Където x и къде y в координатите. Какво е координатна система? Приложение на координатните системи в геодезията

Ако сте в някаква нулева точка и мислите колко единици разстояние ви трябват, за да отидете право напред и след това право надясно, за да стигнете до друга точка, тогава вече използвате правоъгълна декартова координатна система в равнината. И ако точката е над равнината, на която стоите, и изкачването до точката по стълбите строго нагоре също с определен брой единици разстояние се добавя към вашите изчисления, тогава вече използвате правоъгълна декартова координатна система в космоса.

Подредена система от две или три пресичащи се оси, перпендикулярни една на друга с общо начало (начало) и обща единица за дължина, се нарича правоъгълна декартова координатна система .

Името на френския математик Рене Декарт (1596-1662) се свързва преди всичко с такава координатна система, в която една обща единица за дължина се измерва по всички оси и осите са прави. Освен правоъгълни, има обща декартова координатна система (афинна координатна система). Може също така да включва не непременно перпендикулярни оси. Ако осите са перпендикулярни, тогава координатната система е правоъгълна.

Правоъгълна декартова координатна система на равнината има две оси правоъгълна декартова координатна система в пространството - три оси. Всяка точка на равнината или в пространството се определя от подреден набор от координати - числа в съответствие с единичната дължина на координатната система.

Имайте предвид, че както следва от определението, има декартова координатна система на права линия, тоест в едно измерение. Въвеждането на декартови координати на права линия е един от начините, по който на всяка точка от права линия се приписва точно определено реално число, тоест координата.

Методът на координатите, възникнал в трудовете на Рене Декарт, бележи революционно преструктуриране на цялата математика. Стана възможно да се интерпретират алгебрични уравнения (или неравенства) под формата на геометрични изображения (графики) и, обратно, да се търси решение на геометрични проблеми с помощта на аналитични формули, системи от уравнения. Да, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyи разположен над тази равнина с 3 единици.

С помощта на декартовата координатна система принадлежността на точка към дадена крива съответства на това, че числата хи гудовлетворяват някакво уравнение. И така, координатите на точка от окръжност с център в дадена точка ( а; b) отговарят на уравнението (х - а)² + ( г - b)² = Р² .

Правоъгълна декартова координатна система на равнината

Образуват две перпендикулярни оси на равнина с общо начало и еднаква мащабна единица Декартова координатна система на равнината . Една от тези оси се нарича ос вол, или ос х , другата - оста Ой, или у-ос . Тези оси се наричат ​​още координатни оси. Означаваме с Мхи Мгсъответно проекцията на произволна точка Мна ос воли Ой. Как да получите прогнози? Преминете през точката М вол. Тази права пресича оста волв точката Мх. Преминете през точката Мправа линия, перпендикулярна на оста Ой. Тази права пресича оста Ойв точката Мг. Това е показано на фигурата по-долу.

хи гточки Мще наричаме съответно големините на насочените отсечки ОМхи ОМг. Стойностите на тези насочени сегменти се изчисляват съответно като х = х0 - 0 и г = г0 - 0 . Декартови координати хи гточки М абсцисата и ордината . Фактът, че точката Мима координати хи г, се обозначава по следния начин: М(х, г) .

Координатните оси разделят равнината на четири квадрант , чиято номерация е показана на фигурата по-долу. Показва и подредбата на знаците за координатите на точките в зависимост от разположението им в един или друг квадрант.

В допълнение към декартовите правоъгълни координати в равнината често се разглежда и полярната координатна система. За метода на преход от една координатна система към друга - в урока полярна координатна система .

Правоъгълна декартова координатна система в пространството

Декартовите координати в пространството се въвеждат в пълна аналогия с декартовите координати в равнина.

Три взаимно перпендикулярни оси в пространството (координатни оси) с общо начало Ои същата форма на мащабна единица Декартова правоъгълна координатна система в пространството .

Една от тези оси се нарича ос вол, или ос х , другата - оста Ой, или у-ос , трета - ос Оз, или приложна ос . Позволявам Мх, Мг Мz- проекции на произволна точка Мпространства по оста вол , Ойи Озсъответно.

Преминете през точката М волволв точката Мх. Преминете през точката Мравнина, перпендикулярна на оста Ой. Тази равнина пресича оста Ойв точката Мг. Преминете през точката Мравнина, перпендикулярна на оста Оз. Тази равнина пресича оста Озв точката Мz.

Декартови правоъгълни координати х , ги zточки Мще наричаме съответно големините на насочените отсечки ОМх, ОМги ОМz. Стойностите на тези насочени сегменти се изчисляват съответно като х = х0 - 0 , г = г0 - 0 и z = z0 - 0 .

Декартови координати х , ги zточки Мсе наименуват съответно абсцисата , ордината и апликация .

Взети по двойки, координатните оси са разположени в координатните равнини xOy , yOzи zOx .

