بيت » التوليد » حكم الكميات المتناسبة مباشرة. وضع نظام المعادلات

حكم الكميات المتناسبة مباشرة. وضع نظام المعادلات

مفهوم التناسب المباشر

تخيل أنك تفكر في شراء الحلوى المفضلة لديك (أو أي شيء تريده حقًا). الحلويات في المتجر لها أسعارها الخاصة. افترض 300 روبل لكل كيلوغرام. كلما اشتريت المزيد من الحلوى ، زادت الأموال التي تدفعها. أي ، إذا كنت تريد 2 كيلوغرام - ادفع 600 روبل ، وإذا كنت تريد 3 كيلوغرامات - أعط 900 روبل. يبدو أن كل شيء واضح مع هذا ، أليس كذلك؟

إذا كانت الإجابة بنعم ، فمن الواضح لك الآن ما هو التناسب المباشر - هذا مفهوم يصف نسبة كميتين تعتمدان على بعضهما البعض. وتبقى نسبة هذه الكميات ثابتة وثابتة: بعدد الأجزاء التي يزيد أحدها أو ينقص ، بنفس عدد الأجزاء ، يزيد أو ينقص الثاني بشكل متناسب.

يمكن وصف التناسب المباشر بالصيغة التالية: f (x) = a * x ، و a في هذه الصيغة قيمة ثابتة (a = const). في مثال الحلوى لدينا ، السعر ثابت وثابت. فهو لا يزيد ولا ينقص مهما كان عدد الحلويات التي تقرر شرائها. المتغير المستقل (الوسيطة) x هو عدد كيلوغرامات الحلوى التي ستشتريها. والمتغير التابع f (x) (الوظيفة) هو مقدار الأموال التي تدفعها في نهاية المطاف مقابل الشراء. لذا يمكننا التعويض بالأرقام في الصيغة والحصول على: 600 r. = 300 ص. * 2 كجم.

الاستنتاج الوسيط هو: إذا زادت الوسيطة ، تزداد الوظيفة أيضًا ، إذا انخفضت الوسيطة ، تنخفض الوظيفة أيضًا

الوظيفة وخصائصها

دالة تناسبية مباشرةحالة خاصة دالة خطية. إذا كانت الدالة الخطية y = k * x + b ، فإن التناسب المباشر يبدو كالتالي: y = k * x ، حيث يسمى k عامل التناسب ، وهذا دائمًا رقم غير صفري. يعد حساب k أمرًا سهلاً - فهو موجود على هيئة حاصل قسمة دالة ووسيطة: k = y / x.

لتوضيح الأمر ، دعنا نأخذ مثالًا آخر. تخيل أن سيارة تتحرك من النقطة أ إلى النقطة ب. سرعتها 60 كم / ساعة. إذا افترضنا أن سرعة الحركة تظل ثابتة ، فيمكن اعتبارها ثابتة. ثم نكتب الشروط بالصيغة: S \ u003d 60 * t ، وهذه الصيغة تشبه دالة التناسب المباشر y \ u003d k * x. دعنا نرسم توازيًا إضافيًا: إذا كان k \ u003d y / x ، فيمكن حساب سرعة السيارة ، مع معرفة المسافة بين A و B والوقت الذي يقضيه على الطريق: V \ u003d S / t.

والآن ، من التطبيق التطبيقي للمعرفة حول التناسب المباشر ، دعنا نعود إلى وظيفتها. وتشمل خصائصها:

مجال تعريفه هو مجموعة الكل أرقام حقيقية(بالإضافة إلى مجموعاتها الفرعية) ؛

الوظيفة غريبة

التغيير في المتغيرات يتناسب طرديا مع الطول الكامل لخط الأعداد.

التناسب المباشر ورسمه البياني

الرسم البياني لوظيفة تناسبية مباشرة هو خط مستقيم يتقاطع مع نقطة الأصل. لإنشائه ، يكفي تحديد نقطة واحدة فقط. وربطه بأصل الخط.

في حالة الرسم البياني ، k هو الميل. إذا كان المنحدر أقل من الصفر(ك< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0) ، يشكل الرسم البياني والمحور x زاوية حادة ، وتتزايد الدالة.

وهناك خاصية أخرى للرسم البياني لدالة التناسب المباشر مرتبطة ارتباطًا مباشرًا بالمنحدر k. افترض أن لدينا وظيفتين غير متطابقتين ، وبالتالي ، رسمان بيانيان. لذلك ، إذا كانت المعامِلات k لهذه الدوال متساوية ، فإن رسومها البيانية تكون متوازية على محور الإحداثيات. وإذا كانت المعامِلات k لا تساوي بعضها البعض ، فإن الرسوم البيانية تتقاطع.

أمثلة المهام

دعونا نقرر الزوجين مشاكل التناسب المباشر

لنبدأ ببساطة.

