Dom » Dijete od 1 godine do 1,5 godina » Frakciono linearna funkcija asimptote. Grafikovanje funkcija jedna je od najzanimljivijih tema u školskoj matematici.

Frakciono linearna funkcija asimptote. Grafikovanje funkcija jedna je od najzanimljivijih tema u školskoj matematici.

Funkcija y = i njezin graf.

CILJEVI:

1) uvesti definiciju funkcije y = ;

2) naučiti graditi graf funkcije y = pomoću programa Agrapher;

3) razviti sposobnost konstruiranja skica grafova funkcije y = korištenjem transformacijskih svojstava grafova funkcija;

I. Novo gradivo – prošireni razgovor.

U: Razmotrimo funkcije definirane formulama y = ; y = ; y = .

Koji su izrazi napisani na desnoj strani ovih formula?

D: Desne strane ovih formula imaju oblik racionalnog razlomka, u kojem je brojnik binom prvog stupnja ili broj različit od nule, a nazivnik je binom prvog stupnja.

U: Takve se funkcije obično određuju formulom oblika

Razmotrimo slučajeve kada je a) c = 0 ili c) = .

(Ako u drugom slučaju učenici imaju poteškoća, tada ih morate zamoliti da se izraze S iz zadanog udjela i zatim zamijenite dobiveni izraz u formulu (1)).

D1: Ako je c = 0, tada je y = x + b linearna funkcija.

D2: Ako je = , tada je c = . Zamjena vrijednosti S u formuli (1) dobivamo:

To jest, y = je linearna funkcija.

Y: Funkcija koja se može odrediti formulom oblika y =, gdje slovo x označava nezavisnu

Ova varijabla, a slova a, b, c i d su proizvoljni brojevi, a c0 i ad su svi 0, zove se linearna frakcijska funkcija.

Pokažimo da je graf linearne razlomljene funkcije hiperbola.

Primjer 1. Izgradimo graf funkcije y = . Odvojimo cijeli dio od razlomka.

Imamo: = = = 1 + .

Graf funkcije y = +1 može se dobiti iz grafa funkcije y = pomoću dva paralelna prevođenja: pomakom od 2 jedinice udesno duž X osi i pomakom od 1 jedinice prema gore u smjeru Y S ovim pomacima, asimptote hiperbole y = će se pomaknuti: ravna linija x = 0 (tj. os Y) je 2 jedinice udesno, a ravna linija y = 0 (tj. os X) je jedna jedinica gore. Prije izgradnje grafa, izvršimo a koordinatna ravnina asimptote isprekidane linije: ravne linije x = 2 i y = 1 (slika 1a). S obzirom da se hiperbola sastoji od dvije grane, za konstruiranje svake od njih napravit ćemo pomoću programa Agrapher dvije tablice: jednu za x>2, a drugu za x<2.

x	1	0	-1	-2	-4	-10
na	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
x	3	4	5	6	8	12
na	7	4	3	2,5	2	1,6

Označimo (programom Agrapher) točke u koordinatnoj ravnini čije su koordinate zapisane u prvoj tablici i spojimo ih glatkom kontinuiranom linijom. Dobivamo jednu granu hiperbole. Slično, koristeći drugu tablicu, dobivamo drugu granu hiperbole (slika 1b).

Primjer 2. Izgradimo graf funkcije y = - Izdvojimo cijeli dio od razlomka tako da binom 2x + 10 podijelimo s binomom x + 3. Dobivamo = 2 + . Stoga je y = -2.

Graf funkcije y = --2 može se dobiti iz grafa funkcije y = - pomoću dva paralelna prevođenja: pomakom od 3 jedinice ulijevo i pomakom od 2 jedinice prema dolje. Asimptote hiperbole su prave x = -3 i y = -2. Kreirajmo (programom Agrapher) tablice za x<-3 и для х>-3.

x	-2	-1	1	2	7
na	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
x	-4	-5	-7	-8	-11
na	2	0	-1	-1,2	-1,5

Konstruiranjem (programom Agrapher) točaka u koordinatnoj ravnini i povlačenjem grana hiperbole kroz njih dobivamo graf funkcije y = - (slika 2).

U:Što je graf linearne razlomljene funkcije?

D: Graf bilo koje linearne razlomljene funkcije je hiperbola.

T: Kako nacrtati graf linearne razlomljene funkcije?

D: Graf frakcijske linearne funkcije dobiva se iz grafa funkcije y = uz pomoć paralelnih translacija duž koordinatnih osi, grane hiperbole frakcijske linearne funkcije simetrične su u odnosu na točku (-. Pravac x = naziva se vertikalna asimptota hiperbole y = se naziva horizontalna asimptota.

T: Koja je domena definicije linearne razlomljene funkcije?

T: Koji je raspon vrijednosti linearne frakcijske funkcije?

D: E(y) = .

T: Ima li funkcija nule?

D: Ako je x = 0, tada je f(0) = , d. Odnosno, funkcija ima nule - točku A.

T: Ima li graf linearne razlomljene funkcije sjecišne točke s X osi?

D: Ako je y = 0, tada je x = -. To znači da ako je a, tada točka sjecišta s X osi ima koordinate. Ako je a = 0, b, tada graf linearne frakcijske funkcije nema točaka sjecišta s osi apscisa.