Задачи за точки в декартовата координатна система

Пример 1

А(2; -3) ;

б(3; -1) ;

° С(-5; 1) .

Намерете координатите на проекциите на тези точки върху оста x.

Решение. Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста x се намира на самата ос x, т.е. вол, и следователно има абциса, равна на абсцисата на самата точка, и ордината (координата на оста Ой, която оста x пресича в точка 0), равна на нула. Така че получаваме следните координати на тези точки по оста x:

Аx(2;0);

бx(3;0);

° Сx(-5;0).

Пример 2Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(-3; 2) ;

б(-5; 1) ;

° С(3; -2) .

Намерете координатите на проекциите на тези точки върху оста y.

Решение. Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста y се намира на самата ос y, т.е. Ой, и следователно има ордината, равна на ординатата на самата точка, и абсциса (координатата на оста вол, която оста y пресича в точка 0), равна на нула. Така че получаваме следните координати на тези точки по оста y:

Аy(0; 2);

бy (0; 1);

° Сy(0;-2).

Пример 3Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(2; 3) ;

б(-3; 2) ;

° С(-1; -1) .

вол .

вол вол вол, ще има същата абциса като дадената точка и ординатата, равна по абсолютна стойност на ординатата на дадената точка и противоположна по знак на нея. Така че получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки спрямо оста вол :

а"(2; -3) ;

Б"(-3; -2) ;

° С"(-1; 1) .

Пример 4Определете в кои квадранти (четвърти, фигура с квадранти - в края на параграфа "Правоъгълна декартова координатна система в равнината") може да бъде разположена точката М(х; г) , ако

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) х − г = 0 ;

4) х + г = 0 ;

5) х + г > 0 ;

6) х + г < 0 ;

7) х − г > 0 ;

8) х − г < 0 .

Пример 5Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(-2; 5) ;

б(3; -5) ;

° С(а; b) .

Намерете координатите на точки, симетрични на тези точки спрямо оста Ой .

Продължаваме да решаваме проблемите заедно

Пример 6Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(-1; 2) ;

б(3; -1) ;

° С(-2; -2) .

Намерете координатите на точки, симетрични на тези точки спрямо оста Ой .

Решение. Завъртане на 180 градуса около оста Ойнасочена отсечка от ос Ойдо този момент. На фигурата, където са посочени квадрантите на равнината, виждаме, че точката, симетрична на дадената по отношение на оста Ой, ще има същата ордината като дадената точка и абциса, равна по абсолютна стойност на абсцисата на дадената точка и противоположна по знак на нея. Така че получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки спрямо оста Ой :

а"(1; 2) ;

Б"(-3; -1) ;

° С"(2; -2) .

Пример 7Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(3; 3) ;

б(2; -4) ;

° С(-2; 1) .

Намерете координатите на точки, които са симетрични на тези точки по отношение на началото.

Решение. Завъртаме на 180 градуса около началото на насочената отсечка, преминаваща от началото до дадената точка. На фигурата, където са посочени квадрантите на равнината, виждаме, че точка, симетрична на дадена по отношение на началото на координатите, ще има абциса и ордината, равни по абсолютна стойност на абсцисата и ординатата на дадената точка , но противоположни по знак на тях. Така че получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки по отношение на произхода:

а"(-3; -3) ;

Б"(-2; 4) ;

° С(2; -1) .

Пример 8

А(4; 3; 5) ;

б(-3; 2; 1) ;

° С(2; -3; 0) .

Намерете координатите на проекциите на тези точки:

1) в самолет Окси ;

2) до самолета Oxz ;

3) до самолета Ойз ;

4) по абсцисната ос;

5) по оста y;

6) по оста на апликацията.

1) Проекция на точка върху равнина Оксиразположен на самата тази равнина и следователно има абциса и ордината, равни на абсцисата и ординатата на дадената точка, и апликат, равен на нула. Така че получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Окси :

Аxy(4;3;0);

бxy (-3; 2; 0);

° Сxy(2;-3;0).

2) Проекция на точка върху равнина Oxzразположен на самата тази равнина и следователно има абциса и апликат, равни на абсцисата и апликат на дадената точка, и ордината, равна на нула. Така че получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Oxz :

Аxz (4; 0; 5);

бxz (-3; 0; 1);

° Сxz(2;0;0).

3) Проекция на точка върху равнина Ойзразположен на самата тази равнина и следователно има ордината и апликат, равни на ординатата и апликата на дадена точка, и абциса, равна на нула. Така че получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Ойз :

Аyz (0; 3; 5);

бyz (0; 2; 1);

° Сyz(0;-3;0).

4) Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста x се намира на самата ос x, т.е. вол, и следователно има абциса, равна на абсцисата на самата точка, а ординатата и апликата на проекцията са равни на нула (тъй като ординатната и апликативната ос пресичат абсцисата в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху оста x:

Аx(4;0;0);

бx(-3;0;0);

° Сx(2;0;0).