المهمة 1: تخيل أن 5 دجاجات وضعت 5 بيضات في 5 أيام. وإذا كان هناك 20 دجاجة ، فكم عدد البيض الذي ستضعه في 20 يومًا؟

الحل: يشير إلى المجهول بـ x. وسوف نجادل على النحو التالي: كم مرة كان هناك المزيد من الدجاج؟ قسّم 20 على 5 واكتشف ذلك 4 مرات. وكم مرة ستضع 20 دجاجة بيضة في نفس الأيام الخمسة؟ أيضا 4 مرات أكثر. لذلك ، نجد لدينا مثل هذا: 5 * 4 * 4 \ u003d سيتم وضع 80 بيضة بواسطة 20 دجاجة في 20 يومًا.

الآن المثال أكثر تعقيدًا ، دعنا نعيد صياغة المشكلة من "الحساب العام" لنيوتن. المهمة 2: يمكن للكاتب أن يكتب 14 صفحة من كتاب جديد في 8 أيام. إذا كان لديه مساعدين ، فكم عدد الأشخاص الذين سيتطلبون كتابة 420 صفحة في 12 يومًا؟

الحل: نعتقد أن عدد الأشخاص (كاتب + مساعدين) يزداد مع زيادة حجم العمل إذا كان يجب القيام به في نفس الفترة الزمنية. لكن كم مرة؟ بقسمة 420 على 14 ، نجد أنها تزيد بمقدار 30 مرة. ولكن نظرًا لأنه ، وفقًا لظروف المهمة ، يتم منح المزيد من الوقت للعمل ، لا يزيد عدد المساعدين بمقدار 30 مرة ، ولكن بهذه الطريقة: x \ u003d 1 (كاتب) * 30 (مرات): 12/8 (أيام). دعنا نحول ونكتشف أن x = 20 شخصًا سيكتبون 420 صفحة في 12 يومًا.

لنحل مشكلة أخرى مشابهة لتلك التي لدينا في الأمثلة.

المهمة 3: انطلقت سيارتان في نفس الرحلة. كان أحدهما يتحرك بسرعة 70 كم / ساعة وقطعت نفس المسافة في ساعتين مثل الأخرى في 7 ساعات. أوجد سرعة السيارة الثانية.

الحل: كما تتذكر ، يتم تحديد المسار من خلال السرعة والوقت - S = V * t. نظرًا لأن كلتا السيارتين تسير بنفس الطريقة ، فيمكننا مساواة التعبيرين: 70 * 2 = V * 7. أين نجد أن سرعة السيارة الثانية هي V = 70 * 2/7 = 20 كم / ساعة.

وزوج من الأمثلة على المهام ذات وظائف التناسب المباشر. في بعض الأحيان في المشاكل ، يلزم إيجاد المعامل k.

المهمة 4: بالنظر إلى الدالات y \ u003d - x / 16 و y \ u003d 5x / 2 ، حدد معاملات التناسب.

الحل: كما تتذكر ، k = y / x. ومن ثم ، بالنسبة للدالة الأولى ، يكون المعامل هو -1/16 ، وللحالة الثانية ، k = 5/2.

وقد تصادف أيضًا مهمة مثل المهمة 5: اكتب صيغة التناسب المباشر. يقع الرسم البياني والرسم البياني للوظيفة y \ u003d -5x + 3 على التوازي.

الحل: الوظيفة المعطاة لنا في الشرط خطية. نحن نعلم أن التناسب المباشر هو حالة خاصة للدالة الخطية. ونعلم أيضًا أنه إذا تساوت معاملات k ، فإن التمثيلات البيانية لها تكون متوازية. هذا يعني أن كل ما هو مطلوب هو حساب معامل دالة معروفة وتعيين التناسب المباشر باستخدام الصيغة المألوفة: y \ u003d k * x. المعامل k \ u003d -5 ، التناسب المباشر: y \ u003d -5 * x.

خاتمة

لقد تعلمت الآن (أو تذكرت ، إذا كنت قد غطت هذا الموضوع بالفعل من قبل) ، ما يسمى التناسب المباشرواعتبرته أمثلة. تحدثنا أيضًا عن دالة التناسب المباشر ورسمها البياني ، وحلنا بعض المشكلات على سبيل المثال.

إذا كانت هذه المقالة مفيدة وساعدت في فهم الموضوع ، فأخبرنا عنها في التعليقات. حتى نعرف ما إذا كان بإمكاننا الاستفادة منك.

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

I. القيم النسبية المباشرة.

دع القيمة ذيعتمد على الحجم X. إذا مع زيادة Xعدة أضعاف الحجم فييزيد بنفس العامل ، ثم هذه القيم Xو فيتسمى نسبيًا مباشرًا.

أمثلة.

1 . كمية البضائع المشتراة وتكلفة الشراء (بسعر ثابت لوحدة واحدة من البضائع - قطعة واحدة أو 1 كجم ، إلخ.) كم عدد المرات التي تم فيها شراء البضائع ، مرات أكثر ودفع الثمن.