U: Funkcija opada u intervalima cijele domene definicije ako je bc-ad > 0 i raste u intervalima cijele domene definicije ako je bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

P: Je li moguće naznačiti najveću i najmanju vrijednost funkcije?

D: Funkcija nema najveće i najmanje vrijednosti.

T: Koje su linije asimptote grafa linearne razlomljene funkcije?

D: Vertikalna asimptota je pravac x = -; a horizontalna asimptota je pravac y = .

(Sve generalizirajuće zaključke, definicije i svojstva linearne razlomljene funkcije učenici zapisuju u bilježnicu)

II. Konsolidacija.

Prilikom konstruiranja i "čitanja" grafova linearnih frakcijskih funkcija koriste se svojstva programa Agrapher

III. Nastavni samostalni rad.

Odredi središte hiperbole, asimptote i nacrtaj funkciju:

a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; e) y = ;

g) y = h) y = -

Svaki učenik radi svojim tempom. Po potrebi nastavnik pomaže postavljanjem pitanja čiji će odgovori pomoći učeniku da ispravno riješi zadatak.

Laboratorijski i praktični rad na proučavanju svojstava funkcija y = i y = i značajki grafova tih funkcija.

CILJEVI: 1) nastaviti razvijati vještine građenja grafova funkcija y = i y = pomoću programa Agrapher;

2) učvrstiti vještine "čitanja grafova" funkcija i sposobnost "predviđanja" promjena u grafovima tijekom različitih transformacija frakcijskih linearnih funkcija.

I. Diferencirano ponavljanje svojstava razlomljene linearne funkcije.

Svaki učenik dobiva karticu – ispis sa zadacima. Sve konstrukcije izvode se pomoću programa Agrapher. O rezultatima svakog zadatka raspravlja se odmah.

Svaki učenik samokontrolom može korigirati postignute rezultate prilikom rješavanja zadatka i zatražiti pomoć od nastavnika ili studenta savjetnika.

Pronađite vrijednost argumenta X pri kojoj je f(x) =6; f(x) = -2,5.

3. Konstruirajte graf funkcije y = Odredite pripada li točka grafu ove funkcije: a) A(20;0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?

4. Konstruirajte graf funkcije y = Nađite intervale u kojima je y>0 i u kojima je y<0.

5. Grafički nacrtajte funkciju y = . Pronađite domenu i raspon funkcije.

6. Naznačite asimptote hiperbole – grafa funkcije y = -. Napravite grafikon.

7. Grafički nacrtajte funkciju y = . Pronađite nulte točke funkcije.

II. Laboratorijski i praktični rad.

Svaki učenik dobiva 2 kartice: karticu br.1 “Upute” s planom prema kojemu radi se, a tekst sa zadatkom i karticom br. 2 “ Rezultati funkcionalne studije ”.

Nacrtajte graf navedene funkcije.
Pronađite domenu funkcije.
Pronađite raspon funkcije.
Označite asimptote hiperbole.
Nađi nulte točke funkcije (f(x) = 0).
Pronađite točku presjeka hiperbole s X osi (y = 0).

7. Odredite intervale u kojima: a) y<0; б) y>0.

8. Navedite intervale porasta (padanja) funkcije.

I opcija.

Pomoću programa Agrapher konstruirajte graf funkcije i istražite njezina svojstva:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-

U ovoj lekciji ćemo pogledati razlomak linearna funkcija, rješavamo probleme pomoću linearne frakcijske funkcije, modula, parametra.

Tema: Ponavljanje

Lekcija: Frakcijska linearna funkcija

Definicija:

Funkcija obrasca:

Na primjer:

Dokažimo da je graf ove linearne razlomljene funkcije hiperbola.

Izvadimo dva iz zagrada u brojniku i dobijemo:

Imamo x i u brojniku i u nazivniku. Sada transformiramo tako da se izraz pojavi u brojniku:

Smanjimo sada član po član razlomka:

Očito je da je graf ove funkcije hiperbola.

Možemo predložiti drugu metodu dokaza, naime, podijeliti brojnik s nazivnikom u stupcu:

dobio:

Važno je moći lako konstruirati graf linearne frakcijske funkcije, posebice pronaći središte simetrije hiperbole. Idemo riješiti problem.

Primjer 1 - skicirajte graf funkcije:

Već smo pretvorili ovu funkciju i dobili:

Da bismo konstruirali ovaj grafikon, nećemo pomicati osi ili samu hiperbolu. Koristimo standardnu metodu za konstruiranje grafova funkcija, koristeći prisutnost intervala konstantnog predznaka.

Djelujemo prema algoritmu. Prvo, ispitajmo zadanu funkciju.

Dakle, imamo tri intervala konstantnog predznaka: krajnje desno () funkcija ima znak plus, zatim se znakovi izmjenjuju, budući da svi korijeni imaju prvi stupanj. Dakle, na intervalu je funkcija negativna, na intervalu je funkcija pozitivna.

Konstruiramo skicu grafa u blizini korijena i lomnih točaka ODZ. Imamo: budući da se u nekoj točki predznak funkcije mijenja s plusa na minus, krivulja je prvo iznad osi, zatim prolazi kroz nulu i onda se nalazi ispod x osi. Kada je nazivnik razlomka praktički jednak nuli, to znači da kada vrijednost argumenta teži tri, vrijednost razlomka teži beskonačnosti. U ovom slučaju, kada se argument približava trojki s lijeve strane, funkcija je negativna i teži minus beskonačno, s desne strane funkcija je pozitivna i ostavlja plus beskonačno.