5) Проекцията на точка върху оста y се намира върху самата ос y, т.е. Ой, и следователно има ордината, равна на ординатата на самата точка, а абсцисата и апликата на проекцията са равни на нула (тъй като абсцисната и апликативната ос пресичат ординатната ос в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху оста y:

Аy(0;3;0);

бy(0;2;0);

° Сy(0;-3;0).

6) Проекцията на точка върху оста на приложението се намира върху самата ос на приложението, т.е. Оз, и следователно има апликат, равен на апликата на самата точка, а абсцисата и ординатата на проекцията са равни на нула (тъй като абсцисната и ординатната оси пресичат апликативната ос в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху оста на приложението:

Аz(0; 0; 5);

бz(0;0;1);

° Сz(0; 0; 0).

Пример 9Точките са дадени в декартовата координатна система в пространството

А(2; 3; 1) ;

б(5; -3; 2) ;

° С(-3; 2; -1) .

Намерете координатите на точки, които са симетрични на тези точки по отношение на:

1) самолет Окси ;

2) самолет Oxz ;

3) самолет Ойз ;

4) абсцисната ос;

5) у-ос;

6) ос на апликацията;

7) произхода на координатите.

1) „Преместете“ точката от другата страна на оста Окси Окси, ще има абсциса и ордината, равни на абсцисата и ординатата на дадената точка, и апликат, равен по величина на апликата на дадената точка, но противоположен по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Окси :

а"(2; 3; -1) ;

Б"(5; -3; -2) ;

° С"(-3; 2; 1) .

2) „Преместете“ точката от другата страна на оста Oxzза същото разстояние. Според фигурата, изобразяваща координатното пространство, виждаме, че точката, симетрична на дадената по отношение на оста Oxz, ще има абсциса и апликат, равни на абсцисата и апликат на дадената точка, и ордината, равна по величина на ординатата на дадената точка, но противоположна по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Oxz :

а"(2; -3; 1) ;

Б"(5; 3; 2) ;

° С"(-3; -2; -1) .

3) „Преместете“ точката от другата страна на оста Ойзза същото разстояние. Според фигурата, изобразяваща координатното пространство, виждаме, че точката, симетрична на дадената по отношение на оста Ойз, ще има ордината и апликат, равни на ординатата и апликата на дадената точка, и абсциса, равна по величина на абсцисата на дадената точка, но противоположна по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Ойз :

а"(-2; 3; 1) ;

Б"(-5; -3; 2) ;

° С"(3; 2; -1) .

По аналогия със симетричните точки на равнината и точките в пространството, симетрични на данните по отношение на равнините, отбелязваме, че в случай на симетрия спрямо някаква ос на декартовата координатна система в пространството, координатата на оста, спрямо която е зададена симетрията ще запази знака си, а координатите по другите две оси ще бъдат еднакви по абсолютна стойност с координатите на дадената точка, но противоположни по знак.

4) Абсцисата ще запази знака си, докато ординатата и апликата ще сменят знака си. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за оста x:

а"(2; -3; -1) ;

Б"(5; 3; -2) ;

° С"(-3; -2; 1) .

5) Ординатата ще запази знака си, докато абсцисата и апликата ще сменят знака. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за оста y:

а"(-2; 3; -1) ;

Б"(-5; -3; -2) ;

° С"(3; 2; 1) .

6) Приложението ще запази знака си, а абсцисата и ординатата ще сменят знака си. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за приложената ос:

а"(-2; -3; 1) ;

Б"(-5; 3; 2) ;

° С"(3; -2; -1) .

7) По аналогия със симетрията в случай на точки в равнина, в случай на симетрия относно началото, всички координати на точка, симетрична на дадена, ще бъдат равни по абсолютна стойност на координатите на дадена точка, но срещуположни в знак за тях. И така, получаваме следните координати на точки, които са симетрични на данните по отношение на началото.

За да зададете декартова правоъгълна координатна система, трябва да изберете няколко взаимно перпендикулярни линии, наречени оси. Пресечната точка на осите O се нарича начало.

На всяка ос трябва да зададете положителна посока и да изберете мащабна единица. Координатите на точката P се считат за положителни или отрицателни, в зависимост от това върху коя полуос попада проекцията на точката P.

Декартови правоъгълни координати на точка P на повърхността двевзаимно перпендикулярни линии - координатни оси или, което е същото, проекции на радиус вектора r P точки върху две

Когато говорим за двумерна координатна система, хоризонталната ос се нарича ос абсцисата(Ox ос), вертикална ос - ос ордината(ос Oy). Положителните посоки се избират по оста Ox - надясно, по оста Oy - нагоре. Координатите x и y се наричат ​​съответно абсциса и ордината на точката.

