نقطة إحداثية أ (displaystyle A)تنسيق ض (displaystyle z)- نقطة التطبيق أ (displaystyle A).

  رمزيا مكتوب على النحو التالي:

  A (x، y، z) (displaystyle A (x، y، z)) A = (x، y، z) (displaystyle A = (x، y،؛ z))

  أو اربط سجل إحداثيات بنقطة معينة باستخدام فهرس:

  س أ ، ص أ ، ض أ (displaystyle x_ (A) ، \ ؛ y_ (A) ، \ ؛ z_ (A))

  يعتبر كل محور خطًا رقميًا ، أي أنه يحتوي على اتجاه إيجابي ، ويتم تعيين قيم إحداثيات سالبة للنقاط الموجودة على الشعاع السالب (يتم أخذ المسافة بعلامة ناقص). هذا هو ، على سبيل المثال ، النقطة ب (displaystyle B)لا تكمن كما في الشكل - على الشعاع OX (displaystyle OX)، واستمراره في الاتجاه المعاكس من النقطة O (displaystyle O)(في الجزء السلبي من المحور OX (displaystyle OX)) ، ثم الإحداثي س (displaystyle x)نقاط أ (displaystyle A)سيكون سالبًا (ناقص المسافة O B (displaystyle OB)). وبالمثل بالنسبة للمحورين الآخرين.

  جميع أنظمة الإحداثيات المستطيلة في الفضاء ثلاثي الأبعاد مقسمة إلى فئتين - حقوق(المصطلحات المستخدمة أيضًا إيجابي, اساسي) و اليسار. عادة ، بشكل افتراضي ، يحاولون استخدام أنظمة إحداثيات يمنى ، وعندما يتم عرضها بيانياً ، فإنها تضعها أيضًا ، إن أمكن ، في واحد من عدة مواضع (تقليدية) معتادة. (يوضح الشكل 2 نظام الإحداثيات الصحيح). لا يمكن الجمع بين أنظمة الإحداثيات اليمنى واليسرى بالتناوب بحيث تتوافق المحاور المقابلة (واتجاهاتها). من الممكن تحديد الفئة التي ينتمي إليها نظام إحداثيات معين باستخدام قاعدة اليد اليمنى ، وقاعدة اللولب ، وما إلى ذلك (يتم اختيار الاتجاه الإيجابي للمحاور بحيث يتم تدوير المحور OX (displaystyle OX)عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة تزامن اتجاهه الإيجابي مع الاتجاه الإيجابي للمحور يا Y (displaystyle OY)، إذا لوحظ هذا الدوران من جانب الاتجاه الإيجابي للمحور أوز (displaystyle OZ)).

  نظام إحداثيات مستطيل في فضاء متعدد الأبعاد

  يمكن أيضًا استخدام نظام الإحداثيات المستطيلة في مساحة ذات بعد محدد بنفس الطريقة التي يتم بها استخدام الفضاء ثلاثي الأبعاد. عدد محاور الإحداثيات في هذه الحالة يساوي أبعاد الفضاء (في هذا القسم سنشير إليه ن).

  عادة ما يتم الإشارة إلى الإحداثيات ليس بأحرف مختلفة ، ولكن بنفس الحرف مع فهرس رقمي. غالبًا ما يكون:

  × 1 ، × 2 ، × 3 ، ... × ن. (displaystyle x_ (1) x_ (2) x_ (3) dots x_ (n).)

  لتعيين تعسفي أناالإحداثي من هذه المجموعة يستخدم فهرس الحروف:

  وغالبًا ما تكون التسمية س i، (displaystyle x_ (i))استخدم و للإشارة إلى المجموعة بأكملها ، مما يعني أن الفهرس يمر عبر مجموعة القيم الكاملة: أنا = 1، 2، 3، ... n (displaystyle i = 1،2،3 ، dots n).

  في أي بُعد للفضاء ، تنقسم أنظمة الإحداثيات المستطيلة إلى فئتين ، يمين ويسار (أو موجب وسالب). بالنسبة للمساحات متعددة الأبعاد ، يُسمى أحد أنظمة الإحداثيات بشكل تعسفي (شرطيًا) يمينًا ، ويتحول الباقي إلى اليمين أو اليسار ، اعتمادًا على ما إذا كان لديهم نفس الاتجاه أم لا.

  إحداثيات متجه مستطيلة الشكل

  لتحديد المستطيل إحداثيات ناقلات(ينطبق على تمثيل المتجهات من أي بعد) ، يمكننا أن ننطلق من حقيقة أن إحداثيات المتجه (المقطع الموجه) ، والتي تكون بدايتها في الأصل ، تتطابق مع إحداثيات نهايتها.

  بالنسبة للمتجهات (المقاطع الموجهة) التي لا يتطابق أصلها مع الأصل ، يمكن تحديد الإحداثيات المستطيلة بإحدى طريقتين:

  1. يمكن تحريك المتجه بحيث يتطابق أصله مع الأصل). ثم يتم تحديد إحداثياتها بالطريقة الموضحة في بداية الفقرة: إحداثيات متجه تتحرك بحيث يتطابق أصلها مع الأصل هي إحداثيات نهايتها.
  2. بدلاً من ذلك ، يمكنك ببساطة طرح إحداثيات بدايته من إحداثيات نهاية المتجه (المقطع الموجه).
  • بالنسبة للإحداثيات المستطيلة ، يتطابق مفهوم إحداثيات المتجه مع مفهوم الإسقاط المتعامد للمتجه على اتجاه محور الإحداثيات المقابل.