Sada konstruiramo skicu grafa funkcije u blizini točaka u beskonačnosti, tj. kada argument teži plus ili minus beskonačnosti. U ovom slučaju se konstantni članovi mogu zanemariti. Imamo:

Dakle, imamo horizontalnu asimptotu i vertikalnu, središte hiperbole je točka (3;2). Ilustrirajmo:

Riža. 1. Graf hiperbole na primjer 1

Problemi s frakcijskom linearnom funkcijom mogu biti komplicirani prisutnošću modula ili parametra. Da biste izgradili, na primjer, grafikon funkcije, morate slijediti sljedeći algoritam:

Riža. 2. Ilustracija za algoritam

Rezultirajući graf ima grane koje su iznad x-osi i ispod x-osi.

1. Primijenite navedeni modul. U tom slučaju dijelovi grafikona koji se nalaze iznad osi x ostaju nepromijenjeni, a oni koji se nalaze ispod osi zrcale se u odnosu na os x. Dobivamo:

Riža. 3. Ilustracija za algoritam

Primjer 2 - nacrtajte funkciju:

Riža. 4. Grafikon funkcije na primjer 2

Razmotrite sljedeći zadatak - konstruirajte graf funkcije. Da biste to učinili, morate slijediti sljedeći algoritam:

1. Grafički nacrtajte submodularnu funkciju

Pretpostavimo da smo dobili sljedeći grafikon:

Riža. 5. Ilustracija za algoritam

1. Primijenite navedeni modul. Da bismo razumjeli kako to učiniti, proširimo modul.

Dakle, za vrijednosti funkcije s nenegativnim vrijednostima argumenata neće doći do promjena. Što se tiče druge jednadžbe, znamo da se ona dobiva simetričnim preslikavanjem oko y-osi. imamo graf funkcije:

Riža. 6. Ilustracija za algoritam

Primjer 3 - nacrtajte funkciju:

Prema algoritmu, prvo trebate izgraditi graf submodularne funkcije, mi smo ga već izgradili (vidi sliku 1)

Riža. 7. Graf funkcije na primjer 3

Primjer 4 - pronađite broj korijena jednadžbe s parametrom:

Podsjetimo se da rješavanje jednadžbe s parametrom znači prolazak kroz sve vrijednosti parametra i navođenje odgovora za svaku od njih. Postupamo prema metodologiji. Prvo gradimo graf funkcije, to smo već učinili u prethodnom primjeru (vidi sliku 7). Zatim trebate rastaviti graf s obitelji linija za različita a, pronaći točke presjeka i zapisati odgovor.

Gledajući graf, ispisujemo odgovor: kada i jednadžba ima dva rješenja; kada jednadžba ima jedno rješenje; kada jednadžba nema rješenja.

Razmotrimo pitanja metodologije za proučavanje takve teme kao što je "konstruiranje grafa frakcijske linearne funkcije". Nažalost, njezino je proučavanje izbačeno iz osnovnog programa i nastavnik matematike na svojim satovima ne dotiče ga se onoliko često koliko bismo željeli. No, još nitko nije otkazao satove matematike, kao ni drugi dio GIA. A u Jedinstvenom državnom ispitu postoji mogućnost njegovog prodora u tijelo zadatka C5 (kroz parametre). Stoga ćete morati zasukati rukave i poraditi na načinu objašnjavanja na satu s prosječnim ili srednje jakim učenikom. U pravilu, nastavnik matematike razvija metode objašnjenja glavnih dijelova školskog kurikuluma tijekom prvih 5-7 godina rada. Za to vrijeme deseci učenika raznih kategorija uspiju proći kroz oči i ruke mentora. Od zanemarene i prirodno slabe djece, onih koji su odustali i bježali od nastave do svrhovitih talenata.

S vremenom, učitelj matematike razvija vještinu objašnjavanja složenih pojmova jednostavnim jezikom bez žrtvovanja matematičke cjelovitosti i točnosti. Razvija se individualni stil prezentacije materijala, govora, vizualne pratnje i snimanja. Svaki iskusni učitelj ispričat će lekciju zatvorenih očiju, jer unaprijed zna koji problemi nastaju s razumijevanjem gradiva i što je potrebno za njihovo rješavanje. Važno je odabrati prave riječi i bilješke, primjere za početak lekcije, za sredinu i kraj, kao i pravilno sastaviti vježbe za domaću zadaću.

U ovom će se članku raspravljati o nekim posebnim tehnikama za rad s temom.

S kojim grafovima učitelj matematike počinje?