Означението P(a,b) означава, че точката P на равнината има абсцисата a и ординатата b.

Декартови правоъгълни координатиточки П в 3D пространствотосе наричат ​​взети с определен знак на разстоянието (изразено в мащабни единици) на тази точка до тривзаимно перпендикулярни координатни равнини или, което е същото, проекции на радиус вектора r P точки върху тривзаимно перпендикулярни координатни оси.

В зависимост от взаимното разположение на положителните посоки на координатните оси, налявои точнокоординатни системи.

Ориз. 3а	Ориз. 3б

Като правило използвайте правилната координатна система. Избират се положителни посоки: по оста Ох - към наблюдателя; по оста Oy - надясно; по оста Oz - нагоре. Координатите x, y, z се наричат ​​съответно абциса, ордината и апликат.

Координатните повърхности, за които една от координатите остава постоянна, са равнини, успоредни на координатните равнини, а координатните линии, по които се променя само една координата, са прави линии, успоредни на координатните оси. Координатните повърхнини се пресичат по координатните прави.

Записването на P(a,b,c) означава, че точка Q има абциса a, ордината b и апликация c.

Нека поемем по пряк логичен път, без да се разсейваме от много съвременни международни и местни научни термини. Координатната система може да се изобрази като определена референтна система, ориентирана в равнината в две посоки, а в пространството - в три. Ако си припомним математическата система, тогава тя е представена от две взаимно перпендикулярни посоки, които имат имената на абсцисната (X) и ординатната (Y) оси. Те са ориентирани съответно в хоризонтална и вертикална посока. Пресечната точка на тези линии е началото с нулеви стойности в абсолютна стойност. И местоположението на точките в равнината се определя с помощта на две координати X и Y. В геодезията ориентацията на осите в равнината е различна от математиката. Равнинната правоъгълна система се определя от оста X във вертикална позиция (посока на север) и оста Y в хоризонтална позиция (посока на изток).

Класификация на координатните системи

В геодезията всички координатни системи могат да бъдат представени като две групи:

• праволинеен правоъгълен
• полярен

И в двете групи се разграничават както плоски (двуизмерни), така и пространствени (триизмерни) системи.

Правоъгълните правоъгълни системи включват цилиндрична проекция на Гаус-Крюгер, индивидуални референтни и локални координатни системи.

Полярните системи включват географски, астрономически и геодезични, геоцентрични и топоцентрични системи.

Географска координатна система

Затворената повърхност на външния контур на Земята е представена от сфероидна геометрична форма. Дъгите върху повърхността на топката могат да се приемат като основни посоки на ориентация върху нея. На опростено представяне на намален модел на нашата планета под формата на глобус (фигурата на земята) можете визуално да видите приетите референтни линии под формата на меридиана на Гринуич и екваториалната линия.

В този пример това е пространствената система от географски координати, която е общоприета в целия свят. Той въвежда понятията географска дължина и ширина. Имайки градусни мерни единици, те представляват ъглова стойност. Много са запознати с техните определения. Трябва да се припомни, че географската дължина на определена точка представлява ъгълът между две равнини, минаващи през нулевия (Гринуич) меридиан и меридиана на определяното местоположение. Под географската ширина на точка се приема ъгълът, образуван между отвеса (или нормалата) към нея и равнината на екватора.

Понятията астрономически и геодезически координатни системи и техните различия

Географската система условно съчетава астрономическата и геодезическата система. За да разберете какви разлики все още съществуват, обърнете внимание на дефинициите на геодезически и астрономически координати (дължина, ширина, височина). В астрономическата система географската ширина се счита за ъгъла между екваториалната равнина и отвеса в точката на дефиниране. И самата форма на Земята в него се разглежда като условен геоид, математически приблизително приравнен на сфера. В геодезическата система географската ширина се образува от нормалата към повърхността на земния елипсоид в определена точка и от равнината на екватора. Третите координати в тези системи дават окончателната представа за техните различия. Астрономическата (ортометрична) височина е надморската височина по отвесната линия между действителната височина и точка от повърхността на хоризонталния геоид. Геодезическата височина е нормалното разстояние от повърхността на елипсоида до изчислителната точка.

Гаус-Крюгер равнинна правоъгълна координатна система

Всяка координатна система има свое собствено теоретично научно и практическо икономическо приложение, както в глобален, така и в регионален план. В някои специфични случаи е възможно да се използват референтни, локални и условни координатни системи, но които чрез математически изчисления и изчисления все още могат да се комбинират помежду си.