2 . المسافة المقطوعة والوقت الذي تقضيه فيه (بسرعة ثابتة). كم مرة طريق أطول، الكثير من الوقت لتجاوزه.

3 . حجم الجسم وكتلته. ( إذا كانت حبة بطيخة أكبر مرتين من الأخرى ، فإن كتلتها ستكون أكبر بمرتين)

ثانيًا. خاصية التناسب المباشر للكميات.

إذا كانت كميتان متناسبتان بشكل مباشر ، فإن نسبة القيمتين التعسفيتين للكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المناظرتين للكمية الثانية.

مهمة 1.ل مربى التوتأخذ 12 كجمالتوت و 8 كجمالصحراء. ما هي كمية السكر المطلوبة إذا تم تناولها 9 كجمتوت العليق؟

حل.

نحن نتجادل على هذا النحو: فليكن ذلك ضروريًا × كجمالسكر 9 كجمتوت العليق. تتناسب كتلة التوت وكتلة السكر بشكل مباشر: كم مرة أقل من توت العليق ، هناك حاجة إلى نفس الكمية من السكر. لذلك ، فإن نسبة توت العليق (بالوزن) ( 12:9 ) ستكون مساوية لنسبة السكر المأخوذ ( 8: س). نحصل على النسبة:

12: 9=8: X ؛

س = 9 · 8: 12;

س = 6. إجابة:على 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.

حل المشكلةكان من الممكن القيام به على هذا النحو:

تساهل 9 كجمالتوت لاتخاذ × كجمالصحراء.

(الأسهم الموجودة في الشكل موجهة في اتجاه واحد ، ولا يهم لأعلى أو لأسفل. المعنى: كم مرة الرقم 12 رقم أكثر 9 ، نفس العدد 8 رقم أكثر X، أي أن هناك تبعية مباشرة هنا).

إجابة:على 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.

المهمة 2.سيارة ل 3 ساعاتالمسافة المقطوعة 264 كم. كم من الوقت سيستغرقه 440 كمإذا كان يسافر بنفس السرعة؟

حل.

اسمحوا ل x ساعةستغطي السيارة المسافة 440 كم.

إجابة:سوف تمر السيارة 440 كم في 5 ساعات.

المهمة 3.يدخل الماء إلى البركة من الأنبوب. خلف ساعاتينتملأ 1/5 حمام سباحة. أي جزء من البركة مملوء بالماء الساعة 5?

حل.

نجيب على سؤال المهمة: ل الساعة 5يملأ 1 / سجزء من البركة. (يتم أخذ البركة كلها ككل واحد).

I. القيم النسبية المباشرة.

أمثلة.

2 . المسافة المقطوعة والوقت الذي تقضيه فيه (بسرعة ثابتة). كم مرة أطول المسار ، وكم مرة سنقضي الوقت على ذلك.

3 . حجم الجسم وكتلته. ( إذا كانت حبة بطيخة أكبر مرتين من الأخرى ، فإن كتلتها ستكون أكبر بمرتين)

ثانيًا. خاصية التناسب المباشر للكميات.

مهمة 1.لمربى التوت 12 كجمالتوت و 8 كجمالصحراء. ما هي كمية السكر المطلوبة إذا تم تناولها 9 كجمتوت العليق؟

حل.

12: 9=8: X ؛

س = 9 · 8: 12;

س = 6. إجابة:على 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.

حل المشكلةكان من الممكن القيام به على هذا النحو:

تساهل 9 كجمالتوت لاتخاذ × كجمالصحراء.

إجابة:على 9 كجمالتوت لاتخاذ 6 كجمالصحراء.

المهمة 2.سيارة ل 3 ساعاتالمسافة المقطوعة 264 كم. كم من الوقت سيستغرقه 440 كمإذا كان يسافر بنفس السرعة؟

حل.

اسمحوا ل x ساعةستغطي السيارة المسافة 440 كم.

إجابة:سوف تمر السيارة 440 كم في 5 ساعات.

مثال

1.6 / 2 = 0.8 ؛ 4/5 = 0.8 ؛ 5.6 / 7 = 0.8 إلخ.

عامل التناسب

تسمى النسبة الثابتة للكميات المتناسبة معامل التناسب. يوضح معامل التناسب عدد الوحدات من كمية ما تقع على وحدة من أخرى.

التناسب المباشر

التناسب المباشر- الاعتماد الوظيفي ، حيث تعتمد كمية معينة على كمية أخرى بحيث تظل نسبتها ثابتة. بمعنى آخر ، هذه المتغيرات تتغير بشكل متناسب، في حصص متساوية ، أي إذا تغيرت الوسيطة مرتين في أي اتجاه ، فإن الوظيفة تتغير أيضًا مرتين في نفس الاتجاه.

رياضيا ، التناسب المباشر مكتوب كصيغة:

F(x) = أx,أ = جانسر