Morate započeti definiranjem pojma koji proučavate. Dopustite da vas podsjetim da je frakcijska linearna funkcija funkcija oblika . Njegova konstrukcija svodi se na građenje najčešća hiperbola koristeći dobro poznate jednostavne tehnike transformacije grafova. U praksi se pokazuju jednostavnima samo za samog učitelja. Čak i ako učitelju dođe jak učenik, s dovoljnom brzinom izračuna i transformacija, on i dalje mora podučavati ove tehnike odvojeno. Zašto? U školi u 9. razredu grafovi se konstruiraju samo pomicanjem i ne koriste metode zbrajanja brojčanih množitelja (metode kompresije i rastezanja). Koji graf koristi učitelj matematike? Gdje je najbolje početi? Sve pripreme provode se na primjeru najprikladnije, po mom mišljenju, funkcije . Što još trebam koristiti? Trigonometrija se u 9. razredu uči bez grafikona (au udžbenicima koji su prilagođeni uvjetima državne mature iz matematike uopće se ne uči). Kvadratna funkcija nema istu "metodološku težinu" u ovoj temi kao korijen. Zašto? U 9. razredu detaljno se proučava kvadratni trinom i učenik je prilično sposoban rješavati konstrukcijske probleme bez pomaka. Forma trenutno izaziva refleks na otvaranje zagrada, nakon čega možete primijeniti pravilo standardnog crtanja kroz vrh parabole i tablicu vrijednosti. S takvim manevrom to neće biti moguće izvesti i nastavniku matematike će biti lakše motivirati učenika da proučava opće tehnike transformacije. Pomoću modula y=|x| također se ne opravdava, jer se ne proučava tako pažljivo kao korijen i školarci ga se užasno boje. Osim toga, sam modul (točnije, njegovo "visenje") uključen je u broj transformacija koje se proučavaju.

Dakle, učitelju ne preostaje ništa prikladnije i učinkovitije od pripreme za transformacije pomoću kvadratnog korijena. Potrebna vam je praksa u konstruiranju grafikona nečeg ovakvog. Uzmimo u obzir da je ova priprema bila veliki uspjeh. Dijete može pomicati, pa čak i komprimirati/razvlačiti grafikone. Što je sljedeće?

Sljedeća faza je učenje izolacije cijelog dijela. Možda je to glavni zadatak učitelja matematike, jer nakon što se cijeli dio dodijeli, on preuzima lavovski udio cjelokupnog računalnog opterećenja teme. Izuzetno je važno pripremiti funkciju u obliku koji se uklapa u jednu od standardnih konstrukcijskih shema. Također je važno opisati logiku transformacija na pristupačan, razumljiv način, a s druge strane, matematički precizan i skladan.

Dopustite mi da vas podsjetim da za izradu grafikona trebate pretvoriti razlomak u oblik . Upravo za ovo, a ne za
, zadržavajući nazivnik. Zašto? Teško je izvesti transformacije na grafu koji se ne sastoji samo od dijelova, već ima i asimptote. Kontinuitet se koristi za spajanje dvije ili tri manje ili više jasno pomaknute točke jednom linijom. U slučaju diskontinuirane funkcije, ne možete odmah shvatiti koje točke spojiti. Stoga je sažimanje ili rastezanje hiperbole izuzetno nezgodno. Profesor matematike jednostavno je dužan naučiti učenika kako se snalaziti samo sa smjenama.

Da biste to učinili, osim odabira cijelog dijela, također morate ukloniti koeficijent iz nazivnika c.

Odabir cijelog dijela iz razlomka

Kako podučavati isticanje cijelog dijela? Učitelji matematike ne procjenjuju uvijek adekvatno razinu znanja učenika i, unatoč nedostatku detaljnog proučavanja teorema o dijeljenju polinoma s ostatkom u programu, primjenjuju pravilo dijeljenja kutom. Ako učitelj preuzme kutnu podjelu, morat će potrošiti gotovo pola sata objašnjavajući to (ako je, naravno, sve pažljivo opravdano). Nažalost, mentor nema uvijek to vrijeme na raspolaganju. Bolje je uopće ne sjećati se uglova.

Postoje dva oblika rada s učenikom:
1) Mentor mu pokazuje gotov algoritam koristeći neki primjer frakcijske funkcije.
2) Učitelj stvara uvjete za logično traženje ovog algoritma.

Implementacija drugog puta čini mi se najzanimljivijom za nastavnu praksu i iznimno korisnom razvijati mišljenje učenika. Uz pomoć određenih savjeta i uputa često je moguće dovesti do otkrivanja određenog niza točnih koraka. Za razliku od mehaničkog izvođenja nečijeg plana, učenik 9. razreda uči ga samostalno tražiti. Naravno, sva objašnjenja moraju biti uz primjere. U tu svrhu, uzmimo funkciju i razmotrimo komentare nastavnika o logici pretraživanja algoritma. Učitelj matematike pita: “Što nas sprječava da izvedemo standardnu transformaciju grafikona koristeći pomak duž osi? Naravno, istovremena prisutnost X iu brojniku i u nazivniku. To znači da se mora ukloniti iz brojnika. Kako to učiniti pomoću transformacija identiteta? Postoji samo jedan način - smanjiti frakciju. Ali nemamo jednake faktore (zagrade). To znači da ih trebamo pokušati stvoriti umjetno. Ali kako? Ne možete zamijeniti brojnik nazivnikom bez ikakvog identičnog prijelaza. Pokušajmo transformirati brojnik tako da sadrži zagradu jednaku nazivniku. Stavimo to tamo prisilno i “preklopiti” s koeficijentima tako da bi se njihovim “djelovanjem” na zagradu, odnosno njezinim otvaranjem i zbrajanjem sličnih članova, dobio linearni polinom 2x+3.