  في الإحداثيات المستطيلة ، تتم كتابة جميع العمليات على المتجهات بكل بساطة:

  • الجمع والضرب بواسطة عددي:
  أ + ب = (أ 1 + ب 1 ، أ 2 + ب 2 ، أ 3 + ب 3 ، ... ، أ n + ب n) (displaystyle mathbf (a) + mathbf (b) = (a_ (1) + b_ (1) ، a_ (2) + b_ (2) ، a_ (3) + b_ (3) ، \ النقاط ، a_ (n) + b_ (n))) (a + b) i = a i + b i، (\ displaystyle (\ mathbf (a) + \ mathbf (b)) _ (i) = a_ (i) + b_ (i)،) ج أ = (ج أ 1، ج أ 2، ج أ 3، ...، ج أ n) (displaystyle c mathbf (a) = (c a_ (1) c a_ (2) c a_ (3)، \ النقاط ، ج \ a_ (n))) (ج أ) أنا = ج أ أنا. (displaystyle (c mathbf (a)) _ (i) = c a_ (i).)ومن هنا الطرح والقسمة: أ - ب = (أ 1 - ب 1 ، أ 2 - ب 2 ، أ 3 - ب 3 ، ... ، أ n - ب n) (displaystyle mathbf (a) - mathbf (b) = (a_ (1) - b_ (1) ، a_ (2) -b_ (2) ، a_ (3) -b_ (3) ، \ النقاط ، a_ (n) -b_ (n))) (أ - ب) أنا = أ i - ب i ، (displaystyle (mathbf (a) - mathbf (b)) _ (i) = a_ (i) -b_ (i) ،) أ λ = (أ 1 λ ، أ 2 λ ، أ 3 λ ، ... ، أ n λ) (displaystyle (frac (mathbf (a)) (lambda)) = (Big () (frac (a_ (1)) (\ lambda))، (\ frac (a_ (2)) (\ lambda))، (\ frac (a_ (3)) (\ lambda))، \ dots، (\ frac (a_ (n )) (لامدا)) (كبير))) (أ λ) أنا = أ أنا λ. (displaystyle (Big () (frac (mathbf (a)) (lambda)) (Big)) _ (i) = (frac (a_ (i)) (lambda)).)

  (هذا صحيح بالنسبة لأي بعد نوحتى ، جنبًا إلى جنب مع الإحداثيات المستطيلة ، للإحداثيات المائلة).

  أ ⋅ ب = أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 + أ 3 ب 3 + ⋯ + أ n ب n (displaystyle mathbf (a) cdot mathbf (b) = a_ (1) b_ (1) + a_ (2 ) b_ (2) + a_ (3) b_ (3) + \ dots + a_ (n) b_ (n)) أ ⋅ ب = ∑ i = 1 n أ i ب i، (displaystyle mathbf (a) cdot mathbf (b) = sum limits _ (i = 1) ^ (n) a_ (i) b_ (i) ،)

  (فقط في الإحداثيات المستطيلة مع مقياس الوحدة على جميع المحاور).

  • من خلال حاصل الضرب القياسي ، يمكنك حساب طول المتجه
  | أ | = a ⋅ a (\ displaystyle | \ mathbf (a) | = (\ sqrt (\ mathbf (a) \ cdot \ mathbf (a))))والزاوية بين المتجهات ∠ (أ ، ب) = أ ص ج ج س أ ب | أ | ⋅ | ب | (displaystyle زاوية ((mathbf (a)، mathbf (b))) = mathrm (arccos) (frac (mathbf (a) cdot mathbf (b)) (| mathbf (a) | \ cdot | \ mathbf (ب) |)))
  • و ل (displaystyle mathbf (k)) ه س (displaystyle mathbf (e) _ (x)), . y (displaystyle mathbf (e) _ (y))و ه ض (displaystyle mathbf (e) _ (z)).

    رموز الأسهم ( أنا → (displaystyle (vec (i))), j → (displaystyle (vec (j)))و ل → (displaystyle (vec (k)))أو e → x (\ displaystyle (\ vec (e)) _ (x)), e → y (\ displaystyle (\ vec (e)) _ (y))و البريد → ض (displaystyle (vec (e)) _ (z))) أو غيرها وفقًا للطريقة المعتادة لتعيين النواقل في أحد الأدبيات أو غيرها.

    في هذه الحالة ، في حالة نظام الإحداثيات الصحيح ، تكون الصيغ التالية ذات المنتجات المتجهة للمتجهات صالحة:

    بالنسبة للأبعاد الأعلى من 3 (أو للحالة العامة عندما يكون البعد موجودًا) ، من الشائع أن تستخدم متجهات الوحدة الترميز مع المؤشرات الرقمية بدلاً من ذلك ، وغالبًا ما يكون هذا

    e 1، e 2، e 3، ... e n، (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (1)، \ mathbf (e) _ (2)، \ mathbf (e) _ (3)، \ dots \ mathbf ( هـ) _ (ن) ،)

    أين ن- أبعاد الفضاء.

    يتحلل المتجه من أي بُعد وفقًا للأساس (تعمل الإحداثيات كمعامِلات توسع):

    أ = أ 1 e 1 + أ 2 e 2 + أ 3. هـ) _ (2) + a_ (3) \ mathbf (e) _ (3) + \ dots + a_ (n) \ mathbf (e) _ (n)) أ = ∑ i = 1 n a i e i، (displaystyle mathbf (a) = sum limits _ (i = 1) ^ (n) a_ (i) mathbf (e) _ (i) ،)بيير فيرمات ، ومع ذلك ، نُشرت أعماله لأول مرة بعد وفاته. استخدم ديكارت وفيرمات طريقة الإحداثيات على المستوى فقط.

    تم تطبيق طريقة إحداثيات الفضاء ثلاثي الأبعاد لأول مرة بواسطة ليونارد أويلر في القرن الثامن عشر. يبدو أن استخدام الأساليب يعود إلى