Геодезическата правоъгълна равнинна координатна система е проекция на отделните шестстепенни зони на елипсоида. Чрез вписване на тази фигура в хоризонтално разположен цилиндър всяка зона се проектира отделно върху вътрешната цилиндрична повърхност. Зоните на такъв сфероид са ограничени от меридиани със стъпка от шест градуса. При разполагане на самолет се получава проекция, която е кръстена на немските учени, които са я разработили Гаус-Крюгер. При този начин на проектиране ъглите между всички посоки запазват своите величини. Следователно понякога се нарича също равноъгълен. Абсцисната ос в зоната минава през центъра, през условния аксиален меридиан (ос X), а ординатната ос по линията на екватора (ос Y). Дължината на линиите по аксиалния меридиан се предава без изкривяване, а по екваториалната линия с изкривяване до краищата на зоната.

Полярна координатна система

В допълнение към описаната по-горе правоъгълна координатна система трябва да се отбележи наличието и използването на равнинна полярна координатна система при решаване на геодезически задачи. За първоначална референтна посока той използва оста на северната (полярна) посока, откъдето идва и името. За да се определи местоположението на точките в равнината, се използват полярният (насочен) ъгъл и радиус-векторът (хоризонталното разстояние) до точката. Спомнете си, че дирекционният ъгъл е ъгълът, измерен от първоначалната (северна) посока към определената. Радиус векторът се изразява в дефиницията на хоризонтално разстояние. Геодезически измервания на вертикален ъгъл и наклонено разстояние се добавят към пространствената полярна система, за да се определи 3D позицията на точките. Този метод се използва почти ежедневно при тригонометрична нивелация, топографски проучвания и за разработване на геодезически мрежи.

Геоцентрични и топоцентрични координатни системи

Сателитните геоцентрични и топоцентрични координатни системи са частично подредени по един и същ полярен метод, с единствената разлика, че главните оси на триизмерното пространство (X, Y, Z) имат различен произход и посоки. В геоцентричната система началото на координатите е центърът на масата на Земята. Оста X е насочена по Гринуичкия меридиан към екватора. Оста Y е поставена в правоъгълна позиция на изток от X. Оста Z първоначално има полярна посока по малката ос на елипсоида. Координатите му са:

• в екваториалната равнина геоцентричното право изкачване на спътника
• в равнината на меридиана геоцентричната деклинация на спътника
• геоцентричният радиус-вектор е разстоянието от центъра на тежестта на Земята до спътника.

При наблюдение на движението на спътниците от точка на стоене на земната повърхност се използва топоцентрична система, чиито координатни оси са успоредни на осите на геоцентричната система, а точката на наблюдение се счита за нейно начало. Координати в такава система:

• топоцентричен спътник за право изкачване
• топоцентрична сателитна деклинация
• топоцентричен радиус вектор на спътника
• геоцентричен радиус-вектор в точката на наблюдение.

Съвременните сателитни глобални референтни системи WGS-84, PZ-90 включват не само координати, но и други параметри и характеристики, важни за геодезическите измервания, наблюдения и навигация. Те включват геодезически и други константи:

• оригинални геодезически дати
• данни за земния елипсоид
• геоиден модел
• модел на гравитационно поле
• стойности на гравитационната константа
• стойност на скоростта на светлината и други.

Всеки съвременен човек трябва да знае какво е координатна система. Всеки ден се сблъскваме с такива системи, без дори да се замисляме какви са те. Веднъж в училище научихме основни понятия, приблизително знаем, че има ос x, ос y и референтна точка, равна на нула. Всъщност всичко е много по-сложно, има няколко разновидности на координатни системи. В статията ще разгледаме подробно всеки от тях, а също така ще дадем подробно описание къде и защо се използват.

Определение и обхват

Координатната система е набор от дефиниции, които определят позицията на тяло или точка с помощта на числа или други символи. Наборът от числа, които определят местоположението на определена точка, се нарича координати на тази точка. Координатните системи се използват в много области на науката, например в математиката координатите са набор от числа, които са свързани с точки в някаква карта на предварително определен атлас. В геометрията координатите са величини, които определят местоположението на точка в пространството и в равнина. В географията координатите означават географска ширина, дължина и надморска височина над общото ниво на морето, океана или друга известна стойност. В астрономията координатите са величини, които правят възможно определянето на позицията на звезда, като деклинация и право изкачване. Това не е пълен списък на местата, където се използват координатни системи. Ако смятате, че тези концепции са далеч от хора, които не се интересуват от наука, тогава вярвайте, че в ежедневието те са много по-често срещани, отколкото си мислите. Вземете поне карта на града, защо нямате координатна система?

След като се справихме с определението, нека да разгледаме какви видове координатни системи съществуват и какви са те.

Зонална координатна система

Тази координатна система се използва главно за различни хоризонтални проучвания и изготвяне на надеждни теренни планове. Основава се на конформната напречно-цилиндрична проекция на Гаус. В тази проекция цялата повърхност на земния геоид е разделена от меридиани на 6-градусови зони и номерирани от 1 до 60 на изток от Гринуичкия меридиан. В този случай средният меридиан на тази зона с 6 въглища се нарича аксиален. Обичайно е да се комбинира с вътрешната повърхност на цилиндъра и да се счита за абсцисната ос. За да се избегнат отрицателни стойности на ординатите (y), ординатата на аксиалния меридиан (началната референтна точка) се приема не като нула, а като 500 km, т.е. тя се премества на 500 km на запад. Преди ординатата трябва да се посочи номерът на зоната.