Mentor matematike ubacuje praznine za koeficijente u obliku praznih pravokutnika (kao što se često koriste u udžbenicima za 5.-6. razred) i postavlja zadatak da ih popuni brojevima. Selekciju treba provesti s lijeva na desno, počevši od prvog prolaza. Učenik mora zamisliti kako će otvoriti zagradu. Budući da će njegovo proširenje rezultirati samo jednim članom s X, tada njegov koeficijent mora biti jednak najvećem koeficijentu u starom brojniku 2x+3. Dakle, očito je da prvi kvadratić sadrži broj 2. On je popunjen. Učitelj matematike trebao bi uzeti prilično jednostavnu frakcijsku linearnu funkciju s c=1. Tek nakon toga možemo prijeći na analizu primjera s neugodnim izgledom brojnika i nazivnika (uključujući frakcijske koeficijente).

Samo naprijed. Nastavnik otvara zagradu i potpisuje rezultat neposredno iznad nje.
Možete obojiti odgovarajući par faktora. “Otvorenom članu” potrebno je dodati takav broj iz druge praznine da bi se dobio slobodni koeficijent starog brojnika. Očito je 7.

Zatim se razlomak rastavlja na zbroj pojedinačnih razlomaka (ja obično zaokružujem razlomke oblakom, uspoređujući njihov raspored s krilima leptira). A ja kažem: "Razbijmo razlomak leptirom." Školarci se dobro sjećaju ovog izraza.

Nastavnik matematike prikazuje cijeli proces izolacije cijelog dijela u obliku na koji već možete primijeniti algoritam pomaka hiperbole:

Ako nazivnik ima vodeći koeficijent koji nije jednak jedan, ni u kojem slučaju ga ne smijete ostaviti tamo. To će i mentoru i studentu donijeti dodatnu glavobolju povezanu s potrebom za dodatnom preobrazbom, i to onom najtežom: kompresijom – istezanjem. Za shematsku konstrukciju grafikona izravne proporcionalnosti vrsta brojnika nije važna. Glavna stvar je znati njegov znak. Tada je bolje na njega prenijeti najveći koeficijent nazivnika. Na primjer, ako radimo s funkcijom , tada 3 jednostavno izvadimo iz zagrade i “podignemo” u brojnik, konstruirajući u njemu razlomak. Dobivamo mnogo prikladniji izraz za konstrukciju: Sve što preostaje je pomaknuti ga udesno i 2 prema gore.

Ako postoji "minus" između cijelog dijela 2 i preostalog razlomka, također ga je bolje uključiti u brojnik. Inače, u određenoj fazi konstrukcije morat ćete dodatno prikazati hiperbolu u odnosu na os Oy. To će samo zakomplicirati proces.

Zlatno pravilo učitelja matematike:
svi nepovoljni koeficijenti koji dovode do simetrije, kompresije ili istezanja grafa moraju se prenijeti u brojnik.

Teško je opisati tehnike rada s bilo kojom temom. Uvijek postoji osjećaj nekog podcjenjivanja. U kojoj mjeri smo mogli govoriti o razlomljenoj linearnoj funkciji, na vama je da procijenite. Pošaljite svoje komentare i recenzije na članak (mogu ih napisati u okvir koji vidite na dnu stranice). Svakako ću ih objaviti.

Kolpakov A.N. Učitelj matematike Moskva. Strogino. Metode za nastavnike.

1. Frakcijska linearna funkcija i njezin graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi, naziva se frakcijska racionalna funkcija.

Vjerojatno ste već upoznati s konceptom racionalnih brojeva. Također racionalne funkcije su funkcije koje se mogu prikazati kao kvocijent dvaju polinoma.

Ako je razlomačka racionalna funkcija kvocijent dviju linearnih funkcija – polinoma prvog stupnja, t.j. funkcija forme

y = (ax + b) / (cx + d), tada se naziva frakcijski linearni.

Imajte na umu da je u funkciji y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (inače funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (inače je funkcija je konstantna). Linearna frakcijska funkcija definirana je za sve realne brojeve osim za x = -d/c. Grafovi razlomljenih linearnih funkcija ne razlikuju se po obliku od grafa y = 1/x koji poznajete. Krivulja koja je graf funkcije y = 1/x naziva se hiperbola. S neograničenim povećanjem x apsolutna vrijednost funkcija y = 1/x neograničeno opada u apsolutnoj vrijednosti i obje grane grafa se približavaju x-osi: desna odozgo, a lijeva odozdo. Pravci kojima se približavaju grane hiperbole nazivaju se njezinim asimptote.

Primjer 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Riješenje.

Odaberimo cijeli dio: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Sada je lako vidjeti da je graf ove funkcije dobiven iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 3 jedinična segmenta udesno, rastezanjem duž osi Oy 7 puta i pomakom za 2 jedinične segmente prema gore.

Bilo koji razlomak y = (ax + b) / (cx + d) može se napisati na sličan način, ističući "cijeli dio". Prema tome, grafovi svih razlomljenih linearnih funkcija su hiperbole, na razne načine pomaknuta duž koordinatnih osi i rastegnuta duž osi Oy.

Da bi se konstruirao graf bilo koje proizvoljne frakcijsko-linearne funkcije, uopće nije potrebno transformirati razlomak koji definira tu funkciju. Budući da znamo da je graf hiperbola, bit će dovoljno pronaći prave linije kojima se približavaju njeni ogranci - asimptote hiperbole x = -d/c i y = a/c.

Primjer 2.

Odredite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).

Riješenje.

Funkcija nije definirana, pri x = -1. To znači da pravac x = -1 služi kao vertikalna asimptota. Da bismo pronašli horizontalnu asimptotu, saznajmo čemu se približavaju vrijednosti funkcije y(x) kada argument x raste u apsolutnoj vrijednosti.

Da biste to učinili, podijelite brojnik i nazivnik razlomka s x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kako je x → ∞, razlomak će težiti 3/2. To znači da je horizontalna asimptota pravac y = 3/2.

Primjer 3.

Grafički nacrtajte funkciju y = (2x + 1)/(x + 1).

Riješenje.

Odaberimo "cijeli dio" razlomka:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Sada je lako vidjeti da se graf ove funkcije dobiva iz grafa funkcije y = 1/x sljedećim transformacijama: pomakom za 1 jedinicu ulijevo, simetričnim prikazom u odnosu na Ox i pomakom za 2 jedinična segmenta prema gore duž osi Oy.

Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sjecišta s osima: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija raste na svakom intervalu definirane domene.

Odgovor: Slika 1.

2. Razlomačka racionalna funkcija

Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) polinomi višeg stupnja od prvog.

Primjeri takvih racionalnih funkcija:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ili y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja kvocijent dvaju polinoma višeg stupnja od prvog, tada će njezin graf u pravilu biti složeniji i ponekad ga je teško točno konstruirati , sa svim detaljima. Međutim, često je dovoljno koristiti tehnike slične onima koje smo već predstavili gore.

Neka je razlomak pravi razlomak (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Očito je da se graf razlomačke racionalne funkcije može dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka.

Crtanje grafova razlomljenih racionalnih funkcija

Razmotrimo nekoliko načina konstruiranja grafova frakcijske racionalne funkcije.

Primjer 4.

Nacrtajte graf funkcije y = 1/x 2 .

Riješenje.

Pomoću grafa funkcije y = x 2 konstruiramo graf y = 1/x 2 i koristimo tehniku “dijeljenja” grafova.

Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Raspon vrijednosti E(y) = (0; +∞).

Nema točaka sjecišta s osi. Funkcija je parna. Raste za sve x iz intervala (-∞; 0), smanjuje se za x od 0 do +∞.

Odgovor: Slika 2.

Primjer 5.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Riješenje.

Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Ovdje smo koristili tehniku faktorizacije, redukcije i redukcije na linearnu funkciju.

Odgovor: Slika 3.

Primjer 6.

Grafički nacrtajte funkciju y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Riješenje.

Područje definicije je D(y) = R. Budući da je funkcija parna, graf je simetričan oko ordinate. Prije izgradnje grafikona, ponovno transformirajmo izraz, ističući cijeli dio:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Imajte na umu da je izdvajanje cijelog dijela u formuli frakcijske racionalne funkcije jedno od glavnih pri izradi grafikona.

Ako je x → ±∞, tada je y → 1, tj. pravac y = 1 je horizontalna asimptota.

Odgovor: Slika 4.

Primjer 7.

Razmotrimo funkciju y = x/(x 2 + 1) i pokušajmo točno pronaći njezinu najveću vrijednost, tj. najviša točka na desnoj polovici grafikona. Za preciznu konstrukciju ovog grafikona današnje znanje nije dovoljno. Očito je da se naša krivulja ne može "uzdići" jako visoko, jer nazivnik brzo počinje “prestizati” brojnik. Pogledajmo može li vrijednost funkcije biti jednaka 1. Da bismo to učinili, moramo riješiti jednadžbu x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ova jednadžba nema pravih korijena. To znači da je naša pretpostavka netočna. Da biste pronašli najveću vrijednost funkcije, trebate saznati pri kojem će najvećem A jednadžba A = x/(x 2 + 1) imati rješenje. Zamijenimo izvornu jednadžbu kvadratnom: Ax 2 – x + A = 0. Ova jednadžba ima rješenje kada je 1 – 4A 2 ≥ 0. Odavde nalazimo najveću vrijednost A = 1/2.

Odgovor: Slika 5, max y(x) = ½.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate crtati graf funkcija?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Početna > Književnost

Općinska obrazovna ustanova

„Prosječno sveobuhvatna škola br. 24"

Problemski apstraktni rad

o algebri i principima analize

Grafovi razlomljenih racionalnih funkcija

Učenici 11. razreda A Natalia Sergeevna Tovchegrechko voditeljica rada Valentina Vasilievna Parsheva učiteljica matematike, profesorica visokog obrazovanja kvalifikacijska kategorija

Severodvinsk

Sadržaj 3Uvod 4Glavni dio. Grafovi razlomačko-racionalnih funkcija 6 Zaključak 17 Literatura 18

Uvod

Grafikovanje funkcija jedna je od najzanimljivijih tema u školskoj matematici. Jedan od najvećih matematičara našeg vremena, Israel Moiseevich Gelfand, napisao je: “Proces konstruiranja grafikona način je pretvaranja formula i opisa u geometrijske slike. Ovaj grafikon je način da vidite formule i funkcije i da vidite kako se te funkcije mijenjaju. Na primjer, ako je napisano y=x 2, tada odmah vidite parabolu; ako je y=x 2 -4, vidite parabolu spuštenu za četiri jedinice; ako je y=4-x 2, tada vidite prethodnu parabolu okrenutu prema dolje. Ta sposobnost da se istovremeno vidi i formula i njezina geometrijska interpretacija važna je ne samo za proučavanje matematike, već i za druge predmete. To je vještina koja ostaje s vama cijeli život, poput sposobnosti vožnje bicikla, tipkanja ili vožnje automobila.” U nastavi matematike gradimo uglavnom najjednostavnije grafove – grafove elementarnih funkcija. Tek u 11. razredu naučili su konstruirati složenije funkcije pomoću derivacija. Kada čitate knjige:

Svrha rada: proučiti relevantne teorijske materijale, identificirati algoritam za konstrukciju grafova frakcijsko-linearnih i frakcijsko-racionalnih funkcija. Ciljevi: 1. formulirati pojmove frakcijsko-linearne i frakcijsko-racionalne funkcije na temelju teorijsko gradivo na ovu temu; 2. pronaći metode za konstruiranje grafova frakciono-linearnih i frakciono-racionalnih funkcija.