Координатна система на Гаус-Крюгер

Тази координатна система се основава на проекцията, предложена от известния немски учен Гаус и разработена за използване в геодезията от Крюгер. Същността на тази проекция е, че земната сфера е условно разделена от меридиани на шестградусови зони. Зоните са номерирани от Гринуичкия меридиан от запад на изток. Познавайки номера на зоната, можете лесно да определите средния меридиан, наречен аксиален меридиан, като използвате формулата Z = 60(n) - 3, където (n) е номерът на зоната. За всяка зона се прави плоско изображение чрез проектирането му върху страничната повърхност на цилиндър, чиято ос е перпендикулярна на земната ос. След това този цилиндър се разгръща стъпка по стъпка върху самолета. Екваторът и централния меридиан са показани като прави линии. Абсцисната ос във всяка зона е аксиалният меридиан, а екваторът действа като ординатна ос. Началната референтна точка е точката на пресичане на екватора и аксиалния меридиан. Абсцисите се отчитат на север от екватора само със знак плюс, а на юг от екватора само със знак минус.

Полярна координатна система на самолета

Това е двумерна координатна система, всяка точка в която се определя в равнината с две числа - полярния радиус и полярния ъгъл. Полярната координатна система е полезна, когато връзките между точките са по-лесни за представяне като ъгли и радиуси. Полярната координатна система се определя от лъч, наречен полярна или нулева ос. Точката, от която излиза този лъч, се нарича полюс или начало. Произволна точка на равнината се определя само от две полярни координати: ъглова и радиална. Радиалната координата е равна на разстоянието от точката до началото на координатната система. Ъгловата координата е равна на ъгъла, под който е необходимо да се завърти полярната ос обратно на часовниковата стрелка, за да се стигне до точката.

Правоъгълна координатна система

Какво е правоъгълна координатна система, вероятно знаете от училищната скамейка, но все пак нека си припомним още веднъж. Правоъгълна координатна система е такава праволинейна система, в която осите са разположени в пространството или в равнина и са взаимно перпендикулярни една на друга. Това е най-простата и често използвана координатна система. Тя може да бъде директно и доста лесно обобщена за пространства с всякакви измерения, което също допринася за нейното най-широко приложение. Позицията на точка в равнината се определя от две координати - x и y, съответно има абсцисна и ординатна ос.

Декартова координатна система

Обяснявайки какво е декартова координатна система, на първо място трябва да се каже, че това е специален случай на правоъгълна координатна система, в която едни и същи мащаби са зададени по осите. В математиката най-често се разглежда двумерната или тримерната декартова координатна система. Координатите се означават с латинските букви x, y, z и се наричат ​​съответно абсциса, ордината и апликат. Координатната ос (OX) обикновено се нарича ос на абсцисата, оста (OY) е оста y, а оста (OZ) е оста на приложението.

Сега знаете какво е координатна система, какви са те и къде се използват.

Правоъгълна координатна система- праволинейна координатна система с взаимно перпендикулярни оси в равнина или в пространството. Най-простата и следователно най-често използваната координатна система. Обобщава се много лесно и директно в пространства от всякакви измерения, което също допринася за широкото му приложение.

Свързани термини: картезианскиобикновено се нарича правоъгълна координатна система с еднакъв мащаб по осите (наречена на Рене Декарт), и обща декартова координатна системасе нарича афинна система от координати (не правоъгълна).

Енциклопедичен YouTube

• 1 / 5

  Правоъгълна координатна система в равнина се образува от две взаимно перпендикулярни координатни оси и O (\displaystyle O), което се нарича начало на координатите, всяка ос има положителна посока.

  Точкова позиция A (\displaystyle A)на равнината се определя от две координати x (\displaystyle x)и y (\displaystyle y). Координирайте x (\displaystyle x)равна на дължината на отсечката O B (\displaystyle OB), координирайте y (\displaystyle y)- дължина на сегмента O C (\displaystyle OC) O B (\displaystyle OB)и O C (\displaystyle OC)определени от линии, изтеглени от точка A (\displaystyle A)успоредни на осите Y ′ Y (\displaystyle Y"Y)и X ′ X (\displaystyle X"X)съответно.

  С тази координата x (\displaystyle x) B (\displaystyle B)лежи върху гредата (а не върху гредата OX (\displaystyle OX), както е на фигурата). Координирайте y (\displaystyle y)се поставя знак минус, ако точката C (\displaystyle C)лежи на гредата. По този начин, O X′ (\displaystyle OX")и O Y′ (\displaystyle OY")са отрицателните посоки на координатните оси (всяка координатна ос се третира като цифрова ос).

  ос x (\displaystyle x)наречена ос x, и оста y (\displaystyle y)- оста y. Координирайте x (\displaystyle x)Наречен абсцисата точки A (\displaystyle A), координирайте y (\displaystyle y) - ордината точки A (\displaystyle A).

  A (x, y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x, y) (\displaystyle A=(x,\;y))

  или посочете принадлежността на координатите към определена точка, като използвате индекса:

  x A , x B (\displaystyle x_(A),x_(B))

  Правоъгълна координатна система в пространството(в този параграф имаме предвид триизмерно пространство, повече многоизмерни пространства - вижте по-долу) се формира от три взаимно перпендикулярни координатни оси OX (\displaystyle OX), O Y (\displaystyle OY)и OZ (\displaystyle OZ). Координатните оси се пресичат в точка O (\displaystyle O), което се нарича начало, на всяка ос се избира положителната посока, посочена със стрелките, и мерната единица на сегментите по осите. Единиците обикновено (не непременно) са еднакви за всички оси. OX (\displaystyle OX)- ос абсциса, O Y (\displaystyle OY)- ос ордината, OZ (\displaystyle OZ)- приложение на ос.

  Точкова позиция A (\displaystyle A)в пространството се определя от три координати x (\displaystyle x), y (\displaystyle y)и z (\displaystyle z). Координирайте x (\displaystyle x)равна на дължината на отсечката O B (\displaystyle OB), координирайте y (\displaystyle y)- дължина на сегмента O C (\displaystyle OC), координирайте z (\displaystyle z)- дължина на сегмента OD (\displaystyle OD)в избраните мерни единици. Сегменти O B (\displaystyle OB), O C (\displaystyle OC)и OD (\displaystyle OD)се определят от равнини, начертани от точка A (\displaystyle A)успоредни на равнини Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ)и X O Y (\displaystyle XOY)съответно.

  Координирайте x (\displaystyle x)наречена абсцисата на точката A (\displaystyle A), координирайте y (\displaystyle y)- ординатна точка A (\displaystyle A), координирайте z (\displaystyle z)- точка на приложение A (\displaystyle A).

  Символично се изписва така:

  A (x, y, z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x, y, z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))

  или свържете координатен запис към конкретна точка с помощта на индекс:

  x A, y A, z A (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))

  Всяка ос се разглежда като цифрова линия, т.е. има положителна посока, а отрицателните координатни стойности се присвояват на точките, лежащи на отрицателния лъч (разстоянието се взема със знак минус). Това е, ако например точката B (\displaystyle B)лежеше не както на фигурата - върху гредата OX (\displaystyle OX), а на продължението му в обратна посока от точката O (\displaystyle O)(на отрицателната част на оста OX (\displaystyle OX)), след това абсцисата x (\displaystyle x)точки A (\displaystyle A)ще бъде отрицателна (минус разстоянието O B (\displaystyle OB)). По същия начин и за другите две оси.

  Всички правоъгълни координатни системи в триизмерното пространство се разделят на два класа - права(използвани също термини положителен, стандартен) и наляво. Обикновено по подразбиране се опитват да използват десни координатни системи, а когато се показват графично, също ги поставят, ако е възможно, в една от няколко обичайни (традиционни) позиции. (Фигура 2 показва правилната координатна система). Дясната и лявата координатна система не могат да се комбинират чрез ротации, така че съответните оси (и техните посоки) да съвпадат. Възможно е да се определи към кой клас принадлежи определена координатна система, като се използва правилото на дясната ръка, правилото на винта и т.н. (положителната посока на осите е избрана така, че когато оста се върти OX (\displaystyle OX)обратно на часовниковата стрелка на 90° положителната му посока съвпадна с положителната посока на оста O Y (\displaystyle OY), ако това въртене се наблюдава от страната на положителната посока на оста OZ (\displaystyle OZ)).

  Правоъгълна координатна система в многомерно пространство

  Правоъгълна координатна система може също да се използва в пространство с произволно крайно измерение по същия начин, както се прави за триизмерно пространство. Броят на координатните оси в този случай е равен на измерението на пространството (в този раздел ще го обозначим н).

  Координатите обикновено се обозначават не с различни букви, а със същата буква с цифров индекс. Най-често това е:

  x 1, x 2, x 3, … x n. (\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\точки x_(n).)

  За обозначаване на произволен азтата координата от този набор използва буквен индекс:

  а често и обозначението x i , (\displaystyle x_(i),)използвайте и за обозначаване на целия набор, което означава, че индексът преминава през целия набор от стойности: i = 1, 2, 3, … n (\displaystyle i=1,2,3,\dots n).

  Във всяко измерение на пространството правоъгълните координатни системи са разделени на два класа, дясна и лява (или положителна и отрицателна). За многомерните пространства една от координатните системи произволно (условно) се нарича дясна, а останалите се оказват дясна или лява в зависимост от това дали имат еднаква ориентация или не.

  Правоъгълни векторни координати

  За определяне на правоъгълник векторни координати(приложимо за представяне на вектори с всякаква размерност), можем да изхождаме от факта, че координатите на вектора (насочен сегмент), чието начало е в началото, съвпадат с координатите на неговия край.

  За вектори (насочени сегменти), чието начало не съвпада с началото, правоъгълните координати могат да бъдат определени по един от двата начина:

  1. Векторът може да се премести така, че началото му да съвпадне с началото). Тогава неговите координати се определят по начина, описан в началото на параграфа: координатите на вектор, преместен така, че началото му да съвпадне с началото, са координатите на неговия край.
  2. Вместо това можете просто да извадите от координатите на края на вектора (насочен сегмент) координатите на неговото начало.
  • За правоъгълни координати концепцията за векторна координата съвпада с концепцията за ортогонална проекция на вектор върху посоката на съответната координатна ос.

  В правоъгълни координати всички операции върху вектори се записват много просто:

  • Събиране и умножение със скалар:
  a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3, …, a n + b n) (\displaystyle \mathbf (a) +\mathbf (b) =(a_(1)+ b_(1),a_(2)+b_(2),a_(3)+b_(3),\точки ,a_(n)+b_(n))) (a + b) i = a i + b i , (\displaystyle (\mathbf (a) +\mathbf (b))_(i)=a_(i)+b_(i),) c a = (c a 1 , c a 2 , c a 3 , … , c a n) (\displaystyle c\ \mathbf (a) =(c\ a_(1),c\ a_(2),c\ a_(3),\ точки ,c\ a_(n))) (c a) i = c a i. (\displaystyle (c\ \mathbf (a))_(i)=c\ a_(i).)и следователно изваждането и делението: a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 , … , a n − b n) (\displaystyle \mathbf (a) -\mathbf (b) =(a_(1)- b_(1),a_(2)-b_(2),a_(3)-b_(3),\точки ,a_(n)-b_(n))) (a − b) i = a i − b i , (\displaystyle (\mathbf (a) -\mathbf (b))_(i)=a_(i)-b_(i),) a λ = (a 1 λ , a 2 λ , a 3 λ , … , a n λ) (\displaystyle (\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))=(\Big ()(\frac (a_ (1))(\lambda )),(\frac (a_(2))(\lambda )),(\frac (a_(3))(\lambda )),\точки ,(\frac (a_(n) ))(\lambda ))(\Голям))) (a λ) i = a i λ . (\displaystyle (\Big ()(\frac (\mathbf (a) )(\lambda ))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda )).)

  (Това важи за всяко измерение ни дори, заедно с правоъгълни координати, за наклонени координати).

  a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\точки +a_(n)b_(n)) a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i , (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i),)

  (Само в правоъгълни координати с единичен мащаб по всички оси).

  • Чрез скаларното произведение можете да изчислите дължината на вектора
  | a | = a ⋅ a (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a) )))и ъгълът между векторите ∠ (a , b) = a r c c o s a ⋅ b | a | ⋅ | б | (\displaystyle \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b) )(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |)))
  • и k (\displaystyle \mathbf (k) ) e x (\displaystyle \mathbf (e) _(x)), e y (\displaystyle \mathbf (e) _(y))и e z (\displaystyle \mathbf (e) _(z)).

    Символи със стрелки ( i → (\displaystyle (\vec (i))), j → (\displaystyle (\vec (j)))и k → (\displaystyle (\vec (k)))или e → x (\displaystyle (\vec(e))_(x)), e → y (\displaystyle (\vec(e))_(y))и e → z (\displaystyle (\vec(e))_(z))) или други в съответствие с обичайния начин за означаване на вектори в една или друга литература.

    В този случай, в случай на дясна координатна система, са валидни следните формули с вектор произведение на вектори:

    За измерения, по-високи от 3 (или за общия случай, когато измерението може да бъде произволно) е обичайно единичните вектори да използват нотацията с числови индекси вместо това, доста често това

    e 1 , e 2 , e 3 , … e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( д) _(n),)

    където н- измерение на пространството.

    Вектор с произволно измерение се разлага според основата (координатите служат като коефициенти на разширение):

    a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( д) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\точки +a_(n)\mathbf (e) _(n)) a = ∑ i = 1 n a i e i , (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i),)Пиер Ферма обаче творбите му са публикувани за първи път след смъртта му. Декарт и Ферма са използвали координатния метод само на равнината.

    Координатният метод за триизмерно пространство е приложен за първи път от Леонхард Ойлер още през 18 век. Използването на orts очевидно датира от