Glavni dio. Grafovi razlomljenih racionalnih funkcija

1. Frakcijsko-linearna funkcija i njezin graf

Već smo se upoznali s funkcijom oblika y=k/x, gdje je k≠0, njezinim svojstvima i grafom. Obratimo pozornost na jednu značajku ove funkcije. Funkcija y=k/x na skupu pozitivnih brojeva ima svojstvo da s neograničenim porastom vrijednosti argumenta (kada x teži plus beskonačnosti), vrijednosti funkcija, dok ostaju pozitivne, teže nuli. Kako se pozitivne vrijednosti argumenta smanjuju (kada x teži nuli), vrijednosti funkcije rastu bez ograničenja (y teži plus beskonačnosti). Slična se slika uočava iu setu negativni brojevi. Na grafu (slika 1) ovo se svojstvo izražava u činjenici da se točke hiperbole, dok se udaljavaju u beskonačnost (desno ili lijevo, gore ili dolje) od ishodišta koordinata, neograničeno približavaju ravnoj linija: x os, kada │x│ teži plus beskonačnosti, ili y-os kada │x│ teži nuli. Ova linija se zove asimptote krivulje.

Riža. 1

Hiperbola y=k/x ima dvije asimptote: x-osu i y-osu. Koncept asimptote igra važnu ulogu u konstruiranju grafova mnogih funkcija. Pomoću poznatih nam transformacija grafova funkcija možemo pomicati hiperbolu y=k/x u koordinatnoj ravnini desno ili lijevo, gore ili dolje. Kao rezultat toga, dobit ćemo nove grafove funkcija. Primjer 1. Neka je y=6/x. Pomaknimo ovu hiperbolu udesno za 1,5 jedinica, a zatim pomaknimo rezultirajući graf prema gore za 3,5 jedinice. Tom će se transformacijom pomaknuti i asimptote hiperbole y=6/x: os x prijeći će u ravnu liniju y=3,5, os y u ravnu liniju y=1,5 (slika 2). Funkciju čiji smo graf iscrtali možemo odrediti formulom

Predstavimo izraz na desnoj strani ove formule kao razlomak:

To znači da je na slici 2 prikazan graf funkcije zadane formulom

Ovaj razlomak ima brojnik i nazivnik koji su linearni binomi u odnosu na x. Takve funkcije nazivamo frakcijskim linearnim funkcijama.

Općenito, funkcija definirana formulom oblika
, Gdje
x je varijabla, a,b, c, d– zadani brojevi, s c≠0 i
prije Krista- oglas≠0 naziva se frakcijska linearna funkcija. Imajte na umu da je zahtjev u definiciji da c≠0 i
bc-ad≠0, značajno. Kada je c=0 i d≠0 ili bc-ad=0 dobivamo linearnu funkciju. Doista, ako je c=0 i d≠0, tada

Ako je bc-ad=0, c≠0, izražavajući b iz ove jednakosti kroz a, c i d i zamjenjujući to u formulu, dobivamo:

Dakle, u prvom slučaju dobili smo linearnu funkciju opći pogled
, u drugom slučaju – konstanta
. Pokažimo sada kako nacrtati linearnu razlomačku funkciju ako je dana formulom oblika
Primjer 2. Nacrtajmo funkciju
, tj. predstavimo to u obliku
: odaberemo cijeli dio razlomka, podijelimo brojnik s nazivnikom, dobijemo:

Tako,
. Vidimo da se graf ove funkcije može dobiti iz grafa funkcije y=5/x pomoću dva uzastopna pomaka: pomicanjem hiperbole y=5/x udesno za 3 jedinice, a zatim pomicanjem rezultirajuće hiperbole
Ovim pomacima će se pomaknuti i asimptote hiperbole y = 5/x: os x 2 jedinice prema gore, a os y udesno. Za konstruiranje grafa crtamo asimptote u koordinatnoj ravnini isprekidanom linijom: pravac y=2 i pravac x=3. Budući da se hiperbola sastoji od dvije grane, da bismo konstruirali svaku od njih, sastavit ćemo dvije tablice: jednu za x<3, а другую для x>3 (tj. prva je lijevo od točke presjeka asimptota, a druga je desno od nje):

Označavanjem točaka u koordinatnoj ravnini čije koordinate su naznačene u prvoj tablici i njihovim spajanjem glatkom linijom dobivamo jedan krak hiperbole. Slično (koristeći drugu tablicu) dobivamo drugu granu hiperbole. Grafikon funkcije prikazan je na slici 3.

Volim svaki razlomak
može se napisati na sličan način, ističući cijeli njegov dio. Prema tome, grafovi svih frakcijskih linearnih funkcija su hiperbole, pomaknute na različite načine paralelno s koordinatnim osima i rastegnute duž osi Oy.

Primjer 3.

Nacrtajmo funkciju
.Pošto znamo da je graf hiperbola, dovoljno je pronaći prave linije kojima se približavaju njene grane (asimptote) i još nekoliko točaka. Najprije pronađimo okomitu asimptotu. Funkcija nije definirana gdje je 2x+2=0, tj. pri x=-1. Prema tome, vertikalna asimptota je pravac x = -1. Da biste pronašli horizontalnu asimptotu, morate pogledati čemu se približavaju vrijednosti funkcije kada argument raste (u apsolutnoj vrijednosti), drugi članovi u brojniku i nazivniku razlomka
relativno mali. Zato

Stoga je horizontalna asimptota pravac y=3/2. Odredimo sjecišne točke naše hiperbole s koordinatnim osima. Na x=0 imamo y=5/2. Funkcija je jednaka nuli kada je 3x+5=0, tj. pri x = -5/3 Nakon što smo označili točke (-5/3;0) i (0;5/2) na crtežu i nacrtali pronađene horizontalne i vertikalne asimptote, konstruirat ćemo graf (sl. 4). .

Općenito, da biste pronašli horizontalnu asimptotu, trebate podijeliti brojnik s nazivnikom, zatim y=3/2+1/(x+1), y=3/2 je horizontalna asimptota.

2. Razlomačka racionalna funkcija

Razmotrimo razlomačku racionalnu funkciju

U kojoj su brojnik i nazivnik polinomi n-tog i m. stupanj. Neka je razlomak pravi razlomak (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Gdje su k 1 ... k s korijeni polinoma Q (x), koji imaju višestrukost m 1 ... m s, a trinomi odgovaraju parovima konjugacije kompleksnih korijena Q (x) višestrukosti m 1 .. . m t razlomci oblika

Nazvana elementarni racionalni razlomci prva, druga, treća i četvrta vrsta. Ovdje A, B, C, k – realni brojevi; m i m - prirodni brojevi, m, m>1; trinom s realnim koeficijentima x 2 +px+q ima imaginarne korijene. Očito se graf razlomačko-racionalne funkcije može dobiti kao zbroj grafova elementarnih razlomaka. Graf funkcije

Dobivamo iz grafa funkcije 1/x m (m~1, 2, ...) paralelnom translacijom duž apscisne osi za │k│ jedinica ljestvice udesno. Graf funkcije oblika

Lako ju je konstruirati ako u nazivniku odaberete cijeli kvadrat, a zatim izvršite odgovarajuću formaciju grafa funkcije 1/x 2. Grafičko crtanje funkcije

svodi se na konstruiranje umnoška grafova dviju funkcija:

g= Bx+ C I

Komentar. Grafički prikaz funkcije

Gdje a d-b c 0 ,
,

gdje je n - prirodni broj, može izvesti opća shema istraživanje funkcije i crtanje grafa u nekim konkretni primjeri Graf možete uspješno konstruirati izvođenjem odgovarajućih transformacija grafa; najbolji način dati metode više matematike. Primjer 1. Grafički nacrtajte funkciju

Nakon što smo izolirali cijeli dio, imamo

Frakcija
Predstavimo to kao zbroj elementarnih razlomaka:

Izgradimo grafove funkcija:

Zbrajanjem ovih grafova dobivamo graf zadane funkcije:

Na slikama 6, 7, 8 prikazani su primjeri konstruiranja grafova funkcija
I
. Primjer 2. Grafičko crtanje funkcije
:

(1);
(2);
(3); (4)

Primjer 3. Crtanje grafa funkcije

(1);
(2);
(3); (4)

Zaključak

Prilikom izvođenja apstraktnog rada: - razjasnila svoje pojmove frakcijsko-linearne i frakcijsko-racionalne funkcije: Definicija 1. Linearna frakcijska funkcija funkcija je oblika , gdje je x varijabla, a, b, c i d su zadani brojevi, s c≠0 i bc-ad≠0. Definicija 2. Razlomačka racionalna funkcija je funkcija oblika

Gdje je n

Izradio algoritam za iscrtavanje grafova ovih funkcija;

Stečeno iskustvo u crtanju funkcija kao što su:

;

Naučila sam raditi s dodatnom literaturom i materijalima, birati znanstvene informacije; - stekla sam iskustvo u izvođenju grafičkih radova na računalu; - naučila sam pisati problemski sažetak.

Anotacija. Na pragu 21. stoljeća bili smo bombardirani beskrajnim nizom razgovora i nagađanja o informacijskoj magistrali i nadolazećoj eri tehnologije.

Na pragu 21. stoljeća bili smo bombardirani beskrajnim nizom razgovora i nagađanja o informacijskoj magistrali i nadolazećoj eri tehnologije.

Izborni predmeti jedan su od oblika organiziranja obrazovnih, spoznajnih i obrazovno-istraživačkih aktivnosti učenika srednjih škola.

Dokument

Ovaj zbornik je peti broj koji je pripremio tim Moskovske gradske pedagoške gimnazije-laboratorija br. 1505 uz potporu…….

Matematika i iskustvo

Knjiga

U radu se pokušava opsežna usporedba različitih pristupa odnosu matematike i iskustva, koji su se uglavnom razvili u okvirima apriorizma i empirizma.

Udio: